TEOREMA DE PITAGORAS

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E.E MIGUEL VICENTE CURY
MATEMÁTICA – 2ºano EM
Professora Letícia Batista
Teorema de Pitágoras
 Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos: a² = b² + c²
 Em que: a = hipotenusa;
 b e c = catetos;
 Observe o exemplo abaixo:
 Na geometria, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer
é 180°. Assim, como um triângulo retângulo possuí um ângulo interno reto medindo
90°, podemos concluir que a soma dos outros dois ângulos agudos também será
90°.
 Além disso, o lado oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de
HIPOTENUSA.
 Os outros dois lados, perpendiculares entre si, são chamados de CATETOS.
 Através dessas informações, podemos estabelecer a seguinte relação:
Identificação dos Catetos e da Hipotenusa
 Vejamos o Exemplo 1:
Um terreno será dividido ao meio pela sua diagonal, formando dois triângulos
retângulos. A metade deste terreno será cercada com 4 fios de arame farpado.
Sabendo que, as dimensões desse terreno são de 21m de comprimento e 20m de
largura, qual será a metragem mínima de arame gasta?
Aplicação do Teorema
 Observe que, foi formado dois triângulos retângulos (conforme enunciado) e uma
hipotenusa a.
 Sabemos que, 21m e 20m são os catetos do triângulos, pois são perpendiculares
entre si. Agora que lemos e analisamos o exercício, iremos colocar em prática a
fórmula do Teorema de Pitágoras:
 Aplicando o Teorema:
a²=b²+c²
a²= (21)² + (20)²
a²= 441 + 400
a²= 841
 Para acharmos o valor da hipotenusa (a), precisamos realizar a operação
inversa da potência, que é a raiz quadrada.
Portanto:
a= √841
a= 29m
 Achamos o valor da hipotenusa, portanto a,b e c, foram encontrados. O próximo passo
é encontrarmos o perímetro e darmos andamento ao que o exercício solicita.
 Perímetro é a soma de todos os lados de uma figura. Um triângulo possuí 3 lados,
portanto o seu perímetro (P) será:
P= 21m+20m+29m
P= 70m
 O terreno será cercado com 4 fios de arame. Para sabermos quantos metros serão
gastos, basta multiplicar o perímetro (P) pela quantidade de fios de arame:
70 x 4 = 280m.
Resposta: A quantidade mínima de arame gasta será de 280m.
Veja como foi simples e fácil de resolver. Situações como essas, estão presentes em
nosso dia a dia e para solucionarmos, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras. Existem
muitas referências na história da Matemática que envolvem o nome do matemático e
filósofo Pitágoras, que teria vivido na Grécia Antiga. Na verdade, a maioria dos textos de
historiadores e filósofos, não citam uma pessoa chamada Pitágoras, e sim, uma escola de
filósofos e matemáticos denominados PITAGÓRICOS. O foco desses estudos estavam
voltados para a Geometria. O alicerce da filosofia pitagórica era a ideia de que tudo é
número. Ela estava baseada na descoberta de que as harmonias musicais podem ser
expressas mediante números; na astronomia, os movimentos periódicos dos planetas
estariam relacionados, de alguma forma, com os intervalos musicais, sugerindo que o
movimento dos corpos celestes produz uma espécie de harmonia nos céus, “a música
das estrelas”.
Independentemente de sua origem ou autoria, o fato é que o resultado matemático ficou
historicamente conhecido e é usado até os dias de hoje.
Outras relações métricas no triângulo retângulo
 Além do Teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas entre os
elementos de um triângulo retângulo:
Sendo:
a = hipotenusa, sendo este o maior lado;
b e c = catetos;
h = altura relativa à hipotenusa;
m = projeção do cateto c, sobre à hipotenusa;
n = projeção do cateto b, sobre à hipotenusa;
Através da tabela de relações métricas (tabela 02), é possível reunir todos esses
elementos para a aplicação nos exercícios propostos.
• Tabela 02
Relações Métricas
a.h= b.c (1)
b²= a.n (2)
c²= a.m (3)
h²= m.n (4)
a= m+n (5)
a²= b² + c² (6)
• Exercícios 
1) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 16m. Determine, em metros, a medida da
hipotenusa, sabendo que a medida do outro cateto é 8 metros maior que o primeiro.
2) Determine a medida “x” do ângulo, em cada triângulo retângulo:
3) Você consegue pensar em situações do dia a dia, nas quais possa ser aplicado o Teorema de
Pitágoras? Quais?
4) Em cada triângulo retângulo, indique as medidas dos catetos e a medida da hipotenusa:
5) Utilizando as relações métricas estudadas (tabela 02), determine as medidas a, h, m e n
neste triângulo retângulo ABC: