GRA1116 MATEMÁTICA FINANCEIRA GR2008-212-9 -

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<p>3.2 Fluxo de caixa</p><p>Para analisarmos os fluxos de caixa, é necessário lembrar que valores e tempo são</p><p>variáveis indissociáveis em Matemática Financeira, sendo considerados em todas as</p><p>análises e cálculos, tendo por base o conceito do valor do dinheiro no tempo e,</p><p>consequentemente, do preço do dinheiro, que são os juros.</p><p>Para compreendermos a lógica envolvida nas séries uniformes, é importante conciliar</p><p>os elementos acima sob a seguinte ótica: apesar de os valores nominais das</p><p>transações em uma série uniforme serem constantes, em função delas ocorrerem em</p><p>momentos distintos de tempo, seus valores reais são diferentes (quanto mais tarde,</p><p>menor o valor real).</p><p>Como consequência disso, todas as transações em uma série uniforme podem ser</p><p>somadas. A soma não pode ser uma simples soma aritmética, pois estaríamos</p><p>somando valores nominais em diferentes instantes de tempo, o que não tem qualquer</p><p>significado em Matemática Financeira, por desconsiderar o princípio fundamental do</p><p>valor do dinheiro no tempo. É necessário, portanto, que a soma seja aplicada sobre</p><p>os valores reais, o que resultaria em um único valor real de toda a série uniforme.</p><p>Como podemos fazer isso? É o que veremos a seguir.</p><p>3.2.1 Valor presente de séries uniformes</p><p>Como você viu no início deste capítulo, em um empréstimo de R$1.000,00, o</p><p>pagamento aconteceu em momento futuro (um mês depois) no valor de R$1.030,00.</p><p>Podemos extrair desse exemplo alguns valores e relacioná-los a variáveis de</p><p>interesse, veja:</p><p>como a situação se inicia pelo empréstimo, esse é o momento do tempo em</p><p>que nossa análise é iniciada. Temos, assim, n = 0 e o valor emprestado</p><p>(R$1.000,00) representa o VP (valor presente);</p><p>como o pagamento do empréstimo ocorreu em momento futuro, o valor</p><p>R$1.030,00 é o VF (valor futuro) e, como ocorreu um período de um mês após</p><p>o início da análise, temos n =1;</p><p>como VF = VP + J, temos que os juros pagos (J) são de 1.030 – 1.000 = R$30.</p><p>Esse valor representa 30/1.000 = 0,3 = 3% do valor do empréstimo;</p><p>considerando que o percentual incidiu sobre o valor do empréstimo após um</p><p>mês, temos, então, a taxa de juros (i) de 3% a.m.</p><p>Observe que lidamos com as variáveis usuais de Matemática Financeira: VP, VF, i, n</p><p>e J. E. Nesse sentido, o VF nada mais é que o VP transformado em função de n e de</p><p>i, ou seja, pela adição dos juros incorridos em função dessas duas variáveis. Veja que</p><p>estamos lidando com um fluxo de caixa com duas transações: uma de recebimento e</p><p>outra de pagamento. Em uma série uniforme, não temos um único VF: na realidade,</p><p>há uma série de VFs, que são os diversos pagamentos ou recebimentos, os PMTs</p><p>que vimos anteriormente. Cada PMT é um VF de uma parte do VP.</p><p>Assim, se quisermos saber o VP, precisamos considerar o n e a i para cada um dos</p><p>PMTs e, da mesma forma, para sabermos o valor de PMT, tomamos por base o VP e</p><p>sua distribuição pelos diversos n, considerando a i.</p><p>As séries uniformes são também chamadas de rendas certas (SAMANEZ, 2010), rendas</p><p>uniformes (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012), sequência de pagamentos (GIMENES,</p><p>2006), séries de pagamentos, pagamentos uniformes, anuidades (ABREU, 2012), séries</p><p>discretas (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010). E encontramos o PMT com as</p><p>denominações de custo anual equivalente (MOTTA; CALÔBA, 2002; TORRES, 2006),</p><p>valor anual uniforme equivalente (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010), benefício</p><p>uniforme periódico equivalente, custo uniforme periódico equivalente (CÔRTES, 2012) e</p><p>valor periódico líquido (GONÇALVES NETO; CALÔBA; MOTTA, 2009).