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LISTA DE EXERCÍCIO 1 – PONTOS MATERIAIS E CORPOS RÍGIDOS 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 1: 
Dois cabos estão amarrados em C e são carregados conforme a figura abaixo. Determine 
a tensão no cabo AC e no cabo BC 
 
• Pela Lei dos Senos 
𝑇𝑇𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽)
=
𝑇𝑇𝐵𝐵𝐴𝐴
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼)
=
500 𝑁𝑁
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛾𝛾)
 
𝑇𝑇𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(60°)
=
𝑇𝑇𝐵𝐵𝐴𝐴
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(40°)
=
500𝑁𝑁
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(80°)
 
 
𝑇𝑇𝐴𝐴𝐴𝐴 =
500 𝑁𝑁
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(80°)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(60°) = 439,69 𝑁𝑁 
𝑇𝑇𝐵𝐵𝐴𝐴 =
500 𝑁𝑁
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(80°)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(40°) = 326,35 𝑁𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 1 – Duas hastes de controle são conectadas à alavanca AB em A. Usando 
trigonometria e sabendo que a força na haste da esquerda é 𝐹𝐹1 = 120 𝑁𝑁, determine: 
 
a) A força 𝐹𝐹2 requerida na haste da direita para que a resultante 𝑅𝑅 das forças 
exercidas pelas hastes na alavanca seja vertical. (Resposta: 99,22 N) 
b) A intensidade correspondente de 𝑅𝑅. (Resposta: 97,90 N) 
 
EXERCÍCIO 2 – Sabendo que a tração no cabo 𝐵𝐵𝐵𝐵 é igual a 726 𝑁𝑁, determinar a 
resultante das três forças exercidas no ponto 𝐵𝐵 da viga 𝐴𝐴𝐵𝐵. Sabendo que 𝐹𝐹1 = 835 𝑁𝑁 e 
𝐹𝐹2 = 500 𝑁𝑁 
Resposta: 227,20 N 𝛼𝛼 = 76° 
 
EXERCÍCIO 3 – Dois cabos ligados no ponto 𝐵𝐵 são carregados tal como mostra a 
figura. Sabendo que a tração máxima permissível em cada cabo é 900 𝑁𝑁, determinar a 
maior força 𝑭𝑭 que pode ser aplicada em 𝐵𝐵 e o valor de 𝜶𝜶 correspondente. (𝐹𝐹 =
1216,06 𝑁𝑁 e 𝛼𝛼 = 77,5°) 
 
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EXERCÍCIO 4 – Um carro deve ser rebocado usando o arranjo de corda mostrado. A 
força de reboque necessária é de 600 𝑙𝑙𝑙𝑙. Determine o comprimento mínimo “l” da 
corda 𝐴𝐴𝐵𝐵 de modo que a tensão em qualquer corda 𝐴𝐴𝐵𝐵 ou 𝐴𝐴𝐵𝐵 não exceda 750 𝑙𝑙𝑙𝑙. 
Sugestão: Use a condição de equilíbrio no ponto 𝐴𝐴 para determinar o ângulo 𝜃𝜃 e para 
determinar “l” utilize trigonometria no triângulo 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 formado pela corda. 
Resposta: (l = AB = 2,65 pés) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 2: 
Uma placa retangular é sustentada pelos suportes 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 e por um fio 𝐵𝐵𝐶𝐶. Sabendo que a 
tração no fio é de 200 𝑁𝑁, determine o momento em relação a 𝐴𝐴 da força exercida pelo 
fio no ponto 𝐵𝐵. 
 
