0 BETÃO I (APOLITECNICA)_Resumo de Apontamentos_20 12

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Universidade Politécnica 
 
 
 
 
 
BETÃO ARMADO 
Apontamentos - Volume 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jorge Pindula, Engº Civil 
2012 
 
Documento em elaboração e revisão 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
Jorge Pindula, Engº Civil Apontamentos de Betao Armado 1.doc - 2/118 
ÍNDICE 
SIMBOLOGIA ..................................................................................................................................... VI 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1 
1.1. Definição .................................................................................................................................... 1 
1.2. Vantagens e desvantagens ................................................................................................... 1 
1.2.1. Vantagens ........................................................................................................................ 1 
1.2.2. Desvantagens .................................................................................................................. 1 
1.3. Aplicações do Betão Armado ............................................................................................... 3 
1.4. Tipos estruturais e modos de solicitação .............................................................................. 3 
1.4.1. Estruturas Lineares (reticuladas) ................................................................................... 3 
1.4.2. Estruturas Laminares ........................................................................................................ 4 
1.4.3. Estruturas maciças .......................................................................................................... 4 
2. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .................................................................................................. 6 
2.1. Betão .......................................................................................................................................... 6 
2.1.1. Características do betão .............................................................................................. 6 
2.1.1.1. Resistência à compressão ..................................................................................... 6 
2.1.1.2. Resistência à tracção ............................................................................................ 9 
2.1.1.3. Módulo de elasticidade ........................................................................................ 9 
2.1.1.4. Fluência e retracção............................................................................................ 10 
2.1.2. Características relativas a verificação da segurança e dimensionamento ...... 11 
2.1.2.1. Resistência ............................................................................................................. 11 
2.1.2.2. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural ................................... 13 
2.1.2.3. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural ................................... 14 
2.2. Armaduras ............................................................................................................................... 15 
2.2.1. Armaduras para o betão armado ............................................................................. 15 
2.2.2. Relações tensões-extensões de cálculo ................................................................... 16 
2.3. Funcionamento conjunto dos dois materiais ..................................................................... 18 
3. BASES DE PROJECTO E ACÇÕES ............................................................................................... 19 
3.1. Métodos de análise e avaliação da segurança .............................................................. 19 
3.1.1. Método das tensões de segurança .......................................................................... 19 
3.1.2. Método de Rotura ........................................................................................................ 20 
3.1.3. Método Probabilístico .................................................................................................. 20 
3.2. Critérios Gerais de verificação da segurança .................................................................. 21 
3.3. Estados Limites ......................................................................................................................... 22 
3.3.1. Estados Limites Últimos (ELU) ........................................................................................ 22 
3.3.2. Estados limites de serviço ou de utilização (ELS) ..................................................... 23 
3.4. Acções ..................................................................................................................................... 23 
3.4.1. Classificação e Tipos de Acções ............................................................................... 24 
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3.4.1.1. Acções Permanente (g,G) .................................................................................. 24 
3.4.1.2. Acções Variáveis (q,Q) ........................................................................................ 24 
3.4.1.3. Acções de acidente ou excepcionais ............................................................. 24 
3.4.2. Quantificação das acções ......................................................................................... 24 
3.4.3. Combinações de Acções ........................................................................................... 25 
3.4.4. Diagramas envolventes de esforços ......................................................................... 27 
4. SECÇÕES SOLICITADAS A FLEXÃO E AO ESFORÇO AXIAL ..................................................... 28 
4.1. Comportamento de secções em flexão (estados de deformação) ............................ 28 
4.1.1. Estado I – Secção não fendilhada............................................................................. 28 
4.1.2. Estado II – Secção Fendilhada ................................................................................... 30 
4.1.3. Estado III – Calculo a rotura ........................................................................................ 31 
4.2. Domínios de deformação das secções ............................................................................. 32 
4.2.1. Rotura por Deformação Plástica Excessiva do Aço ............................................... 33 
4.2.2. Rotura do Betão na Flexão ......................................................................................... 35 
4.2.3. Rotura de Secção Inteiramente Comprimida ......................................................... 37 
4.3. Hipóteses fundamentais da flexão ...................................................................................... 39 
4.4. Secções solicitadas ao Esforço axial: Tirantes e Escoras ................................................. 40 
4.4.1. Compressão simples ..................................................................................................... 40 
4.4.1.1. Calculo aos Estados Limites Últimos (Rotura) ................................................... 404.4.1.2. Calculo aos Estados Limites de utilização (Elástico em serviço) .................. 41 
4.4.1.3. Disposições do REBAP (arts. 120º a 122º) .......................................................... 42 
4.4.2. Tracção simples ............................................................................................................. 43 
4.4.2.1. Calculo aos Estados Limites Últimos (Rotura) ................................................... 43 
4.4.2.2. Calculo aos Estados Limites de utilização (Elástico em serviço) .................. 43 
4.5. Secções solicitadas à Flexão Simples – Calculo a Rotura ............................................... 44 
4.5.1. Analise da secção ........................................................................................................ 44 
4.5.1.1. Secções rectangulares simplesmente armadas ............................................. 44 
4.5.1.2. Secções rectangulares duplamente armadas ............................................... 45 
4.5.1.3. Vigas em Secção “T” ........................................................................................... 46 
4.5.1.3.1. Largura efectiva do banzo comprimido ........................................................ 46 
4.5.1.3.2. Hipóteses para o dimensionamento ............................................................... 47 
4.5.1.4. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento ..................... 49 
4.5.2. Procedimentos de Calculo a Rotura ......................................................................... 50 
4.5.2.1. Calculo da Capacidade resistente ................................................................... 50 
4.5.2.2. Dimensionamento de armaduras ...................................................................... 51 
4.5.2.3. Formulas Simplificadas. Vigas Rectangulares. ................................................. 51 
4.5.2.4. Uso de Tabelas ...................................................................................................... 53 
4.5.3. Disposições do REBAP .................................................................................................. 53 
4.6. Pré-dimensionamento de vigas rectangulares ................................................................. 57 
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4.7. Secções solicitadas à Flexão Composta ............................................................................ 59 
4.7.1. Considerações Gerais. ................................................................................................. 59 
4.7.2. Princípios de Cálculo .................................................................................................... 59 
4.7.3. Métodos de análise ...................................................................................................... 59 
4.7.3.1. Dimensionamento pelo diagrama bloco-rectangular .................................. 59 
4.7.3.1.1. Secção totalmente Traccionada. Armadura simétrica ............................... 60 
4.7.3.1.2. Secção parcialmente comprimida. ................................................................ 60 
4.7.3.1.3. Secção parcialmente comprimida. Rotura pelo betão .............................. 61 
4.7.3.1.4. Secção totalmente comprimida e armadura simétrica .............................. 62 
4.7.3.2. Pilares Rectangulares simetricamente armados. Formulas Simplificadas ... 62 
4.7.3.3. Resolução recorrendo a ábacos e Tabelas..................................................... 64 
4.7.4. Pré-dimensionamento de pilares ............................................................................... 65 
4.8. Secções solicitadas à Flexão Desviada .............................................................................. 69 
4.8.1. Princípios de Cálculo .................................................................................................... 69 
4.8.2. Métodos de Analise e Dimensionamento ................................................................ 69 
4.8.2.1. Fórmulas simplificadas – “Processo da excentricidade fictícia” .................. 69 
4.8.2.2. Ábacos Elaborados .............................................................................................. 70 
5. SECÇÕES SOLICITADAS AO ESFORÇO DE TRANSVERSO ......................................................... 73 
5.1. Generalidades ........................................................................................................................ 73 
5.2. Comportamento em fase não fendilhada ........................................................................ 73 
5.3. Comportamento elástico em fase fendilhada ................................................................. 74 
5.3.1. Clássica Analogia da treliça de Morsch ................................................................... 74 
5.4. Possíveis modos de rotura ..................................................................................................... 75 
5.5. Verificação da Segurança e dimensionamento (REBAP) ............................................... 76 
5.5.1. O termo Vwd ................................................................................................................... 77 
5.5.2. O termo Vcd quando existem armaduras especificas de esforço transverso .... 77 
5.5.3. O termo Vcd quando não existem armaduras específicas de corte ................... 79 
5.5.4. Valor máximo do esforço transverso resistente ....................................................... 80 
5.5.5. Constituição das armaduras e espaçamento dos varões .................................... 80 
5.5.6. Armadura mínima de estribos ..................................................................................... 81 
5.6. Disposições construtivas ........................................................................................................ 82 
5.7. Disposições regulamentares ................................................................................................. 82 
6. SECÇÕES SOLICITADAS A TORÇÃO ......................................................................................... 85 
6.1. Generalidades ........................................................................................................................ 85 
6.2. Torção de compatibilidade ................................................................................................. 85 
6.3. Torção de equilíbrio ............................................................................................................... 85 
6.4. Verificação da segurança e dimensionamento (REBAP) ............................................... 86 
6.4.1. Generalidades ............................................................................................................... 86 
6.4.2. Secção oca eficaz ....................................................................................................... 88 
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6.4.3. Valor máximo do momento torsor resistente ........................................................... 89 
6.4.4. Constituição da armadura e espaçamento dos varões ....................................... 89 
6.5. Esforço de torção associado a flexão ou a esforço transverso ..................................... 90 
6.6.Disposições construtivas ........................................................................................................ 91 
7. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ENCURVADURA ........................................................................ 92 
7.1. Introdução ............................................................................................................................... 92 
7.2. Parâmetros fundamentais para a verificação da segurança ....................................... 92 
7.2.1. Mobilidade da Estrutura (tipos de estrutura) ............................................................ 92 
7.2.2. Esbelteza ......................................................................................................................... 93 
7.2.3. Comprimento efectivo de encurvadura e secção critica .................................... 95 
7.2.4. Direcções de encurvadura ......................................................................................... 99 
7.2.5. Momentos actuantes nas secções criticas ............................................................ 100 
7.2.6. Excentricidades ........................................................................................................... 103 
a) Excentricidade de 2.ª ordem ...................................................................................... 103 
b) Excentricidade acidental ............................................................................................ 104 
c) Excentricidade de fluência (ec) ................................................................................... 105 
7.3. Verificação da segurança em relação ao estado limite último de encurvadura ... 105 
7.3.1. Momentos actuantes na secção crítica ................................................................ 106 
7.3.2. Dispensa de verificação em relação à encurvadura .......................................... 107 
7.4. Pré-dimensionamento de pilares ....................................................................................... 109 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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SIMBOLOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
1.1. Definição 
O Betão armado é um material composto, constituído por betão simples e aço. Os dois 
materiais constituintes (betão e aço) devem agir solidariamente para resistir aos esforços a 
que forem submetidos e devem ser dispostos de maneira a utilizar económica e 
racionalmente as resistências próprias de cada um deles. 
O betão armado apresenta as seguintes propriedades: 
 Elevada resistência à compressão por parte do betão e elevada resistência à 
tracção por parte do aço; 
 Trabalho conjunto do betão e do aço, assegurado pela aderência entre os dois 
materiais; 
 Coeficiente de dilatação térmica entre os dois materiais que o compõem quase 
iguais, 0.9≤αc≥1,4x10-5/°C e αa=1,2x10-5/°C. 
1.2. Vantagens e desvantagens 
Como material estrutural, o betão apresenta várias vantagens em relação a outros 
materiais. Serão relacionadas também algumas de suas desvantagens e as providências 
que podem ser adoptadas para contorná-las. 
1.2.1. Vantagens 
− Economia: mais económico que estruturas de aço. 
− É moldável, permitindo grande variabilidade de formas e de concepções 
arquitectónicas. 
− Apresenta boa resistência à maioria dos tipos de solicitação, desde que seja feito 
um dimensionamento correcto e uma pormenorização adequada das armaduras. 
− A estrutura é monolítica, fazendo com que a funcione quando solicitada. 
− Manutenção e conservação quase nulas e grande durabilidade. 
− Boa resistência à compressão. 
− Resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e a desgastes mecânicos. 
− Possibilidade de trabalhar com Pré-fabricados. 
1.2.2. Desvantagens 
− Peso próprio elevado: 2,5t/m3 = 25KN/m3. 
− Custo de cofragens para a moldagem. 
− Transmissão de calor e som. 
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− Fragilidade. 
− Fissuração. 
− Retracção e fluência 
− Corrosão das armaduras 
− Baixa resistência à tracção. 
Para suprir as deficiências do betão, há várias alternativas, a saber: 
− Tanto a retracção quanto a fluência dependem da estrutura interna do betão. 
Portanto, para minimizar seus efeitos, adequada atenção deve ser dada a todas as 
fases de preparação, desde a escolha dos materiais e da dosagem até a 
compactação e a cura do betão colocado nos cimbramentos. 
− A fluência depende também das forças que actuam na estrutura. Portanto, um 
programa adequado das fases de carregamento, tanto na fase de projecto quanto 
durante a construção, pode atenuar os efeitos da fluência. 
− A baixa resistência à tracção pode ser contornada com o uso de adequada 
armadura, obtendo-se o betão armado. 
− Além de resistência à tracção, o aço garante ductilidade e aumenta a resistência à 
compressão, em relação ao betão simples. 
Em peças comprimidas, como nos pilares, os estribos, além de evitarem a 
flambagem localizada do aço, podem confinar o betão, o que também aumenta 
sua ductilidade. 
− A fissuração pode ser contornada ainda na fase de projecto, com armação 
adequada e limitação do diâmetro do aço e da tensão na armadura. Também é 
usual a associação do betão com pelo menos uma parte de armadura activa, ou 
seja, com tensões prévias, formando o betão pré-esforçado. 
A utilização de armadura activa tem como principal finalidade aumentar a 
resistência da peça, o que possibilita a execução de grandes vãos ou o uso de 
secções menores, diminuindo o peso próprio, sendo que também se obtém uma 
melhora do betão com relação à fissuração. 
− A corrosão da armadura pode ser prevenida com controle da fissuração e com o 
uso de adequado recobrimento da armadura, cujo valor depende do grau de 
agressividade do ambiente em que a estrutura for construída. 
 
