Elasticidade: Tensão e Deformação

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Elasticidade 
Erlania Lima de Oliveira 
Universidade Federal Rural 
do Semiarido - UFERSA 
Sumário 
 Elasticidade 
 
 Tensão e Deformação na Dilatação 
 
 Tensão e Deformação na Compressão 
 
 Tensão e Deformação Volumétrico 
 
 Tensão e Deformação de Cisalhamento 
 
 Elasticidade e Praticidade 
 
 
 
 
 
 
 
O que é Elasticidade? 
 
 
Elasticidade 
POR QUE ESTUDAR? 
 
• A determinação e/ou conhecimento das propriedades 
elasticas é muito importante para a escolha do material 
para uma determinada aplicação. 
 
• As propriedades elásticas definem o comportamento do 
material quando sujeitos à ações externas, pois estas estão 
relacionadas à capacidade do material de retornar à sua 
forma original quando a ação externa é removida. 
Elasticidade 
 Muitos objetos comuns, tais como mesas, escadas ou 
colheres, nos parecem perfeitamente rígidos ( 
ligações moleculares fortes). Já outros objetos como 
mangueiras de jardins e luvas de borracha não nos 
parecem de maneira alguma rígidos ( cadeias 
moleculares flexíveis). 
 
 Todos os corpos “rígidos” reais são, até certo ponto, 
elástico, o que significa que podemos mudar suas 
dimensões ligeiramente puxando-os, empurrando-os, 
torcendo-os ou comprimindo-os. 
Elasticidade 
 Cada átomo está em equilíbrio devido à interação (mola) com 
seis vizinhos ou seja, as molas representam as forças 
interatômicas. 
 As constantes efetivas das molas são grandes. É necessário forças 
grandes para separar os átomos. Daí a impressão de rigidez! 
sólido modelo massa - mola 
Elasticidade 
 Sólidos são arranjos periódicos de átomos formando redes 
cristalinas. Os átomos estão ligados por forças similares a forças de 
mola 
 Força elástica 
xkFe

 .
Constante 
elástica da mola 
Deslocamento em relação 
à posição de equilíbrio 
eF

x


x
eF
zona de deformação 
permanente 
ruptura 
zona linear (elástica) 
li
m
it
e 
el
as
ti
ci
d
ad
e 
limite 
ruptura 
Lei de Hooke 
Vejam três tipos principais de mudança de forma 
(deformação) de um sólido quando forças atuam sobre ele: 
Tensão e Deformação 
 Relação entre as forças e as deformações para vários casos. 
 
Introduziremos uma grandeza chamada TENSÃO (T): 
 
 
A tensão caracteriza intensidade das forças que produzem: 
 
 Dilatação, 
 Compressão 
 Torção. 
 
A
F
T 
Tensão e Deformação 
Quando a tensão e deformação são suficientemente pequenas: 
 
 
 
 
. 
 
 
deformaçãokdeelasticidademóduloTensão *)( 
Tensão e Deformação 
)( kdeelasticidademódulo
deformação
Tensão

Constante de proporcionalidade 
entre tensão e deformação 
denomina-se LEI DE HOOKE 
Consideremos um objeto cuja seção reta possui área A e 
comprimento L0, submetido a forças iguais e contrárias F nas 
extremidades. 
Dizemos que o objeto esta submetido a uma tensão de Dilatação. 
Tensão e deformação na 
dilatação 
Tensão de dilatação 
 
 
 
A unidade de tensão no SI é o Pascal (Pa). 
O comprimento da barra agora é 
 
 
 
A dilatação ocorre em todas as partes da barra, nas mesmas 
proporções. 
A
F
T 
LLL  0
Tensão e deformação na 
dilatação 
A deformação de dilatação é a fração da variação do comprimento 
definida como a razão entre a dilatação e o comprimento original 
 
 
Adimensional. 
Para uma tensão de dilatação suficientemente pequena, a tensão e a 
deformação são proporcionais. O módulo de elasticidade 
correspondente denomina-se MÓDULO DE YOUNG (Y) 
 