</p><p>Para calcularmos o VP, a partir do conhecimento do valor de PMT, utiliza-se a</p><p>seguinte fórmula:</p><p>Alternativamente, pode ser utilizada a fórmula:</p><p>Essas fórmulas se aplicam a pagamentos postecipados. Assim, considerando o</p><p>exemplo anteriormente visto, da compra da televisão por meio do pagamento de seis</p><p>parcelas mensais de R$300,00, e assumindo que a taxa de juros utilizada pela loja é</p><p>de 4% a.m., poderíamos calcular o VP:</p><p>Ou, utilizando a fórmula alternativa:</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para Zoom</p><p>Ou seja, poderíamos supor que o preço à vista da televisão, caso a taxa de juros</p><p>fosse de 4% a.m., seria de R$1.572,46.</p><p>Da mesma forma, é possível, calcular o valor de parcelas de pagamentos</p><p>postecipados, sabendo-se o VP. Por exemplo, se o empréstimo de R$1.000,00</p><p>discutido no início do capítulo fosse pago em quatro parcelas, considerando uma taxa</p><p>de juros de 3% a.m., para calcularmos o valor das parcelas, seria uma questão de</p><p>rearranjar a fórmula apresentada, ou seja:</p><p>Ou desta forma:</p><p>Nesse caso, o empréstimo seria pago na forma de quatro parcelas mensais de</p><p>R$269,03.</p><p>E se ao invés de pagamentos postecipados, fossem pagamentos antecipados? Bem,</p><p>com a antecipação dos pagamentos, o valor real dos PMTs seria maior (lembre-se do</p><p>conceito do valor do dinheiro no tempo em que, quanto mais tarde, menor o valor e,</p><p>consequentemente, quanto mais cedo, maior o valor). O aumento seria equivalente a</p><p>um período (pois antecipamos o pagamento do final do período para o início dele), ou</p><p>seja, fazendo incidir sobre o VP de pagamentos postecipados os juros equivalentes a</p><p>um período.</p><p>Podemos deduzir, então, que a fórmula para calcular o VP no caso dos pagamentos</p><p>antecipados pode ser obtida mediante a multiplicação da fórmula do VP para</p><p>pagamentos postecipados por (1 + i), ou seja:</p><p>Simplificando a equação, cortando o (1 + i), temos:</p><p>Deslize sobre a imagem para Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para Zoom</p><p>Assim, o VP da televisão, na segunda forma de pagamento, ou seja, R$300,00 de</p><p>entrada + 5 x R$300,00, supondo novamente uma taxa de juros de 4% a.m., seria</p><p>de:</p><p>Repare que, como esperado, a antecipação dos pagamentos de R$300,00 faz com</p><p>que o VP seja superior ao que seria se eles fossem postecipados, pois o VP passou</p><p>de R$1.572,46 para R$1.635,55.</p><p>Rearranjando a equação do cálculo do VP, podemos calcular o valor do PMT a partir</p><p>do VP:</p><p>Como você pôde perceber, as fórmulas começam a ganhar um grau de complexidade</p><p>e, consequentemente, aumenta a chance de que algum erro seja cometido na</p><p>operação das calculadoras. No entanto, se utilizarmos o Excel ou a HP 12C, tais</p><p>cálculos se tornam bastante simples, como veremos a seguir.</p><p>3.2.2 Utilizando Excel e HP 12C para o cálculo de séries uniformes</p><p>O Excel tem uma série de funções financeiras e, dentre elas, as que nos permitem</p><p>efetuar cálculos com séries uniformes. O mesmo se aplica à HP 12C. Vamos estudar</p><p>quais funções e comandos nos permitem efetuar tais cálculos.</p><p>No conjunto de fórmulas do Excel, ao clicarmos nas funções financeiras</p><p>encontramos, dentre outras, as funções VP, PGTO, NPER e TAXA, o que nos permite</p><p>efetuar cálculos muito rapidamente de qualquer variável que desejamos, ou seja,</p><p>respectivamente, VP, PMT, n e i, a partir das informações das demais e definindo se</p><p>os pagamentos são antecipados ou postecipados.</p><p>Vamos utilizar como exemplo, para efetuarmos os cálculos, um bem cujo preço à</p><p>vista é de R$1.000.000,00 e foi vendido em 12 parcelas a uma taxa de juros mensal</p><p>de 5%. Vamos começar com o cálculo do valor das parcelas, ou seja, do PMT:</p><p>utilizamos, então, a função PGTO, como mostrado na figura a seguir.