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1.3. Aplicações do Betão Armado 
É o material estrutural mais utilizado a nível mundial. Outros materiais como madeira, 
alvenaria e aço também são de uso comum e há situações em que são imbatíveis. Porém, 
suas aplicações são bem mais restritas. 
Algumas aplicações do betão são relacionadas a seguir: 
− Edifícios: mesmo que a estrutura principal não seja de betão, alguns elementos, pelo 
menos, o serão; 
− Armazéns e pisos industriais ou para fins diversos; 
− Obras hidráulicas e de saneamento: barragens, tubos, canais, reservatórios,estações 
de tratamento etc.; 
− Estradas: pavimentação de betão, pontes, viadutos, passarelas, túneis, galerias, 
obras de contenção etc.; 
− Estruturas diversas: elementos de cobertura, chaminés, torres, postes, muros de 
suporte, piscinas, silos, cais, fundações de máquinas etc. 
1.4. Tipos estruturais e modos de solicitação 
Em função do tipo de esforços a que as estruturas estão submetidas e de acordo com o 
procedimento adoptado na sua determinação, as estruturas podem classificar-se em: 
1.4.1. Estruturas Lineares (reticuladas) 
São estruturas constituídas por peças lineares em que uma das dimensões (o comprimento) 
é muito superior às outras duas (que definem a secção transversal). Exemplos: vigas, pilares, 
pórticos, treliças, arcos, tirantes, escoras. 
A secção transversal de uma estrutura linear pode estar sujeita aos seguintes esforços: 
− N Esforço axial (Fx) 
− Vy Comp. Esforço transverso (Fy) 
− Vz Comp. Esforço transverso (Fz) 
− Mz Comp. Momento flector (Mz) 
− My Comp. Momento flector (My) 
− T Momento torsor (Mx) 
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Esforços em peças lineares 
1.4.2. Estruturas Laminares 
São estruturas em que duas das dimensões (comprimento e largura) são da mesma ordem 
de grandeza e de valor substancialmente superior à outra dimensão (espessura). Exemplos: 
Lajes, paredes, vigas-parede, cascas. 
A secção transversal de uma estrutura linear pode estar sujeita aos seguintes esforços: 
 
