06-Aula Matematica Financeria (PeQ), 12-05-2020

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Matemática Financeira – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Matemática Financeira – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
 
AULA 7 – FINANCIAMENTO E CAPITALIZAÇÃO 
 
 
Valores financeiros vinculados a datas diferentes não podem ser comparados nem 
adicionados ou subtraídos. 
 
Conceito de série: qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode 
ser considerada uma série, também denominada, historicamente, anuidade. Esses capitais podem ser 
valores que caracterizam uma série de pagamentos, que tem como objetivo a quitação de uma dívida. 
Exemplos: anuidades escolares, aluguéis, seguros, condomínios, poupança programada, previdências 
pública e privada. 
 
Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, também 
denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero; e 
depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no cálculo do 
financiamento. 
 
De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em dois grandes grupos, as 
séries certas ou determinísticas e as séries probabilísticas ou aleatórias. 
Uma série é denominada certa quando as datas e os valores dos seus termos são conhecidos. Como 
exemplo, temos os financiamentos com taxas prefixadas como mensalidades escolares e aluguel. A série 
aleatória não tem datas nem valores determinados e não serão abordadas. Os cálculos das séries 
aleatórias são feitos pela estatística, com modelos probabilísticos complexos, em uma área da 
matemática denominada atuária. 
 
Nos concentraremos em séries com as seguintes características: 
 
 série periódica: seus termos ocorrem a períodos de tempo iguais; 
 temporária: a série tem uma duração determinada; 
 constante: todos os termos da série têm o mesmo valor; 
 imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo; 
 postecipada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento. 
 
Financiamento 
 
Fórmula do valor financiado (F): o valor de uma série na data zero é a soma de todos os 
pagamentos trazidos para a essa data. 
Adotando d para representar o valor das prestações, 8 para o número de prestações, 7 para 
a taxa de financiamento, e aplicando a definição de valor atual na data zero a cada um dos 
termos da série, teremos: 
 
J = ?(!01)" +
?
(!01)# +
?
(!01)$ +⋯+
?
(!01)! 
 
Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: 
 
! = # ∙ [(Pe7)$fP][7.(Pe7)$] {1} 
 
Note que fica bem mais simples aplicar {1} que trazer para a data zero todos os termos de uma série. 
 
Exemplo: Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais 
iguais a R$250, sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês. 
 
Solução: Substituindo os valores numéricos na fórmula, temos: 
F = 250 . [ (1+0,03)13 – 1] / [0,03.(1+0,03)13] = R$ 2.658,74 
 
 
Na Calculadora RPN (HP12C): 
f FIN; 250 CHS PMT; 13 n; 3 i; PV 
onde: 
Valor financiado (F) PV; Taxa de financiamento (i) i; Número de pagamentos (n) n; 
Valor dos Pagamentos(P) PMT 
 
Não existe nenhuma sequência fixa para a entrada dos dados nas funções de cálculo, a não ser que a 
incógnita deve ser digitada no final da sequência. 
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Capitalização 
 
Conceito: uma série de rendas é um conjunto de aplicações que tem como objetivo 
a capitalização de um valor futuro. 
A capitalização tem como principal característica a formação de um montante, ou valor futuro, que é a 
soma de todas as aplicações corrigidas para a data do último depósito. Tal valor dependerá do número 
e do valor dos depósitos e da taxa utilizada para corrigi-los. São exemplos de séries de rendas: 
poupanças programadas, previdências privada e pública. 
Fórmula do valor futuro ou montante (S): o conceito de valor futuro ou montante se aplica toda vez 
em que temos uma série de aplicações com o objetivo de construir um valor futuro, em uma data 
determinada. Na prática podemos ter uma poupança programada em que o investidor aplica todo mês, 
no mesmo dia, determinado valor. 
Esse valor futuro ou montante da série de rendas poderia ser calculado por meio da definição, 
corrigindo-se termo a termo cada um dos valores dos depósitos para a data do último depósito e 
somando-os nessa data. Lembre-se que somente podemos somar valores na mesma data, não faz o 
menor sentido somar valores vinculados a datas diferentes. Esse procedimento seria, no entanto, 
impraticável para uma série com um número grande de termos. Adotando S para denominar o montante 
da série, poderíamos escrever, de acordo com a definição, com os depósitos iniciando no final do 
primeiro período: 
L = M. (1 + :)45! + M. (1 + :)45& + M. (1 + :)45# +⋯M. (1 + :) + M 
Repare que essa correção de cada termo é feita através da fórmula do montante, à taxa de 
juros que remunera a aplicação, no prazo que vai da data do depósito até a data do último 
depósito. Fatorando e simplificando a expressão, teremos: 
! = ".[(&'(),*&]( {2} 
Exemplo: Quanto terei de montante ao fim de cinquenta depósitos mensais iguais a R$ 300, em uma 
instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 3% a.m., se não fizer nenhuma retirada? 
 
