CAP 5 - RdMateriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS SALINÓPOLIS
FACULDADE DE ENGENHARIA DE EXPLORAÇÃO E PRODUÇÃO DE PETRÓLEO
 
 
 TAMIRES BEATRIZ HELMER ARAÚJO
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 EDINALDO TEIXEIRA
 SALINOPOLIS-PA
 2022
CAPÍTULO 5 
TORÇÃO
Neste capítulo, discutiremos os efeitos da aplicação de um carregamento de torção a um elemento longo e reto, como um eixo ou tubo. Inicialmente, consideraremos que o elemento tem seção transversal circular. Mostraremos como determinar a distribuição da tensão no interior do elemento e o ângulo de torção quando o material se comporta de maneira linear elástica e, ainda, quando é inelástico. Também discutiremos a análise de eixos e tubos estaticamente indeterminados, além de tópicos especiais, entre eles elementos com secções transversais não circulares.
5.1 Deformação por torção de um eixo circular
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. O efeito do torque é uma preocupação primária em projetas de eixos
ou eixos de acionamento utilizados em veículos e estruturas diversas. Podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um torque é aplicado a um eixo circular considerando que este seja feito de um material com alto grau de deformação, como a borracha. (figura 5.1.a)
 
Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas longitudinais da grade, marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer segundo o padrão mostrado na figura abaixo. (figura 5.1.b)
 
Examinando a figura, vemos que a torção faz que os círculos continuem como círculos e cada linha longitudinal da grade se deforme na forma de uma hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. Além disso, as seções transversais nas extremidades do eixo continuam planas, e as linhas radiais nessas extremidades continuam retas durante a deformação (figura 5.1.b). Por essas observações, podemos considerar que, se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades for aplicado um torque à sua outra extremidade, o plano sombreado na figura 5.2 será distorcido até uma forma oblíqua, como mostra a figura.
 
5.2- A formula da torção
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria um torque interno correspondente no interior do eixo. Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica, , e, por consequência, uma variação linear na deformação por cisalhamento. 
Essa equação expressa a distribuição da tensão de cisalhamento em função da posição radial p do elemento; em outras palavras, define a distribuição da tensão
na seção transversal em termos da geometria do eixo. Usando essa equação, aplicaremos agora a condição que exige que o torque produzido pela distribuição de tensão por toda a seção transversal seja equivalente ao torque interno resultante T na seção, o que mantém o eixo em equilíbrio (Figura 5.5).
 
A integral nessa equação depende somente da geometria do eixo. Ela representa o momento polar de inércia da área da seção transversal do eixo calculada em torno da linha central longitudinal do eixo. A equação 5.5 pode ser escrita na forma: 
Onde, 
 max = a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que
ocorre na superfície externa.
T = torque interno resultante que age na seção transversal. Seu valor é determinado pelo método das seções e pela equação de equilíbrio
de momento aplicada ao redor da linha central longitudinal do eixo.
J = momento polar de inércia da área da seção transversal.
c = raio externo do eixo.
Eixo maciço. Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, o momento polar de inércia J pode ser determinado por meio de um elemento de área na
forma de um anel diferencial, de espessura dp e circunferência (Figura 5.6). Para esse anel, . Portanto,
 
Se isolarmos um elemento de volume do material na seção transversal, então,
devido à propriedade complementar do cisalhamento, tensões de cisalhamento iguais também devem agir sobre quatro de suas faces adjacentes, como mostra a figura 5.7a.
 
Por consequência, o forque interno T não somente desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha radial no plano da área de seção transversal, como também uma distribuição de tensão de cisalhamento associada é desenvolvida ao longo de um plano axial (Figura 5.7b).
 
É interessante observar que, em razão dessa distribuição axial da tensão de cisalhamento, eixos feitos de madeira tendem a rachar ao longo do plano axial quando sujeitos a um torque excessivo (Figura 5.8).
 
