Cálculo Diferencial e Integral III (MAD105) Avaliação II

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Cálculo Diferencial e Integral III (MAD105) – Avaliação II
1Para modelar matematicamente situações físicas, utilizamos o conceito de funções. Sabendo as propriedades da função, conseguimos encontrar respostas para o problema modelado. No entanto, para encontrar as respostas, é importante conhecer os vários tipos de funções e as suas propriedades. Com relação aos tipos de funções, podemos classificá-las dependendo do seu conjunto domínio e do seu conjunto imagem. Com relação às funções e seu domínio e imagem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Função vetorial de uma variável.
II- Função vetorial de n variáveis ou campos vetoriais.
III- Função escalar ou função real de n variáveis.
IV- Função real de uma variável.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
II - IV - I - III. 
B
III - II - IV - I.
C
II - III - IV - I.
D
III - II - I - IV.
2Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3 contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função
A
3.
B
9.
C
0.
D
6.
Tabela de Derivada e Integral - Cálculo
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3O movimento de uma partícula sobre o plano no ponto (x, y) é dado por uma função vetorial que depende de tempo t em segundos. Determine o ponto (x, y) da posição inicial da partícula e o instante de tempo que a partícula está no ponto (-7, 20), sabendo que a função movimento da partícula é:
A
A posição inicial é (-3, 6) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 10 segundos.
B
A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 5 segundos.
C
A posição inicial é (5, -2) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 15 segundos.
D
A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 0 segundos.
4Equações paramétricas são conjuntos de equações que representam uma curva, umas das aplicações de equações paramétricas é descrever a trajetória de uma partícula, já que as variáveis espaciais podem ser parametrizadas pelo tempo. Considerando uma reta paramétrica que liga o ponto A (-1, 1) ao ponto B (3, 3), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção IV está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção II está correta.
5Uma partícula está se movendo segundo a função posição que depende do tempo. Então o vetor tangente unitário da função posição
A
Somente a opção IV é correta.
B
Somente a opção III é correta.
C
Somente a opção I é correta.
D
Somente a opção II é correta.
6Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do comportamento de forças em um espaço. Por isso, é importante sabermos encontrar propriedades desses campos vetoriais através do cálculo de divergente e rotacional, por exemplo. Com relação ao campo vetorial, assinale a alternativa CORRETA:
A
O campo divergente é nulo em todos os pontos do plano.
B
O campo rotacional é um vetor nulo.
C
O divergente do rotacional do campo vetorial é nulo.
D
O campo divergente é diferente de zero no ponto (0, 0).
7O divergente de uma função vetorial mede como é a dispersão do campo de vetores. No caso de um fluido, o divergente pode indicar onde teria um sumidouro ou uma fonte dependendo do sinal já que o divergente de uma função vetorial é um escalar. Com relação ao divergente, podemos afirmar que o divergente da função vetorial
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção I está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
8Em muitas aplicações, precisamos calcular a derivada de uma função vetorial. O método é o mesmo que aquele utilizado para derivar funções reais, basta apenas analisar cada uma das componentes da função separadamente. Podemos afirmar que a derivada da função vetorial
A
Somente a opção III é correta.
B
Somente a opção IV é correta.
C
Somente a opção II é correta.
D
Somente a opção I é correta.
Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.
9Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência que está no primeiro e segundo quadrante. O centro da semicircunferência está na origem e o raio é igual a 3. Encontre a massa desse arame, utilizando a integral de linha sabendo que a função densidade é igual a
A
108.
B
0.
C
27.
D
54.
10Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula, porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente. Determine a reta tangente da função vetorial:
A
A reta tangente é (3 - t, 2 + t).
B
A reta tangente é (-1 + 3t, 1 + 2t).
C
A reta tangente é 5 + 2t.
D
A reta tangente é 2 + 5t.