Distância entre duas retas

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Distância entre duas retas
	Para que se compreenda melhor o conceito de distância entre duas retas, daremos ao leitor (professora) os recursos algébricos como ferramenta de visualização e posteriormente apresentando os exemplos geométricos, pois bem.	
Tome:
 	, duas retas no espaço. Se , sabemos que e são concorrentes (isto, é ∩ ≠ ∅) ou não se intersectam. 
	Quando a segunda possibilidade ocorre, temos ainda duas situações a considerar: as retas podem ser paralelas ou reversas. 
· Definição I 
	A distância entre e é o número d(, ) dado por: 
d(, ) = min {d(P, Q) | P ∈ e Q ∈ }
	Se as retas se intersectam, por definição d(, ) = 0. Assim, os casos importantes a considerar ocorrem quando ∩ = ∅.
	De forma mais prática se as retas forem congruentes, não há distância e por consequência não se intersectam, e se intersectam por definição se intersectam em um único ponto logo o que interessa a este conceito é justamente as retas reversas e o paralelismo. 
· Distância entre duas retas paralelas no espaço 
	Supondo que ll . Então e são colineares, ∩ = ∅ e existe um plano α que contém ambas as retas. Seja ∈ e seja ∈ o pé da perpendicular baixada de sobre a reta . Então, 
d(P, Q) ≥ d(P, R) = d(, ) .
	Quaisquer que sejam os pontos P ∈ e Q ∈ , onde R é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta , pois é um retângulo contido no plano α. 
d(P, Q) ≥ d(, ), para todos P ∈ e Q ∈ .
	Logo, qualquer que seja o ponto ∈ , temos que 
d(, ) = d(, ) = d(, ).
Exemplo: 
	Prove que a reta que passa pelos pontos = (1, 2, 1) e = (2, 1, 0) é paralela à reta que contém os pontos = (0, 1, 2) e = (1, 0, 1). Calcule a distância entre e . 
Solução. 
Temos = = (1, −1, −1) ll e = = (1, −1, −1) ll . 
Logo = , e as retas e são: 
 = {A1 + t | t ∈ R} = {(1 + t, 2 − t, 1 − t) | t ∈ R},
 = {A2 + s | s ∈ R} = {(s, 1 − s, 2 − s) | s ∈ R}.
	Para verificar que ll , basta verificar que um ponto de não pertence a , pois já sabemos que e são múltiplos. 
	Por exemplo, vejamos que = (1, 0, 1) ∉ . De fato, se = (1, 0, 1) pertencesse a , existiria um valor t ∈ R tal que: 
	Da segunda dessas identidades obtemos t = 2 e, substituindo esse valor de t na primeira identidade, obtemos 3 = 1 + 2 = 1, um absurdo. 
	Portanto, ∉ e as retas e são, efetivamente, paralelas. 
	Para calcular a distância d(, ), basta calcular a distância de um ponto de a . Por exemplo, calculemos d(, ). 
	
geométricamente:
 
	
	
	Acabamos de ver o cálculo da distância entre duas retas r e s, que denotamos por d(r, s). Esta distância é o mínimo das distâncias d(P, Q), onde P é um ponto na reta r e Q é um ponto na reta s. 
	Obviamente, se as retas se interceptassem a distância d(r, s). Neste caso, bastava escolher P = Q o ponto de interseção das retas. logo, consideraremos que as retas eram disjuntas e partimos em primeiro lugar que as retas r e s eram paralelas. Neste caso, a distância d entre as retas foi igual a distância entre qualquer ponto P ∈ r e a reta s, caso já considerado (distância de ponto a reta). Observe que a escolha do ponto P era totalmente irrelevante. 
	Suponhamos agora que as retas não são paralelas (isto é, são reversas). Um método para calcular a distância é o seguinte. 
	Consideremos pontos P e Q de r e s, respectivamente, e vetores diretores v e w de r e s, respectivamente. 
• Considere os planos π paralelo a s que contem r e ρ paralelo a r que contem s. No desenho, a reta t é uma reta paralela a s contida em π com vetor diretor w. Escolhemos como ponto P a interseção das retas t e r. 
• Observe que estes planos são paralelos e que dois vetores (não paralelos) de π e ρ são v e w.
• Observe que a distância d entre as retas r e s é a distância entre os dois planos. 
• Esta distância d é, por exemplo, a distância de qualquer ponto Q da reta s ao plano π. Esta distância pode ser calculada usando o produto misto como fizemos anteriormente. Consideramos vetores diretores v e w das retas r e s, obtendo:
 
Exemplo: 
Calcule a distância entre as retas r = (t, 1+t, 2 t) e s = (t, t, 1).
 Solução: 
	Vetores diretores das retas r e s são v = (1, 1, 2) e w = (1, 1, 0), respectivamente. Um ponto P ∈ r ´e (0, 1, 0) e um ponto Q ∈ s ´e (0, 0, 1), logo P Q = (0, −1, 1). Portanto, a distância d entre r e s é:
Exemplo na educação básica:
	Estabeleceremos a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:
d = |ax0 + by0 + c|
      √(a2 + b2)
	
	Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
Exemplo
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
	Perceba que de forma geral o que a visão geométrica permite entender é que sempre pegaremos um ponto de uma reta e através deste ponto de referencias iremos de encontro a outra reta dada ou seja faremos o caminho entre as duas e deste caminho teremos a distância e para fazer este caminho apenas usaremos os recursos algébricos associados a geometria analítica.
Referencias:
IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Geometria Analítica - Capítulo 13 Páginas (217 – 219)
Aula 09 de álgebra linear Curso de matemática da PUC-rio pode encontrar em: http://www.mat.puc-rio.br/cursos/MAT1200/roteiros/aula9bis091.pdf.
Vídeo aula: Distância entre duas retas​ - Matemática - Ensino Médio do canal “Canal Futura” pode encontrar em:
https://www.youtube.com/watch?v=iMvDClQtLXI.