Elemento de laje, parede e casca 
1.4.3. Estruturas maciças 
As estruturas maciças apresentam três dimensões (altura, comprimento e profundidade) da 
mesma ordem de grandeza, sendo em geral submetidas a um estado de tensão triaxial. 
Exemplos: Barragens e fundações maciças. 
A secção transversal de uma estrutura linear pode estar sujeita aos seguintes esforços: 
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Elemento de estrutura linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
A associação do betão com aço deu origem ao material estrutural com maior sucesso na 
execução de obras de engenharia civil, o betão armado. Tratam-se dois materiais que 
apresentam características substancialmente diferentes. 
O aço é produzido sob condições bem controladas e as suas propriedades são 
caracterizadas em laboratório, sendo acompanhados por certificados de qualidade. Assim, 
a utilização deste material não constitui grande preocupação para os engenheiros. 
No que se refere ao betão, a situação é completamente diferente. Este material é obtido a 
partir da mistura de diversos componentes dos quais, em geral, apenas um é certificado: o 
cimento. Para além deste aspecto, o fabrico e a colocação do betão nas estruturas 
envolve, a diversos níveis, a utilização de uma elevada quantidade de mão-de-obra, cuja 
qualidade influencia de forma determinante a qualidade do material final: o betão 
armado. 
Este facto leva a que o betão constitua um material cujas propriedades apresentam uma 
elevada variabilidade que deve ser tida em conta no dimensionamento das estruturas. Por 
outro lado, por se tratar de um material constituído por componentes que vão reagindo ao 
longo do tempo, as suas propriedades também são dependentes do tempo. Acresce ainda 
que o comportamento do betão armado pode ser significativamente afectado pelas 
condições de exposições ambientais que envolvem as estruturas. 
 Tudo isto implica a necessidade do engenheiro envolvido no projecto e execução de 
estruturas conhecer o melhor possível os materiais constituintes do betão armado e o efeito 
que esses materiais podem ter no comportamento mecânico e durabilidade das obras. 
2.1. Betão 
O betão é um material formado pela mistura de cimento, de agregados grossos e finos e de 
água, resultante do endurecimento da pasta de cimento. Para além destes componentes 
básicos, pode também conter adjuvantes e adições. Caso a máxima dimensão do 
agregado seja igual ou inferior a 4mm, o material resultante é denominado argamassa. 
2.1.1. Características do betão 
2.1.1.1. Resistência à compressão 
A resistência à compressão é a característica mecânica mais importante do betão, pois nas 
estruturas a função deste material é essencialmente resistir às tensões de compressão 
enquanto as armaduras têm a função de resistir às tensões de tracção. 
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A resistência à compressão é determinada em provetes submetidos a uma solicitação axial 
num ensaio de curta duração, isto é, com uma velocidade de carregamento elevada. 
Dado que a forma dos provetes, a velocidade de carregamento e outros factores tais 
como a idade do betão e as condições de cura têm uma influência significativa na 
resistência medida, os métodos de ensaio são normalizados. 
Os provetes geralmente utilizados para determinar a resistência à compressão do betão 
têm a forma cúbica ou prismática, sendo, entre estes últimos, os cilindros com altura dupla 
do diâmetro os mais usuais. 
A norma NP EN 206-1 estabelece que a resistência à compressão deve ser determinada em 
provetes cúbicos de 150mm ou provetes cilíndricos de 150/300mm. A resistência cilíndrica é 
da ordem de 0.80 da resistência cúbica. Esta diferença é originada pelo atrito entre as 
faces dos provetes e os pratos das prensas que impedem a deformação transversal do 
betão conduzindo a maiores valores da resistência. Este fenómeno é mais significativo nos 
provetes com menor esbelteza. 
Uma vez que o endurecimento do betão se processa ao longo do tempo, a resistência à 
compressão, tal como as outras características deste material, evolui também no tempo. 
Como para efeito de dimensionamento das estruturas se considera a resistência do betão 
aos 28 dias, estabeleceu-se esta idade para caracterizar esta propriedade. Assim, a 
resistência à compressão é determinada sobre moldes cilíndricos ou cúbicos, mantidos em 
condições saturadas, aos 28 dias de idade. 
A resistência do betão apresenta uma variabilidade significativa resultante quer da própria 
heterogeneidade do material, quer das condições de fabrico (controlo de qualidade). 
Desta forma, a resistência não pode ser caracterizada apenas pelo valor médio dos 
resultados obtidos de ensaios de um determinado número de provetes. É necessário 
também ter em conta a dispersão dos valores. Adoptou-se, assim, o conceito de resistência 
característica que é um valor estatístico que tem em conta a média aritmética das tensões 
de rotura (fcm) obtidas nos ensaios dos provetes e o coeficiente de variação (Δ) dos valores 
medidos. A resistênciacaracterística do betão (fck) é o valor que apresenta 95% de 
probabilidade de ser excedido, figura abaixo. 
 
 
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Assim, esta resistência (fck) é obtida a partir da sua resistência média determinando-se 
primeiro o desvio padrão da mesma (amostra) pela fórmula: 
 
 
em que: 
 
e, pela Curva de Gauss, a resistência característica é dada pela fórmula: 
Δ 1,64 - cjf ckf = ou ) 1,64 -1 ( cjf ckf Δ= 
O coeficiente de variação é determinado essencialmente pela qualidade dos meios 
empregues para fabricar o betão que influenciam a precisão com que é efectuada a 
dosagem dos seus componentes, pela organização do estaleiro e ainda pelo controlo 
exercido sobre o fabrico. 
Como valores de referência podem considerar-se os seguintes: 
− condições de execução médias - Δ = 0.20 a 0.25 
− condições de execução boas - Δ = 0.15 a 0.20 
− condições de execução muito boas - Δ = 0.10 a 0.15. 
Um coeficiente de variação superior a 0.25 não é admissível na execução de estruturas de 
betão armado. 
1-n
n
1
2)cjf-ci(f
 
∑
=Δ
n
n
1 ci
f
 cjf
∑
=
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Quanto maior for o coeficiente de variação, maior é o afastamento entre o valor médio e o 
valor característico da resistência. Assim, existe toda a vantagem, sob o ponto de vista 
económico, em fabricar e controlar o betão de forma eficiente. 
2.1.1.2. Resistência à tracção 
A resistência à tracção (fct) é uma característica importante do betão em fenómenos tais 
como a fendilhação e a aderência das armaduras. 
Tal como acontece com a resistência à compressão, a resistência à tracção depende do 
tipo de ensaio. Esta característica mecânica pode ser medida directamente em provetes 
prismáticos traccionados ou medida indirectamente por flexão de prismas ou compressão 
diametral de cilindros. 
 