</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>Vamos detalhar os argumentos da função: Observe que a taxa de juros i deve ser</p><p>utilizada na forma decimal e não percentual. Temos, em seguida, a quantidade de</p><p>períodos e, logo abaixo, o valor à vista. É importante lembrar que, se quisermos que</p><p>a resposta do PMT seja um valor positivo, é necessário carregar o VP como negativo</p><p>(como mostrado na figura), visto que o Excel vai efetuar um cálculo de soma zero.</p><p>Deixamos o VF como zero, para que não haja qualquer valor residual (ou seja, para</p><p>que o VP seja integralmente saldado com os 12 valores do PMT e, em seguida,</p><p>determinamos o tipo de pagamento: se o campo Tipo for deixado em branco ou</p><p>preenchido com zero, o cálculo considerará que são pagamentos</p><p>postecipados e, ao</p><p>clicar OK, obteremos o valor das 12 parcelas, ou seja, R$112.825,41.</p><p>Observe que no argumento Tipo, se clicarmos 1, o cálculo será efetuado</p><p>considerando os pagamentos antecipados e, nesse caso, o valor do PMT será menor,</p><p>visto que a antecipação faz com que o valor real seja maior e, consequentemente,</p><p>precisamos pagar menos para fazer frente ao mesmo VP: nesse caso, 12 parcelas de</p><p>R$107.452,77.</p><p>As demais funções funcionam exatamente sob a mesma lógica: selecionamos a</p><p>função desejada e informamos as demais variáveis (lembrando que a taxa de juros</p><p>deve ser na forma decimal e que o cálculo é efetuado de forma a gerar uma soma</p><p>zero e que, consequentemente, VP e PMT devem ter sinais contrários) e se devem</p><p>ser considerados pagamentos postecipados ou antecipados.</p><p>Por exemplo, se selecionarmos a função VP e entrarmos com os argumentos 0,05;</p><p>12; e -112.825,41, deixando os demais em branco (sem valor futuro e com</p><p>pagamentos postecipados), encontraremos como resultado 1.000.000.</p><p>Figura 6 - Função PGTO (PMT) no Excel, considerando um i = 5%, n = 12, VP = R$1.000.000,00, com</p><p>pagamentos postecipados. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.</p><p>Deslize sobre a imagem para Zoom</p><p>E, com a HP12C, a sequência de comandos é, também, bastante simples: ela</p><p>trabalha com pagamentos postecipados como default e, na fileira superior de teclas,</p><p>logo abaixo do visor, temos uma sequência de teclas, da esquerda para a direita, que</p><p>contém todos os elementos que precisamos para efetuar os cálculos, ou seja, n; i; PV</p><p>(que é a forma em inglês equivalente a VP); PMT; FV (que é a forma em inglês de</p><p>valor futuro – VF); e CHS. Utilizando o mesmo exemplo do Excel, ou seja, o valor de</p><p>R$1.000.000,00, bastaria alimentarmos os dados referentes a cada um dos</p><p>elementos e clicar nas teclas correspondentes. Por exemplo, para calcular o PMT,</p><p>bastaria clicarmos em sequência:</p><p>12 n (para informar que são 12 períodos);</p><p>5 i (para informar que a taxa é de 5%, lembrando que a HP 12C reconhece,</p><p>nesse caso o valor percentual);</p><p>1000000 CHS PV (ao clicarmos o CHS, há a inversão de sinal, com a</p><p>calculadora reconhecendo que o valor do VP deve ser -1.000.000);</p><p>PMT.</p><p>Como todos os valores necessários para o cálculo já foram carregados (não há a</p><p>necessidade de informar zero no VF: a calculadora assume que, se não informado,</p><p>seu valor é zero) e clicamos a tecla PMT, a calculadora entende que deve calcular</p><p>esse valor, apresentando como resposta 112.825,41, exatamente como calculamos</p><p>no Excel.</p><p>Para calcular os demais elementos, a lógica é a mesma: informamos os dados</p><p>disponíveis e as teclas correspondentes e clicamos na tecla do valor que queremos</p><p>que seja calculado. Para que a calculadora efetue os cálculos considerando</p><p>pagamentos antecipados, é necessário, antes de iniciar a sequência de comandos,</p><p>clicar na tecla g (para selecionar as funções azuis) e a tecla 7 (para selecionar BEG,</p><p>referente ao estado BEGIN). A palavra BEGIN (início, em inglês) aparecerá no visor,</p><p>indicando que os valores são considerados no início do período, ou seja, são</p><p>antecipados. Após isso, seguindo a mesma sequência de comandos, encontramos o</p><p>valor 107.452,77 para o PMT no visor da calculadora.