Estruturas Algébricas: Conceitos Básicos

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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul 
 Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEssttrruuttuurraass AAllggéébbrriiccaass 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Prof. M.Sc. Guilherme Luís Roëhe Vaccaro 
e-mail: vaccaro@mat.pucrs.br 
 
 
Prof. M.Sc. Eliane Allgayer Canto 
 
 
 
 
Versão deste material: 1.3.5 
 
Porto Alegre, agosto de 2001. 
 
Este material é de apoio para a disciplina de Estruturas Algébricas, oferecida ao curso de Informática da Pontifícia 
Universidade Católica do Rio Grande do Sul, não tendo a pretensão de esgotar os assuntos aqui abordados, mas sim de 
enfocar os aspectos importantes para o uso em Informática. 
O relato de quaisquer erros ou outras sugestões e criticas construtivas será sempre bem-vindo. 
Não alterar este material! 
mailto:vaccaro@mat.pucrs.br
 
Estruturas Algébricas i 
SSuummáárriioo 
 
1 Introdução e Conceitos Básicos __________________________________________________ 1 
1.1 Comentários Iniciais ________________________________________________________ 1 
1.2 Conjunto, Elemento & Relação de Pertença _____________________________________ 1 
1.2.1 Exemplos_____________________________________________________________ 1 
1.2.2 Notações _____________________________________________________________ 2 
1.2.3 Observações Importantes ________________________________________________ 2 
1.3 Formas de Representação de Conjuntos ________________________________________ 2 
1.3.1 Por Extensão__________________________________________________________ 2 
1.3.2 Por Compreensão ______________________________________________________ 3 
1.3.3 Por Gráficos___________________________________________________________ 3 
1.3.4 Por Diagramas de Venn _________________________________________________ 4 
1.4 Conjunto Vazio & Conjunto Universo ___________________________________________ 4 
1.4.1 Notações _____________________________________________________________ 4 
1.4.2 Observações __________________________________________________________ 4 
1.4.3 Uma Propriedade Importante _____________________________________________ 5 
1.5 Intervalos ________________________________________________________________ 5 
2 Relações Entre Conjuntos _______________________________________________________ 6 
2.1 Inclusão _________________________________________________________________ 6 
2.1.1 Exemplos_____________________________________________________________ 6 
2.1.2 Propriedades __________________________________________________________ 6 
2.1.3 Exemplos_____________________________________________________________ 7 
2.1.4 Observações __________________________________________________________ 7 
2.2 Inclusão Estrita ____________________________________________________________ 7 
2.2.1 Exemplos_____________________________________________________________ 7 
2.2.2 Propriedades __________________________________________________________ 7 
2.3 Igualdade ________________________________________________________________ 7 
2.3.1 Exemplos_____________________________________________________________ 8 
2.3.2 Propriedades __________________________________________________________ 8 
3 Operações Entre Conjuntos______________________________________________________ 9 
3.1 União ___________________________________________________________________ 9 
3.1.1 Exemplos_____________________________________________________________ 9 
3.1.2 Propriedades __________________________________________________________ 9 
3.1.3 Observação Importante __________________________________________________ 9 
3.1.4 Exemplos____________________________________________________________ 10 
3.2 Interseção_______________________________________________________________ 10 
3.2.1 Exemplos____________________________________________________________ 10 
3.2.2 Propriedades _________________________________________________________ 11 
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Estruturas Algébricas ii 
3.2.3 Observação Importante _________________________________________________ 11 
3.2.4 Exemplos____________________________________________________________ 11 
3.3 Propriedades Comuns à União e à Interseção___________________________________ 12 
3.4 Diferença _______________________________________________________________ 12 
3.4.1 Exemplos____________________________________________________________ 12 
3.4.2 Propriedades _________________________________________________________ 12 
3.4.3 Observação Importante _________________________________________________ 13 
3.5 Complementação _________________________________________________________ 13 
3.5.1 Exemplos____________________________________________________________ 13 
3.5.2 Propriedades _________________________________________________________ 13 
3.5.3 Exemplos____________________________________________________________ 14 
3.5.4 Uma Identidade Fundamental ____________________________________________ 14 
3.6 Leis de De Morgan ________________________________________________________ 14 
3.7 Diferença Simétrica _______________________________________________________ 14 
3.7.1 Exemplos____________________________________________________________ 15 
3.7.2 Propriedades _________________________________________________________ 15 
3.7.3 Exemplo_____________________________________________________________ 15 
4 Produto Cartesiano ___________________________________________________________ 16 
4.1 Seqüências Ordenadas de Elementos _________________________________________ 16 
4.2 Produto Cartesiano de Dois Conjuntos_________________________________________ 17 
4.2.1 Definição ____________________________________________________________ 17 
4.2.2 Exemplos____________________________________________________________ 17 
4.2.3 Propriedades _________________________________________________________ 18 
4.2.4 Observação Importante _________________________________________________ 18 
4.2.5 Exemplos____________________________________________________________ 18 
4.3 Observação: Produto Cartesiano de Três Conjuntos ______________________________ 19 
5 Guia de Consulta Rápida_______________________________________________________ 20 
5.1 Notação ________________________________________________________________ 20 
5.2 Propriedades das Relações Entre Conjuntos____________________________________ 21 
5.3 Propriedades Fundamentais das Operações Entre Conjuntos_______________________ 21 
5.4 Propriedades Auxiliares das Operações Entre Conjuntos __________________________ 22 
5.5 Propriedades do Produto Cartesiano __________________________________________ 22 
6 Exercícios __________________________________________________________________ 23 
7 Respostas dos Exercícios ______________________________________________________ 25 
 
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Estruturas Algébricas 1 
11 IInnttrroodduuççããoo ee CCoonncceeiittooss BBáássiiccooss 
11..11 CCoommeennttáárriiooss IInniicciiaaiiss 
Conjuntos são fundamentais para a formalização de qualquer teoria. Uma teoria é normalmente 
construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a 
um conjunto de elementos primitivos (que não precisam ser definidos). A partir destes elementos, e 
utilizando um conjunto de regras de inferência (tais como as leis e propriedades da Lógica 
Matemática), é criado um conjunto de propriedades, enunciados e provados através de teoremas. 
Em particular, em Informática e Ciência da Computação, a Teoria de Conjuntos apresenta-se das 
mais diversas formas: 
 Como fundamento para a construção das Álgebras Booleanas, cerne da Computação Digital; 
 Como fundamento teórico para o desenvolvimento e validação da Teoria de Bancos de Dados; 
 Como fundamento teórico para o desenvolvimento de Linguagens Formais; 
 Etc. 
11..22 CCoonnjjuunnttoo,,EElleemmeennttoo && RReellaaççããoo ddee PPeerrtteennççaa 
Os conceitos primitivos da Teoria de Conjuntos são: 
 Conjunto 
 Elemento 
 Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência) 
Não se pode definir um destes conceitos sem fazer referência aos demais. Com efeito: 
 Um conjunto é uma reunião de elementos segundo uma característica comum; 
 Um elemento é uma entidade que pertence a um conjunto; 
 A relação de pertença indica se um elemento pertence a um conjunto ou não. Se o elemento 
pertence ao conjunto é porque possui a característica de define aquele conjunto, e vice-versa. 
 