 
 
Quando a resistência à tracção for determinada como a tensão de rotura à tracção por 
compressão diametral pode considerar-se para valor aproximado da tensão de rotura à 
tracção simples. 
2.1.1.3. Módulo de elasticidade 
O Módulo de elasticidade (Ec) é a relação entre a tensão actuante e a deformação 
longitudinal resultante desta tensão. 
Os valores médios do módulo de elasticidade aos 28 dias de idade a considerar são os 
indicados no quadro 1.5. Aos j dias de idade, Ec,j , pode em geral ser estimado a partir do 
valor médio da tensão de rotura à mesma idade, fcm,j , pela expressão: 
3 j,cmf5.9j,cE = . 
Quadro 1.5 – Valores médios do módulo de elasticidade do betão, Ec, 28 
Classe de 
resistência 
B15 B20 B25 B30 B35 B45 B50 B55 B60 
Ec,28 
(GPa) 
26.0 27.5 29.0 30.5 32.0 33.5 35.0 36.0 37.0 
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Verifica-se que o módulo de elasticidade aumenta com a resistência do betão, todavia a 
relação entre estas duas propriedades apresenta uma dispersão elevada. Embora existam 
expressões que relacionam a tensão de rotura com o módulo de elasticidade, é necessário 
determinar experimentalmente o seu valor quando estão em causa cálculos rigorosos sobre 
o comportamento das estruturas. 
O coeficiente de Poisson (relação entre a deformação transversal e a deformação 
longitudinal) depende da resistência do betão, do nível de tensão aplicada e da própria 
composição do betão. O seu valor varia geralmente entre 0.15 e 0.25. O seu conhecimento 
rigoroso não é importante para a maioria dos cálculos de engenharia, pelo que se adopta 
geralmente um valor médio igual a 0.20. A partir do coeficiente de Poisson determina-se o 
módulo de distorção. 
2.1.1.4. Fluência e retracção 
A fluência é um fenómeno que consiste no aumento progressivo no tempo da deformação 
instantânea de uma peça de betão quando sujeita a uma tensão com carácter de 
permanência. Este fenómeno ocorre devido à variação de volume de pasta de cimento 
que envolve os agregados. 
A retracção consiste na diminuição da dimensão de uma peça de betão na ausência de 
variações de temperatura e de tensões aplicadas. Este fenómeno é originado pela 
variação de volume da pasta de cimento devida essencialmente à evaporação da água 
de amassadura do betão e às reacções de hidratação das partículas de cimento. A 
carbonatação do betão origina também fenómenos de retracção. 
A fluência e retracção originam o que normalmente se designa por efeitos diferidos, i.e., 
efeitos devidos à deformação do betão ao longo do tempo. 
As principais desvantagens da fluência e retracção no comportamento das estruturas são 
as seguintes: 
− aumento das deformações dos elementos estruturais, principalmente em vigas e 
lajes 
− perdas da força de pré-esforço em elementos pré-tensionados e pós-tensionados 
nas estruturas pré-esforçadas 
− fendilhação de elementos com deformações impedidas, devido ao encurtamento 
originado pela retracção 
− aumento dos esforços em elementos comprimidos sujeitos a cargas excêntricas 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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A fluência apresenta ainda um efeito importante na tensão de rotura do betão. Verifica-se 
que existe uma relação entre a tensão aplicada no betão e a sua resistência, determinada 
num ensaio de curta duração, a partir da qual a fluência provoca a rotura. Essa relação é 
da ordem de 0.8 a 0.9, razão pela qual a regulamentação afecta, para efeitos de cálculo 
da resistência das peças, a tensão de rotura do betão de um coeficiente de redução. 
Todavia, este efeito é compensado pelo aumento da resistência do betão no tempo 
(recorde-se que nos cálculos da capacidade resistente dos elementos se considera a 
resistência do betão aos 28 dias de idade). Assim, na versão final do Eurocódigo 2, esse 
coeficiente de redução pode ser considerado igual a 1. 
Como principais vantagens da fluência referem-se a redução dos esforços nos elementos 
estruturais originados por deformações impostas e a eliminação das concentrações de 
tensões. 
A retracção é influenciada por um grande número de parâmetros associados à 
composição do betão, ao ambiente de exposição e à forma das peças de betão. 
Os principais factores que influenciam a fluência são o nível de tensão aplicado nas peças 
e a resistência do betão. Verifica-se que a fluência varia linearmente com a relação entre a 
tensão aplicada e a tensão de rotura do betão para um intervalo de valores desta relação 
da ordem de 0.4 a 0.7. 
2.1.2. Características relativas a verificação da segurança e dimensionamento 
Definem-se aqui as características do betão que devem ser consideradas para efeitos da 
análise estrutural e dimensionamento de secções de betão armado e pré-esforçado. 
2.1.2.1. Resistência 
O betão é classificadode acordo com a sua resistência à compressão, definindo-se as 
classes de resistência conforme indicado no quadro abaixo, em que: o índice (15, 20, 25, ...) 
representa o valor característico da resistência à compressão do betão em provetes 
cúbicos com 20 cm de aresta e, (12, 16, 20,…) representa o valor característico da 
resistência à compressão em provetes cilíndricos com 15 cm diâmetro e 30 cm altura. 
 
 
 
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Quadro 1.3 – Valores médios e característicos da tensão de rotura do betão à tracção 
simples 
Classe de 
resistência 
B15 B20 B25 B30 B35 B45 B50 B55 B60 
fcd 
(Mpa) 
8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3 
fctd 
(MPa) 
0.80 0.93 1.07 1.20 1.33 1.47 1.60 1.73 1.87 
O valor de cálculo da resistência do betão à compressão fcd obtém-se dividindo a 
resistência característica fck pelo coeficiente de segurança γc = 1.5. 
A resistência à tracção do betão (fct) é definida como a tensão máxima que o betão pode 
suportar quando submetido à tracção simples. A resistência à tracção pode ser 
determinada através do ensaio de tracção axial ou obtida a partir da resistência à tracção 
por ensaio de compressão diametral ou da resistência à tracção por ensaio de flexão. 
Os valores médios e característicos adoptados para a tensão de rotura do betão à tracção 
simples aos 28 dias, fctm e fctk, indicados no quadro 1.4, correspondentes às classes dos 
betões indicados no quadro a seguir. 
Quadro 1.4 – Valores médios e característicos da tensão de rotura do betão à tracção 
simples 
Classe de 
resistência 
B15 B20 B25 B30 B35 B45 B50 B55 B60 
fctm 
(Mpa) 
1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 
fctk 
(MPa) 
1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 
As classes de resistência mínima para betão pré-esforçado são C25/30 para elementos pós-
tensionados e C30/37 para elementos pré-tensionados. 
O Eurocódigo 2 refere que os betões de classe de resistência inferior a C12/C15, ou 
superiores a C50/60, não devem ser utilizados em obras de betão armado e pré-esforçado, 
a menos de justificação fundamentada. 
Por vezes, em diversas situações práticas, tem interesse estimar a resistência do betão para 
idades diferentes dos 28 dias. Este processo não é simples dado que o desenvolvimento da 
resistência no tempo depende de muitos parâmetros tais como o tipo e a classe de 
resistência do cimento, o tipo e quantidade de adições e adjuvantes, a razão A/c e as 
condições ambientais. 
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Para idades diferentes dos Betões apresentados no quadro 1.1, poderão tomar-se os valores 
indicados no quadro 1.2, extraídos do gráfico proposto pelo C.E.B. 
Quadro 1.2 - Coeficientes parciais de endurecimento 
Idade do betão 
(dias) 
3 7 14 28 90 360 ∞ 
Coeficiente de 
endurecimento 
0.40 0.65 0.85 1.00 1.20 1.35 1.45 
2.1.2.2. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural 
Para efeitos de projecto devem ser utilizados diagramas tensões-extensões 
convenientemente idealizados. Consideram-se diagramas a utilizar para efeitos de análise 
estrutural e diagramas a utilizar para efeitos do dimensionamento de secções. 
Relativamente à análise estrutural consideram-se diagramas tensão-extensão para análise 
linear e para análise não linear ou para o cálculo de efeitos de segunda ordem, figura 
abaixo. 
No Quadro 2.8 está indicada uma estimativa do valor médio do módulo secante Ecm para 
as diferentes classes de resistência do betão. 
 
