Capítulo 2 - Tensão e deformação para carregamento axial

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CEFET-MG
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
“Capítulo 2 – Tensão e Deformação 
para Carregamento Axial”
DISCIPLINA: MECÂNICA DISCIPLINA: MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS E RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAISMATERIAIS
Professor: Alexandre Hubinger
para Carregamento Axial”
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
 Esforços internos
 Deformação específica sob carregamento axial
 Diagrama tensão-deformação
 Lei de Hooke (módulo de elasticidade)
 Deformações de barras sujeitas a cargas axiais
 Coeficiente de Poisson
tensão e deformaçãotensão e deformação
 Estado múltiplo de carregamento
 Deformação de cisalhamento
Consideremos uma viga submetida a um carregamento de forças 
concentradas e distribuídas no plano xy:
FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM 
ELEMENTOS ESTRUTURAISELEMENTOS ESTRUTURAIS
Agora cortamos a viga no ponto C e desenhamos um diagrama de corpo livre 
para cada uma das partes (AC e CB)
esforços internosesforços internos
FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM 
ELEMENTOS ESTRUTURAISELEMENTOS ESTRUTURAIS
Portanto, existem forças internas em C antes da viga AB ser cortada.
As forças internas agindo na parte AC da viga AB são equivalentes a um 
sistema força-conjugado:
M


esforços internosesforços internos
NVR
M


O sistema força conjugado que age em C na parte AC é equivalente, porém 
de sentido contrário, ao que age na parte CB.
Para estabelecer os valores dos esforços na seção é necessário estudar as 
forças que atuam de um lado ou de outro.
Isso implica em estabelecer convenções para que cheguemos ao mesmo 
sinal, quer trabalhemos com forças de um lado ou de outro lado da seção.
FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM 
ELEMENTOS ESTRUTURAISELEMENTOS ESTRUTURAIS
sinal, quer trabalhemos com forças de um lado ou de outro lado da seção.
esforços internosesforços internos
Uma barra é fixada em sua extremidade e é carregada como mostra a figura. 
Determine as forças normais internas nos pontos B e C.
FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM 
ELEMENTOS ESTRUTURAISELEMENTOS ESTRUTURAIS
esforços internosesforços internos
FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM 
ELEMENTOS ESTRUTURAISELEMENTOS ESTRUTURAIS
- Reações de apoio:
Vamos fazer um diagrama de corpo livre da barra como um 
todo:
Como podemos observar, não existem forças na direção x 
e nenhuma das forças, atuantes na barra, geram momentos no 
ponto de apoio A, portanto:
  kN 8A041216A0F yyy
- Diagramas de corpo livre:
As forças internas em B e C serão obtidas 
utilizando os diagramas de corpo livre da barra 
esforços internosesforços internos
utilizando os diagramas de corpo livre da barra 
seccionada:
Segmento AB:
kN 8N0N80F BBy  
Segmento DC:
kN 4N04N0F CCy  
FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM 
ELEMENTOS ESTRUTURAISELEMENTOS ESTRUTURAIS
Para determinar NB também podemos analisar o segmento 
BD da barra:
kN 8N0N161240F BBy  
esforços internosesforços internos
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB 
CARREGAMENTO AXIALCARREGAMENTO AXIAL
  deformação
tensão e deformaçãotensão e deformação
Diagrama carga-deformação:
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB 
CARREGAMENTO AXIALCARREGAMENTO AXIAL
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB 
CARREGAMENTO AXIALCARREGAMENTO AXIAL
A deformação específica normal de uma barra sob carga axial 
é definida como sendo a deformação por unidade de 
comprimento desta barra:
L