 
Y tem unidade de tensão. 
00
0 
L
L
L
LL
dilataçãodeDeformação




LA
FL
LL
AF
dilataçãodeformação
dilataçãoTensão
Y



 0
0/
/
 
 
Tensão e deformação na 
dilatação 
Quanto maior o módulo de elasticidade mais rígido é o material ou 
menor é a sua deformação elástica quando aplicada uma dada tensão 
Módulo de Elasticidade para 
alguns metais 
Quando as forças na extremidade do corpo é de empurrar, em vez 
de puxar, o corpo é submetido a uma COMPRESSÃO 
A Tensão e deformação do sistema serão TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
DE COMPRESSÃO. 
Tensão e deformação na 
compressão 
A deformação de 
compressão de um objeto 
submetido a uma compressão 
é definida do mesmo modo 
que a deformação de 
dilatação, porém L terá 
sentido contrário. 
A lei de Hooke e o módulo 
de Young são válidas tanto 
para compressão quanto para 
dilatação desde que a tensão 
de compressão não seja muito 
elevada. 
Tensão e deformação na 
compressão 
Resposta: 
Rascunho 
Atividade Assincrona 
1 - 6. A Figura abaixo mostra uma barra uniforme de massa 4,7 kg e 
comprimento 1,3 m suspensa pelas extremidades de dois fios verticais. Um dos 
fios é de aço e tem diâmetro de 1,2 mm, o outro é de alumínio com diâmetro 
igual 0,84 mm. Antes de a barra ser ataca aos fios, ambos tinham 1,7 m de 
comprimento. Encontre o ângulo entre a barra e a horizontal ( ignore a diferença 
de diâmetros dos fios, a barra e os fios estão no mesmo plano). 
 
Atividade Assincrona 
2- Um brinquedo em um parque de diversões consiste em 
carrinhos em forma de avião ligados por cabo de aço. Cada cabo 
possui comprimento igual a 15,0 m e área da seção reta igual a 8,0 
cm2. (a) Ache a dilatação do cabo quando o carrinho está em 
repouso. (Suponha que o peso total de cada carrinho juntamente 
com dois passageiros seja igual a 1900 N.) (b) Quando o 
brinquedo está em movimento, o carrinho gira com velocidade 
angular máxima de 8,0 rev/m. Qual a dilatação do cabo neste. 
A água exerce uma pressão aproximadamente uniforme sobre a 
superfície que comprime. 
Tensão e deformação 
volumétrica 
Consideremos um objeto imerso num fluido em repouso, o fluido 
exercerá uma força sobre todas as partes do objeto. A força 
ortogonal F por unidade de área que o fluido exerce sobre a 
superfície do objeto é denominado PRESSÃO do fluido. 
A
F
P 
 A unidade é a mesma que 
tensão, no SI é Pascal. 
Tensão e deformação 
volumétrica 
A pressão desempenha o papel da tensão em uma deformação 
volumétrica. 
V
V
avolumétricdeformação

 
O módulo de elasticidade correspondente (razão entre tensão e a 
deformação) denomina-se MÓDULO DE COMPRESSÃO (B) 
0/ 
 
VV
P
avolumétricdeformação
avolumétrictensão
B



O sinal negativo significa que a pressão 
sempre produz uma diminuição do volume. 
Tensão e deformação 
volumétrica 
Para pequenas variações de pressão em um sólido ou em um 
líquido, consideremos B constante. A tabela abaixo mostra alguns 
valores do módulo de compressão para alguns materiais. 
Tensão e deformação 
volumétrica 
 O inverso do módulo de compressão denomina-se 
COMPRESSIBILIDADE 
0
1
PV
V
B
K



