curso-153217-aula-04-v1

Prévia do material em texto

Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
Autor:
Guilherme Neves
Aula 04
19 de Novembro de 2020
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
1 
 
Sumário 
1. Álgebra de Proposições .......................................................................................................................... 2 
2. Conjunção ............................................................................................................................................... 3 
3. Disjunção Inclusiva .................................................................................................................................. 5 
4. Relações entre a Conjunção e a Disjunção ............................................................................................. 7 
Lista de Questões sem Comentários ............................................................................................................ 11 
Gabaritos ...................................................................................................................................................... 13 
Lista de Questões com Comentários ............................................................................................................ 14 
Considerações Finais .................................................................................................................................... 20 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
2 
 
1. ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES 
 
Vamos estudar nesta aula álgebra de proposições. Gravei um vídeo bem interessante sobre o 
assunto: https://www.youtube.com/watch?v=7eIusT-B1I8 
Rigorosamente, já temos ferramentas para resolver as questões sobre álgebra de proposições. 
Assim, se você já sabe as principais equivalências lógicas e construção de tabelas-verdade, você 
já tem capacidade de resolver questões que envolvem álgebra de proposições. 
Ah, Guilherme, e pra que eu vou estudar então? 
Para ganhar tempo. Algumas questões são resolvidas com mais velocidade se você tem 
conhecimento de algumas propriedades que vamos estudar nessa aula. 
Vou partir do pressuposto de que você já sabe construir tabelas-verdade, sabe o que são 
tautologias, contradições, contingências e que você também já sabe todo aquele arsenal de 
equivalências lógicas (incluindo as fórmulas de negação). 
 
Para entender (e não precisar decorar) algumas fórmulas da álgebra de proposições, é 
importante fazer uma equiparação entre alguns conceitos da teoria dos conjuntos e das 
proposições. 
 
Lógica Proposicional Teoria dos Conjuntos 
Tautologia Conjunto Universo 
Contradição Conjunto Vazio 
Disjunção Inclusiva 𝑝 ∨ 𝑞 União de conjuntos 𝑃 ∪ 𝑄 
Conjunção 𝑝 ∧ 𝑞 Interseção de Conjuntos 𝑃 ∩ 𝑄 
 
Existem outras relações, mas que não são importantes aqui. 
Doravante, uma proposição tautológica será designada por 𝑡 e uma contradição será designada 
por 𝑐. 
É importante notar que: 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
3 
 
~(~𝑝) ⟺ 𝑝 
~𝑡 ⟺ 𝑐 
~𝑐 ⟺ 𝑡 
 
2. CONJUNÇÃO 
 
Comecemos pela propriedade idempotente. 
 
(𝑝 ∧ 𝑝) ⟺ 𝑝 
 
Você pode provar esta propriedade com uma tabela-verdade ou pensar em conjuntos. 
 
Se estivéssemos calculando 𝑃 ∩ 𝑃, que resultado seria obtido? Ora, a interseção de um conjunto 
com ele mesmo é o próprio conjunto. 
Assim, sempre que nos depararmos com uma conjunção entre 𝑝 e 𝑝, podemos simplificar por 𝑝. 
Obviamente isso funciona para uma proposição qualquer. 
 
(𝑞 ∧ 𝑞) ⟺ 𝑞 
 
(𝑟 ∧ 𝑟) ⟺ 𝑟 
 
E assim por diante. 
Outra propriedade importante, que já estudamos, é a propriedade comutativa. 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
4 
 
𝑝 ∧ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∧ 𝑝 
 
Na verdade, todos os conectivos são comutativos com exceção do “se..., então...”. 
Esta propriedade diz que podemos trocar a ordem dos componentes de uma conjunção sem 
alterar o sentido lógico da proposição composta. 
 
Temos ainda a propriedade associativa. 
 
(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ⟺ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 
 
Isso quer dizer que podemos indiferentemente operar primeiro p com q e depois o resultado 
com r ou primeiro q com r e depois o resultado com p. Na verdade, como a conjunção é 
comutativa, você ainda poderia fazer p com r e o resultado com q. Fique à vontade. 
 
Temos ainda a propriedade identidade: 
 
𝑝 ∧ 𝑡 ⟺ 𝑝 
 
Lembre-se que aqui 𝑡 é uma tautologia. 
Se 𝑝 é verdade, a composta 𝑝 ∧ 𝑡 é verdade. Se 𝑝 é falsa, a composta 𝑝 ∧ 𝑡 é falsa. Assim, o valor 
lógico de 𝑝 ∧ 𝑡 é idêntico ao valor lógico de 𝑝. 
Outra maneira de pensar é fazendo uma analogia com a teoria dos conjuntos. A interseção entre 
um conjunto P qualquer e o conjunto universo é o próprio conjunto P. 
É importante também notar que a conjunção de 𝑝 com uma contradição 𝑐 é uma contradição. 
 
