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2.8 Problemas Propostos
Solucao:
Solucao:
Substituıdo os valores dos respectivos vetores,
Efetuando as operacoes;
Paraxtemosaseguinteigualdade; 16+ x
Para y temos a seguinte igualdade;
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Resolucionário do Livro de Geometria Analítica
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5 Para y temos a seguinte igualdade;
Solucao:
Efetuando a Operacao:
Efetuando a Operacao:
Efetuando a Operacao:
Solucao: Resolvendo para a;
Resolvendo para b;
Solucao: Substituindo os valores dos respectivos vetores;
Substituindo k1 na Primeira Equacao temos;
Solucao:
Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle
LIVRO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
Exercícios resolvidos de Geometria
Analítica - Livro Paulo Winterle Cap.4
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Respostasdo Livro de Geometria analítica
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Geometria Analitica - Alfredo
Steinbruch e Paulo Winterle
Exercício de Geometria Analítica
Geometria Analítica - Livro de
Caitano Cintra
Geometria Analitica - Alfredo
Steinbruch e Paulo Winterle
Respostas do Livro de Geometria
analítica e cálculo vetorial...
Geometria Analitica
Geometria Analitica
Baccan - Química Analítica
Quantitativa Elementar
Resistência dos Materiais
Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação e Integração
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABeYcAF/exercicios-resolvidos-algebra-1-2013-retas-planos-distancias-alfredo-steinbruch-paulo-winterle
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAgXEcAC/geometria-analitica-alfredo-steinbruch-paulo-winterle
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA9gYAK/exercicio-geometria-analitica
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfxK0AI/geometria-analitica-livro-caitano-cintra
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfLbcAA/geometria-analitica-alfredo-steinbruch-paulo-winterle
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAgKe8AB/respostas-livro-geometria-analitica-calculo-vetorial-paulo-winterle
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfX2gAE/geometria-analitica
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABs-sAL/geometria-analitica
http://www.ebah.com.br/livro/baccan-quimica-analitica-quantitativa-elementar
http://www.ebah.com.br/livro/beer-johnston-resistencia-materiais
http://www.ebah.com.br/livro/diva-flemming-calculo-a-funcoes-limite-derivacao-integracao
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Solucao:
Substituindo em −→ AP = −→ PB temos:
Solucao:
Resolvendo para a1 temos:
Resolvendo para a2 temos:
Substituindo α na primeira equacao:
Os pontos nao sao colineares:
Solucao:
6 Simplificando:
Para ser um paralelogramo tem que satisfazer a igualdade: −→ AB+ −−→ AD= −−→ AC
3.16 Problemas Propostos:
Solucao:
Solucao:
Calculo do Modulo:
Calculo do versor:
Solucao: Calculo do Modulo do vetor ~u:
Calculo do Modulo do vetor ~v:
) seja unitario.
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Pela equacao do produto escalar:
Substituındo os valores temos:
13. Os pontos A,B,C sao vertices de um triangulo equilatero cujo lado mede 10cm.Calcular −→ AB e −−→ AC.
Solucao:
Equacao do produto escalar:
Substituindo a equacao com os valores conhecidos:
Solucao:
Solucao:
Solucao: Formula do angulo entre dois vetores :
Substituindo os valores na equacao do angulo entre vetores temos:
cos π
2m⇒ Elevando ambos os membros ao quadrado:
Solucao:
v = α.(−6,4,−2) onde α elementos dos reais para α = 1, temos que o vetor ~v e igual ao vetor ~w, que isso nao deixa de
ser colinear, ou seja dois vetores iguais nao deixa de ser colinear.
para t = −2, temos que o vetor ~v e igual ao vetor ~w, que isso nao deixa de ser colinear, ou seja dois vetores iguais nao
deixa de ser colinear.
Solucao: Verificar se existe algum angulo de 90o nos vertices. Testando A
Verificarseospontosestaoligadoseforumtriangulotemquesatisfazeraseguinte
Satisfeita a igualdade fica provado que os pontos estao ligados com o angulo B sendo de 90o logo se trata de um
triangulo retangulo.
Solucao:
Solucao: Verificar se existe algum angulo de 90o nos vertices. Testando A
25. Os angulos diretores de um vetor podem ser de 45o, 60o e 90o? Justificar.
Solucao:
Para coordenada x :
Para coordenada y :
Para coordenada z :
Como temos duas equacoes,mas tres incognitas,entao teremos que atribuir a uma incognita um valor arbitrario. Logo,
seja a = 0. Entao
2 Assim,encontramos dois vetores unitarios ~u e ortogonais a ~v
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Formula da projecao de um vetor:Proj~i ~u =
35. Se o vetor −→ AB tem co-senos diretores p, q e r e angulos diretores α , β e γ, quais sao os co-senos e os angulos
diretores de −→ BA.
Solucao:
Sera o mesmo co-seno diretor do vetor AB, ja que o vetor tem mesmo modulo e direcao, tendo apenas o sentido
contrario.