Todos estes conceitos podem ser resumidos em uma expressão: 
um elemento pertence a um conjunto. 
11..22..11 EExxeemmppllooss 
São exemplos de conjuntos: 
(a). A = { a } 
(b). B = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... } 
(c). C = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, ... } 
(d). D = { Terra, Sol, Lua } 
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Estruturas Algébricas 2 
11..22..22 NNoottaaççõõeess 
A seguinte notação é a usual em Teoria de Conjuntos: 
 Elementos: são normalmente representados por letras latinas minúsculas 
Exemplos: a, b, c, ... 
 Conjuntos: são normalmente representados por letras latinas MAIÚSCULAS 
Exemplos: A, B, C, ... 
 Relação de Pertença: é representada pelo símbolo ∈, criado por Georg Cantor. 
x ∈ A significa o elemento x pertence ao conjunto A 
x ∉ A significa o elemento x não pertence ao conjunto A 
 
11..22..33 OObbsseerrvvaaççõõeess IImmppoorrttaanntteess 
 A definição de um conjunto é sempre feita através de uma igualdade “=”. 
 Quando definidos em termos de seus elementos, conjuntos são sempre representados por 
expressões entre chaves. 
Exemplo: A = { 1, 2, 3 } 
11..33 FFoorrmmaass ddee RReepprreesseennttaaççããoo ddee CCoonnjjuunnttooss 
Há diversas formas de representação de conjuntos. Algumas são mais adequadas para a 
compreensão de propriedades e características. Outras, são necessárias para a demonstração de 
teoremas, comprovação de propriedades, ou mesmo, para simplificação da representação. 
11..33..11 PPoorr EExxtteennssããoo 
Consiste em descrever, um a um, todos os elementos do conjunto. Em conjuntos com muitos ou 
mesmo infinitos elementos podem ser usadas expressões indicando a lei de formação dos elementos 
pertencentes ao conjunto. 
11..33..11..11 EExxeemmppllooss 
(a). A = { C++, Delphi, Smalltalk, Java, ... } 
(b). B = { análise, projeto, implementação, teste, correção, término } 
(c). C = { 1, 3, 5 } 
(d). D = { N, R, Q, I, C } 
(e). E = { ( 2, sair da cama ), ( 4, acordar ), ( 3, escovar os dentes ), ( 1, abrir os olhos ) } 
(f). F = { a, e, i, o, u } 
(g). G = { (1, a), (3, b), (5, c) } 
11..33..11..22 OObbsseerrvvaaççõõeess 
 Pontos positivos: permite a visualização de todos os elementos do conjunto, facilitando 
raciocínios de inspeção. 
 Pontos negativos: só é prática ao se trabalhar com conjuntos finitos e com poucos elementos. 
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Estruturas Algébricas 3 
11..33..22 PPoorr CCoommpprreeeennssããoo 
Consiste em descrever o conjunto através de uma propriedade lógica (uma proposição) comum a 
todos seus elementos. 
11..33..22..11 EExxeemmppllooss 
(a). C = { x / x ∈ N ∧ x é ímpar ∧ x ≤ 5 } 
(b). F = { z / z é múltiplo de 4 } 
(c). U = { T / T é conjunto } 
(d). G = { ( x, y ) / x ∈ R ∧ y = x + 1 } 
(e). Q = { x / x = 
n
m ∧ m ∈ Z ∧ n ∈ Z* } = { 
n
m / m ∈ Z ∧ n ∈ Z* } 
(f). S = { x / x ∈ N } ou, simplesmente, S = N 
(g). P = { k / k = 2n ∧ n ∈ N } 
11..33..22..22 OObbsseerrvvaaççõõeess 
 Pontos positivos: sucinta, fácil de manipular, formal e útil para o desenvolvimento de raciocínios. 
Permite representar conjuntos com muitos (ou infinitos) elementos. 
 Pontos negativos: não permite a visualização direta dos elementos, exige a determinação formal 
de uma proposição para a propriedade que define o conjunto. 
11..33..33 PPoorr GGrrááffiiccooss 
Consiste em descrever o conjunto através de gráficos cartesianos. 
11..33..33..11 EExxeemmppllooss 
(a). A = { x ∈ R / -1 ≤ x < 2 } 
 R-1 2
 
 
R
-1-2 110
(b). B = { ( x, y ) / x ∈ Z ∧ y ∈ R } 
 
 
 
 Z 
 
 
 
11..33..33..22 OObbsseerrvvaaççõõeess 
 Pontos positivos: São úteis para a compreensão de propriedades gráficas. 
 Pontos negativos: Em geral são difíceis de construir. 
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Estruturas Algébricas 4 
11..33..44 PPoorr DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn 
Diagramas de Venn são representações esquemáticas de conjuntos. 
11..33..44..11 EExxeemmppllooss 
A
3
2
1
(a). A = { 1, 2, 3 } 
 
 
 
(b). B = { 1, 2, 4 } C
3
6
B
4
21
C = { 2, 3, 4, 6 } 
 
 
 
11..33..44..22 OObbsseerrvvaaççõõeess 
 Pontos positivos: São úteis apenas para a compreensão de propriedades através de exemplos. 
 Pontos negativos: Não podem ser usados em provas formais, pois não são capazes de 
representar propriedades de forma abstrata. Somente podem representar conjuntos finitos e 
discretos1. 
11..44 CCoonnjjuunnttoo VVaazziioo && CCoonnjjuunnttoo UUnniivveerrssoo 
Outros elementos primitivos da Teoria de Conjuntos são 
 o conjunto universo 
 o conjunto vazio 
O conjunto universo é definido como o conjunto que contém todos os conjuntos. Isto é, é um conjunto 
do qual são tirados todos os elementos usados para a criação dos conjuntos com os quais se está 
trabalhando. Sua existência é fundamental para garantir a coerência da Teoria de Conjuntos. 
O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos. Sua existência também é 
fundamental para a definição das operações entre conjuntos. 
11..44..11 NNoottaaççõõeess 
 Conjunto Universo: usualmente representado pelo símbolo U. 
 Conjunto Vazio: usualmente representado pelos símbolos ∅ ou { }. 
11..44..22 OObbsseerrvvaaççõõeess 
 
Há muitas formas de se definir, por compreensão, estes conjuntos. Por exemplo: 
 U = { x / x = x } = { x / x existe } 
 
1 Isto é, cujos elementos não necessitam ser dispostos de forma contígua, ou seja, podem ser “contados com os dedos”. 
Formalmente diz-se que a propriedade de densidade não é satisfeita, ou seja, que, chegará o momento que entre dois 
elementos quaisquer do conjunto não será possível encontrar outro elemento do mesmo conjunto. Por exemplo, no conjunto 
dos números naturais, N, não é possível encontrar outro número natural entre 2 e 3. O mesmo acontece com todos os naturais 
consecutivos... 
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Estruturas Algébricas 5 
 ∅ = { x / x ≠ x } = { x ∈ R / x > x+1 } = { x ∈ R / x2 < 0 } 
Observe também que: ∅ ≠ { ∅ }. Por quê? 
11..44..33 UUmmaa PPrroopprriieeddaaddee IImmppoorrttaannttee 
Proposição: O conjunto vazio é único. 
Demonstração2: 
Sejam A1 e A2 dois conjuntos vazios. 
A1 ⊆ A2 , pois (∀x) (x ∈A1 → x ∈ A2) é verdadeira, já que x ∈ A1 é sempre falso. 
Da mesma forma, (∀x) (x ∈ A2 → x ∈ A1) é verdadeira; assim A2 ⊆ A1. 
Portanto, (∀x) (x ∈ A1 ↔ x ∈ A2). 
Logo, A1 = A2. 
11..55 IInntteerrvvaallooss 
Intervalos são conjuntos de números reais. Devido a sua importância e para facilitar sua escrita, foi 
adotada a seguinte notação: 
 
Notação de Conjunto Notação de Intervalo 
{ x ∈ R / a ≤ x ≤ b } [ a ; b ] 
{ x ∈ R / a < x ≤ b } 
( a ; b ] 
] a ; b ] 
{ x ∈ R / a ≤ x < b } 
[ a ; b ) 
[ a ; b [ 
{ x ∈ R / a < x < b } 
( a ; b ) 
] a ; b [ 
 
 
2 Explicação da Demonstração: 
Vamos demonstrar isto através de um raciocínio denominado “por contradição” ou “redução ao absurdo”. A idéia da prova é 
simples, apesar de os detalhes poderem ser um pouco indigestos para o leitor de primeira viagem... 
Queremos mostrar que o conjunto vazio é único. Pois bem: 
 Inicialmente, vamos supor, por maisabsurdo que seja, que existam dois conjuntos vazios diferentes; 
 Em seguida, vamos chegar à conclusão de que isto não pode acontecer. Então estaremos mostrando que não há outra 
alternativa a não ser existir somente um conjunto vazio. 
 
