GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 7

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 7: PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO
Professor Me. Pedro Henrique Petri Xavier
NESSA AULA ESTUDAREMOS
• PRODUTO VETORIAL
• PRODUTO MISTO
• APLICAÇÕES COM PRODUTO VETORIAL E MISTO
Produto vetorial
Propriedades 
VERIFICANDO A PROPRIEDADE 3
𝜃 = 0 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠
𝑠𝑒𝑛 0 = 0
𝑠𝑒𝑛 0
0 0
Passo 1: Montar a MATRIZ
LINHA 1: COLOCAR OS VERSORES
LINHA 2: COLOCAR AS COORDENADAS
DO VETOR U
LINHA 3: COLOCAR AS COORDENADAS
DO VETOR V
Passo 2: Calcular o determinante da matriz 
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 2 3
−1 1 2
− − − + + +
Linhas diagonais em vermelho
- TROCAR O SINAL APÓS O FINAL
DAS MULTIPLICAÇÕES.
Linhas diagonais em verde
- MANTER O SINAL APÓS O FINAL
DAS MULTIPLICAÇÕES.
2𝑘 − 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑖 − 3𝑗 + 𝑘
𝑖 − 5𝑗 + 3𝑘
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 = 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 = 12 + (−5)2+32
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 = 1 + 25 + 9
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 = 35 = 5,92 MÓDULO DO VETOR 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣
APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL NA GEOMETRIA
• CÁLCULO DE ÁREA DE UM PARALELOGRAMO
• CÁLCULO DE ÁREA DE UM TRIÂNGULO
CASO 1: PARALELOGRAMO
A
B
C
𝑢
Ԧ𝑣
𝜃
h
A fórmula da área do paralelogramo é 
definido por:
𝐴 = 𝐵𝐴𝑆𝐸 𝑋 𝐴𝐿𝑇𝑈𝑅𝐴
𝐴 = 𝑏 𝑋 ℎ
𝐴 = 𝐼 𝑢 𝐼 𝑥
𝐴 = 𝑏 𝑥 ℎ
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐. 𝑜
ℎ𝑖𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
ℎ
𝐼𝑣𝐼
ℎ = 𝐼 𝑣 𝐼 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝐼 𝑣 𝐼 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
OBS: Basta calcular o produto vetorial entre os vetores, após isso calcular seu
módulo e finalmente dividir por 2.
Á𝑅𝐸𝐴 = 𝐼 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 𝐼
CASO 2: TRIÂNGULO
OBS: A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Ou seja, basta
calcular o produto vetorial entre os vetores, após isso calcular seu módulo e
finalmente dividir por 2.
Á𝑅𝐸𝐴 =
𝐼 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 𝐼
2
Os vetores indicados abaixo possuem origem comum. Pelas suas extremidades traçam retas paralelas de
modo que define no seu plano um paralelogramo. A área deste paralelogramo (em unidades de área e
arredondada para valor inteiro) vale:
Resolução:
Passo 1: Calcular o produto vetorial entre os vetores 𝑢 𝑒 Ԧ𝑣
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 3
2 4 2
𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 3
2 4 2
− − −+ + +
−2𝑘 − 12𝑖 − 2𝑗 + 2𝑖 + 6𝑗 + 4𝑘
−10𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘
Passo 2: Para calcular a área do paralelogramo basta calcular agora o 
módulo desse produto vetorial.
−10𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘
𝐼 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 𝐼 = 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
𝐼 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 𝐼 = (−10)2+42 + 22
𝐼 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 𝐼 = 100 + 16 + 4
𝐼 𝑢 𝑥 Ԧ𝑣 𝐼 = 120 = 10,96 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 11 𝑢. 𝑎
2 −1 𝑡
1 0 2
𝑡 3 𝑡
− − −+ + +
0 − 12 + 𝑡 + 0 − 2𝑡 + 3𝑡 = 0
−12 + 2𝑡 = 0
2𝑡 = 12
𝑡 =
12
2
𝑡 = 6
EXERCÍCIOS
RESPOSTAS
RESPOSTAS
3)
4)
RESPOSTA: M = -10. 
OBRIGADO PELA ATENÇÃO DE TODOS!!!!
BOM FINAL DE SEMANA