Unidade 3 - Integral Imprópria

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 Integrais Impróprias: Intervalos Infinitos 
 Integrais Impróprias: Integrandos Descontínuos 
 
 
 
 
 
Integral Definida 
3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 Seja uma integral definida   
b
a
f x dx onde o intervalo de integração seja infinito ou a função a ser 
integrada é descontinua no intervalo  ,a b . Em ambos os casos a integral é dita Imprópria. 
 
3.1 Integrais Impróprias: Intervalos Infinitos 
 Seja a região R sob a curva 1y x , acima do eixo x e a direita da reta 1x  . Como a área se 
estende para o infinito, podemos pensar que a área seja infinita, porém ela tende a um valor finito. 
 Considere um ponto t no eixo x . A área da região R , à esquerda de x t é 
 
 
21
1
1 1 1
 1
t
t
A t dx
x tx
     
 
Independente de quão grande seja t , a área   1A t  . 
 
 
 
Figura 19 - Área da região R 
 
 
 Calculando o limite de  A t quando t  
 
 
1
lim lim 1 1
x x
A t
t 
 
   
 
 
 
 A área da região R se aproxima de 1 quando t  , assim, dizemos que a área da região infinita R 
é igual a 1 e escrevemos 
 
2 21 1
1 1
 lim 1
t
t
A dx dx
x x


    
 
 
Cálculo II 
 Definição de Integral Imprópria com intervalo infinito 
 Se   
t
a
f x dx existe para todo t a , então 
    lim 
t
ta a
f x dx f x dx


  
Desde que o limite exista (como número). 
 Se   
b
t
f x dx existe para todo t b , então 
    lim 
b b
t t
f x dx f x dx

  
Desde que o limite exista (como número) 
As integrais   
a
f x dx

 e   
b
f x dx
 são chamadas convergentes se os limites correspondentes 
existirem e divergentes se os limites não existirem. 
 Se ambas   
a
f x dx

 e   
a
f x dx
 são convergentes, então definimos 
      
a
a
f x dx f x dx f x dx
 
 
    
 
Exemplo 37 - Determine se a integral  
1
1 x dx

 é convergente ou divergente. 
 
Solução: 
     
1 1 1
1 lim 1 lim ln lim ln ln1 lim ln
tt
t t t t
x dx x dx x t t

   
        
 
Como o limite não existe a integral imprópria  
1
1 x dx

 é divergente. 
 
3.2 Integrais Impróprias: Integrandos Descontínuos 
 Suponha que f seja uma função contínua em um intervalo finito  ,a b , mas tenha uma assíntota 
vertical em b . Seja R a região delimitada sob o gráfico de f e acima do eixo x entre a e b . A área da 
região R entre a e t é 
 
    
t
a
A t f x dx  
 
 
Figura 20 - Função descontínua em x b 
Integral Definida 
 Se a área  A t se aproxima de um número A quando t b , então dizemos que a área da região 
R é igual a A e escrevemos 
 
    lim 
b t
t ba a
A f x dx f x dx

   
 
 Definição de Integral Imprópria com integrando descontínuo 
 Se f é contínua em  ,a b e descontínua em b , então 
    lim 
b t
t ba a
f x dx f x dx

  
Desde que o limite exista (como número). 
 Se f é contínua em  ,a b e descontínua em a , então 
    lim 
b b
t aa t
f x dx f x dx

  
Desde que o limite exista (como número) 
A integral   
b
a
f x dx é chamada convergente se o limite correspondente existir e divergente se o 
limite não existir. 
 Se f tiver uma descontinuidade em c , onde a c b  , e ambas integrais impróprias 
  
c
a
f x dx e   
b
c
f x dx forem convergentes, então definimos 
      
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx    
 
Exemplo 38 - Encontre 
5
2
1
 
2
dx
x 
 e determinee se é convergente ou divergente. 
 
Solução: 
 
 
5 5
22
5
2
2
1 1
 lim 
2 2
lim 2 2
lim 2 3 2
2 3
t t
t t
t
dx dx
x x
x
t







 
 
  

 
 
 
A integral imprópria é convergente. 
 
 
 
 
Cálculo II 
3.3 Exercícios 
Determine se cada integral é convergente ou divergente.
 
1. 
 
3 22
1
 
3
dx
x


 
2. 
0
 xe dx


 
3. 3 x dx

 
4. 
3
1
 
5
dw
w

 
 
5. 
2
1
 
3
dx
x


 
6. 
 
1
2
1
 
2 3
dx
x 
 
7. 
1
3
1
 
1
dx
x 
 
8. x dx

 
9.  22 3 x x dx


  
10. 
0
3 xe dx
 
11.  
1
sen x dx

 
12. 
0
5
 
2 3
dx
x

 
 
13. 
3
2
1
 
9
dx
x 
 
14. 
 
2
1
 
lne
dx
x x

 
15. 
  0
1
 
2 3
dx
x x

  
16. 
  0
 
2 3
x
dx
x x

  
17. 
0
cos x dx

 
18. 
2
sen 2 d

 
 
19. 
1
2 xxe dx
 
20. 
0
 xxe dx


 
21. 
2 4 6
dx
x x

  
 
22. 
0
1
 
2x
dx

 
23. 
2
0
1
 
4 5
dx
x  
24. 
 
5
2 54
1
 
5
dx
x
 
 
 
	Integral Imprópria
	3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
	3.1 Integrais Impróprias: Intervalos Inf
	3.2 Integrais Impróprias: Integrandos De
	3.3 Exercícios