comprimento desta barra:
Onde:
  deformação específica [adimensional];
tensão e deformaçãotensão e deformação
  deformação específica [adimensional];
  deformação [m, mm,...]; e
L  comprimento [m; mm,...].
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Corpo de prova para ensaio de tração:
1) A área da seção transversal da parte 
cilíndrica central é medida 
cuidadosamente.
2) Duas marcas são desenhadas no corpo 
cilíndrico (distância L0)
tensão e deformaçãotensão e deformação
cilíndrico (distância L0)
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
O corpo de prova é 
então levado à 
máquina de teste:
1) Aplica-se uma1) Aplica-se uma
carga centrada P.
2) Mede-se a 
distância entre as
duas marcas 
desenhadas no
corpo (L).
tensão e deformaçãotensão e deformação
corpo (L).
3) Aumenta-se a 
força P...
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Desta forma podemos obter o diagrama tensão-deformação 
para os materiais (dúcteis).
tensão e deformaçãotensão e deformação
sE → resistência ao escoamento do material;
sU ou sL → limite de resistência
sR → resistência à ruptura
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Os materiais dúcteis, que compreendem o aço estrutural, se 
caracterizam por apresentarem escoamento a temperaturas normais.
Quando é atingido um valor crítico de 
stensão sE, o corpo de prova sofre 
uma longa deformação, com pouco 
aumento da carga aplicada.
Essa deformação é provocada por 
deslizamento do material ao longo de 
superfícies oblíquas e é devido, 
portanto, às tensões de cisalhamento.
tensão e deformaçãotensão e deformação
portanto, às tensões de cisalhamento.
Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do 
corpo começa a diminuir, devido à perda de resistência local. 
Chamamos esse fenômeno de estricção.
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Característica de ruptura de um material dúctil:
A ruptura ocorre ao longo de uma 
superfície cônica que forma um ângulo de superfície cônica que forma um ângulo de 
45º com a carga.
Portanto, o cisalhamento é o principal 
responsável pela falha dos materiais 
dúcteis, e confirma o fato de que, sob uma 
tensão e deformaçãotensão e deformação
dúcteis, e confirma o fato de que, sob uma 
carga axial, as tensões de cisalhamento 
são maiores nos planos que formam um 
ângulo de 45º com a carga.
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Característica de ruptura de um material frágil:
• A ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na 
taxa de alongamento;
• Não há diferença entre sL e sR;• Não há diferença entre sL e sR;
• A deformação no instante da ruputra é muito menor;
• Falta de estricção; e
• As tensões normais são as principais responsáveis pela 
falha dos materiais frágeis.
tensão e deformaçãotensão e deformação
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
MATERIAL 
DÚCTILDÚCTIL
tensão e deformaçãotensão e deformação
MATERIAL FRÁGIL
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Resistência ao escoamento para materiais frágeis:
tensão e deformaçãotensão e deformação
Traça-se através do ponto do eixo horizontal de abcissa
 = 0,2% (ou  = 0,002) uma linha paralela à parte reta inicial da 
curva do diagrama tensão deformação.
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Podemos medir a ductilidade de um material através do 
alongamento percentual ou da redução percentual da área;
LL 
0
0R
L
LL
100percentual oAlongament


0
R0
A
AA
100área de percentual duçãoRe


0  corresponde às dimensões do corpo de prova antes do 
tensão e deformaçãotensão e deformação
0  corresponde às dimensões do corpo de prova antes do 
início do ensaio.
R  corresponde às dimensões do corpo de prova no 
instante da ruptura do material.
DIAGRAMA TENSÃODIAGRAMA TENSÃO--DEFORMAÇÃODEFORMAÇÃO
Para aços com resistência ao escoamento de até 345 Mpa, o 
alongamento mínimo especificado para um comprimento de 
50 mm é de 21% (0,21 mm/mm).
Para o aço estrutural, uma redução de 60 a 70% na área é Para o aço estrutural, uma redução de 60 a 70% na área é 
comum.
Se o material dúctil fosse submetido a um ensaio de 
compressão, o diagrama tensão-deformação obtido seria 
igual ao do ensaio de tração.
tensão e deformaçãotensãoe deformação
Já para o material frágil, a tensão última de compressão é 
muito maior que a tensão última de tração. Isso se deve a 
imperfeições do material, como fendas e cavidades. Que 
debilitam o material, diminuindo sua resistência a tração.
LEI DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADELEI DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADE
As estruturas são projetadas de modo a sofrerem apenas 
pequenas deformações que não ultrapassem os valores do 
diagrama tensão deformação correspondentes ao trecho reto 
do diagrama, ou seja, o limite de proporcionalidade.do diagrama, ou seja, o limite de proporcionalidade.
Nessa parte inicial do diagrama, a tensão s é diretamente 
proporcional à deformação específica  e podemos escrever:
s E
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do 
Lei de Lei de HookeHooke (matemático Robert Hooke 1635-1703)
tensão e deformaçãotensão e deformação
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do 
material ou módulo de Young (cientista Thomas Young 1773-1829).
A unidade do módulo de elasticidade é Pa no sistema 
internacional (GPa mais precisamente).
LEI DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADELEI DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADE
O limite de proporcionalidade corresponde ao maior valor da 
tensão s para o qual a lei de Hooke é válida.tensão s para o qual a lei de Hooke é válida.
Para os materiais dúcteis, o limite de proporcionalidade 
coincide com o limite de escoamento.
Para outros materiais, o limite de proporcionalidade não se 
define tão facilmente porém, o uso da lei de Hooke para 
valores de tensão ligeiramente maiores que o limite 
tensão e deformaçãotensão e deformação
valores de tensão ligeiramente maiores que o limite 
proporcional real não resultará em um erro significativo.
LEI DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADELEI DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADE
Existem grandes variações das 
propriedades entre os quatro 
metais, no entanto, todos eles 
possuem o mesmo módulo de 
elasticidade.
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Se a tensão atuante na barra BC 
não exceder o limite de 
proporcionalidade do material 
podemos aplicar a Lei de Hooke. 
s E
EA
P
E 