Diagramas tensões-extensões para análise estrutural 
Refere-se que o módulo de elasticidade depende não só da classe de resistência do betão, 
mas também das propriedades dos agregados utilizados e outros parâmetros associados à 
composição do betão e às condições de cura. Deste modo, quando for necessário 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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efectuar cálculos mais rigorosos é necessário realizar ensaios sobre o betão fabricado com 
os agregados utilizados na obra. 
Para efeitos de cálculo, pode considerar-se que o coeficiente de Poisson relativo a 
extensões elásticas é igual a 0.2. Nos casos em que se aceita a fendilhação do betão em 
tracção, o coeficiente de Poisson pode ser considerado igual a zero. 
2.1.2.3. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural 
Visando estabelecer um critério comum ao dimensionamento, busca-se, para as diferentes 
resistências à compressão com que se trabalhe na prática, um diagrama ideal, 
matematicamente definido, diagrama parábola - rectângulo (gráfico 1.1). 
Estas relações são obtidas a partir dos resultados de ensaios rápidos de prismas ou de 
cilindros de betão submetidos à compressão simples, contando com factores como a 
segurança e a influência do factor tempo. 
São vários os factores que influenciam as relações tensões - extensões dum betão, mesmo 
em ensaios rápidos. Assim, quanto a tensão de rotura, ela é influenciada pela forma e 
dimensões dos provetes, pelo tipo de máquina de ensaios, pela idade e condições de 
conservação dos provetes, pela natureza dos inertes e pela dosagem do cimento e água. 
Quanto à inclinação da tangente na origem do diagrama (módulo de elasticidade inicial) 
verifica-se que ela aumenta com a idade do betão e com o teor de humidade dos 
provetes e que varia consideravelmente com a natureza dos inertes e com a dosagem do 
cimento. 
Em relação ao factor tempo, há que verificar a sua influência dado que, por um lado faz 
aumentar a resistência, por outro, sob acção de cargas constantes elevadas, faz diminuir, 
pois regista-se nos ensaios que provetes quando sujeitos a tensão constante da ordem de 
85% da tensão de rotura, aos 28 dias, obtida em provetes idênticos, acabam por atingir a 
rotura ao fim de certo tempo. Finalmente, há que para atender à segurança, ter em conta 
fcd 
0,85fcd 
εr=3,5‰ 2%0 
ε ‰ 
 
Parábola: [ ] 3x102c250 -c cdf 0,85 c εεσ = 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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a grande dispersão que apresenta o betão nas suas propriedades e, consequentemente, 
tomar valores para o cálculo que tenham tal facto em consideração. 
2.2. Armaduras 
O aço empregado nas peças de betão armado é uma liga constituída principalmente de 
ferro e carbono, à qual são incorporados outros elementos para melhoria das propriedades. 
O aço é usado em conjunto com o betão com a finalidade principal de resistir aos esforços 
de tracção, que não são suportados pelo betão. 
A introdução deste elemento no betão permite melhorar consideravelmente o 
comportamento deste material, dado que, após a fendilhação, as tensões de tracção 
passam a ser resistidas pela armadura. 
2.2.1. Armaduras para o betão armado 
As armaduras para betão armado podemapresentar-se de diversas formas, sendo as mais 
correntes os varões, os fios e as redes. 
Os varões e fios têm a secção com forma aproximadamente circular, sendo fios quando o 
seu diâmetro é relativamente pequeno, permitindo o seu fornecimento em bobinas. As 
redes são constituídas por fios ou varões, ligados entre si, formando malhas rectangulares ou 
quadradas. As malhas em que as ligações são obtidas por soldadura designam-se por redes 
electrossoldadas. 
Os varões são o tipo de armaduras mais utilizado no betão armado em que as propriedades 
geométricas dos varões que têm maior interesse são o diâmetro, o comprimento e a 
configuração da superfície. 
Os diâmetros dos varões variam de país para país, apresentando a norma europeia 
prEN10080 os seguintes valores: 
Diâmetro [mm] Secção [cm2] Perímetro [cm] Massa por metro [Kg/m] 
6 0,283 1,89 0,222 
8 0,503 2,51 0,395 
10 0,785 3,14 0,617 
12 1,13 3,77 0,888 
16 2,01 5,03 1,58 
20 3,14 6,28 2,47 
25 4,91 7,85 3,85 
32 8,04 10,1 6,31 
40 12,6 12,6 9,87 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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Diâmetros superiores (50, 57 e 63 mm) são raramente produzidos, sendo utilizados 
essencialmente em estacas. Os diâmetros mais utilizados no nosso país apresentam-se a 
sublinhado. 
No que se refere ao comprimento dos varões, as dimensões mais usuais variam entre 6 e 12 
m, podendo chegar aos 18 m quando os varões são transportados por caminho-de-ferro. 
A configuração da superfície pode ser lisa ou rugosa. As superfícies rugosas podem ser 
obtidas com saliências (superfícies nervuradas) ou reentrâncias (superfícies indentadas). 
Assim, os varões podem ser classificados em lisos ou rugosos e relativamente a estes em 
nervurados e indentados. 
Os varões nervurados são os que se utilizam mais frequentemente, pois são os que conferem 
maior aderência entre a armadura e o betão. 
As nervuras são utilizadas também para efectuar a marcação dos varões. Esta marcação é 
importante, pois a troca de varões em obra pode originar acidentes graves quando, por 
engano, se utilizem aços de menor resistência que a prevista no projecto. 
Quadro 1.6 – Características mecânicas dos aços para o betão armado 
Designação 
Processo de 
fabrico 
Configuração 
da superfície 
Característica 
de aderência 
Tracção 
Extensão 
após 
rotura εsyk 
(%) 
Tensão de 
Cedência 
fsyk (MPa) 
Rotura 
fsuk 
(MPa) 
A235NL Laminado a 
quente 
Lisa Normal 
235 360 24 
A235NR Rugosa Alta 
A400NR 
Laminado a 
quente 
Rugosa Alta 400 460 14 
A400ER 
Endurecido 
a frio 
Rugosa Alta 
400 460 12 
A400EL 
Endurecido 
a frio 
Lisa Normal 
A500NR 
Laminado a 
quente 
Rugosa Alta 500 550 12 
A500ER Endurecido 
a frio 
Rugosa Alta 
500 550 10 
A500EL Lisa Normal 
2.2.2. Relações tensões-extensões de cálculo 
Pelo que se refere aos tipos correntes de aço para armaduras de betão armado, indicado 
na tabela 1.6 acima, as relações tensões-extensões a considerar, segundo o REBAP, são do 
tipo bilinear conforme o gráfico 1.2 abaixo, em que o primeiro segmento é definido pelo 
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valor do módulo de elasticidade e o segundo pelo valor de cálculo, fsyd, da tensão de 
cedência ou tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.2%, em tracção. 
As características de resistência dos aços são definidas pelos valores característicos da 
tensão de cedência fsyk (ou tensão limite de propriedades a 0.2%, f0.2k) e da tensão de rotura 
ftk. 
A tensão de cedência e a tensão de rotura podem, para efeitos de cálculo, ser 
consideradas iguais em tracção e em compressão, a não ser que existam especificações 
em contrário para a armadura em causa. 
 