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Estruturas Algébricas 6 
22 RReellaaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss 
O relacionamento entre conjuntos é o que torna a Teoria de Conjuntos útil. Este tópico será 
oportunamente abordado de forma mais geral posteriormente. Por hora, será suficiente compreender 
as relações básicas apresentadas a seguir. No entanto, é fundamental compreender que o 
relacionamento entre conjuntos é sempre feito através de proposições. Isto é, uma relação entre dois 
entes sempre gera uma proposição. 
22..11 IInncclluussããoo 
Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está contido em B se e somente se qualquer elemento de 
A for também elemento de B. Nestas condições escreve-se A ⊆ B. 
Em notação lógica: 
A ⊆ B ⇔ (∀x) (x ∈ A → x ∈ B) 
22..11..11 EExxeemmppllooss 
(a). N ⊆ Z 
(b). { x ∈ Z / (∃ y ∈ Z )( y = 6x ) } ⊆ { x ∈ Z / (∃ y ∈ Z )( y = 2x ) } 
(c). { x / x é par } ⊆ { x / 
2
x
∈ Z } 
22..11..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 ∅ ⊆ A 
 A ⊆ A (Reflexividade) 
 ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (Transitividade) 
Prova: 
 Seja A um conjunto. Então: ∅ ⊆ A 
Pela definição de inclusão temos que (∀x)( x ∈ ∅ → x ∈ A ). 
Como a primeira proposição é falsa, então a implicação é verdadeira. 
Logo, ∅ ⊆ A. 
 (Reflexividade) 
Seja A um conjunto. Então: A ⊆ A 
(∀x)( x ∈ A → x ∈ A ), já que x ∈ A é uma proposição verdadeira, então a implicação é 
verdadeira. 
 (Transitividade) 
Sejam A, B, C conjuntos. Então A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C 
Seja x ∈ A. Como A ⊆ B, temos que x ∈ B. Da mesma forma, como x ∈ B e B ⊆ C, então x ∈ C. 
Logo, podemos concluir que A ⊆ C. 
 
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Estruturas Algébricas 7 
22..11..33 EExxeemmppllooss 
(a). N ⊆ Z ∧ Z ⊆ Q ⇒ N ⊆ Q 
(b). { x / x é par } ⊆ { x / 
2
x
∈ Z } ∧ { x / 
2
x
∈ Z } ⊆ { x / x é par } ⇔ { x / x é par } = { x / 
2
x
∈ Z } 
22..11..44 OObbsseerrvvaaççõõeess 
 Pode-se também dizer que B contém A, denotando por B ⊇ A. 
 Em Teoria da Computação é muito comum se utilizar a notação em vez de ⊆. Isto porque a 
intepretação da inclusão é feita de maneira diferente: 
Ao se escrever A ⊆ B está-se dizendo que B contém todos os elementos de A e, provavelmente, 
mais alguns. 
Ao se escrever A B, que matematicamente é a mesma coisa, está-se dando a interpretação de 
que A possui mais qualidade de informação que B, pois possui menos elementos que B. 
22..22 IInncclluussããoo EEssttrriittaa 
Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está estritamente contido em B se e somente se 
qualquer elemento de A for também elemento de B, mas A for diferente de B. Nestas condições 
escreve-se A ⊂ B. 
Em notação lógica: 
A ⊂ B ⇔ (∀x)( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃y ∈ B / y ∉ A ) 
22..22..11 EExxeemmppllooss 
(a). N ⊂ Z 
(b). Z ⊂ R 
22..22..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ A 
 ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (Transitividade) 
Não provaremos as propriedades acima pelo fato de as demonstrações serem semelhantes às 
apresentadas para a relação de Inclusão. 
22..33 IIgguuaallddaaddee 
Dois conjuntos, A e B, são iguais se e somente se tiverem exatamente os mesmos elementos. 
Nestas condições escreve-se A = B. 
Em notação lógica: 
A = B ⇔ (∀x)( x ∈ A ↔ x ∈B ) 
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Estruturas Algébricas 8 
22..33..11 EExxeemmppllooss 
(a). { 3− , 3 } = { x / } 3x2 =
(b). { -4, -2, -1, 1, 2, 4 } = { x / x é divisor de 4 } 
(c). { x / x é par } = { x / 
2
x
∈ Z } 
22..33..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A = A (Reflexividade) 
 A = B ⇒ B = A (Simetria) 
 ( A = B ) ∧ ( B = C ) ⇒ A = C (Transitividade) 
Prova: 
 (Reflexividade) 
Seja A um conjunto. Então: A = A 
Para todo x, x ∈ A se e somente se x ∈ A. Como a primeira proposição é verdadeira, logo a 
equivalência é verdadeira. 
 (Simetria) 
Sejam A e B conjuntos tais que A = B. Então: B = A 
Como A = B para todo x, x ∈ A se e somente se x ∈ B. Pela equivalência lógica ( p ↔ q ) ⇔ 
⇔ ( p → q ) ∧ (q → p), vem que (∀x ) ( x ∈ A → x ∈ B ). Assim, temos que B ⊆ A. Desta forma, 
A ⊆ B e B ⊆ A. Logo, B = A. 
 (Transitividade) 
Sejam A, B, C conjuntos, tais que A = B e B = C ⇒ A = C 
Como A = B, pela hipótese, então A ⊆ B e B ⊆ A. Tomando B = C, temos que B ⊆ C e C ⊆ B. 
Como A ⊆ B e B ⊆ C, pela propriedade transitiva da inclusão, vem que A ⊆ C e C ⊆ A. Logo, 
A = C. 
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Estruturas Algébricas 9 
33 OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss 
Relações e Operações não são sinônimos. Enquanto que as relações ( igualdade, inclusão, ... ) são 
essencialmente formas de comparar conjuntos, as operações são formas de se criar novos conjuntos 
a partir de conjuntos já existentes. Na verdade, a definição de operações entre conjuntos permite-nos 
construir uma Estrutura Algébrica de Conjuntos, de forma semelhante à Estrutura Algébrica das 
Proposições. 
Finalmente, é importante notar que uma operação entre conjuntos sempre gera um novo conjunto 
como resposta. 
33..11 UUnniiããoo 
Dados dois conjuntos, A e B, a operação de união gera um novo conjunto cujos elementos são 
provenientes tanto de A, como de B. O conjunto união de A e B é denotado por A ∪ B. 
Em notação lógica: 
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B } 
33..11..11 EExxeemmppllooss 
(a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A ∪ B = { a, b, c, d } 
(b). Sejam A = ∅ e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∪ B = { 1, 2, 4 } 
(c). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∪ B =U 
33..11..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A ∪ B = B ∪ A (Comutatividade) 
 ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (Associatividade) 
 A ∪ A = A (Idempotência) 
 A ∪ ∅ = A (elemento neutro) 
 A ∪ U = U (elemento absorvente) 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de união, não 
sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe. 
33..11..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee 
Note que 
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C 
pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a união de A com B como a de 
B com C. 
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Estruturas Algébricas 10 
33..11..44 EExxeemmppllooss 
33..11..44..11 EExxeemmpplloo 
N ∪ Z = Z, pois N ⊆ Z 
Seja x ∈ N ∪ Z. Então, x ∈ N, ou x ∈ Z. Como N ⊆ Z, então podemos concluir que x ∈ Z. 
Por outro lado, se x ∈ Z, então x ∈ N ∪ Z. 
Logo, N ∪ Z = Z 
33..11..44..22 EExxeemmpplloo 
Mostre que, sendo A e B conjuntos, então A ⊆ A ∪ B. 
Demonstração: 
Sejam A e B conjuntos. 
(∀x) (x∈A* ⇒ x∈A ∨ x∈B ⇔ x ∈ A ∪ B) 
* p ⇒ p ∨ q 
33..11..44..33 EExxeemmpplloo 
Mostre que ( ∀ A, B )( A ⊆ B → A ∪ B = B ). 
Demonstração: 
Sejam A e B conjuntos, tais que 
Caso 1: Seja x ∈ A ∪ B. 
Então x ∈ A ou x ∈ B. 
Como x ∈ B, temos que A ∪ B ⊆ B. 
Logo, A ∪ B = B 
Caso 2: Seja x ∈ B. 
Como B ⊆ A ∪ B e A ∪ B ⊆ B. 
Logo, A ∪ B = B 
Logo ( ∀ A, B )( A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B ). 
33..22 IInntteerrsseeççããoo 
Dados dois conjuntos, A e B, a operação de interseção gera um novo conjunto cujos elementos 
devem ser os comuns a A e B. O conjunto interseção de A e B é denotado por A∩ B. 
Em notação lógica: 
A ∩ B = { x ∈U / x ∈ A ∧ x ∈ B } 
33..22..11 EExxeemmppllooss 
(a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A ∩ B = { a, b } 
(b). Sejam A = { ☺, , } e B = { , }. Então A ∩ B = ∅ 
(c). Sejam A = ∅ e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∩ B = ∅ 
(d). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∩ B = { 1, 2, 4 } 
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Estruturas Algébricas 11 
33..22..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A ∩ B = B ∩ A (Comutatividade) 
 ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Associatividade) 
 A ∩ A = A (Idempotência) 
 A ∩ ∅ = ∅ (elemento absorvente) 
 A ∩ U = A (elemento neutro) 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de interseção, não 
sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe. 
33..22..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee 
Note que 
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩C 
pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a interseção de A com B como a 
de B com C. 
33..22..44 EExxeemmppllooss 
33..22..44..11 EExxeemmpplloo 
Mostre que ( ∀ A )( A ∩ ∅ = ∅ ). 
 