</p><p>Para retornar ao cálculo com pagamentos postecipados, basta clicar novamente na</p><p>tecla g e, depois, na tecla 8: a palavra BEGIN desaparecerá do visor e os cálculos</p><p>voltarão a ser efetuados com juros postecipados;</p><p>Com os exemplos apresentados, é possível perceber como o uso de recursos com</p><p>funções financeiras, seja na forma de planilha eletrônica, como o Excel, ou de</p><p>calculadoras financeiras, como a HP 12C, torna simples os cálculos de séries</p><p>uniformes.</p><p>Até o momento trabalhamos com séries com prazo determinado, ou seja, o n era</p><p>definido e a análise e cálculos feitos cobriam o que ocorria entre n = 0 e o n final.</p><p>Porém, há situações específicas em que isso não se aplica. É o que vamos ver em</p><p>seguida.</p><p>3.3 Séries perpétuas</p><p>Há situações específicas em que as análises de séries uniformes não ocorrem</p><p>considerando um tempo determinado e limitado. Ao contrário, as transações, ou seja,</p><p>os pagamentos e/ou recebimentos “[...] não acabam nunca. São pagamentos</p><p>periódicos que duram para sempre, que não têm prazo para terminar” (ABREU, 2012,</p><p>p. 88).</p><p>Situações como essas exigem análises e cálculos completamente distintos dos</p><p>utilizados nas séries uniformes com tempo determinado e é fácil compreender a</p><p>razão: o tempo é elemento necessário a qualquer cálculo de Matemática Financeira</p><p>(lembre-se do conceito do valor do dinheiro no tempo) e, dessa forma, se o tempo</p><p>segue até o infinito, as fórmulas usuais não se aplicam.</p><p>O filme Capitalismo - uma história de amor (MOORE, 2009) faz uma análise de como o capitalismo afetou</p><p>de forma negativa os ideais de liberdade presentes na Constituição dos Estados Unidos. São abordados</p><p>os impactos da busca na geração de lucros cada vez maiores, como benefícios restritos a um pequeno</p><p>grupo da sociedade, em detrimento do restante das pessoas, e, simultaneamente, como essa dinâmica faz</p><p>com que a maioria sinta os efeitos, na forma de perda de diversos direitos.</p><p>Como é possível ter um conjunto de pagamentos e/ou recebimentos que não</p><p>terminam nunca? Veja alguns exemplos:</p><p>um empreendedor que dê início a uma empresa: de uma forma geral, ele não</p><p>pensa nela como um empreendimento que funcione durante um tempo e que,</p><p>em determinado momento, cesse as atividades. Ao contrário, ele pensa em</p><p>uma forma de conquistar ganhos ao longo de sua vida e, se for um</p><p>empreendimento de sucesso, que permaneça mesmo quando ele se aposentar</p><p>ou falecer, continuando pela ação de seus herdeiros;</p><p>um shopping, quando construído, é um empreendimento que vai se manter por</p><p>muitos e muitos anos, inclusive com possibilidade de expansões etc.;</p><p>mesmo um investimento em ações pode ter tal característica: o investidor pode</p><p>pensar no longo prazo, ou seja, ao invés de visar ganhos rápidos pela venda</p><p>futura das ações, pode estar interessado no recebimento de dividendos por</p><p>toda a sua vida;</p><p>um imóvel é um investimento que, literalmente, dura por toda a vida: mesmo</p><p>que haja a mudança de proprietários, o bem ainda tem a capacidade de atender</p><p>necessidades e gerar benefícios.</p><p>Em resumo, ainda que esses exemplos não caracterizem uma obrigatoriedade de</p><p>perenidade (por exemplo, o empresário pode decidir se desfazer de sua empresa, o</p><p>shopping pode ser demolido para dar lugar a algum outro empreendimento etc.),</p><p>salvo decisão contrária, eles podem ser pensados como de duração infinita,</p><p>perpétua, e, daí surge a denominação das séries perpétuas, ou simplesmente</p><p>perpetuidades (ABREU, 2012).</p><p>Há uma dissertação de mestrado elaborada por Teixeira (2015) intitulada Matemática Financeira: conceitos</p><p>e aplicações, que apresenta os principais conceitos de Matemática Financeira e, em especial, juros,</p><p>descontos, séries periódicas e sistemas de amortização. Nela, o autor busca relacionar a teoria com</p><p>acontecimentos cotidianos, mostrando as aplicações dos conceitos teóricos, o que auxilia na compreensão</p><p>dos diversos fenômenos envolvidos na disciplina Matemática Financeira.