 S = 300 . [(1 + 0,03 )50 - 1] / 0,03 = R$33.839,06 
 
Na calculadora HP12C: f FIN; 3 i ; 50 n; 300 CHS PMT; FV 
 
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Exercícios – Matemática Financeira - Financiamento e Capitalização 
 
 
Exercício 1: Pedro deverá efetuar um depósito mensal, durante trinta meses, em uma 
instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 2% ao mês, com o objetivo de 
obter R$50.000 de montante, para formar a poupança. Nessas condições podemos afirmar 
que, se ele não fizer nenhuma retirada, a quantia depositada será quanto? (R.: R$1232,50) 
 
Exercício 2: Com a finalidade de adquirir um bem de consumo cujo preço não se altera, 
João vai efetuar 25 depósitos mensais iguais a R$250,00, em uma instituição que remunera 
as aplicações a juros compostos de 2% ao mês. Se João não fizer nenhuma retirada e 
comprar o bem na data do último depósito, podemos afirmar que seu preço do bem é 
quanto? (R.: R$8007,57) 
 
Exercício 3: Um investidor efetua dez depósitos bimestrais consecutivos e iguais de 
R$500,00 em uma financeira que remunera as aplicações a juros compostos de 3% ao 
bimestre, sem efetuar nenhuma retirada. Quanto esse investidor poderá sacar ao fim da 
aplicação? (R.: R$5731,94) 
 
Exercício 4: Podemos afirmar que o valor da prestação mensal do financiamento que quita 
uma dívida de valor à vista R$ 5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em quinze 
pagamentos mensais iguais, sem entrada será quanto? (R.: R$481,71) 
 
Exercício 5: O valor à vista do financiamento que quita (paga) um bem em doze pagamentos 
mensais iguais a R$500,00 sem entrada, sendo que a operação foi calculada a juros 
compostos de 5% ao mês é quanto? (R.: R$4431,63) 
 
Exercício 6: Podemos afirmar que o valor da prestação mensal do financiamento que quita 
uma dívida de valor à vista R$50.000,00, a juros compostos de 4% ao mês, em vinte 
pagamentos mensais iguais, sem entrada será de? (R.: R$3679,09) 
 
Exercício 7: Um professor compra um terreno dando R$10.000,00 de entrada mais trinta e 
seis prestações mensais consecutivas e iguais de R$500,00. Sabendo que o banco cobra 
juros compostos de 2,5% ao mês, podemos afirmar que o valor à vista do imóvel é quanto? 
(R.: R$21778,13) 
 
Exercício 8: Um bem foi pago em dez prestações mensais consecutivas e iguais de 
R$500,00 sem entrada, em um financiamento feito a juros compostos de 5% ao mês. 
Podemosafirmar que seu valor à vista é de quanto? (R.: R$3860,87) 
 
Exercício 9: Um relógio custa à vista R$1.500,00, podendo ser pago com uma entrada de 
20% do valor à vista mais dez prestações mensais consecutivas e iguais. Sabendo que a 
financeira cobra juros compostos de 2% a.m. podemos afirmar que o valor da prestação 
mensal será de quanto? (R.: R$133,59)