Demonstração: 
Seja A um conjunto. Então A ∩ ∅ = ∅ 
Vamos supor que A ∩ ∅ ≠ ∅. Então existe x ∈ A ∩ ∅. 
Assim, x ∈ A e x ∈ ∅. Porém, x ∈ ∅ é falso. Então x ∈ A ∩ ∅ é falso. 
Logo, A ∩ ∅ = ∅ 
33..22..44..22 EExxeemmpplloo 
Mostre que ( ∀ A, B )( A ⊆ B → A ∩ B = A ). 
Demonstração: 
Sejam A e B conjuntos, tais que A ⊆ B. Mostraremos a tese observando que 
A ∩ B = A ⇔ ( A ∩ B ⊆ A ) ∧ ( A ⊆ A ∩ B ). 
Caso 1: Seja x ∈ A ∩ B. Então: 
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A 
Logo, A ∩ B ⊆ A 
Caso 2: Seja x ∈ A. 
Se x ∈ A, então, pela hipótese, x ∈ B, pois A ⊆ B ⇔ ∀x, x ∈ A → x ∈ B ⇔ V. 
Logo, A ⊆ B ⇒ A ⊆ A ∩ B 
Logo ( ∀ A, B )( A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A ). 
 
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Estruturas Algébricas 12 
33..33 PPrroopprriieeddaaddeess CCoommuunnss àà UUnniiããoo ee àà IInntteerrsseeççããoo 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (Distributividade – da união em relação à interseção) 
 ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (Distributividade – da interseção em relação à união) 
 ( A ∪ B ) ∩ A = A (Absorção) 
 ( A ∩ B ) ∪ A = A (Absorção) 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da associação com 
propriedades dos operadores lógicos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de 
exercício de aula ou extra-classe. 
33..44 DDiiffeerreennççaa 
Dados dois conjuntos, A e B, a operação de diferença entre A e B gera um novo conjunto cujos 
elementos são aqueles que pertencem a A, mas não pertencem a B. O conjunto diferença de A e B é 
denotado por A – B. 
Em notação lógica: 
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B } 
33..44..11 EExxeemmppllooss 
(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 4 }. Então A – B = { 1, 3 } 
(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A – B = { 1, 2, 3 } 
(c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { ♦, ♥, ♠, ♣ }. Então A – B = { 1, 2, 3 } 
(d). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = ∅. Então A – B = { 1, 2, 3 } 
(e). Sejam A = { x ∈ N / x é múltiplo de 5 } e B = { x ∈ N / x é par }. Então 
A – B = { 5, 15, 25, 35, ... } 
33..44..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A – B ⊆ A 
 A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A 
 A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = C ⇔ A = C – B 
 ( A – B ) ∩ B = ∅ 
 ( A – B ) ∪ B = A ∪ B 
 ( A ∪ B ) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C ) (Distributividade) 
 ( A ∩ B ) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C ) (Distributividade) 
 A – ∅ = A 
 A – U = ∅ 
 ∅ – A = ∅ 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de 
conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe. 
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Estruturas Algébricas 13 
33..44..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee 
Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos, 
A – B ≠ B – A, em geral. 
33..55 CCoommpplleemmeennttaaççããoo 
Sejam A e E conjuntos tais que A ⊆ E. Então: 
Define-se o conjunto complementar de A em relação a E como o conjunto formado por todos os 
elementos de E que não pertencem a A. Neste caso, o conjunto complementar é denotado por CEA , 
por AE’ ou por EA . 
Em notação lógica: 
 CEA = { x / x ∈ E ∧ x ∉ A } 
Um caso particular, mas muito útil, é o conjunto complementar de A em relação ao conjunto universo. 
Neste caso, temos E = U. Então o conjunto complementar é denotado por CA , por A’ ou por A . 
Em notação lógica: 
 A’ = { x ∈ U / x ∉ A } 
Observação: A Complementação é um caso particular (muito importante) da operação de diferença. 
33..55..11 EExxeemmppllooss 
(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2 }. Então CBA não está definido, pois A ⊄ B. 
(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 1,2, 3, 4, 5, 6 }. Então CBA = {4, 5, 6} 
(c). Seja A = { 1, 2, 3 }. Então AN’ = { 0, 4, 5, 6, ...} 
33..55..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e E conjuntos tais que A ⊆ E e B ⊆ E. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 
Propriedade geral Em particular 
 ( AE’ )E’ = A. ( A’ )’ = A. 
 A ⊆ B ⇒ BE’ ⊆ AE’ A ⊆ B ⇒ B’ ⊆ A’ 
 AE’ ∪ A = E A’ ∪ A = U 
 AE’ ∩ A = ∅ A’ ∩ A = ∅ 
 ( U )’ = ∅ 
 ( ∅ )’ = U 
 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de 
conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe. 
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Estruturas Algébricas 14 
33..55..33 EExxeemmppllooss 
33..55..33..11 EExxeemmpplloo 
Mostre que ( U )’ = ∅. 
Demonstração: 
Pela definição de conjunto complementar, temos que ( U )' é o complementar de ( U )em relação ao 
conjunto Universo. Como U é o próprio conjunto universo. 
Logo, só podemos ter ( U )' = ∅ 
33..55..33..22 EExxeemmpplloo 
Mostre que ( ∀ A, B )( A ∩ B ∩ A’ = ∅ ) 
Demonstração: 
Seja x ∈ A ∩ B. Assim x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ A, pela definição de complementar, x ∉ A'. Assim, 
podemos concluir que se x ∈ A ∩ B, então x ∉ A'. 
Logo, A ∩ B ∩ A' = ∅ 
33..55..44 UUmmaa IIddeennttiiddaaddee FFuunnddaammeennttaall 
Sejam A e B conjuntos. Então A – B = A ∩ B’. 
Demonstração: 
Seja x ∈ A – B, então x ∈ A e x ∉ B. Assim, x ∈ B'. Como x ∈ A e x ∈ B', então x ∈ A ∩ B'. 
33..66 LLeeiiss ddee DDee MMoorrggaann 
Sejam A e B conjuntos. São válidas as seguintes propriedades: 
 ( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’ 
 ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’ 
Vamos demonstrar a primeira destas propriedades. A demonstração da outra é similar e poderá ser 
feita seguindo os passos aqui apresentados. 
Demonstração: 
Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ ( A ∪ B )’. Então: x ∈ A'∩B' 
x ∈ ( A ∪ B )’ ⇔ x ∈ U ∧ x ∉ A ∪ B. 
Seja x ∈ (A ∪ B)', pela definição de complementar, x ∉ A ∪ B. Então x ∈ U, mas x ∉ A e x ∉ B. 
Assim, x ∈ A' e x ∈ B'. 
Logo, x ∈ A' ∩ B'. 
33..77 DDiiffeerreennççaa SSiimmééttrriiccaa 
Dados dois conjuntos, A e B, define-se a diferença simétrica entre A e B como o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem a apenas um conjuntos. Isto é, o conjunto resultante da diferença 
simétrica entre A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B, juntamente com os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. A notação 
utilizada para representar este conjunto é A ∆ B. 
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Estruturas Algébricas 15 
Em notação lógica: 
A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } = (A – B)∪ (B – A) 
33..77..11 EExxeemmppllooss 
(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4 }. Então A ∆ B = { 1 } ∪ { 4 } 
(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A ∆ B = { 1, 2, 3 } ∪ { 4, 5, 6 } 
(c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 6, 9 }. Então A ∆ B = {1, 2 } ∪ { 6, 9} 
33..77..22 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A ) 
 A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A ) 
 A ∆ B = B ∆ A (Comutatividade) 
 ( A ∆ B ) ∪ C = ( A ∆ C ) ∩ ( B ∆ C ) (Distributividade) 
 ( A ∆ B ) ∩ C = ( A ∆ C ) ∪ ( B ∆ C ) (Distributividade) 
 A ∆ ∅ = A 
 A ∩ B = ∅ ⇔ A ∆ B = A ∪ B 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de 
conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe. 
33..77..33 EExxeemmpplloo 
Mostre que 
( ∀ A, B )( ( A – B ) ∪ ( B – A ) = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A ) ) 
Demonstração: 
Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Então x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). 
Como x ∈ ( A – B ), então x ∈ A e x ∉ B. Assim, x ∈ A ∪ B e x ∉ B ∩ A. 
Logo, x ∈ (A ∪ B) – (B ∩ A). 
Um outro modo: 
Demonstração: 
Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ (A ∪ B) – (B ∩ A). Então x ∈ (A ∪ B) e x ∉ (B ∩ A). 
Como x ∈ (A ∪ B), então x ∈ A ou x ∈ B. Porém, x ∉ (B ∩ A), então x ∉ B ou x ∉ A. 
Logo, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). 
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Estruturas Algébricas 16 
44 PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo 
O produto cartesiano de conjuntos ocupa lugar de destaque dentre as operações definidas na Teoria 
de Conjuntos, principalmente no que toca as suas aplicações à Informática. Isto porque permite 
definir conjuntos de natureza diferente dos originais, através da associação ordenada de seus 
elementos. Aplicações comuns do produto cartesiano são, entre outras: 
 gráficos; 
 especificação de relações entre conjuntos de dados; 
 representação de regras lógicas através de relações. 
44..11 SSeeqqüüêênncciiaass OOrrddeennaaddaass ddee EElleemmeennttooss 
Seqüências ordenadas de elementos (ou n-uplas ordenadas) são arranjos de elementos de forma 
seqüencial. Há diversas formas de se representar tais seqüências, tais como vetores ou matrizes 
linha. Na Teoria de Conjuntos, a representação adequada para uma seqüência ordenada de n 
elementos é dada da seguinte forma: 
( a1, a2, a3, ..., an ) 
Vale ressaltar que as seqüências ( a1, a2, a3, ..., an ) e ( a2, a1, a3, ..., an ) não são iguais, por exemplo. 
Além disso, observe-se que a natureza dos elementos ai (1 ≤ i ≤ n ) não precisa ser a mesma. Isto é, 
a1 pode ser um número, enquanto que a2 pode ser um nome, por exemplo. O importante é perceber 
que cada posição define a natureza do elemento que ali pode ser colocado. 
O conceito de seqüência ordenada é fundamental em Informática, pois é usado como fundamento 
para a definição de listas ordenadas, de vetores e de registros de bancos de dados. Por exemplo, os 
registros de banco de dados 
 