s

tensão e deformaçãotensão e deformação
Temos que a deformação específica 
normal é:
L
L



DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Portanto, a deformação da barra Portanto, a deformação da barra 
pode ser determinada, para barras 
homogêneas (módulo de 
elasticidade constante) pela 
fórmula:
LP



tensão e deformaçãotensão e deformação
EA 

DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou se a barra 
consiste de várias partes com diferentes seções transversais 
ou compostas de diferentes materiais, devemos dividi-la em 


 ii
LP
ou compostas de diferentes materiais, devemos dividi-la em 
segmentos que individualmente satisfaçam a aplicação da 
fórmula da deformação.
Dessa forma a deformação total da barra será:
tensão e deformaçãotensão e deformação




i ii
ii
EA
LP
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Exemplo:
Determine a deformação da barra de aço da figura sob a ação 
das cargas indicadas (módulo de elasticidade E = 210 GPa):das cargas indicadas (módulo de elasticidade E = 210 GPa):
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Primeiramente, vamos dividir a barra em três partes 
componentes como mostrado na figura:
L1 = L2 = 300 mm
L = 400 mm
Para determinar em quantas partes dividiremos a barra, 
precisaremos percorrê-la e fazer as seguintes perguntas:
• Houve mudança de material?
• Houve mudança de seção?
L3 = 400 mm
A1 = A2 = 600 mm2
A3 = 200 mm2
tensão e deformaçãotensão e deformação
• Houve mudança de seção?
• Houve mudança de condição de carregamento?
Sempre que respondermos “sim” para uma destas perguntas, 
ali será o limite de uma seção.
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Para encontrarmos as forças 
internas P1, P2 e P3, devemos 
cortar cada uma das partes cortar cada uma das partes 
componentes, desenhando 
para cada corte o diagrama 
de corpo livre da parte da 
barra localizada à direita da 
seção. Impondo a condição 
de que cada um dos corpos 
tensão e deformaçãotensão e deformação
de que cada um dos corpos 
livres está em equilíbrio, 
obtemos:
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
(tração) kN 400P 
0200300500P :1 seção
1
1


0200P :3 seção
o)(compressã kN 100P 
0200300P :2 seção
(tração) kN 400P 
2
2
1




tensão e deformaçãotensão e deformação
(tração) kN 200P 
0200P :3 seção
3
3


DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
LPLPLPLP 332211ii 






Agora podemos calcular a deformação da barra de aço:
 
m 0026,00019,000024,000095,0
1021010200
4,010200
1021010600
3,010100
1021010600
3,010400
EA
LP
EA
LP
EA
LP
EA
LP
96
3
96
3
96
3
33
33
22
22
11
11
i ii
ii























tensão e deformaçãotensão e deformação
mm 2,6
m 0026,00019,000024,000095,0


DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Problema 2.1:
A barra rígida BDE é suspensa por 
duas hastes AB e CD. A haste AB duas hastes AB e CD. A haste AB 
é de alumínio (E = 70 GPa) com 
área da seção transversal de 
500 mm2; a haste CD é de aço 
(E = 200 GPa) com área da seção 
transversal de 600 mm2. Para a 
força de 30 kN determine:
tensão e deformaçãotensão e deformação
a) deslocamento de B; 
b) deslocamento de D; 
c) deslocamento de E.
Diagrama de corpo livre (barra BDE):
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
o)(compressã kN 60FkN 60F03090F0F
(tração) kN 90F06,0302,0F0M 
ABABABy
CDCDB
 