SOLUÇÃO 1: 
Inicialmente devemos escolher um ponto para posicionarmos os nossos eixos de 
referência (x, y e z). Os eixos foram posicionados no ponto 𝑂𝑂, conforme mostrado na 
figura abaixo. Definido a posição dos eixos, todas as coordenadas dos pontos serão 
informadas em relação a esse ponto. 
Para calcular o momento 𝑀𝑀𝐴𝐴 (no ponto 𝐴𝐴) exercido pela força 𝐹𝐹 aplicada no ponto 𝐵𝐵, 
devemos traçar um vetor posição de 𝐵𝐵 com relação a 𝐴𝐴, representado por 𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴. Este 
vetor pode ser obtido subtraindo-se 𝑟𝑟𝐴𝐴 de 𝑟𝑟𝐴𝐴. 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴 . 𝐹𝐹 = (𝑟𝑟𝐴𝐴 − 𝑟𝑟𝐴𝐴) . 𝐹𝐹 
A força 𝐹𝐹 = 200 𝑁𝑁, aplicada no ponto 𝐵𝐵 dirigida ao longo de 𝐵𝐵𝐶𝐶. Introduzindo o vetor 
unitário 𝜆𝜆 = 𝐴𝐴𝐶𝐶
�����⃗
𝐴𝐴𝐶𝐶
, temos: 
�⃗�𝐹 = 𝐹𝐹𝜆𝜆 = (200𝑁𝑁)
𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗
𝐵𝐵𝐶𝐶
 
 
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Passo 1 - Encontrando o vetor posição de C em relação a A (𝒓𝒓𝑪𝑪/𝑨𝑨) 
• Coordenadas do Ponto A: 
 
Em relação ao eixo x, o ponto 𝐴𝐴 está na mesma posição do ponto de referência 𝑂𝑂 
x = 0,00 
Em relação ao eixo y, o ponto 𝐴𝐴 está na mesma posição do ponto de referência 𝑂𝑂 
y = 0,00 
Em relação ao eixo z, o ponto 𝐴𝐴 não está na mesma posição do ponto de 
referência 𝑂𝑂 , para calcularmos esta distância, olhando a figura anterior, 
podemos notar que a distância ponto 𝑂𝑂 ao ponto 𝐴𝐴 é a soma da distância entre o 
ponto 𝑂𝑂 ao ponto 𝐵𝐵 (𝑂𝑂𝐵𝐵����) com a distância do ponto 𝐵𝐵 ao ponto 𝐴𝐴 (𝐵𝐵𝐴𝐴����). Olhando 
a figura temos que 𝑂𝑂𝐵𝐵���� = 0,08 𝑚𝑚 e 𝐵𝐵𝐴𝐴���� = 0,24 𝑚𝑚. 
z = (0,08 m + 0,24 m) = 0,32 m 
𝐴𝐴(0; 0; 0,32 𝑚𝑚) 
• Coordenadas do Ponto C: 
 