O cosseno diretor de um vetor e a componente do vetor naquela direcao dividido pelo modulo do seu versor, ou seja,
para cada componente (x,y,z) tem-se um cosseno diretor. Se o vetor possui mesmo modulo e direcao, duas
informacoes para a obtencao do mesmo nao se alteram. o versor e o mesmo(modulo) e a distancia do vetor a
componente(direcao) e a mesma tambem.
π−α,π−β e π−γ
b2 − y2 = 0 ⇒ b2 = y2b = y
2 rad, determinar
Como o valor e positivo retira-se o modulo.
De(1) temos y = −x 2 que substituıdo em (2) nos permite concluir que: z = x
3 Substituindo estes valores de y e z em (3) temos que
Porem, o problema nos diz que o angulo Θ formado por v e o eixo dos x e agudo. Entao o angulo formado por ~v e o
vetor unitario na direcao do eixo x tambem e
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Onde ~u e o vetor unitario que queremos encontrar.
Para encontrar o vetor na mesma direcao de ~u com modulo 5 basta multiplicar pelo escalar 5, logo:
50. Mostrar num grafico um representante de cada um dos seguintes vetores:
Solucao: Usando a formula do modulo do produto vetorial temos:
Solucao: Usando a formula do modulo do produto vetorial temos:
Solucao:
Para ser um paralelogramo a equacao −→ AB+ −−→ AD= −−→ AC tem que ser satisfeita.
area do triangulo= √ 6
area do triangulo e dado pela formula:
area do triangulo= 7
Solucao:
area do triangulo=
Solucao:
Solucao:
triangulo de area
Solucao:
Cancelando ambos os denominadores iguais a 2. √
Solucao:
6. Demonstrar que o segmento cujos extremos sao os pontos medios de dois lados de um triangulo e paralelo ao
terceiro lado e igual a sua metade.
Solucao: Demonstracao:
Seja um trapezio ABCD de bases AB e CD. Seja M o ponto medio de AD e N o ponto medio de BC Construamos uma reta
BM. Prolongue com o lado DC. Seja Q o ponto de intersecao da reta BM com a reta que passa por DC. Prolongue
tambem o lado AD. Anote as congruencias de angulos:
angulos QMD e AMB congruentes (angulos opostos pelo vertice) angulos MDQ e MAB congruentes (como os lados AB
e CD sao paralelos, temos que a reta que passa por AD e uma transversal as bases. Portanto seus angulos alternos
internos sao congruentes). O segmento AM e congruente ao segmento MD, pois M e o ponto medio do segmento AD.
Pelo caso ALA de congruencia, temos que os triangulos MQD e AMB sao congruentes.
Disso resulta que os segmentos MQ e MB sao congruentes.
Agora observe o triangulo BQC. O segmento MN e a base media desse triangulo, pois M e ponto medio do segmento BQ
e N e o ponto medio do segmento BC, ambos lados do triangulo.
Pelo teorema da base media do triangulo, temos que: o segmento MN e paralelo ao segmento CQ que por sua vez e
paralelo ao lado AB. Podemos concluir que MN e paralelo as duas bases do trapezio. A medida de MN e metade da
medida de CQ.
Da congruenciados triangulos AMB e QDM, temos que os segmentos QD e AB sao congruentes.
Em formula:
2 Mas QC = QD+DC e QD e congruente a AB
Portanto: QC = AB+DC
Calculo dos Segmentos:
Calculo do produto misto dos 3 segmentos
Calculo dos Segmentos:
Calculo do produto misto dos 3 segmentos
Calculo dos Segmentos:
Calculo do produto misto dos 3 segmentos
Solucao:
Calculo dos segmentos:
Basta calcular o produto misto dos 3 segmentos
70. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
Solucao:
72. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepıpedo determinado pelos
Solucao:
Pode-se dividir o paralelepıpedo em dois prismas triangulares e estes prismas, por sua vez, em tres tetraedros, todos
com base e altura correspondentes a base e altura do prisma. Resolucao:
Tem-se que todos os tetraedros terao o mesmo volume, ou seja, terao 16 dovolume do paralelepıpedo em questao, cujo
volume e dado pelo produto misto de tres vetores nao coplanares que formam os lados do tetraedro (area da base e
altura).Escolhendo −−→ DA, −−→ DB e e −−→ DC tem-se:
Solucao:
areadabase
Formula da altura: h =
|−→BC×−−→BD| Substituindo pelos valores calculados temos:
4.15 Problemas Propostos
Para saber se o ponto pertence a reta basta substituir o ponto P1 na equacao da reta se pertencer a igualdade
permanece.
pertence a reta dada.
Para saber se o ponto pertence a reta basta substituir o ponto P2 na equacao da reta se pertencer a igualdade
permanece.
nao pertence a reta dada.
Solucao: (a) abscissa 5;
(b) ordenada 4;
(c) cota 1.
Solucao:
Encontrando o valor de t em funcao de x;
2 Substituindo t nas outras duas equacao temos;
7. Estabeleca as equacoes reduzidas (variavel independente x) da reta pelos pares de pontos:
Isolando t na primeira equacao:
2 Substituindo t nas outras duas equacoes temos;
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