Número Nome Idade Cidade 
1 João 20 Porto Alegre 
2 Maria 19 Caxias do Sul 
 
Podem ser conceitualmente representados pelas tetra-uplas: 
( 1, João, 20, Porto Alegre ) 
(2, Maria, 19, Caxias do Sul ) 
 
Matematicamente, os tipos mais usados de seqüências ordenadas são: 
 
 Pares Ordenados: Um par ordenado é uma seqüência ordenada de dois elementos. 
Exemplos: ( 1, 2 ), 
( a, 1 ), 
( Informática, 401 ), 
( ( nome, endereço ), código ) 
 
Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto 
 
Estruturas Algébricas 17 
 Ternas Ordenadas: Uma terna ordenada é uma seqüência ordenada de três elementos. 
Exemplos: ( 1, 2, 3 ), 
( a, 1, v ), 
( Informática, 401, PUCRS ), 
( ( nome, endereço ), código, saldo ) 
44..22 PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo ddee DDooiiss CCoonnjjuunnttooss 
44..22..11 DDeeffiinniiççããoo 
Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B é o conjunto formado por pares ordenados 
cujo primeiro elemento é proveniente de A e o segundo, de B. Este conjunto é denotado por A x B. 
Em notação lógica: 
 A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B } 
44..22..22 EExxeemmppllooss 
(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5 }. Então: 
A x B = { ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 4 ), ( 3, 5 ) } 
B x A = { ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 5, 1 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ) } 
Estes conjuntos podem ser representados pelos gráficos abaixo: 
 
Em particular, observe que A x B ≠ B x A. 
 
 
(b). Sejam A = [ 1, 2 ] e B = [ 3, 4 ). Então, o produto A x B 
pode ser representado pelo gráfico ao lado. 
 
 
 
 
 
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Estruturas Algébricas 18 
(c). O plano cartesiano é dado pelo conjunto R x R. 
Observação: Uma outra notação para R x R é R2, mas isto nada tem a ver com elevar os 
números reais ao quadrado! É apenas uma notação!!! 
 
(d). Sejam A = { -1, 1 } e B = [ -2, 3 ]. O produto cartesiano 
A x B é o conjunto representado no gráfico ao lado. 
 
 
 
(e). Sejam A = ∅ e B = [ 2, 3 ]. Então: 
A x B = ∅ 
B x A = ∅ 
44..22..33 PPrroopprriieeddaaddeess 
Sejam A, B, C e D conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: 
 A x ( B ∪ C ) = ( A x B ) ∪ ( A x C ) 
 A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C ) 
 A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C 
 ( A x B ) ∩ ( C x D ) = ( A ∩ C ) x ( B ∩ D ) 
 A x B = ∅ ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) 
 A x B = B x A ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) ∨ ( A = B ) 
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de 
conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou 
extra-classe. 
44..22..44 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee 
Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos, 
A x B ≠ B x A, em geral. 
44..22..55 EExxeemmppllooss 
44..22..55..11 EExxeemmpplloo 
Determine { x ∈ N / ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 } x { x ∈ N / ( x – 2 )( x – 3 ) = 0 }. 
Solução: { 1, 3 } x { 2, 3 } = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) } 
44..22..55..22 EExxeemmpplloo 
Encontre o valor lógico da proposição ( ∀ A, B, C )( A x C = B x C → A = B ) 
Solução: 
Seja ( x, y ) ∈ A x C. Então x ∈ A e y ∈ C. Como A x C = B x C, então ( x, y ) ∈ B x C. Assim, x ∈ B e 
y ∈ C. 
Logo, A = B. 
Logo, a proposição é verdadeira. 
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Estruturas Algébricas 19 
44..22..55..33 EExxeemmpplloo 
Represente graficamente o subconjunto do produto cartesiano R2 definido por S = { ( x, y ) / x+y ≥ 1 }. 
Solução: 
 
44..33 OObbsseerrvvaaççããoo:: PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo ddee TTrrêêss CCoonnjjuunnttooss 
Sejam A, B e C conjuntos. O produto cartesiano de A, B e C é o conjunto formado por ternas 
ordenadas cujo primeiro elemento é proveniente de A, o segundo, de B e o terceiro, de C. Este 
conjunto é denotado por A x B x C. 
Em notação lógica: 
 A x B x C = { ( x, y, z ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C } 
Note que ( A x B ) x C ≠ A x B x C 
Da mesma forma A x ( B x C ) ≠ A x B x C 
Por quê ? 
Observe que os elementos do conjunto gerado por A x ( B x C ) serão, na verdade, pares ordenados! 
No entanto, os elementos do conjunto gerado pela operação de produto cartesiano triplo, A x B x C, 
serão ternas ordenadas. Isto fica mais fácil de se entender se descrevermos os conjuntos em termos 
de seus elementos: 
Utilizaremos, apenas por simplicidade, a variável x para referir aos elementos do conjunto A, a 
variável y para referir aos elementos do conjunto B e a variável z para referir aos de C. Isto é: 
A = { x / x ∈ A } 
B = { y / y ∈ B } 
C = { z / z ∈ C } 
Então: B x C = { ( y, z ) / y ∈ B ∧ z ∈ C } 
Ora, mas 
A x ( B x C ) = { ( x, w ) / x ∈ A ∧ w ∈ B x C } 
 = { ( x, ( y, z ) ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C } 
Da definição acima, temos que 
A x B x C = { ( x, y, z )/ x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C } 
Observe-se, então, que a proposição que define os conjuntos é a mesma, mas a estrutura dos 
elementos, não! 
 