𝑝 ∧ 𝑐 ⟺ 𝑐 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
5 
 
Seria o análogo de calcular a interseção de um conjunto P qualquer com o conjunto vazio: o 
resultado é o conjunto vazio. 
Ora, como 𝑐 é contraditória, então seu valor lógico é F. Se um dos componentes é falso, o 
resultado será sempre falso. 
 
3. DISJUNÇÃO INCLUSIVA 
Comecemos pela propriedade idempotente. 
 
(𝑝 ∨ 𝑝) ⟺ 𝑝 
 
Você pode provar esta propriedade com uma tabela-verdade ou pensar em conjuntos. 
 
Se estivéssemos calculando 𝑃 ∪ 𝑃, que resultado seria obtido? Ora, a união de um conjunto com 
ele mesmo é o próprio conjunto. 
Assim, sempre que nos depararmos com uma disjunção entre 𝑝 e 𝑝, podemos simplificar por 𝑝. 
Obviamente isso funciona para uma proposição qualquer. 
 
(𝑞 ∨ 𝑞) ⟺ 𝑞 
 
(𝑟 ∨ 𝑟) ⟺ 𝑟 
 
E assim por diante. 
Outra propriedade importante, que já estudamos, é a propriedade comutativa. 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
6 
 
𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∨ 𝑝 
 
Esta propriedade diz que podemos trocar a ordem dos componentes de uma conjunção sem 
alterar o sentido lógico da proposição composta. 
 
Temos ainda a propriedade associativa. 
 
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ⟺ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 
 
Temos também a propriedade identidade: 
 
𝑝 ∨ 𝑐 ⟺ 𝑝 
 
Lembre-se que aqui 𝑐 é uma contradição. 
Basta pensar: quem é a união entre um conjunto qualquer P e o conjunto vazio? É o próprio 
conjunto P. 
 
 
É importante também notar que a disjunção de 𝑝 com uma tautologia 𝑡 é uma tautologia. 
 
𝑝 ∨ 𝑡 ⟺ 𝑡 
 
Seria o análogo de calcular a união de um conjunto P qualquer com o conjunto universo: o 
resultado é o conjunto universo. 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
7 
 
Outra forma seria pensar que uma tautologia é sempre V. Como um dos componentes é V, o 
resultado será sempre V. 
 
4. RELAÇÕES ENTRE A CONJUNÇÃO E A DISJUNÇÃO 
 
Duas importantes relações entre a conjunção e a disjunção são dadas pelas leis de DeMorgan. 
 
~(𝑝 ∧ 𝑞) ⟺ ~𝑝 ∨ ~𝑞 
 
~(𝑝 ∨ 𝑞) ⟺ ~𝑝 ∧ ~𝑞 
 
Já estudamos exaustivamente essas propriedades. 
Outras duas propriedades importantes são as propriedades distributivas. 
 
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 
 
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 
 
Essas equivalências podem facilmente ser demonstradas com o uso de tabelas-verdade. Uma 
maneira legal de memorizar essas fórmulas é lembrar da propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição. 
 
𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
8 
 
O detalhe é que aqui podemos distribuir a conjunção em relação à disjunção e também a 
disjunção em relação à conjunção. 
 
Há ainda as propriedades de absorção: 
 
𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟺ 𝑝 
 
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ⟺ 𝑝 
 
Essas duas propriedades (absorção) são facilmente entendidas com o auxílio de conjuntos. 
 
A primeira diz que vamos reunir o conjunto P com a interseção entre P e Q. O resultado é o 
próprio conjunto P. 
 
A segunda corresponde à interseção entre o conjunto P e a união entre os conjuntos P e Q. 
Novamente temos como resultado o próprio conjunto P. 
 