</p><p>Como defende Samanez (2010), uma característica da perpetuidade é a de que a</p><p>aplicação feita permite que sejam feitas retiradas indefinidamente, isto é, sem esgotar</p><p>o valor investido. Esse conceito é importante, pois ele nos ajuda a compreender uma</p><p>série de implicações das perpetuidades.</p><p>Quando se faz um investimento em algo que tenha como característica a</p><p>perpetuidade, o valor investido após um período gerará ganhos, que podem ser</p><p>caracterizados como juros. Assim, investimos em n = 0 determinado valor VP.</p><p>Considerando a passagem do tempo, ou seja, um período (n = 1), os juros seriam</p><p>acrescidos, ou seja, haveria o ganho de VP x i. Mas, ao retirarmos esse ganho, o</p><p>valor investido volta a ser o mesmo de VP. Depois disso, avançando mais um período</p><p>(ou seja, chegando a n = 2), novamente haveria o recebimento dos juros (J = VP x i),</p><p>os quais seriam, novamente, retirados e, uma vez mais, o valor investido retornaria</p><p>ao patamar inicial (VP).</p><p>O ciclo se repetiria</p><p>indefinidamente, ou seja, seria uma série uniforme perpétua cujos</p><p>recebimentos (PMT) seriam de VP x i.</p><p>Poderíamos calcular o VP da série perpétua de uma forma bastante simples: bastaria</p><p>dividir o PMT por i (observe que ao dividirmos VP x i por i encontramos VP), sendo</p><p>esta a fórmula de cálculo das perpetuidades:</p><p>Não há a necessidade de cálculos complexos, uso de planilhas eletrônicas ou de</p><p>uma calculadora financeira: a mera divisão indica o valor presente do investimento.</p><p>Por exemplo, podemos calcular quanto deveria ser investido em determinada</p><p>aplicação que rende 1% a.m., para que garantíssemos uma retirada mensal de</p><p>R$5.000,00:</p><p>Deslize sobre</p><p>a imagem para</p><p>Ou seja, ao investirmos R$500.000,00 em uma aplicação que garantisse juros de 1%</p><p>a.m., seria possível obter ganhos perpétuos de R$5.000,00 mensais. Observe que,</p><p>ao investir os R$500.000,00, seriam recebidos após um mês R$5.000,00 (J =</p><p>500.000 x 0,01 = R$5.000,00), os quais seriam retirados. Assim, permaneceriam os</p><p>R$500.000,00 para render por mais um mês, gerando, novamente, R$5.000,00, que</p><p>também seriam sacados, e assim, contínua e ininterruptamente.</p><p>3.3.1 Aplicação de séries uniformes</p><p>Em um contexto mais amplo, o uso dos cálculos de perpetuidades é bastante útil no</p><p>ambiente de negócios. Podemos, por exemplo, pensar na situação em que um</p><p>investidor avalia a possibilidade de investir na compra das ações de uma empresa.</p><p>Ele faz um levantamento histórico e identifica que os dividendos anuais pagos aos</p><p>acionistas têm sido em média de R$1,00 por ação. Supondo que ele esteja</p><p>interessado em investir em alternativas que o remunerem a uma taxa de pelo menos</p><p>15% a.a., quanto ele deveria aceitar pagar pelas ações?</p><p>Para respondermos devemos considerar o recebimento anual de R$1,00, ou seja,</p><p>esse seria o PMT. Assim, como ele deseja um ganho de 15% a.a., esse seria o i e,</p><p>consequentemente:</p><p>Ou seja, o investimento só se justificaria se ele conseguisse adquirir as ações por, no</p><p>máximo, R$6,67: acima desse preço, ele não conseguiria alcançar os ganhos</p><p>desejados.</p><p>Outro exemplo: alguém faz uma proposta de compra ao proprietário de uma pequena</p><p>empresa. O proponente ofereceu R$1.500.000,00 pela empresa e isso animou o</p><p>proprietário. Ele fez uma análise rápida e constatou que tinha ganhos mensais</p><p>líquidos com a empresa de R$10.000,00. Resolveu, então, fazer as contas: assumiu</p><p>que a taxa de juros estava por volta de 1% a.m., afinal, seria isso o que ele ganharia</p><p>se investisse seu dinheiro no mercado financeiro. Assim:</p><p>Ou seja, o VP da empresa era de R$1.000.000,00 e, assim sendo, a oferta de</p><p>R$1.500.000,00 era bastante atrativa, justificando a venda da empresa.