 
tensão e deformaçãotensão e deformação
a) Deslocamento no ponto B:
Como a força interna na barra AB é de compressão, temos 
P = -60 kN:
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
mm 514,0
m 000514,0
107010500
3,01060
EA
LP
B
96
3
B







 
O sinal negativo indica um contração do 
elemento AB e, portanto, um deslocamento 
tensão e deformaçãotensão e deformação
elemento AB e, portanto, um deslocamento 
da extremidade B para cima:
 mm 514,0B
b) Deslocamento no ponto D:
Como a força interna na barra CD é de tração, temos 
P = 90 kN:
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
mm 3,0
m 0003,0
1020010600
4,01090
EA
LP
D
96
3
D







 
O sinal positivo indica uma extensão do 
elemento CD e, portanto, um deslocamento 
tensão e deformaçãotensão e deformação
elemento CD e, portanto, um deslocamento 
da extremidade D para baixo:
 mm 3,0D
c) Deslocamento no ponto E:
Designamos por B’ e D’ as posições deslocadas dos 
pontos B e D. Como a barra BDE é rígida, os pontos B’, D’ e E’ 
estão em uma linha reta e temos:
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
estão em uma linha reta e temos:
x200514,0
HD
BH
'DD
'BB


Por semelhança de triângulo podemos obter x:
mm 7,73x
x
x200
3,0
514,0



tensão e deformaçãotensão e deformação
Novamente vamos utilizar semelhança de triângulos para 
determinar o deslocamento do ponto E:
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
mm 928,1
7,73
7,473
3,0
HDHE
'DD
'EE
E




mm 928,1E 
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Exercício 2.13:
Duas barras cilíndricas maciças AC e CD, ambas de mesma liga de 
alumínio (E = 70 GPa), são soldadas juntas em C e submetidas ao 
carregamento indicado. Determinar:carregamento indicado. Determinar:
a) a deformação total da barra composta ACD;
b) a deflexão do ponto C.
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Exercício 2.25:
Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, conectadas às duas 
vigas horizontais, são de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma seção 
transversal retangular de 10 x 40 mm. Para o carregamento transversal retangular de 10 x 40 mm. Para o carregamento 
mostrado, determinar a deflexão no
a) ponto E;
b) ponto F;
c) ponto G.
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS 
AXIAISAXIAIS
Exercício 2.26:
Cada uma das hastes de ligação AB e CD, são de aço 
(E = 200 GPa) e tem seção transversal uniforme de 
6,4 x 25,4 mm. Determinar a maior carga que pode ser aplicada ao 6,4 x 25,4 mm. Determinar a maior carga que pode ser aplicada ao 
ponto E, sendo que a deflexão nesse ponto não pode exceder 0,25 
mm.
tensão e deformaçãotensão e deformação
COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
tensão e deformaçãotensão e deformação
E
x
x
s

COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
Em todos os materiais, o alongamento produzido por 
uma força P na direção dessa força é acompanhado 
por uma contração em qualquer direção transversalpor uma contração em qualquer direção transversal
tensão e deformaçãotensão e deformação
COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
Considerações:
 Material homogêneo  suas várias propriedades  Material homogêneo  suas várias propriedades 
mecânicas são independentes do ponto 
considerado
 Material isotrópico  suas várias propriedades 
mecânicas são independentes da direção 
considerada
tensão e deformaçãotensão e deformação
considerada
COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
O valor absoluto da relação entre a deformação 
específica transversal e a deformação específica 
longitudinal é chamado de coeficiente de Poisson:longitudinal é chamado de coeficiente de Poisson:
allongitudin específica deformação
ltransversa específica deformação

y 
tensão e deformaçãotensão e deformação
x
z
x
y






COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
Podemos também descrever as condições de 
deformações específicas sob carga axial do eixo x:
E
x
x
s