 
Isso acontece porque a madeira é um material anisotrópico. A resistência ao cisalhamento desse material, paralela a seus grãos ou fibras, direcionada ao longo da linha central do eixo, é muito menor do que a resistência perpendicular
às fibras, direcionada no plano da seção transversal.
5.3 Transmissão de potência
Eixos e tubos de seções transversais circulares são frequentemente usados para transmitir potência desenvolvida por uma máquina. Quando usados para essa finalidade, estão sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo. Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado e o ângulo de rotação.
 
 
Tambem podemos expressar a Potencia como:
 
5.4 Ângulo de torção
O projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação ou torção que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque. Além do mais, saber calcular o ângulo de torção para um eixo é importante quando analisamos as reações em eixos
estaticamente indeterminados.
5.5 Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque
Um eixo carregado com torque pode ser classificado como estaticamente indeterminado se a equação de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo não for adequada para determinar os torques desconhecidos que agem no eixo.
5.6 Eixos maciços não circulares
Por análise matemática baseada na teoria da elasticidade, é possível determinar a distribuição da tensão de cisalhamento no interior de um eixo de seção transversal quadrada. Exemplos da variação da tensão de cisalhamento ao longo de duas linhas radiais do eixo são mostrados na figura 5.28a. Como a variação dessas distribuições de tensão de cisalhamento é complexa, as deformações por cisalhamento que elas criam entortarão a seção transversal como mostra a figura 5.28b. Observe que os pontos nos cantos do eixo estão submetidos a tensão de cisalhamento nula e, portanto, também a uma deformação por cisalhamento nula. A razão para isso pode ser mostrada considerando-
se um elemento de material localizado em um desses pontos figura 5.28c.
 
5.7 Tubos de parede fina com seções transversais fechadas 
Tubos de parede fina de forma não circular são usados frequentemente para construir estruturas leves como as utilizadas em aviões. Em algumas aplicações, elas podem ser submetidas a um carregamento de torção. Nesta seção, analisaremos os efeitos da aplicação de um torque a um tubo de parede fina de seção transversal fechada, isto é, um tubo sem qualquer fratura ou fenda ao longo de seu comprimento. Umtubo desse tipo, com área de seção transversal constante, porém arbitrária, é mostrado na figura 5.30a. Para a análise, consideraremos que as paredes têm espessura variável t. Como elas são finas, poderemos obter uma solução aproximada para a tensão de cisalhamento considerando que essa tensão é uniformemente distribuída pela espessura do tubo. Em outras palavras, poderemos determinar a tensão de cisalhamento média no tubo em qualquer ponto dado.
Fluxo de cisalhamento, o produto entre a tensão de cisalhamento longitudinal média e
a espessura do tubo é a mesma em cada ponto na área de seção transversal do tubo. Podemos expressar isso como:
Tensão de cisalhamento média.
5.8 Concentração de tensão
Três descontinuidades comuns em seções transversais que ocorrem na prática são mostradas na Figura 5.35. Elas aparecem em acoplamentos, que são utilizados para interligar dois eixos colineares (Figura 5.35a), em rasgos de chaveta, usados para conectar engrenagens ou polias a um eixo (Figura 5.35b), e filetes de redução, utilizados para fabricar um único eixo colinear de dois eixos com diâmetros diferentes (Figura 5.35c).
5.9 Torção inelástica
As equações de tensão e deformação desenvolvidas até
aqui só são válidas se o esforço de torção aplicados fizer
o material se comportar de maneira linear
elástica. As deformações por
cisalhamento que se desenvolvem no material devem
variar linearmente de zero no centro do eixo ao valor
máximo em seu contorno externo (Figura 5.38a).
Torque elástico máximo, Se o torque produzir uma deformação por cisalhamento elástica máxima Ye no contorno externo do eixo, então a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da linha radial do eixo será semelhante à mostrada na figura 5.39b.
Para determinar a distribuição da tensão de cisalhamento, devemos usar a lei de Hooke ou determinar os valores correspondentes da tensão de cisalhamento pelo diagrama T-y do material (Figura 5.39a).
Referência Bibliográfica: 
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7.ed. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. 637. p.