Em relação ao eixo x, o ponto 𝐵𝐵 não está na mesma posição do ponto de 
referência 𝑂𝑂, essa distância parte do ponto 𝑂𝑂 até o final da largura da placa 
x = 0,30 m 
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Em relação ao eixo y, o ponto 𝐵𝐵 está na mesma posição do ponto de referência 𝑂𝑂 
y = 0,00 
Em relação ao eixo z, o ponto 𝐵𝐵 não está na mesma posição do ponto de 
referência 𝑂𝑂 , para calcularmos esta distância, podemos notar que a distância do 
ponto 𝑂𝑂 ao ponto 𝐵𝐵 é a soma da distância entre o ponto 𝑂𝑂 ao ponto 𝐵𝐵 (𝑂𝑂𝐵𝐵����) com 
a distância do ponto 𝐵𝐵 ao ponto 𝐴𝐴 (𝐵𝐵𝐴𝐴����) e com a distância do ponto 𝐴𝐴 a borda da 
placa. Olhando a figura temos que 𝑂𝑂𝐵𝐵���� = 0,08 𝑚𝑚 e 𝐵𝐵𝐴𝐴���� = 0,24 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎é 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎 =
0,08 𝑚𝑚. 
z = (0,08 m + 0,24 m + 0,08 m) = 0,40 m 
𝐵𝐵(0,30 𝑚𝑚; 0; 0,40 𝑚𝑚) 
• Traçando o vetor posição de 𝐵𝐵 com relação a 𝐴𝐴 (𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴): 
𝒓𝒓𝑪𝑪/𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑪𝑪�����⃗ = (𝒓𝒓𝑪𝑪 − 𝒓𝒓𝑨𝑨) 
𝐴𝐴(0,00 𝑚𝑚; 0,00 𝑚𝑚; 0,32 𝑚𝑚) 
 𝐵𝐵(0,30 𝑚𝑚; 0,00 𝑚𝑚; 0,40 𝑚𝑚) 
Este vetor pode ser obtido subtraindo-se 𝑟𝑟𝐴𝐴 de 𝑟𝑟𝐴𝐴: 
- Vetor posição: 𝑟𝑟𝑎𝑎 = (0,00 𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,00 𝑚𝑚)𝑗𝑗 + (0,32 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
- Vetor posição: 𝑟𝑟𝑐𝑐 = (0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,00 𝑚𝑚)𝑗𝑗 + (0,40 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
- Vetor posição de C com relação a A: 
 𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴 = (𝑟𝑟𝐴𝐴 − 𝑟𝑟𝐴𝐴) 
 Em x: (𝑥𝑥𝑐𝑐 − 𝑥𝑥𝑎𝑎) = (0,30 𝑚𝑚 − 0,00 𝑚𝑚)𝑖𝑖 = (0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 
Em y: (𝑦𝑦𝑐𝑐 − 𝑦𝑦𝑎𝑎) = (0,00 𝑚𝑚− 0,00 𝑚𝑚)𝑗𝑗 = (0,00 𝑚𝑚)𝑗𝑗 
Em z: (𝑧𝑧𝑐𝑐 − 𝑧𝑧𝑎𝑎) = (0,40 𝑚𝑚 − 0,32 𝑚𝑚)𝑘𝑘 = (0,08 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
 𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴 = (0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,08 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
 
Passo 2 - Encontrando a Força 𝑭𝑭��⃗ 
Para encontrarmos o vetor força �⃗�𝐹, que possui intensidade 𝐹𝐹 = 200 𝑁𝑁, aplicada 
no ponto 𝐵𝐵 dirigida ao longo de 𝐵𝐵𝐶𝐶. Podemos introduzir o vetor unitário 𝜆𝜆 = 𝐴𝐴𝐶𝐶
�����⃗
𝐴𝐴𝐶𝐶
, 
e assim teremos: 
�⃗�𝐹 = 𝐹𝐹𝜆𝜆 = (200𝑁𝑁)
𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗
𝐵𝐵𝐶𝐶
 
 
 
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• Decompondo o vetor 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ em componentes retangulares, temos: 
A força 𝐹𝐹 é definida pelos pontos C e D localizados em sua linha de ação, assim 
podemos expressar 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ traçado de 𝐵𝐵 para 𝐶𝐶 em termos de seus componentes 
𝑑𝑑𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑧𝑧 e de seus vetores unitários i, j, k. 
𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑑𝑑𝑧𝑧𝑘𝑘 
𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 
𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 
𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝐶𝐶 − 𝑧𝑧𝐴𝐴 
 
• Coordenadas do ponto inicial 𝐵𝐵(0,30 𝑚𝑚; 0; 0,40 𝑚𝑚) 
• Coordenadas do Ponto D: 
 
 
Em relação ao eixo x, o ponto 𝐶𝐶 está na mesma posição do ponto de referência 
𝑂𝑂. 
x = 0,00 m 
Em relação ao eixo y, o ponto 𝐶𝐶 não está na mesma posição do ponto de 
referência 𝑂𝑂, para calcularmos esta distância, podemos notar que a distância de 
𝑂𝑂 a 𝐶𝐶 é a mesma distância de 𝐵𝐵 a 𝐶𝐶. Sendo assim 𝑂𝑂𝐶𝐶���� = 𝐵𝐵𝐶𝐶���� = 0,24 𝑚𝑚 
y = 0,24 m 
Em relação ao eixo z, o ponto 𝐶𝐶 não está na mesma posição do ponto de 
referência 𝑂𝑂 , para calcularmos esta distância, podemos notar que a distância de 
𝑂𝑂 a 𝐶𝐶 é a mesma distância de 𝑂𝑂 a 𝐵𝐵. Sendo assim 𝑂𝑂𝐵𝐵���� = 𝑂𝑂𝐶𝐶���� = 0,08 𝑚𝑚. 
z = 0,08 m 
𝐶𝐶(0,00 𝑚𝑚; 0,24 𝑚𝑚; 0,08 𝑚𝑚) 
 