xs
tensão e deformaçãotensão e deformação
E
x
zy
s

Ex. 2.7: Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500 mm de 
comprimento e 16 mm de diâmetro. Sob a ação da carga axial 
de 12 kN, o seu comprimento aumenta em 300 m e seu 
diâmetro se reduz em 2,4 m. Determinar o módulo de 
COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
diâmetro se reduz em 2,4 m. Determinar o módulo de 
elasticidade e o coeficiente de Poisson do material
tensão e deformaçãotensão e deformação
Primeiramente, vamos calcular a tensão que está atuando no
eixo x da barra:
COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
MPa 7,59
1012P
x2
3
x s

s MPa 7,59
4
016,0A
x2x
s

s
Agora vamos calcular as deformações específicas nas
direções x e y:
6
x
3
x
x 10600
mm 10300 






tensão e deformaçãotensão e deformação
6
y
3
y
y
6
x
x
x
10150
mm 61
mm 104,2
d
10600
mm 500L









COEFICIENTE DE POISSONCOEFICIENTE DE POISSON
Utilizando a lei de Hooke podemos determinar o módulo de
elasticidade do material:
GPa 5,99E
10600
107,59
EE
6
6
x
x
xx 



s
s 
Agora, vamos determinar o coeficiente de Poison do material:
25,0
)10150( 6y 





tensão e deformaçãotensão e deformação
25,0
10600
)10150(
6
x
y 





 
ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
Consideraremos elementos estruturais sujeitos à 
ação de carregamentos que atuam nas direções dos 
três eixos coordenados. Temos então um estado três eixos coordenados. Temos então um estado 
múltiplo de carregamento ou um carregamento 
multiaxial.
tensão e deformaçãotensão e deformação
ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
Avaliando a deformação que ocorre em um cubo 
elementar adotando para suas dimensões arestas de 
comprimento unitário.comprimento unitário.
tensão e deformaçãotensão e deformação
ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
Combinando os resultados chegamos às expressões 
das componentes das deformações específicas 
correspondentes ao estado múltiplo de correspondentes ao estado múltiplo de 
carregamento:
EEE
EEE
zyx
y
zyx
x
s

s

s

s

s

s

tensão e deformaçãotensão e deformação
EEE
EEE
zyx
z
y
s

s

s


Ex. 2.8: A figura mostra um bloco de aço submetido à ação de 
pressão uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do 
comprimento AB, que foi de -25 m. Determinar: (a) a 
variação de comprimento das outras duas arestas; (b) a 
ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
variação de comprimento das outras duas arestas; (b) a 
pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar E = 200 GPa e
 = 0,29.
tensão e deformaçãotensão e deformação
Como o bloco está submetido a uma pressão uniforme em todas
as suas face, temos que:
pzyx sss
ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
Agora vamos determinar as deformações específicas nas
direções x, y e z:
)21(
E
p
E
)p(
E
)p(
E
)p(
EEE
zyx
x 






s

s

s

Como o bloco está submetido à pressão –p em todas as faces,Como o bloco está submetido à pressão –p em todas as faces,
temos que:
)21(
E
p
zyx 
tensão e deformaçãotensão e deformação
Sabemos que a deformação na direção x, face AB, é de 25 m e,
portanto, podemos calcular a deformação específica na direção x:
6
x
3
x
x 105,312
mm1025 






ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
6
zyx
6
x
AB
x
x
105,312
105,312
mm 80L




Portanto, podemos determinar as deformações nas direções
y e z:
mm 105,1240105,312L 36y  


mm 1075,1860105,312L
L
mm 105,1240105,312L
L
3
z
6
BDzz
BD
z
z
3
y
6
BCyy
BC
y
y








tensão e deformaçãotensão e deformação
Agora, podemos calcular a pressão que atua em todas as faces
ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;ESTADO MÚLTIPLOS DE CARREGAMENTO;
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKEGENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE
Agora, podemos calcular a pressão que atua em todas as faces
do bloco:
MPa 8,148p
)29,021(
)105,312(10200
)21(
E
p)21(
E
p 69x
x








tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
Agora estudaremos um caso de estado de tensões 
mais geral onde estão presentes as tensões de 
cisalhamento.cisalhamento.
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
Tomemos um cubo elementar de lado unitário, sujeito 
apenas às tensões de cisalhamento aplicadas às 
faces do cubo, perpendiculares aos eixos x e y:faces do cubo, perpendiculares aos eixos x e y:
tensão e deformaçãotensão e deformação
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DECISALHAMENTO
O elemento se deforma da seguinte maneira:
tensão e deformaçãotensão e deformação
Quando a deformação provoca uma redução no ângulo formado 
pelas faces orientadas segundo os eixos x e y a deformação de 
cisalhamento é positiva; de modo contrário ela é negativa.
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
Desta forma escrevemos:
xyxy G
Lei de Hooke para tensão e 
deformação por cisalhamento
tensão e deformaçãotensão e deformação
Onde: xy ≡ tensão de cisalhamento [Pa];
G ≡ módulo de elasticidade transversal do material [Pa]; e
xy ≡ deformação de cisalhamento (ângulo em radianos).
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
Considerando agora um cubo elementar submetido 
às tensões de cisalhamento nos demais planos:
tensão e deformaçãotensão e deformação
yzyz G zxzx G
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
Para o estado geral de tensões:
EEE
zyx
x
sss
s

s

s

yzyz G
zxzx G
G
EEE
EEE
xy
xy
zyx
z
zyx
y



s

s

s

s

s

s

tensão e deformaçãotensão e deformação
zxzx G
G
G
zx
zx
yz
yz




Ex. 2.10: Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de 
elasticidade transversal G = 620 MPa. O bloco é colado a 
duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a 
placa superior é submetida à força P. Sabendo-se que a 
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
placa superior é submetida à força P. Sabendo-se que a 
placa superior se move de 1 mm sob a ação da força, 
determinar: (a) a deformação de cisalhamento no material; 
(b) a força P que atua na placa superior.
tensão e deformaçãotensão e deformação
a) Deformação por cisalhamento:
Vamos selecionar eixos 
coordenados centrados no ponto 
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
coordenados centrados no ponto 
médio C da borda AB e direcionados 
conforme a figura:
1
De acordo com a definição, a deformação de cisalhamento xy é
igual ao ângulo formado pela vertical e pela liha CF que une os
pontos médios das bordas AB e DE:
rad 02,0
50
1
 tg xyxyxy 
tensão e deformaçãotensão e deformação
Notando que esse ângulo é muito pequeno e lembrando que ele
deverá ser expresso em radianos.
b) Força atuante na placa superior:
Vamos utilizar a lei de Hooke para tensão e deformação de 
cisalhamento para calcular a tensão de cisalhamento:
DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTODEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
cisalhamento para calcular a tensão de cisalhamento:
MPa 4,1202,010620G xy
6
xyxy 
Portanto, a força exercida na placa superior é:
N 108,148)06,02,0(104,12AP
A
P 36
xyxy 
tensão e deformaçãotensão e deformação
kN 8,148
A
xy
xyxy

Exercício 2.66:
Em um teste de tração, uma barra de 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Em um teste de tração, uma barra de 
alumínio de 20 mm de diâmetro é 
submetida a uma força P de 30 kN. 
Sabendo-se que E = 80 GPa e  = 0,35, 
determinar: 
(a) o alongamento da barra, em um 
trecho central de 150 mm; 
tensão e deformaçãotensão e deformação
trecho central de 150 mm; 
(b) a variação do diâmetro da barra.
Exercício 2.70:
Um quadrado de 20 mm de lado é 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Um quadrado de 20 mm de lado é 
desenhado na parede de um vaso de 
pressão de aço de grandes 
dimensões. Depois de pressurizado 
o estado biaxial de tensões no 
quadrado é como mostrado. Usando 
a tabela do apêndice B, para aço 
estrutural, determinar a variação do 
tensão e deformaçãotensão e deformação
estrutural, determinar a variação do 
comprimento: (a) do lado AB; (b) do 
lado BC; (c) da diagonal.
Exercício 2.82:
Um amortecedor de vibrações 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Um amortecedor de vibrações 
consiste em dois blocos de borracha 
dura coladas à placa AB, e dois 
suportes fixos, como indicado. 
Sabendo-se que a força de 
intensidade P = 26,7 kN causa uma 
deflexão vertical de 1,6 mm na placa 
AB, determinar o módulo de 
tensão e deformaçãotensão e deformação
AB, determinar o módulo de 
elasticidade transversal da borracha 
utilizada.