 
 
\ 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
9 
 
 
(ANPAD 2018) 
Sejam 𝒑, 𝒒 e 𝒓 proposições lógicas simples e considere 𝑬(𝒑, 𝒒, 𝒓) a proposição lógica composta 
definida por 
𝑬(𝒑, 𝒒, 𝒓): 𝒓 ∧ (𝒑 → 𝒒) 
 
A proposição 𝑬(𝒑, 𝒒, 𝒓) é logicamente equivalente à proposição: 
a) (𝑟 → 𝑝) → [(~𝑟) ∨ (~𝑞)] 
b) [(~𝑟) ∨ (~𝑞)] → (𝑟 → 𝑝) 
c) >𝑟 ∨ (~𝑝)? ∧ (𝑟 ∨ 𝑞) 
d) (𝑟 → 𝑝) → (𝑟 ∧ 𝑞) 
e) (𝑟 ∧ 𝑞) → (𝑟 → 𝑝) 
Comentário 
Foi dada a proposição composta 𝑟 ∧ (𝑝 → 𝑞). 
A proposição condicional 𝑝 → 𝑞 pode ser transformada em uma disjunção. Para transformar uma 
condicional em uma disjunção, basta negar o primeiro componente. 
Assim, a proposição dada equivale a: 
 
𝑟 ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞) 
 
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva. A proposição acima equivale a: 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
10 
 
(𝑟 ∧ ~𝑝) ∨ (𝑟 ∧ 𝑞) 
 
Temos uma proposição composta pelo conectivo “ou”. O primeiro componente é (𝑟 ∧ ~𝑝) e o 
segundo componente é (𝑟 ∧ 𝑞). 
Para transformar essa proposição composta pelo “ou” em um “se..., então...”, devemos negar o 
primeiro componente. 
Assim, a proposição acima equivale a: 
 
~(𝑟 ∧ ~𝑝) → (𝑟 ∧ 𝑞) 
O primeiro componente do condicional ~(𝑟 ∧ ~𝑝) corresponde à negação de uma proposição 
composta pelo conectivo “e”. Há duas formas de negar o conectivo “e”: usando “ou” (lei de 
DeMorgan) ou usando o conectivo “se..., então...” (lembre-se que para negar o conectivo “e” 
usando “se..., então...” devemos repetir a primeira, colocar o condicional, e negar o segundo 
componente. 
Portanto, ~(𝑟 ∧ ~𝑝) equivale a 𝑟 → 𝑝. 
Portanto, a proposição ~(𝑟 ∧ ~𝑝) → (𝑟 ∧ 𝑞) equivale a 
 
(𝑟 → 𝑝) → (𝑟 ∧ 𝑞) 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
11 
 
 
LISTA DE QUESTÕES SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (CESGRANRIO 2018/TRANSPETRO) 
A proposição 𝒑 ∧ ¬(𝒒 ∧ 𝒓) é equivalente a: 
a) (𝑝 ∧ ¬𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ¬𝑟) 
b) (𝑝 ∨ ¬𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ¬𝑟) 
c) (𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ (𝑝 ∧ ¬𝑟) 
d) (¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∧ 𝑟) 
e) (¬𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ∧ 𝑟) 
 
2. (IBFC 2017/TJ-PE) 
 
As expressões 𝑬𝟏: (𝒑 ∧ 𝒓) ∨ (~𝒑 ∧ 𝒓) e 𝑬𝟐: (𝒒 ∨ 𝒔) ∧ (~𝒒 ∨ 𝒔) são compostas pelas quatro 
proposições lógicas 𝒑, 𝒒, 𝒓 e 𝒔. Os valores lógicos assumidos pela expressão 𝑬𝟏 ∧ 𝑬𝟐 são os 
mesmos valores lógicos da expressão: 
 
a) 𝒓 ∨ 𝒔 
 
b) ~𝒓 ∧ ~𝒔 
 
c) ~𝒓 ∨ 𝒔 
 
d) 𝒓 ∨ ~𝒔 
 
e) 𝒓 ∧ 𝒔 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
==c6dad==
 
 
12 
 
3. (VUNESP 2016/Prefeitura de Alumínio) 
Considere a afirmação: Sueli é professora e, pratica ginástica ou pratica corrida. Uma afirmação 
equivalente é 
a) Sueli é professora e pratica ginástica e pratica corrida. 
b) Se Sueli é professora, então ela não pratica ginástica e não pratica corrida. 
c) Sueli é professora e pratica ginástica, ou é professora e pratica corrida. 
d) Se Sueli não pratica ginástica ou não pratica corrida, então ela é professora. 
e) Sueli pratica ginástica e pratica corrida, ou é professora. 
 