</p><p>Deslize sobre a imagem</p><p>para Zoom</p><p>Deslize sobre a</p><p>imagem para Zoom</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>Mais um exemplo: um empresário aposentado pensou em investir seus recursos na</p><p>aquisição de um apartamento, de forma a garantir uma renda mensal na forma de</p><p>aluguéis a serem recebidos. Identificou um apartamento que poderia ser adquirido</p><p>por R$200.000,00 e pesquisou o valor do aluguel: a média do mercado na região era</p><p>de R$1.000,00/mês. Rearranjou a fórmula de cálculo da perpetuidade, para poder</p><p>fazer uma análise mais apropriada. Como,</p><p>Ou seja,</p><p>Investir no apartamento geraria um ganho de somente 0,5% a.m., não sendo,</p><p>portanto, um investimento interessante, devendo ser descartado.</p><p>Como você pôde perceber, o cálculo de perpetuidades é bastante útil e têm diversas</p><p>aplicações práticas. A exemplo dos cálculos envolvendo as demais formas de séries</p><p>uniformes, a possibilidade de lidar simultaneamente com as variáveis de taxas de</p><p>juros, pagamentos e recebimentos diversos, ao longo de diferentes instantes de</p><p>tempo, permite que sejam identificadas oportunidades de investimento e análises de</p><p>financiamentos diversos.</p><p>Na realidade, os fundamentos de cálculos de séries uniformes servem de base para a</p><p>definição das diferentes formas de amortização de empréstimos, que é o próximo</p><p>tema a ser estudado.</p><p>3.4 Conceitos iniciais de amortização</p><p>de empréstimos</p><p>Ao contrair um empréstimo a ser pago em parcelas, caso não existissem juros, o</p><p>somatório dos pagamentos das parcelas seria igual ao valor emprestado. No entanto,</p><p>como já vimos no conceito do valor do dinheiro no tempo, o intervalo entre o</p><p>desembolso de um valor e seu recebimento de volta deve ser remunerado na forma</p><p>de juros.</p><p>Assim sendo, às parcelas referentes ao pagamento de um empréstimo, devem ser</p><p>adicionados juros. Mas se a porção das parcelas que paga o valor emprestado (antes</p><p>da adição dos juros) pode ser igual em todas as parcelas, o mesmo não se aplica aos</p><p>juros. Isso acontece pelas seguintes razões:</p><p>Deslize sobre</p><p>a imagem para</p><p>Deslize sobre a imagem para</p><p>Zoom</p><p>o intervalo de tempo entre o empréstimo e o pagamento das parcelas varia de</p><p>parcela para parcela, ou seja, as últimas estão mais distantes e,</p><p>consequentemente, elas teriam uma maior carga de juros, visto que são</p><p>proporcionais ao tempo;</p><p>ao mesmo tempo, a cada pagamento efetuado, o valor devido é menor, o que</p><p>faria com que os juros fossem menores, visto que eles são proporcionais ao</p><p>valor sobre o qual são aplicados.</p><p>Dessa forma, a definição do valor das parcelas lida com variáveis contrárias:</p><p>enquanto o tempo induz o valor das últimas parcelas a ser maior, o valor devido faz</p><p>com que elas tendam a diminuir.</p><p>Esse balanço de forças não é fixo, ou seja, não há um único critério que estabeleça</p><p>os valores das parcelas de pagamento de empréstimos e financiamentos. Ao</p><p>contrário, há diferentes sistemas que fazem com que o valor das parcelas caia ao</p><p>longo do tempo, isto é, a primeira parcela teria o valor mais alto, enquanto a última</p><p>teria o valor mais baixo.</p><p>Há também sistemas em que as parcelas são extremamente baixas inicialmente,</p><p>dando um salto significativo na última, de forma a saldar todo o valor emprestado e</p><p>os juros pertinentes. E há, ainda, um sistema de amortização que equilibra os</p><p>diversos elementos envolvidos, de tal forma que o valor das parcelas é exatamente o</p><p>mesmo ao longo do tempo: a maioria das compras em lojas, por exemplo, segue tal</p><p>lógica, devido à simplicidade para os dois lados envolvidos na negociação de</p><p>empréstimos e financiamentos.