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Estruturas Algébricas 20 
55 GGuuiiaa ddee CCoonnssuullttaa RRááppiiddaa 
55..11 NNoottaaççããoo 
Conjuntos 
Representados sempre usando chaves. A única exceção é feita aos intervalos, que 
possuem notação própria. 
Os nomes são dados por letras maiúsculas. A atribuição é feita pelo sinal de 
igualdade. 
Exemplo: A = { 1, 2, 3 }. 
Elementos 
Representados por letras minúsculas. Um elemento pertence a um conjunto. 
Exemplo: x ∈ R. 
∈ Relação de pertença. Um elemento pertence a um conjunto. 
∉ Negação da relação de pertença. Indica que um elemento não pertence a um conjunto. Escrever x ∉ A é o mesmo que escrever ¬ ( x ∈ A ). 
= 
Relação de igualdade. 
A = B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A ↔ x ∈ B ) 
⊆ 
Relação de inclusão. 
A ⊆ B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B ) 
⊂ 
Relação de inclusão estrita 
A ⊂ B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃ y )( y ∈ B ∧ y ∉ A ) 
⊄ 
Negação da relação de inclusão. 
A ⊄ B ⇔ ( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∉ B ) 
∪ 
Operação de união. 
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B } 
∩ 
Operação de Interseção. 
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B } 
– 
Operação de Diferença. 
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B } 
AE’ ou CEA 
Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto E. 
A ⊆ E ⇒ AE’ = E – A = { x / x ∈ E ∧ x ∉ A } 
A’ ou CA 
Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto Universo. 
A’ = U – A = { x / x ∉ A } 
∆ 
Operação de Diferença Simétrica. 
A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } 
x 
Operação de Produto Cartesiano de dois conjuntos. 
A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B } 
 
Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto 
 
Estruturas Algébricas 21 
55..22 PPrroopprriieeddaaddeess ddaass RReellaaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss 
Sejam A, B e C conjuntos. Seja ∅ o conjunto vazio. Então: 
(1). A = A (Reflexividade) 
(2). A = B ⇒ B = A (Simetria) 
(3). ( A = B ) ∧ ( B = C ) ⇒ A = C (Transitividade) 
(4). ∅ ⊆ A 
(5). A ⊆ A (Reflexividade) 
(6). ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (Transitividade) 
(7). ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A ) ⇔ A = B (Anti-Simetria) 
(8). A ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ A 
(9). ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (Transitividade) 
55..33 PPrroopprriieeddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddaass OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss 
Sejam A, B e C conjuntos. Sejam ∅ o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então: 
(1). A ∪ A = A (Idempotência ou Idemponência) 
(2). A ∪ B = B ∪ A (Comutatividade) 
(3). ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (Associatividade) 
(4). A ∪ ∅ = A 
(5). A ∪ U = U 
(6). A ∩ A = A (Idempotência ou Idemponência) 
(7). A ∩ B = B ∩ A (Comutatividade) 
(8). ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Associatividade) 
(9). A ∩ ∅ = ∅ 
(10). A ∩ U = A 
(11). ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (Distributividade – da união em relação à interseção) 
(12). ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (Distributividade – da interseção em relação à união) 
(13). ( A ∪ B ) ∩ A = A (Absorção) 
(14). ( A ∩ B ) ∪ A = A (Absorção) 
(15). A’ ∪ A = U 
(16). A’ ∩ A = ∅ 
(17). ( A’ )’ = A 
( U )’ = ∅ 
( ∅ )’ = U 
(18). ( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’ (Lei de De Morgan) 
(19). ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’ (Lei de De Morgan) 
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Estruturas Algébricas 22 
55..44 PPrroopprriieeddaaddeess AAuuxxiilliiaarreess ddaass OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss 
Sejam A, B e C conjuntos. Sejam ∅ o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então: 
(1). A – B ⊆ A 
(2). A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A 
(3). A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = C ⇔ A = C – B 
(4). ( A – B ) ∩ B = ∅ 
(5). ( A – B ) ∪ B = A ∪ B 
(6). ( A ∪ B ) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C ) 
(7). ( A ∩ B ) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C ) 
(8). A – ∅ = A 
(9). A – U = ∅ 
(10). ∅ – A = ∅ 
(11). ( AE’ )E’ = A. 
(12). A ⊆ B ⇒ BE’ ⊆ AE’ 
(13). A ⊆ B ⇒ B’ ⊆ A’ 
(14). AE’ ∪ A = E 
(15). AE’ ∩ A = ∅ 
(16). A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A ) 
(17). A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A ) 
(18). A ∆ B = B ∆ A 
(19). ( A ∆ B ) ∪ C = ( A ∆ C ) ∩ ( B ∆ C ) 
(20). ( A ∆ B ) ∩ C = ( A ∆ C ) ∪ ( B ∆ C ) 
(21). A ∆ ∅ = A 
(22). A ∩ B = ∅ ⇔ A ∆ B = A ∪ B 
55..55 PPrroopprriieeddaaddeess ddoo PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo 
Sejam A, B e C conjuntos. Seja ∅ o conjunto vazio. Então: 
(1). A x ( B ∪ C ) = ( A x B ) ∪ ( A x C ) 
(2). A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C ) 
(3). A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C 
(4). ( A x B ) ∩ ( C x D ) = ( A ∩ C ) x ( B ∩ D ) 
(5). A x B = ∅ ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) 
(6). A x B = B x A ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) ∨ ( A = B ) 
 
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Estruturas Algébricas 23 
66 EExxeerrccíícciiooss 
1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos : 
(a) { x ∈ R / | x | < 2 } 
(b) { x ∈ N / ( ∀ y ) ( y é par → x ≠ y ) } 
 
2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A ∩ B = { d, e } e 
A ∪ B = { a, b, d, e, f }. 
 
3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ C. Sejam a, b, c, d, e, f ∈ U tais que a ∈ A, 
b ∈ B-A, c ∈ C-B, d ∉ A, e ∉ B e f ∉ C. Quais das afirmações abaixo são corretas? 
(a) a ∈ C (b) b ∈ A (c) c ∉ A 
(d) b ∈ B (e) e ∉ A (f) f ∉ A 
 
4. Sejam A = { ( x, y ) / ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ) } e 
B = { ( x, y ) / ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 ≤ 25 } .Prove que A ⊆ B. 
Dica: Pense em termos de circunferências. As fórmulas você encontra no seu material de 2º 
Grau. 
 
5. programa QUAD encontra e imprime soluções de equações quadráticas da forma 
a.x2 + b.x +c = 0. O programa PAR lista todos os inteiros da forma -2n a 2n, para cada n dado. 
Seja Q o conjunto dos valores de saída de QUAD e E o conjunto dos valores de saída de PAR. 
Mostre que para a = 1 , b = -2 ,c = -24 e n =50 , Q ⊆ E. 
 
6. Para cada uma das sentenças a seguir, encontre as condições mais gerais possíveis para os 
conjuntos A e B de modo a tornar as sentenças verdadeiras: 
(a) A ∪ B = A (b) A ∪ ∅ = ∅ (c) A ∪ B ⊆ A ∩ B 
(d) A ∩ B = A (e) B - A = ∅ 
 
7. Sejam A e B dois conjuntos. Prove que: A ⊆ B → A ∩ B = A. 
 
8. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que: 
(a) A - B = B' - A' 
(b) A ∪ ( B - C ) = ( A ∪ B ) - ( C - A ) 
(c) ( A - B )' = A' ∪ B 
 
9. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, 
justificando a sua resposta. 
(a) A ∩ B = C ∩ B → B - A = B – C 
(b) A ∪ ( B - A ) = A ∪ B 
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Estruturas Algébricas 24 
(c) A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C 
(d) ( A' ∪ B' )' = A ∩ B 
(e) ( A ∪ B ) - C = A ∪ ( B - C ) 
(f) ( A ∪ B )' = B' ↔ A ⊆ B 
(g) ( A ∪ B ) ∩ B' = A ↔ A ∩ B = ∅ 
(h) A ∩ B = ∅ → A ⊆ B' 
(i) A - B = A - C ↔ B = C 
(j) A x B = B x A ↔ A = B 
(k) ( A x C ) ∪ ( B x C ) = ( A ∪ B ) x C 
(l) ( A ∪ B ) ∩ C = A ∪ ( B ∩ C ) 
(m) A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ) 
(n) A ∆ B ⊆ A ∪ B 
 
10. Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B = [-2,1] e C = { x ∈ R / x2 + 3.x + 2 ≥ 0 }. Represente 
graficamente os produtos cartesianos: 
(a) A x B (b) C x B 
(c) C x C (d) B x C 
 
Seja A um conjunto. Chamamos de Conjunto das Partes de A ao conjunto formado por todos os 
subconjuntos de A. Notação: P(A) 
Ex.: A = { 1, 2 } P(A) = { ∅, {1}, {2}, A } 
 
11. Sejam os conjuntos A = { 1 } e B = { 2, 3 }. Determine: 
(a) P( A × B ) (b) P( A × B ) × B (c) CDxD AxB onde D = { n ∈ N | n < 8 } 
 
12. De acordo com o nosso uso da palavra conjunto, se A é um subconjunto do conjunto universo S, 
então qualquer elemento de S ou pertence ou não pertence a A. Em outras palavras, a 
probabilidade de um elemento x de S pertencer a A é 1 (quando x é um elemento de A) ou 0 
(quando x não é um elemento de A) .A é um conjunto FUZZY se todoelemento de S tem a 
probabilidade p, 0 ≤ p ≤ 1, de ser um elemento de A. A probabilidade p associada a x é uma 
estimativa da possibilidade de que x possa pertencer a A quando a composição de A é 
desconhecida. Operações de conjuntos podem ser realizadas com conjuntos FUZZY da seguinte 
maneira: “Se o elemento x tem a probabilidade p1 de pertencer a A e a probabilidade p2 de 
pertencer a B, então a probabilidade de x ser um elemento de A ∪ B é dada por p1 + p2 – p1.p2.” 
Seja S um conjunto de possíveis agentes causadores de doenças, 
S = { genética, vírus, nutrição, bactéria, ambiente }. 
Os conjuntos FUZZY "AIDS" e "mal de ALZHEIMER" são definidos como: 
AIDS = { genética, 0.2; vírus, 0.8; nutrição, 0.1; bactéria, 0.4; ambiente, 0.3 } e 
ALZHEIMER = { genética, 0.7; vírus, 0.4; nutrição, 0.3; bactéria, 0.3; ambiente, 0.4 } 
Encontre o conjunto FUZZY AIDS ∪ ALZHEIMER 
 
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Estruturas Algébricas 25 
77 RReessppoossttaass ddooss EExxeerrccíícciiooss 
1. 
(a). ( -2; 2 ) = { x ∈ R / -2 < x < 2 } 
(b). { 1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ... } = { x / x = 2n + 1, n ∈ N } 
 
2. A = { a, b, d, e }, B = { d, e, f } 
 
3. (a). V (b). F (c). F (d). V (e). V (f). V 
 
4. Seja ( x ,y ) ∈ A. Então ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ). 
Neste caso temos que ( ( x –1 )2 + ( y – 4 )2 )1/2 = 3 , 
ou seja ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 = 9 ≤ 25. 
Logo ( x, y ) ∈ B. 
Temos então que ∀ ( x, y ), ( x, y ) ∈ A → ( x, y ) ∈ B ⇔ A ⊆ B. 
 
5. Q = { -4 , 6 } ⊆ { x ∈ Z / -100 ≤ x ≤ 100 } = E 
 
6. (a) B ⊆ A (b) A = ∅ (c) A = B (d) A ⊆ B (e) B ⊆ A 
 
7. Sejam A, B conjuntos tais que A ⊆ B. Seja x ∈ A. 
Como A ⊆ B ,temos que x ∈ B. 
Então x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B. Portanto, A ⊆ A ∩ B. 
Por outro lado, temos que: x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B. Portanto x ∈ A. 
Temos então que A ∩ B ⊆ A. Desta forma podemos concluir que A ∩ B = A. 
Logo, A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A. 
 
8. 
(a). Sejam A, B conjuntos. 
Então: B' - A'= { x / x∈ B'∧ x ∉A'} = { x / x ∉B ∧ x ∈ A } = { x / x ∈ A ∧ x ∉B } = A - B 
Logo, A – B = B’ - A'. 
 
(b). Sejam A, B, C conjuntos. Então: 
∀x, x ∈ A ∪ ( B - C ) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B - C) ⇔ x ∈A ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ C ) ⇔ 
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( x ∈A ∨ x ∉ C ) ⇔ x ∈ (A ∪ B) - (C - A) 
Logo, A ∪ ( B - C ) = (A ∪ B) - (C - A). 
 
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Estruturas Algébricas 26 
(c). Sejam A, B conjuntos. 
∀x, x ∈ (A - B)' ⇔ x ∉ A - B ⇔ x ∉ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A' ∪ B 
Logo, (A - B)' = A' ∪ B. 
 
9. 
OBSERVAÇÃO: Equivalências lógicas usadas em vários itens : 
p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) 
( p ∧ q ) ∨ r ⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) 
( p ∨ q ) ∧ r ⇔ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r ) 
p ∧ q ⇒ p 
p ∨ f ⇒ p 
p ⇒ p ∧ v 
 
(a). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos tais que A ∩ B = C ∩ B. 
B - A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A }. Então: 
Usando a equivalência lógica p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ), iremos separar a prova da proposição 
em duas etapas: 
∀x, x ∈ B - A ⇔ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∉ A ∩ B, pois x ∉ A. 
Como A ∩ B = C ∩ B ⇒ x ∉ C ∩ B. 
Mas, como x ∈ B ⇒ x ∉ C. Portanto, x ∈ B ∧ x ∉ C ⇔ x ∈ B - C. 
Temos então que ∀x, x ∈ B - A ⇒ x ∈ B - C. Logo B - A ⊆ B - C. 
(Note que há implicações no raciocínio e, então, só vale a “ida”. Precisamos agora provar a “volta”!) 
Por outro lado ∀x, x ∈ B - C ⇔ x ∈ B ∧ x ∉ C ⇒ x ∉ B ∩ C, pois x ∉ C. 
Como A ∩ B = C ∩ B ⇒ x ∉ A ∩ B. 
Mas, como x ∈ B ⇒ x ∉ A. Portanto, x ∈ B ∧ x ∉ A ⇔ x ∈ B - A. 
Temos então que ∀x, x ∈ B - C ⇒ x ∈ B - A. Logo B - C ⊆ B - A. 
Logo, A ∩ B = C ∩ B ⇒ B – A = B – C. 
 
(b). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos. 
∀x, x ∈ A ∪ ( B - A ) ⇔ x ∈ A ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) ⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ A ) ⇔ 
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ⇔ x ∈ A ∪ B. 
Logo, A ∪ ( B - A ) = A ∪ B. 
 
(c). A proposição é falsa. PROVA: 
Existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 1, 5, 9 } tais que: 
A ∩ B = { 1 } ∧ A ∩ C = { 1 }, ou seja: A ∩ B = A ∩ C. 
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Estruturas Algébricas 27 
Mas B ≠ C. 
Logo, ¬ (A ∩ B = A ∩ C → B = C). 
Logo, a proposição (A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C) é falsa. 
 
(d). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos. Então, usando uma das leis de De Morgan para conjuntos, temos: 
( A' ∪ B' )' = ( A' )' ∩ (B' ) ' = A ∩ B. 
Logo, ( A' ∪ B' )' = A ∩ B. 
 
(e). A proposição é falsa. PROVA: 
Existem os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5 } e C = { 1, 5 } tais que: 
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e 
(A ∪ B) - C = {2, 3, 4 } 
Mas: 
B - C = { 4, 5 } - { 1, 5 } = { 4 } 
A ∪ ( B - C ) = { 1, 2, 3, 4 } 
Então, neste caso, (A ∪ B) - C ≠ A ∪ ( B - C ). 
Logo, a proposição é falsa. 
 