4. (ESAF 2013/DNIT) 
A proposição composta 𝒑 → 𝒑 ∧ 𝒒 é equivalente à proposição: 
a) 𝑝 ∨ 𝑞 
b) 𝑝 ∧ 𝑞 
c) 𝑝 
d) ~𝑝 ∨ 𝑞 
e) 𝑞 
5. (ANPAD 2018) 
Sejam 𝒑 e 𝒒 proposições lógicas simples e 𝑬(𝒑, 𝒒) uma proposição composta a partir de p e/ou 
q, tais que [(𝒑 → 𝒒) ∧ ~(𝒑 ∧ 𝒒)] ⟷ 𝑬(𝒑, 𝒒) é uma contradição. A proposição composta 𝑬(𝒑, 𝒒) é 
logicamente equivalente à proposição 
a) ~𝑝 
b) 𝑝 
c) ~𝑞 
d) 𝑞 
e) 𝑝 ∨ 𝑞 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
13 
 
 
GABARITOS 
 
01. C 
02. E 
03. C 
04. D 
05. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
14 
 
LISTA DE QUESTÕES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (CESGRANRIO 2018/TRANSPETRO) 
A proposição 𝒑 ∧ ¬(𝒒 ∧ 𝒓) é equivalente a: 
a) (𝑝 ∧ ¬𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ¬𝑟) 
b) (𝑝 ∨ ¬𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ¬𝑟) 
c) (𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ (𝑝 ∧ ¬𝑟) 
d) (¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∧ 𝑟) 
e) (¬𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ∧ 𝑟) 
Comentário 
O primeiro passo é aplicar a lei de DeMorgan. 
 
A proposição dada equivale a: 
 
𝒑 ∧ (¬𝒒 ∨ ¬𝒓) 
 
 
Vamos agora aplicar a propriedade distributiva. A proposição acima equivale a: 
 
 
(𝒑 ∧ ¬𝒒) ∨ (𝒑 ∧ ¬𝒓) 
Gabarito: C 
2. (IBFC 2017/TJ-PE) 
 
As expressões 𝑬𝟏: (𝒑 ∧ 𝒓) ∨ (~𝒑 ∧ 𝒓) e 𝑬𝟐: (𝒒 ∨ 𝒔) ∧ (~𝒒 ∨ 𝒔) são compostas pelas quatro 
proposições lógicas 𝒑, 𝒒, 𝒓 e 𝒔. Os valores lógicos assumidos pela expressão 𝑬𝟏 ∧ 𝑬𝟐 são os 
mesmos valores lógicos da expressão: 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
15 
 
 
a) 𝒓 ∨ 𝒔 
b) ~𝒓 ∧ ~𝒔 
 
c) ~𝒓 ∨ 𝒔 
 
d) 𝒓 ∨ ~𝒔 
 
e) 𝒓 ∧ 𝒔 
Comentário 
Observe que as proposições 𝑬𝟏 e 𝑬𝟐 podem ser escritas de uma forma mais simples utilizando a 
propriedade distributiva de “trás pra frente” juntamente com a propriedade comutativa. 
 
 
𝑬𝟏:		𝒓 ∧ (𝒑 ∨ ~𝒑) 
 
 
𝑬𝟐: 𝒔 ∨ (𝒒 ∧ ~𝒒) 
 
 
Neste ponto, você deveria lembrar que 𝒑 ∨ ~𝒑 é uma tautologia famosa e que 𝒒 ∧ ~𝒒 é uma 
contradição famosa. Portanto, podemos simplificar as proposições acima. 
 
 
𝑬𝟏:		𝒓 ∧ 𝒕 
 
 
𝑬𝟐: 𝒔 ∨ 𝒄 
 
 
A propriedade identidade indica que 𝒓 ∧ 𝒕 equivale a 𝒓. Basta pensar que a interseção entre um 
conjunto R e o universo é o próprio conjunto R. 
 
Além disso, a reunião de um conjunto S com o conjunto vazio é o próprio conjunto vazio. 
Fazendo a analogia, concluímos que 𝒔 ∨ 𝒄 equivale a s. 
 
Portanto, 
 
𝑬𝟏:		𝒓 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
16 
 
𝑬𝟐: 𝒔 
 
 
Logo, a expressão 𝑬𝟏 ∧ 𝑬𝟐 equivale a 𝒓 ∧ 𝒔. 
Gabarito: E 
3. (VUNESP 2016/Prefeitura de Alumínio) 
Considere a afirmação: Sueli é professora e, pratica ginástica ou pratica corrida. Uma afirmação 
equivalente é 
a) Sueli é professora e pratica ginástica e pratica corrida. 
b) Se Sueli é professora, então ela não pratica ginástica e não pratica corrida. 
c) Sueli é professora e pratica ginástica, ou é professora e pratica corrida. 
d) Se Sueli não pratica ginástica ou não pratica corrida, então ela é professora. 
e) Sueli pratica ginástica e pratica corrida, ou é professora. 
Comentário 
Vamos dar nomes aos bois. 
 
