Primeira Prova de Física Matemática

Prévia do material em texto

AP1 - Física Matemática
Clebson dos Santos Marques
Janeiro, 2022
E-mail: klebersantosy@gmail.com
Curso: Licenciatura em Física
Professor: Dr. Luan Vieira de Castro
Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade
Estadual Vale do Acaraú
Problema 1 Dados os três vetores
P⃗ = x̂+ ŷ − 2ẑ , Q⃗ = 4x̂− 2ŷ + ẑ , R⃗ = −3x̂− 3ŷ + ẑ
determine dois que são perpendiculares e dois que são paralelos ou anti-paralelos.
Resposta Os vetores perpendiculares serão aqueles cujo produto escalar é zero, logo
devemos agrupar os vetores em grupos de dois, para que assim seja possível obter o
produto escalar entre eles (a). Os vetores serão paralelos, se somente se, puderem ser
escrito como combinação linear um do outro (b).
Perpendicularidade pelo produto escalar
P⃗ · Q⃗ =
∑
i
PiQi = 0 Perpendicular
P⃗ · R⃗ =
∑
i
PiQi = −18 Não-Perpendicular
Q⃗ · R⃗ =
∑
i
PiQi = 0 Perpendicular
1
Paralelismo
u⃗ = xx̂+ yŷ + zẑ, v⃗ = x′x̂+ y′ŷ + z′ẑ
u⃗ ∥ v⃗ → v⃗ = αu⃗ ∀ α ∈ R
xx̂+ yŷ + zẑ = α(x′x̂+ y′ŷ + z′ẑ)
xx̂ = αx′x̂ → α = xx̂
x′x̂
=
x
x′
yŷ = αy′ŷ → α = yŷ
y′ŷ
=
y
y′
zẑ = αz′ẑ → α = zẑ
z′ẑ
=
z
z′
α =
x
x′
=
y
y′
=
z
z′
P⃗&Q⃗
1
4
̸= 1
−2
̸= −2
1
Não - Paralelo
P⃗&R⃗
1
−3
=
1
−3
=
−2
6
Paralelo
Q⃗&R⃗
4
−3
̸= −2
−3
=
1
6
Não - Paralelo
P⃗&Q⃗ e Q⃗&R⃗ são perpendiculares e P⃗&R⃗ são paralelos
Problema 2 Teste para convergência∑∞
n=2
(−1)nn
n2+1
a)
∑∞
n=1
sinn
n2
b)
∑∞
n=2
1
n ln2 n
c)
∑∞
n=2
1
n3−1d)
Resposta
2
Item a
∞∑
n=2
(−1)nn
n2 + 1
≡
∞∑
2
an (teste comparação)
O teste da serie alternada pode ser aplicado a seguinte serie
∞∑
n
Cn para Cn = (−1)nkn
Para que esta serie seja convergente pelo teste referido, os seguintes critérios devem
ser satisfeitos
I kn ⩾ 0
II limn→∞kn = 0
III {kn} devem ser uma sequencia decrescente.
Tendo como base a serie da questão, modificamos o denominador retirando a soma
para obter assim uma serie com termos maiores
∞∑
n=2
(−1)n
n
≡
∞∑
2
bn
Para este caso kn = 1n tal que kn ⩾ 0, logo a primeira condição é satisfeita. Como n
está no denominador o limn→∞ 1n = 0 que safistas o segundo critério, note também que,
{kn} é uma sequencia decrescente facilmente verificável já que n está no denominador.
Desta forma, a serie modificada é convergente.
Como
(−1)n
n
⩾
(−1)nn
n2 + 1
→ bn ⩾ an
Desta forma a serie converge.
Item b
∞∑
n=1
sinn
n2
≡
∞∑
n=1
an (Teste de comparação)
∞∑
n=1
1
n2
≡
∞∑
n=1
bn (Serie p com p > 1, logo essa serie converge)
Temos que 1
n2
⩾ sinn
n2
→ 1 ⩾ sinn → bn ⩾ an. Desta forma a serie converge.
Item c
∞∑
n=2
1
n ln2 n
→ f(x) = 1
n ln2 n
(Teste da integral)
lim
a→∞
∫ a
2
dn
n ln2 n
= lim
a→∞
− 1
lnn
∣∣∣a
2
= lim
a→∞
1
ln 2
(Converge) (1)
3
Item d
∞∑
n=2
1
n3 − 1
≡
∞∑
n=2
an (Teste de comparação)
∞∑
n=2
1
n3
≡
∞∑
n=2
bn (Serie p com p > 1, logo essa serie converge)
Temos que 1
n3−1 ⩾
1
n3
→ n3 ⩾ n3 − 1 → an ⩾ bn. Desta forma a serie converge.
Problema 3 Mostre que
sinx =
∑∞
n=0(−1)n
x2n+1
(2n+1)!
a)
cosx =
∑∞
n=0(−1)n
x2n
(2n)!
b)
Resposta
Item a
Expandindo seno por meio da serie de maclaurin
∞∑
n=0
fn(0)
n!
xn
Obtendo as derivadas
f(x) = sinx f(0) = 0 c0 = 0/0!
f ′(x) = cos x f ′(0) = 1 c1 = 1/1!
f ′′(x) = − sinx f ′′(0) = 0 c2 = 0/2!
f ′′′(x) = − cosx f ′′′(0) = −1 c3 = −1/3!
f ′′′′(x) = sinx f ′′′′(0) = 0 c4 = 0/4!
Podemos perceber que para cn = (−1)
n
(2n+1)!
a sequencia de termos é satisfeita, na qual
(−1)n será o responsável pela troca de sinal positivos em termos pares e 2n + 1 pelos
valores impares no expoente de x e no denominador. Logo a expansão para á função
f(x) = sin(x) será
∞∑
n=0
fn(0)
n!
xn =
x1
1!
− x
3
3!
+
x5
5!
+ · · ·+ cnx2n+1
=
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
4
Item b
Expandindo seno por meio da serie de maclaurin
∞∑
n=0
fn(0)
n!
xn
Obtendo as derivadas
f(x) = cos x f(0) = 1 c0 = 1/0!
f ′(x) = − sinx f ′(0) = 0 c1 = 0/1!
f ′′(x) = − cosx f ′′(0) = −1 c2 = −1/2!
f ′′′(x) = sinx f ′′′(0) = 0 c3 = 0/3!
f ′′′′(x) = cos x f ′′′′(0) = 1 c4 = 1/4!
Podemos perceber que para cn = (−1)
n
(2n)!
, na qual (−1)n será o responsável pela troca
de sinal negativos em termos impares e 2n pelos valores pares no expoente de x e no
denominador. Logo a expansão para á função f(x) = cos(x) será
∞∑
n=0
fn(0)
n!
xn = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·+ cnx2n
=
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
Problema 4 Em uma colisão frontal próton-próton, a razão a energia cinética no centro
do sistema de massa e a energia cinética incidente é
R = [
√
2mc2(Ek + 2mc2)− 2mc2]/Ek
Ache o valor dessa razão de energia cinética para
Ek << mc
2 (não - relativista)a)
Ek >> mc
2 (relativista extrema)b)
Problema 5 Represente as seguintes funções f(x) por uma série de Fourier no intervalo
de [−π, π]
f(x) = |x|a)
f(x) = x(1− x)b)
5