 
 
 
 
 
Diagrama tensão-deformação do aço 
É importante referenciar aqui que a distinção entre o comportamento dos aços, laminados 
e endurecidos, quando submetidos a ensaios, não tem grande influência nos resultados. É 
aceitável admitir que todos os diagramas apresentam patamares. 
Os valores de cálculo para a verificação da segurança em relação aos ELU e de 
encurvadura são obtidos dividindo os respectivos valores característicos, fsyk e fsycd, por um 
coeficiente de segurança γs tomado igual a 1,15. 
 
s
sykf
=sydf GPa 002 =sE 
syd
sydf
 = sE = tg γε
→→ 
Classe 
fsyk 
[MPa] 
fsyd 
[MPa] 
εsyd 
[×10
-3
] 
 
A235 
A400 
A500 
235 
400 
500 
205 
348 
435 
1.025 
1.74 
2.175 
 
ϕ 
ϕ 
fsyd 
fsycd 
σs 
εyd 10%0 
3,5%0 
patamar 
limite de 
cedência 
alongamento 
de rotura 
Encurtamento de 
rotura 
εs 
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2.3. Funcionamento conjunto dos dois materiais 
A característica mais importante que se pode ressaltar em relação ao betão armado é que 
ele se constitui na combinação de um material que resiste muito bem à compressão, o 
betão, com um material que resiste muito bem à tracção, o aço. De maneira geral, pode-
se dizer que, nas peças de betão armado, o betão é o responsável por resistir aos esforços 
de compressão e o aço aos de tracção. Nas peças essencialmente comprimidas, o aço 
aumenta a capacidade resistente do elemento. 
Separadamente, o aço resiste tanto à tracção como à compressão, porém o betão possui 
uma baixa resistência à tracção, da ordem de 10% da sua resistência à compressão, para 
os betões de baixa resistência. Para resistências à compressão mais altas, essa 
percentagem diminui. 
Praticamente não existem tensões internas entre o aço e o betão. O betão protege a 
armadura da corrosão, garantindo a durabilidade da estrutura (Protecção física através do 
recobrimento e química através do ambiente em que se encontra normalmente alcalino). 
Devido à aderência, as deformações do aço e as do betão que as envolve, são 
aproximadamente iguais. 
Portanto, o trabalho conjunto desses dois materiais diferentes, neste caso betão e aço, é 
possível graças à coincidência de duas de suas propriedades físicas essenciais: a aderência 
recíproca e a proximidade existente nos seus coeficientes de dilatação. 
A aderência impede a cedência entre as armaduras e o betão, e transmite esforços de um 
para o outro materiais, sendo a propriedade fundamental para o trabalho conjunto dos 
mesmos. 
Os coeficientes de dilatação aproximadamente iguais, implicam em deslocamentos 
semelhantes provocados por variações de temperatura, desse modo não destrói a 
aderência, tornando possível o trabalho conjunto desses materiais. 
 
 
 
 
 
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3. BASES DE PROJECTO E ACÇÕES 
O cálculo de uma estrutura constituída por um dado material, nomeadamente por betão 
armado, compreende duas etapas:− A análise estrutural, que consiste em determinar a distribuição de esforços (axial, 
transversal, flector e torçor), ou de tensões, extensões e deformações na estrutura 
global ou em parte e, 
− O dimensionamento, com o qual se pretende determinar as dimensões dos 
elementos em betão, assim como as quantidades de armadura necessárias, ou, 
então, verificar se as dimensões e as armaduras definidas previamente são 
suficientes. 
3.1. Métodos de análise e avaliação da segurança 
Os métodos de avaliação da segurança são os seguintes: 
− Método da tensão admissível ou de segurança; 
− Método da rotura; 
− Método probabilístico. 
3.1.1. Método das tensões de segurança 
Este método baseava-se em: 
− Calcular as tensões instaladas na estrutura devidas a cargas reais não majoradas, 
recorrendo à teoria da elasticidade; 
− Comparar as tensões actuantes com as tensões admissíveis ou de segurança fixadas 
pelas normas. 
− As tensões admissíveis eram, em geral, obtidas dividindo a resistência do material (f) 
por um coeficiente de segurança γ (na ordem dos 2,25): 
γ
σσ fadminstaladas =≤ 
Este método das tensões de segurança, apesar de constituir uma aplicação fácil, apresenta 
alguns defeitos importantes, em particular nas estruturas de betão armado e pré-esforçado: 
− O betão não tem um comportamento que se possa considerar perfeitamente 
elástico. 
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− As tensões obtidas para cargas de serviço não facultam a indicação directa da 
segurança conjunta da estrutura. 
Neste contexto, o método das tensões de segurança deixou de ser utilizado nas normas 
recentes. Contudo, quando se pretende controlar as deformações em estado de serviço, 
recorre-se frequentemente à noção de comportamento elástico ou quase elástico de uma 
estrutura. 
3.1.2. Método de Rotura 
Este método de análise e dimensionamento de estruturas, designado por cálculo das 
secções à rotura é um método híbrido, na medida em que a relação determinante; 
γ
R
S ≤ 
Baseia-se em: 
− Por um lado, na teoria da elasticidade para cálculo dos esforços actuantes S; 
− Por outro lado, na teoria da plasticidade para cálculo da resistência R das secções. 
Este método apresenta uma certa incoerência, pois, aumentando as solicitações até ao 
esgotamento (rotura) das secções críticas, os esforços na estrutura podem ser 
consideravelmente diferentes dos obtidos na análise elástica. 
Contudo, este método é frequentemente utilizado e aparece em numerosas normas. Além 
disso, ele fornece resultados sempre pelo lado da segurança. 
3.1.3. Método Probabilístico 
Este e um método de análise e dimensionamento de estruturas baseado em estados limites 
e permite verificar a segurança das estruturas atendendo ao comportamento real não 
linear dos materiais e ao carácter incerto das acções e da resposta das estruturas. 
As normas actuais exigem duas verificações distintas: 
− Uma relativa à aptidão ao serviço, cuja verificação recorre à teoria da elasticidade, 
que permite igualmente ter em conta, de uma forma aproximada, os fenómenos 
não lineares como a fissuração e os efeitos diferidos (fluência e retracção do betão 
e relaxação do aço); 
− E a outra relativa à segurança da estrutura que não pode ser correctamente 
realizada com base em hipóteses de comportamento elástico, tornando-se 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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conveniente recorrer a um método que permita avaliar, de uma forma realista, o 
estado último da capacidade das estruturas. 
3.2. Critérios Gerais de verificação da segurança 
A verificação da segurança aos estados limites está baseada em métodos semi-
probabilísticos que adopta valores característicos para as acções (Sk) e para as resistências 
dos materiais (Rk), os quais são afectados por coeficientes parciais de segurança (γ), 
obtendo-se os valores de cálculo (Sd e Rd). 
Para garantir-se a segurança das estruturas aos estados limites é preciso identificar as 
acções actuantes, que causam as solicitações (S), e determinar a resistência (R) dos 
elementos estruturais, para que se possa analisar a desigualdade: S ≤ R. 
Portanto, o primeiro passo é identificar as acções actuantes na estrutura. Segundo o 
RSAEEP, “As acções são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser 
valores característicos, valores característicos nominais, valores reduzidos de combinação, 
valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de utilização e valores raros de 
utilização”. 
- Valores característicos: Os valores característicos (Fk) das acções são definidos em 
função da variabilidade de suas intensidades. Para as acções permanentes admite-se 
o valor que tenha 95% de chance de não ser ultrapassado em 50 anos, como mostra a 
Figura 2. Para as acções variáveis admite-se o valor que tenha de 65% a 75% de 
chance de não ser ultrapassado em 50 anos. 
- Valores reduzidos de combinação: são determinados a partir dos valores característicos 
multiplicados por um coeficiente de redução: ψ0 Fk. Eles são empregados quando 
existem acções variáveis de diferentes naturezas, para levar em conta a baixa 
probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos dessas acções. 
 