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• Vetor 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ : 
𝐵𝐵(0,30 𝑚𝑚; 0,00 𝑚𝑚; 0,40 𝑚𝑚) 
 𝐶𝐶(0,00 𝑚𝑚; 0,24 𝑚𝑚; 0,08 𝑚𝑚) 
𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 = (0,00 𝑚𝑚 − 0,30 𝑚𝑚) = −0,30 𝑚𝑚 
𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 = (0,24 𝑚𝑚 − 0,00 𝑚𝑚) = 0,24 𝑚𝑚 
𝑑𝑑𝑧𝑧= 𝑧𝑧𝐶𝐶 − 𝑧𝑧𝐴𝐴 = (0,08 𝑚𝑚 − 0,40 𝑚𝑚) = 0,32 𝑚𝑚 
𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑑𝑑𝑧𝑧𝑘𝑘 = −(0,30𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,24 𝑚𝑚)𝑗𝑗 − (0,32 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
• Distância 𝐵𝐵𝐶𝐶����: 
Para encontrarmos a distância DC, devemos traçar um triângulo ligando os 
pontos D, B e C (ver figura b). As distâncias entre esses pontos formarão um 
triângulo retângulo de lados DB, BC e CD e aplicando o teorema de Pitágoras 
encontraremos a distância entre os pontos C e D. 
A distância entre os pontos D e B é conhecida e igual a 0,24 𝑚𝑚. 
Para encontrar a distância 𝐵𝐵𝐵𝐵 devemos traçar um outro triângulo formado pelo 
pontos C, B e um ponto distante 0,08 𝑚𝑚 da coordenada 𝑥𝑥 do ponto 𝐴𝐴 (no sentido 
de 𝐵𝐵 para 𝐴𝐴), que representa um ponto na borda da placa (ver figura a). 
 
 
𝐵𝐵𝐶𝐶 = 0,50 𝑚𝑚 
• Vetor Força �⃗�𝐹: 
�⃗�𝐹 = 𝐹𝐹𝜆𝜆 = (200𝑁𝑁)
𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗
𝐵𝐵𝐶𝐶
 
�⃗�𝐹 = 𝜆𝜆𝐹𝐹 = �
−(0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,24 𝑚𝑚)𝑗𝑗 − (0,32 𝑚𝑚)𝑘𝑘
0,50 𝑚𝑚
�200𝑁𝑁 
�⃗�𝐹 = −(120𝑁𝑁)𝑖𝑖 + (96𝑁𝑁)𝑗𝑗 − (128𝑁𝑁)𝑘𝑘 
 
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Passo 3 - Momento no ponto A: 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴 . �⃗�𝐹 
 𝑟𝑟𝐴𝐴/𝐴𝐴 = (0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,08 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
�⃗�𝐹 = −(120𝑁𝑁)𝑖𝑖 + (96𝑁𝑁)𝑗𝑗 − (128𝑁𝑁)𝑘𝑘 
 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = [(0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (0,08 𝑚𝑚)𝑘𝑘]. [(−120 𝑁𝑁)𝑖𝑖 + (96 𝑁𝑁)𝑗𝑗 − (128 𝑁𝑁)𝑘𝑘)]² 
= [(0,30 𝑚𝑚). (−120 𝑁𝑁)]𝑖𝑖2 + [(0,30 𝑚𝑚). (96 𝑁𝑁)]𝑖𝑖𝑗𝑗 + [(0,30 𝑚𝑚). (−128 𝑁𝑁)]𝑖𝑖𝑘𝑘
+ [(0,08 𝑚𝑚). (−120 𝑁𝑁)]𝑘𝑘𝑖𝑖 + [(0,08 𝑚𝑚). (96 𝑁𝑁)]𝑘𝑘𝑗𝑗
+ [(0,08 𝑚𝑚). (−128 𝑁𝑁)]𝑘𝑘² 
Sabendo que os produtos vetoriais dos pares possíveis de vetores unitários são: 
𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖 = 0 𝑗𝑗 𝑥𝑥 𝑖𝑖 = −𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗
𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑥𝑥 𝑗𝑗 = 0 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑗𝑗 = −𝑖𝑖
𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑘𝑘 = −𝑗𝑗 𝑗𝑗 𝑥𝑥 𝑘𝑘 = 𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘 = 0
 
