7. Análise Combinatória

Prévia do material em texto

Análise 
Combinatória
Fatorial (n!)
n! = n(n – 1).(n – 2) . … . 3 . 2 . 1
• n ∈ ℕ
• 1! e 0! são iguais a 1
• Princípio Aditivo da Contagem → 
Conjunção “ou” = adição
• Princípio Multiplicativo da Contagem 
→ Conjunção “e” = multiplicação
Principio Fundamental da Contagem 
(PFC)
• “Se uma decisão d1 pode ser tomada de x 
maneiras diferentes e se, uma vez tomada a 
decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y 
maneiras diferentes, então o número de 
maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é 
dado pelo produto x ⋅ y.”
Permutação Simples
Pn = n!
• Número de possibilidades que pode – se 
organizar n elementos distintos em n posições, de 
forma que cada possibilidade seja diferente da 
ordem em que os elementos aparecem.
• Ex: (EsSA) As permutações das letras da palavra 
PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se 
fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 
73ª palavra nessa lista é:
Em ordem alfabética AOPRV
A,O ,P__ __ __ __ = 3.4! = 3. 4. 3. 2. 1 = 72
R A O P V = 73
Permutação com Repetição
𝐏𝐧
𝐧𝟏,𝐧𝟐,𝐧𝟑,…,𝐧𝐤 =
𝐧!
𝐧𝟏!𝐧𝟐!𝐧𝟑!…𝐧𝐤!
• n: total de elementos do evento;
• n1! . n2! . … . nk!: elementos repetidos no evento.
• Ex: (EsPCEx) Se todos os anagramas da palavra 
ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a 
palavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição:
Em ordem alfabética CEEPSX
C __ __ __ __ __ = 𝑃5
2 =
5!
2!
= 
5.4.3.2!
2!
= 60
E C __ __ __ __ = 4! = 24
E E __ __ __ __ = 4! = 24
E P __ __ __ __ = 4! = 24
E S C __ __ __ = 3! = 6
E S E __ __ __ = 3! = 6
O próximo será a palavra ESPCEX, para descobrir sua 
posição deve – se somar os resultados anteriores com a 
posição da palavra: 60 + 24 + 24 + 24+ 6 + 6 + 1 = 145
ESPCEX ocupara a 145ª posição
Arranjo Simples
𝐀𝐧,𝐩 =
𝐧!
𝐧−𝐩 !
• n: total de elementos do evento; p: total de 
agrupamentos, com p ≤ n;
• É uma forma de agrupar elementos pela 
diferença da ordem e natureza dos elementos.
• Organização
Arranjo com Repetição
An = n
p
• É utilizado quando a ordem dos elementos do 
evento é importante, sendo que cada 
elementos pode ser contado mais de uma vez.
Combinação Simples
𝐂𝐧,𝐩 =
𝐧!
𝐩! 𝐧−𝐩 !
• É uma forma de agrupar elementos 
somente pela diferença da natureza não 
importando a ordem dos elementos. 
• Seleção
• Casos Particulares: 
➢ Cn,n = 1; 
➢ Cn,0 = 1; 
➢ C0,0 = 1
Combinação com Repetição
𝐂𝐧,𝐩 =
𝐧 + 𝐩 − 𝟏 !
𝐩! 𝐧 − 𝟏 !
• É utilizado quando a ordem dos elementos do 
evento não importa, porém, podemos escolher 
cada elementos mais de uma vez.
Obs:
• Método Construtivo → abrir o 
problemas em casos
• Método Destrutivo → contar a mais e 
retirar os casos desnecessários
Permutação Circular
(PC)n = (n – 1)!
• Número de possibilidades que pode – se 
organizar n elementos distintos em torno de um círculo
• Ex: De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de 
uma mesa circular?
(PC)4 = (4 – 1)! = 3! = 3. 2. 1 = 6