(f). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos. 
Sabemos que ( A ∪ B )' = A' ∩ B'. 
Então mostrar que A' ∩ B' = B' ↔ A ⊆ B é o mesmo que mostrar a proposição original. 
Usando a equivalência lógica p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ), iremos separar a prova da proposição 
em duas etapas: 
Parte 1: A' ∩ B' = B' → A ⊆ B. 
Suponhamos que A' ∩ B' = B'. 
∀ x, x ∈ A ⇔ x ∉ A' ⇒ x ∉ A' ∩ B'. 
Como A' ∩ B' = B’ então x ∉ A' ∩ B' ⇔ x ∉ B' ⇔ x ∈ B. 
Conclusão : ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B. 
Logo: A' ∩ B' = B' ⇒ A ⊆ B. 
Parte 2: A ⊆ B → A' ∩ B' = B' 
Suponhamos que A ⊆ B. 
∀x, x ∈ B' ⇔ x ∉ B. 
Como A ⊆ B então x ∉ B ⇒ x ∉ A ⇔ x ∈ A'. 
Conclusão: x ∈ B' ⇒ x ∈ A' ∩ B'. Então B' ⊆ A' ∩ B'. 
Por outro lado, ∀x, x ∈ A' ∩ B' ⇔ x ∈ A' ∧ x ∈ B' ⇒ x ∈ B'. 
Conclusão: x ∈ A' ∩ B' ⇒ x ∈ B'. Então A' ∩ B' ⊆ B’. 
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Estruturas Algébricas 28 
Conclusão final : Por (1) e (2) vem que A' ∩ B' = B' ⇔ A ⊆ B. 
 
(g). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos. 
Sabemos que dados conjuntos E, F e H quaisquer, temos ( E ∪ F ) ∩ H = ( E ∩ H ) ∪ ( F ∩ H ). 
Usando esta propriedade, temos: 
( A ∪ B ) ∩ B' = ( A ∩ B' ) ∪ ( B ∩ B' ) = ( A ∩ B' ) ∪ ∅ = A ∩ B'. 
Então, a proposição A ∩ B' = A ↔ A ∩ B = ∅ diz o mesmo que a original. 
Vamos prová-la dividindo-a em duas partes: 
Parte 1: A ∩ B' = A → A ∩ B = ∅. 
Iremos fazer esta prova usando a equivalência lógica p → q ⇔ ¬q → ¬p. Isto se chama 
prova por contraposição. Para isto, escreveremos a proposição na seguinte forma: 
A ∩ B ≠ ∅ → A ∩ B' ≠ A. 
PROVA: 
Suponhamos que A ∩ B ≠ ∅. Então há pelo menos um elemento nesta intersecção. Isto é: 
( ∃ x )( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∈ B ). 
Mas: x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B' ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ A ∩ B'. 
Então, A e A ∩ B’ têm pelo menos um elemento diferente. 
Logo A - A ∩ B' ≠ A. 
Logo A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A ∩ B' ≠ A. 
Logo A ∩ B' = A ⇒ A ∩ B = ∅. 
Parte 2: A ∩ B = ∅ → A ∩ B' = A 
PROVA : 
Suponhamos que A ∩ B = ∅. 
x ∈ A ∩ B’ ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B' ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B. 
Como A ∩ B = ∅ então x ∈ A ∧ x ∉ B ⇔ x ∈ A 
Logo x ∈ A. 
Logo A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B' = A. 
Conclusão: A ∩ B' = A ⇔ A ∩ B = ∅ 
Conclusão geral: ( A ∪ B ) ∩ B' = A ⇔ A ∩ B = ∅ 
 
(h). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos tais que A ∩ B = ∅. Então: 
∀ x, x ∈ A ⇒ x ∉ B, pois A ∩ B = ∅. 
Mas: x ∉ B ⇔ x ∈ B'. 
Logo, ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B'. 
Conclusão : A ⊆ B'. 
 
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Estruturas Algébricas 29 
(i). A proposição é falsa. PROVA: 
Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica 
p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ). 
Assim, temos de mostrar duas partes: 
Sejam A, B, C conjuntos. 
Parte 1: A - B = A - C → B = C 
Suponhamos que A – B = A – C. 
Esta proposição é falsa. Com efeito, existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 2, 3 } e C = { 2, 4 } 
tais que 
A - B = { 1 } e A - C = { 1 } 
Mas B ≠ C. 
Logo a proposição é falsa. 
Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A - B = A - C ↔ B = C é falsa, em 
geral. 
(Apenas comocuriosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.) 
Parte 2: B = C → A - B = A - C 
Suponhamos que B = C. Então: 
A – B = A ∩ B’ = A ∩ C’ = A – C. 
Logo, B = C → A - B = A - C. 
 
(j). A proposição é falsa. PROVA: 
Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica 
p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ). 
Assim, temos de mostrar duas partes: 
Sejam A, B conjuntos. 
Parte 1: A x B = B x A → A = B 
Suponhamos que A x B = B x A. 
A proposição é falsa. Se escolhermos A = { 1, 2 } e B = ∅, teremos: 
A x B = ∅ e B x A = ∅ 
Porém A ≠ B. 
Logo, a proposição é falsa, em geral. 
Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A x B = B x A ↔ A = B é falsa, em geral. 
(Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.) 
Parte 2: A = B → A x B = B x A 
Suponhamos que A = B. Então: 
A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B } = { ( x, y ) / y ∈ B ∧ x ∈ A } = B x A 
Logo, A = B ⇒ A x B = B x A. 
 
(k). A proposição é verdadeira. PROVA: 
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Estruturas Algébricas 30 
Sejam A, B e C conjuntos. Então: 
∀ ( x, y ), ( x, y ) ∈ (A x C) ∪ (B x C) ⇔ 
⇔ ( x, y ) ∈ (A x C) ∨ ( x, y ) ∈ (B x C) ⇔ 
⇔ ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ ( x ∈ B ∧ y ∈ C ) ⇔ 
⇔ ( ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ x ∈ B ) ∧ ( ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ y ∈ C ) ⇔ 
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( y ∈ C ∨ x ∈ B ) ) ∧ ( x ∈ A ∨ y ∈ C ) ∧ ( y ∈ C ∨ y ∈ C ) ⇔ 
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( y ∈ C ∨ x ∈ B ) ) ∧ ( x ∈ A ∨ y ∈ C ) ∧ y ∈ C ⇔ 
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ y ∈ C ⇔ 
⇔ ( x, y ) ∈ ( A ∪ B ) x C. 
Logo, ( A x C ) ∪ ( B x C ) = ( A ∪ B ) x C. 
 
(l). A proposição é falsa. PROVA: 
Existem A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, C = { 4, 5 }. Então: 
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4 } e ( A ∪ B ) ∩ C ={ 4 }. 
B ∩ C = { 4 } e A ∪ ( B ∩ C ) = {1,2,4 }. 
Como { 4 } ≠ { 1, 2, 4 }, a proposição é falsa, em geral. 
 
(m). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos. Então: 
A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } = 
= { x / ( ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ x ∈ B ) ∧ ( ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ x ∉ A ) } = 
= { x / ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( x ∉ A ∨ x ∉ B ) } = 
= { x / ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ¬ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) } = 
= { x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B } = 
= ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ). 
Logo, A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ). 
 
(n). A proposição é verdadeira. PROVA: 
Sejam A e B conjuntos. Então: 
A ∆ B = ( A ∪ B ) - (A ∩ B ) = { x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B } 
Mas: ∀ x, x ∈ A ∆ B ⇔ x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∪ B. 
Então: ∀ x, x ∈ A ∆ B ⇒ x ∈ A ∪ B. 
Conclusão: A ∆ B ⊆ A ∪ B. 
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Estruturas Algébricas 31 
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10. 
(a). (b). 
(c). (d). 
 
11. 
(a). A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ) } 
P( A x B ) = { ∅, { ( 1, 2 ) }, { ( 1, 3 ) }, A x B } 
 
(b). P( A x B ) x B = { ( ∅, 2 ), ( ∅, 3 ), ( { ( 1, 2 ) }, 2 ), ( { ( 1, 2 ) }, 3 ), 
 ( { ( 1, 3 ) }, 2 ), ( { ( 1, 3 ) }, 3 ), ( A x B, 2 ), ( A x B, 3 ) } 
 
(c). CDxD A x B = ∅ 
 
12. 
AIDS ∪ ALZHEIMER = { genética, 0.76; vírus, 0.88; nutrição, 0.37; bactéria, 0.58; ambiente, 0.58 }