 Valores de compressibilidade 
Materiais com módulos 
de compressão pequenos 
ou compressibilidades 
elevadas podem ser 
comprimidos facilmente. 
Tensão e deformação 
volumétrica 
Um fabricante de álcool clandestino produz etanol puro 
(álcool etílico) durante a madrugada e o acumula em um 
tanque de aço inoxidável em forma de cilindro com 
diâmetro igual a 0,300 m tampado na parte superior por 
um pistão. O volume total do tanque é 250 L (0,250 m3). 
Tentando injetar sob pressão um pouco mais de álcool no 
cilindro, o fabricante empilha blocos de chumbo com 
1420 Kg sobre o topo do pistão. Calcule o volume 
adicional de etanol que o fabricante clandestino pode 
armazenar sob pressão no interior do tanque 
Exemplo 
Atividade Assíncrona 
Uma esfera de latão sólida está inicialmente cercada por ar e 
a pressão exercida sobre ela é 1,0 x 105 N / m2 (pressão 
atmosférica). A esfera é então colocada no oceano a uma 
profundidade em que a pressão é de 2,0 x 107 N / m2. O 
volume da esfera no ar é 0,50 m3. Qual a variação do volume 
quando a esfera está submersa? 
 Consideremos um corpo que está sendo deformado por uma 
tensão de cisalhamento. Forças iguais, mas direções contrárias 
atuam tangencialmenteas superfícies das extremidades opostas do 
objeto. 
Tensão e deformação de 
cisalhamento 
Quando as forças são suficientemente pequenas (validade da lei 
de Hooke) à deformação de cisalhamento é proporcional à tensão 
de cisalhamento. O módulo de elasticidade correspondente 
denomina-se módulo de cisalhamento (S) 
Ax
Fh
hx
AF
tocisalhamendeformação
tocisalhamentensão
S 
/
/
 
 
Somente em sólidos se aplica a tensão de cisalhamento, pois depois volta a sua 
forma original. 
Tensão e deformação de 
cisalhamento 
 Alguns valores do módulo de cisalhamento 
Tensão e deformação de 
cisalhamento 
 Um cubo de cobre mede 6,0 cm em cada lado. A face inferior é 
mantida presa por uma cola muito potente a uma superfície 
horizontal plana, enquanto uma força horizontal F é aplicada à face 
superior paralela a uma das arestas. (a) Mostre que a cola exerce 
uma força F sobre a face inferior que é igual, mas contrária à força 
da face superior. (b) Quanto deve ser F para provocar uma deflexão 
de 0,0250 mm no cubo? (c) Se a mesma experiência fosse feito com 
um cubo de chumbo do mesmo tamanho que o de cobre, qual seria a 
deflexão causada pela mesma força calculada no item (b). 
 
 
 
Exemplo 
Atividade Assíncrona 
Se a tensão de cisalhamento no aço exceder 4,0x108 N/m2, o aço 
se rompe. Determine a força de cisalhamento necessária para (a) o 
parafuso de 1,0 cm de diâmetro se romper e (b) furar um buraco 
de 1,0 cm de diâmetro numa placa de aço de 0,500 cm de 
espessura. 
Exemplos de Tensões 
Deformação Elástica e Plástica 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 
 
• Prescede à deformação plástica 
• É reversível 
• Desaparece quando a tensão é 
removida 
• É praticamente proporcional à 
tensão aplicada (obedece a lei de 
Hooke)‏ 
 DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
 
• É provocada por tensões que ultrapassam 
o limite de elasticidade 
• É irreversível porque é resultado do 
deslocamento permanente dos átomos e 
portanto não desaparece quando a tensão 
é removida 
Elástica Plástica 
A tabela abaixo nos mostra alguns valores típicos da tensão de 
fratura para diversos materiais submetidos a tensões. 
ELASTICIDADE E 
PLASTICIDADE 
 SEARS, Francis. ZENANSKY, Mark.W., YOUNG, Hugh.D. Física 
1. 12ª ed. São Paulo, Adisson Wesley, 2008. 330p. 
 
 HALLIDAY, RESNICK & KRANE, Física II. 5ª ed. São Paulo. 
LTC. 2002. 370p. 
 
 Google.com 
Referências