Distribuição normal para as cargas permanentes. 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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- Valores convencionais excepcionais: são valores arbitrados para as acções 
excepcionais. Eles devem, ser estabelecidos por consenso entre o proprietário da 
construção e as autoridades governamentais que nela tenham interesse. 
O carácter probabilístico da verificação da segurança, através dos estados limites e das 
boas condições de serviço é introduzido com a definição dos valores característicos tanto 
no que se refere às solicitações actuantes (Sk) como às resistências dos materiais (Rk). Como 
já definidos anteriormente, os valores encontrados na prática devem ter a probabilidade 
muito baixa de serem superiores (no caso das solicitações) ou inferiores (no caso das 
resistências) aos respectivos valores característicos. 
Os factores de incerteza quanto aos valores característicos são cobertos com a 
transformação destes em valores de cálculo obtidos pela sua multiplicação por coeficientes 
de segurança, que são determinados por considerações probabilísticas para cada tipo de 
estado limite. 
3.3. Estados Limites 
Dizemos que uma estrutura atinge um estado limite quando ela apresenta desempenho 
inadequado às finalidades da construção, não mais preenchendo os requisitos necessários 
de estabilidade, conforto e durabilidade para o seu funcionamento. Assim sendo, pode-se 
dizer que a segurança de uma estrutura é a capacidade que ela apresenta de suportar as 
diversas acções que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil1, sem atingir qualquer estado 
limite. 
Os estados limites podem ser classificados em duas categorias nomeadamente: últimos e 
de serviço (ou de utilização). 
3.3.1. Estados Limites Últimos (ELU) 
Segundo REBAP, são aqueles que pelasua simples ocorrência, determinam a paralisação, 
no todo ou em parte, do uso da construção, e correspondem ao esgotamento da 
capacidade portante da estrutura, estando relacionado com o seu colapso, em parte ou 
no todo. 
 
1 Por vida útil de projecto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características 
das estruturas de betão, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo 
projectista e pelo consumidor, bem como de execução dos reparos necessários decorrentes de danos 
acidentais. 
 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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Deve-se haver uma probabilidade muito pequena de sua ocorrência, pois essa terá como 
consequência a perda de vidas humanas ou grandes prejuízos financeiros. Devido a estes 
factores, a sua verificação é obrigatória, mesmo que não explicitamente listada em normas. 
No projecto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos caracterizados 
por: 
a) Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido; 
b) Rotura ou deformação plástica excessiva dos materiais; 
c) Instabilidade por deformação excessiva (pilares); 
d) Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático 
(mecanismo); 
e) Instabilidade dinâmica; 
f) Colapso por causas excepcionais (catástrofes), quando for o caso. 
3.3.2. Estados limites de serviço ou de utilização (ELS) 
Segundo o REBAP, são estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam 
efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da 
construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura. 
Quando não representar situação de risco a vidas humanas, como no caso dos estados 
limites últimos, uma maior probabilidade de ocorrência desses estados limites é tolerada. 
No período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites de serviço 
caracterizados por: 
a) Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção 
ou a durabilidade da estrutura (fissuração); 
b) Deformações excessivas que afectem a utilização normal da construção ou seu 
aspecto estético (“barriga” em lajes); 
c) Vibração excessiva ou desconfortável (estado de futebol). 
No caso de verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização, as 
combinações de acções a considerar dependem da duração do estado limite em causa. 
3.4. Acções 
Acções são as causas que provocam aparecimento de esforços ou deformações nas 
estruturas, devendo ser consideradas no dimensionamento da mesma. Como resultado da 
aplicação destas cargas externas, surgem na estrutura, os esforços solicitantes, que são os 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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esforços causados pelas acções, como os esforços normais e cortantes, e os momentos 
flectores e torsores. 
3.4.1. Classificação e Tipos de Acções 
As acções podem ser classificadas em função da sua variação no tempo, na sua origem 
(directas ou indirectas), em função da sua variação espacial (fixas ou moveis) ou em 
função da sua natureza (estáticas ou dinâmicas). 
As acções cuja classificação é dada pela sua variação no tempo poderão ser: 
3.4.1.1. Acções Permanente (g,G) 
Aquelas que assumem valores constantes, ou actuam directa ou indirectamente sobre a 
estrutura durante todo período da sua vida útil. Consideram-se como acções permanentes, 
os pesos próprios da estrutura, o peso de elementos construtivos permanentes (como por 
exemplo as paredes), o peso de equipamentos fixos, os impulsos de terra não removível, os 
efeitos da retracção do betão e dos assentamentos. 
3.4.1.2. Acções Variáveis (q,Q) 
Aquelas que assumem valores com variação significativa em torno do seu valor médio 
durante a vida da estrutura. Consideram-se como acções variáveis as sobrecargas (e 
efeitos dinâmicos dela dependentes), o efeito do vento, a variação da temperatura, as 
forças de impacto, as cargas móveis em pontes e a pressão hidrostática. 
As acções variáveis são geralmente caracterizadas por um valor característico, (valor com 
95% de probabilidade de não ser excedido). Este valor pode ser afectado por coeficientes 
de combinação. 
3.4.1.3. Acções de acidente ou excepcionais 
Aquelas que só com muito fraca probabilidade assumem valores significativos durante a 
vida da estrutura e cuja quantificação apenas pode em geral ser feita por meio de valores 
nominais estrategicamente escolhidos. Geralmente, consideram-se este tipo de acções as 
que resultam de causas tais como, certas acções actuantes durante a execução das obras, 
explosões, choques de veículos, terramotos, incêndios, cheias, entre outros. 
3.4.2. Quantificação das acções 
De acordo com o Regulamento de Segurança e Acções em Estruturas de Edifícios e Pontes 
- (RSAEEP), as acções são quantificadas através de valores característicos e valores 
 BETÃO ARMADO – VOLUME 1 
 
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reduzidos combinando-as de forma a estudar e/ou conhecer o seu estado mais 
desfavorável para a estrutura. 
As acções permanentes resultantes de factores não evitáveis, tais como a acção da força 
gravítica, vulgarmente designada de peso próprio. Estas, são quantificadas a partir do peso 
volúmico dos materiais. 
As acções variáveis apresentam valores variáveis em função do tipo de acção e da 
utilização dos espaços, ou seja, podem ser de vários tipos, nomeadamente: 
− Sobrecargas: acções verticais actuam ao nível dos pavimentos e das coberturas. 
− Vento: acções horizontais actuam ao nível das fachadas e das coberturas. 
− Sismos: acção horizontal que actua em toda a estrutura 
3.4.3. Combinações de Acções 
Em cada caso de carregamento, o valor de cálculo do efeito das acções é obtido 
combinando as acções que podem ocorrer em simultâneo. 
Entretanto, na verificação de segurança em relação aos diferentes estados limites devem 
ser considerados os valores de cálculo, Sd, dos esforços actuantes ou tensões de cálculo 
resultantes dos mesmos esforços tendo em conta os coeficientes γf de afectação dos 
valores característicos das acções e dos coeficientes Ψi cuja actuação simultânea seja 
verosímil e que produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis. 
No caso de verificação da segurança em relação aos ELU, devem ser considerados dois 
tipos de combinações: 
− Combinações fundamentais: em que intervêm as acções permanentes e 
variáveis. 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
=
+= ∑∑
n
2j qjk
S.j0qk1q
S
m
1i
qgikSgdS ψγγγ
 