Temos então, 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = (28,8 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑘𝑘 + (38,40 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑗𝑗 + (−9,6 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑗𝑗 + (−7,68 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑖𝑖 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = −(7,68 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (28,8 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑗𝑗 + (28,8 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑘𝑘 
 
SOLUÇÃO 2: 
O momento 𝑀𝑀𝐴𝐴 pode ser expresso em forma de um determinante: 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = �
𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑘𝑘
𝑥𝑥𝐴𝐴 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑦𝑦𝐴𝐴 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝑧𝑧𝐴𝐴 − 𝑧𝑧𝐴𝐴
𝐹𝐹𝑥𝑥 𝐹𝐹𝑦𝑦 𝐹𝐹𝑧𝑧
� 
onde 𝐹𝐹𝑥𝑥, 𝐹𝐹𝑦𝑦 e 𝐹𝐹𝑧𝑧 é a força 𝐹𝐹 decomposta nos eixos x, y e z: 
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• Coordenadas dos Pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵: 
𝐴𝐴(0,00 𝑚𝑚; 0,00 𝑚𝑚; 0,32 𝑚𝑚) 
 𝐵𝐵(0,30 𝑚𝑚; 0,00 𝑚𝑚; 0,40 𝑚𝑚) 
• Distância de 𝐴𝐴 a 𝐵𝐵: 
 Em x: (𝑥𝑥𝑐𝑐 − 𝑥𝑥𝑎𝑎) = (0,30 𝑚𝑚 − 0,00 𝑚𝑚)𝑖𝑖 = (0,30 𝑚𝑚)𝑖𝑖 
Em y: (𝑦𝑦𝑐𝑐 − 𝑦𝑦𝑎𝑎) = (0,00 𝑚𝑚− 0,00 𝑚𝑚)𝑗𝑗 = (0,00 𝑚𝑚)𝑗𝑗 
Em z: (𝑧𝑧𝑐𝑐 − 𝑧𝑧𝑎𝑎) = (0,40 𝑚𝑚 − 0,32 𝑚𝑚)𝑘𝑘 = (0,08 𝑚𝑚)𝑘𝑘 
 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = �
𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑘𝑘
0,30 − 0 0 − 0 0,40 − 0,32
−120 96 −128
� 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = −(7,68 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑖𝑖 + (28,8𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑗𝑗 + (28,8 𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑘𝑘 
 
EXERCÍCIO 5 – Uma força de 200 𝑁𝑁 é aplicada em um suporte 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 como mostrado 
na figura. Determinar o momento da força sobre 𝐴𝐴. 
Resposta: 𝑀𝑀𝐴𝐴 = (7,50𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑖𝑖 − (6,00𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑗𝑗 − (10,39𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑘𝑘 
 
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EXERCÍCIO 6 – Conforme figura abaixo, os cabos AB e BC são unidos antes que o 
tronco de uma árvore seja derrubado. Sabendo que as tensões nos cabos 𝐴𝐴𝐵𝐵 e 𝐵𝐵𝐵𝐵 são 
555 𝑁𝑁 e 660 𝑁𝑁, respectivamente, determinar o momento em torno de 𝑂𝑂 gerado pela 
força resultante exercida sobre a árvore pelos cabos em B. 
Resposta: (𝑀𝑀𝑂𝑂 = (3080𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑖𝑖 − (2070𝑁𝑁.𝑚𝑚)𝑘𝑘