</p><p>Em todas as situações, a base de cálculo tem nas séries de pagamentos os seus</p><p>fundamentos: a sucessão de transações em que valores e tempo fundamentam os</p><p>cálculos de juros, sendo uma área específica de estudos da Matemática Financeira</p><p>que faz parte do dia a dia das pessoas, famílias e empresas.</p><p>Síntese</p><p>Você concluiu os estudos sobre o que são os fluxos de caixa, de que forma são</p><p>classificados e como são calculados. Agora, você já conhece, também, os</p><p>fundamentos da amortização de empréstimos.</p><p>Neste capítulo, você teve a oportunidade de:</p><p>reconhecer os conceitos básicos dos fluxos de caixa;</p><p>classificar os fluxos de caixa;</p><p>descrever séries uniformes;</p><p>distinguir entre séries uniformes postecipadas e antecipadas;</p><p>resolver cálculos com séries uniformes;</p><p>definir os conceitos iniciais de amortização de empréstimos.</p><p>Referências bibliográficas</p><p>ABREU, J. C. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2012.</p><p>CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática</p><p>financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11ª.</p><p>ed. São Paulo: Atlas, 2010.</p><p>CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira aplicada.</p><p>Curitiba: Intersaberes, 2012.</p><p>CÔRTES, J. G. P. Introdução à economia da Engenharia: uma visão do processo</p><p>de gerenciamento de ativos de engenharia. São Paulo: Cengage Learning, 2012.</p><p>DIAS, J. L. T. Modelo de site de matemática financeira: um instrumento de</p><p>orientação ao consumidor. 2003. 225f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de</p><p>Produção). Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico.</p><p>Florianópolis, 2003. Disponível em:</p><p><https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/85759/195482.pdf?</p><p>sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 06/02/2018.</p><p>GIMENES, C. M. Matemática financeira com Hp 12C e Excel: uma abordagem</p><p>descomplicada. São Paulo: Person Prentice Hall, 2006.</p><p>GONÇALVES NETO, A. C.; CALÔBA, G. M.; MOTTA, R. R. Engenharia econômica.</p><p>In: GONÇALVES NETO, A. C. et al. Engenharia econômica e finanças. Rio de</p><p>Janeiro: Elsevier, 2009.</p><p>HP. HP 12C calculadora financeira – guia do usuário. 4ª. ed. San Diego: Hewlett–</p><p>Packard Company, 2004.</p><p>MOORE, M. Capitalismo: uma história de amor. Direção: Michael Moore. Produção:</p><p>Kathleen Glynn e Michael Moore. Beverly Hills: Overture Films, 2009.</p><p>MOTTA, R. R.; CALÔBA, G. M. Análise de investimentos: tomada de decisão em</p><p>projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2002.</p><p>OLIVEIRA, K. Clientes acusam bancos de dificultar pagamento antecipado de</p><p>crédito. Empresa Brasil de Comunicação – EBC. 28/08/2014. Disponível em:</p><p><http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2014-08/clientes-acusam-bancos-</p><p>de-dificultar-pagamento-antecipado-de-credito>. Acesso em: 04/02/2018.</p><p>SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5ª. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,</p><p>2010.</p><p>TEIXEIRA, A. R. Matemática Financeira: conceitos e aplicações. 2015. 103f.</p><p>Dissertação (Mestrado em Matemática). Universidade Federal de Goiás. Goiânia,</p><p>2015. Disponível em:</p><p><https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/5448/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o</p><p>%20-%20Adriano%20Rodrigues%20Teixeira%20-%202015.pdf>. Acesso em:</p><p>05/02/2018.</p><p>TORRES, O. F. F. Fundamentos da engenharia econômica e da análise</p><p>econômica de projetos. São Paulo: Thomson, 2006.</p><p>https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/85759/195482.pdf?sequence=1&isAllowed=y</p><p>http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2014-08/clientes-acusam-bancos-de-dificultar-pagamento-antecipado-de-credito</p><p>https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/5448/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Adriano%20Rodrigues%20Teixeira%20-%202015.pdf</p>