No caso de a acção variável de base ser a acção sísmica: 
∑
m
1i
n
2j Qjk
S
j2Ek
SgikSgdS = =
++= ∑ ψγ
 
− Combinações acidentais: em que, além das acções permanentes e acidentais, 
intervêm acções de acidente. 
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⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
++= ∑∑
n
1j qjk
S.j2
m
1i Fa
SgikSgdS ψγ 
No caso de verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização, as 
combinações de acções a considerar dependem da duração do estado limite em causa. 
Assim, há que ter em conta os seguintes tipos de combinações: 
- Combinações raras: que corresponde ao estado limite de muito curta duração 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
=
+= ∑∑
n
1j qjk
S.1k1qS
m
1i gik
SdS ψ
 
- Combinações frequentes: que corresponde ao estado limite de curta duração 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
=
+= ∑∑
n
1j qjk
S.2k1qS1
m
1i gik
SdS ψψ 
- Combinações quase permanentes: que corresponde ao estado limite de longa 
duração. 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
+= ∑∑
n
1j qjk
S.2
m
1i gik
SdS ψ 
em que: 
Sg1k – esforço resultante de acção permanente, tomada com o seu valor 
característico 
Sq1k – esforço resultante da acção variável considerada como acção de base da 
combinação, tomada com o seu valor característico. 
Sqjk – esforço resultante de uma acção variável distinta da acção de base, 
tomada com o seu valor característico. 
SFa – esforço resultante de uma acção de acidente, tomada com o seu valor 
nominal. 
Nota: 
 Existe a necessidade da utilização de coeficientes de segurança por factores tais 
como: incerteza dos valores das resistências dos materiais; erros na geometria da 
estrutura; incerteza da carga; simplificação dos métodos de cálculo, entre outros. 
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 As acções permanentes bem como as acções variáveis devidas às sobrecargas são 
aplicadas ao nível dos pavimentos, ou seja, nos elementos estruturais designados de 
lajes - cargas por unidade de superfície (kN/m2). 
 As lajes podem estar armadas em várias direcções e em função dessa 
condicionante assim varia o modo como descarregam nos restantes elementos 
estruturais, nomeadamente nas vigas e pilares. 
 
 Consola simplesmente armada duplamente armada 
 As acções aplicadas nas VIGAS de uma dada estrutura, devidas às cargas 
actuantes nas lajes, são definidas mediante o cálculo da Largura de Influência de 
cada uma das vigas, em função do modo como as lajes estão armadas. 
VIGAS – Acção (kN/m) = q (kN/m2) x Largura de influência (m) 
 Do mesmo modo, as acções aplicadas nos PILARES devidas às cargas actuantes nas 
lajes e vigas, são definidas mediante o cálculo da Área de Influência de cada pilar. 
PILARES – Acção (kN) = q (kN/m2) x Área de influência (m2) 
3.4.4. Diagramas envolventes de esforços 
Os diagramas envolventes de esforços são diagramas que em cada secção nos dá o valor 
máximo de um dado esforço, dentre todas as combinações de acções possíveis: 
− Alternância de posições de sobrecarga (variáveis); 
− Diagramas parcelares correspondentes às acções permanentes e variáveis nas 
várias posições; 
− Combinação dos diagramas parcelares de acordo com as regras e coeficientes 
adequados aos estado limite em causa; 
− Em rigor deveria ser feito independente para o Msd e Vsd. Por simplificação, pode-se 
considerar que as combinações que dão origem à envolvente do Msd servem 
também para Vsd. 
 
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4. SECÇÕES SOLICITADAS A FLEXÃO E AO ESFORÇO AXIAL 
4.1. Comportamento de secções em flexão (estados de deformação) 
O procedimento para se caracterizar o desempenho de uma secção de betão consiste em 
aplicar um carregamento, que se inicia do zero e vai até a rotura. Às diversas fases pelas 
quais passa a secção de betão, ao longo desse carregamento, dá-se o nome de estado de 
deformação. Distinguem-se basicamente três fases distintas: Estado I, Estado II e Estado III. 
4.1.1. Estado I – Secção não fendilhada 
Esta fase corresponde ao início do carregamento. As tensões normais que surgem são de 
baixa magnitude e dessa forma o betão consegue resistir às tensões de tracção. Tem-se um 
diagrama linear de tensões, ao longo da secção transversal da peça, sendo válida a lei de 
Hooke (Figura abaixo). 
 
Comportamento do betão na flexão pura (Estado I) 
Levando-se em consideração a baixa resistência do betão à tracção, se comparada com 
a resistência à compressão, percebe-se a inviabilidade de um possível dimensionamento 
neste estado. 
É no estado I que é feito o cálculo do momento de fissuração, que separa o estado I do 
estado II. Conhecido o momento de fissuração, é possível calcular a armadura mínima, de 
modo que esta seja capaz de absorver, com adequada segurança, as tensões causadas 
por um momento flector de mesma magnitude. Portanto, o estado I termina quando a 
secção fissura. 
 
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a) Resultante de tensões 
No betão: 
cici
c W
M
y
I
M
==σ
 
Nas armaduras: cs .σασ = 
b) Homogeneização da secção 
Coeficiente de homogeneização: 
c
s
E
E
=α
 
Área de secção transversal homogeneizada: ( )scci A)1AA −+= α
 
Posição do centro de gravidade da secção homogeneizada: 
( )
ci
s
g A
a.A1
2
h
bh
y
−+
=
α
 
Momento de inércia da secção homogénea em relação ao eixo neutro: 
( ) ( )2gs
2
g
3
ci ayA1y2
h
bh
12
bh
I −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+= α
 
c) Momento de fendilhação, Mcr 
Ocorre fendilhação quando: ctct f=σ
 
ou seja: ctg
ci
cr
ct fyI
M
==σ
 
Admitindo que a contribuição da armadura é desprezada (secção pouco armada) 
vem: 
6
bh
y
I
W
12
bh
I
2
h
y 3
g
c
c3
c
g
==⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
 
dai: 
6
bh
.fW.f
y
I.f
M
3
ctcct
g
cct
cr === 
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4.1.2. Estado II – Secção Fendilhada 
Neste nível de carregamento, o betão não mais resiste à tracção e a secção se encontra 
fissurada na região de tracção. A contribuição do betão traccionado deve ser desprezada. 
No entanto, a parte comprimida ainda mantém um diagrama linear de tensões, 
permanecendo válida a lei de Hooke (Figura abaixo). 
 
Comportamento do betão na flexão pura (Estado II) 
Basicamente, o estado II serve para a verificação da peça em serviço. Como exemplos, 
citam-se o estado limite de abertura de fendas e o estado limite de deformações. 
Com a evolução do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda comprimida, 
a linha neutra também e a tensão na armadura cresce, podendo atingir a cedência ou 
não. O estado II termina com o inicio da plastificação do betão comprimido. 
 
a) Tensões no betão e no aço: 
No betão: x
I
M
ci
c =σ
 
Nas armaduras: ( )xd.
I
M
.
ci
s −=ασ