Sejam 𝒑, 𝒈 e 𝒄 as seguintes proposições, respectivamente: 
 
𝒑: 𝑺𝒖𝒆𝒍𝒊	é	𝒑𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒔𝒐𝒓𝒂. 
𝒈: 𝑺𝒖𝒆𝒍𝒊	𝒑𝒓𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂	𝒈𝒊𝒏á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 
𝒄: 𝑺𝒖𝒆𝒍𝒊	𝒑𝒓𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂	𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒂 
 
A proposição dada no enunciado pode ser escrita como: 
 
 
𝒑 ∧ (𝒈 ∨ 𝒄) 
 
 
Aplicando a propriedade distributiva, temos: 
 
 
(𝒑 ∧ 𝒈) ∨ (𝒑 ∧ 𝒄) 
 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
17 
 
Esta proposição, por sua vez, encontra-se na alternativa C. 
 
Gabarito: C 
4. (ESAF 2013/DNIT) 
A proposição composta 𝒑 → 𝒑 ∧ 𝒒 é equivalente à proposição: 
a) 𝑝 ∨ 𝑞 
b) 𝑝 ∧ 𝑞 
c) 𝑝 
d) ~𝑝 ∨ 𝑞 
e) 𝑞 
Comentário 
Como apenas duas proposições simples estão envolvidas, a resolução por tabela-verdade não 
seria tão demorada assim. 
Entretanto, vamos treinar um pouco a álgebra de proposições. 
Para transformar a proposição condicional dada em uma disjunção, devemos negar o primeiro 
componente. 
 
~𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) 
 
Vamos agora aplicar a propriedade distributiva. 
 
(~𝑝 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞) 
 
A proposição ~𝑝 ∨ 𝑝 é uma tautologia. 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
18 
 
𝑡 ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞) 
 
Lembre-se da analogia com a teoria dos conjuntos. A tautologia corresponde ao conjunto 
universo e a conjunção corresponde à interseção. A interseção do conjunto universo (tautologia) 
com um conjunto qualquer A é o próprio conjunto A. Portanto, a proposição acima pode ser 
simplificada para 
~𝑝 ∨ 𝑞 
 
Essa simplificação foi baseada na propriedade identidade 𝑝 ∧ 𝑡 ⟺ 𝑝. 
Gabarito: D 
5. (ANPAD 2018) 
Sejam 𝒑 e 𝒒 proposições lógicas simples e 𝑬(𝒑, 𝒒) uma proposição composta a partir de p e/ou 
q, tais que [(𝒑 → 𝒒) ∧ ~(𝒑 ∧ 𝒒)] ⟷ 𝑬(𝒑, 𝒒) é uma contradição. A proposição composta 𝑬(𝒑, 𝒒) é 
logicamente equivalente à proposição 
a) ~𝑝 
b) 𝑝 
c) ~𝑞 
d) 𝑞 
e) 𝑝 ∨ 𝑞 
Comentário 
A proposição [(𝑝 → 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞)] ⟷ 𝐸(𝑝, 𝑞) é uma contradição. Como é uma composta 
bicondicional (se e somente se), então seus componentes [(𝑝 → 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞)] e 𝐸(𝑝, 𝑞) deverão 
ter valores lógicos opostos, ou seja: 
 
𝐸(𝑝, 𝑞) ⟺ ~[(𝑝 → 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞)] 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
19 
 
Nosso objetivo agora será simplificar a proposição ~[(𝑝 → 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞)] 
Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo “e”. vamos aplicar a Lei de 
DeMorgan. 
 
~[(𝑝 → 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞)] ⟺ 
 
⟺~(𝑝 → 𝑞) ∨ ~~(𝑝 ∧ 𝑞) 
 
⟺ (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) 
 
Vamos agora colocar 𝑝 em evidência (é como usar a propriedade distributiva de trás para frente). 
 
⟺ 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ ~𝑞) 
 
A proposição 𝑞 ∨ ~𝑞 é uma tautologia. 
⟺ 𝑝 ∧ 𝑡 
 
Pela propriedade identidade, a proposição acima equivale a 𝑝. 
 
⟺ 𝑝 
 
Portanto, 
𝐸(𝑝, 𝑞) ⟺ 𝑝 
Gabarito: B 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves
 
 
20 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Guilherme Neves
Aula 04
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
814509
91752094387 - Eduardo Pereira Chaves