Aula 1 Conceitos Basicos de Probabilidade

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CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
Assim, existem dois tipos de experiências:
Experiência Determinística – é aquela que produz sempre o mesmo resultado, ou seja, resultado conhecido à priori cumpridas certas condições;
Experiência aleatória: processo de observação que conduz a pelo menos dois resultados possíveis, associados a uma incerteza com a qual ocorrerá;
Exemplos de uma experiência aleatória:
Lançamento de uma moeda e observação do lado que fica para cima;
Lançamento de um dado e observação do número de pontos obtidos;
Extracção de uma carta de um baralho e anotação do Rei;
Características de uma experiência aleatória:
Não se pode dizer à partida qual o resultado (fenómeno aleatório) da experiência a realizar, mas pode descrever-se o conjunto de todos os resultados possíveis;
A existência da regularidade quando a experiência é repetida muitas vezes;
A possibilidade de repetição da experiência em condições similares;
Espaço de resultados: é o conjunto Ω (não vazio) formado por todos os resultados que hipoteticamente é possível obter de uma determinada experiência aleatória.
Exemplo : No lançamento de um dado, os resultados básicos são os números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Assim, o espaço de resultados é: Ω = [1, 2, 3, 4, 5, 6].
Acontecimento ou evento: é um subconjunto do espaço de resultados. É algo que a experiência aleatória pode produzir mas não se realiza necessariamente;
Exemplo : Consideremos a possibilidade de saída de um número par no lançamento de um dado:
Experiência aleatória: Lançamento de um dado
Espaço de resultados: Ω=(1, 2, 3, 4, 5 e 6)
Acontecimento: (2, 4, 6)
Quanto à realização, os acontecimentos podem ser:
Elementar – se só acontecer um resultado específico;
Composto – se ocorrer um resultado de vários possíveis;
Quanto à probabilidade de ocorrência:
Certo – quando ocorre sempre: P(A) = 1
Possível – quando pode ocorrer ou não: 0<P(A)<1
Impossível – quando não ocorre: P(A) = 0
Quanto à ocorrência de resultados
Mutuamente Exclusivos – quando não podem ocorrer em simultâneo.
Equiprováveis/Igualmente possíveis – os acontecimentos Ai, i = 1,...,n são Equiprováveis ou igualmente possíveis quando P(A1) = P(A2) = ... = P(An) = p = 1/ n
Medidas de Probabilidade
A abordagem clássica de probabilidade
Abordagem frequencista de probabilidade
A abordagem subjectiva de probabilidade
A abordagem clássica de probabilidade: descreve a probabilidade em termos da proporção de vezes em que um acontecimento pode teoricamente esperar-se que ocorra.
Medidas de Probabilidade
Abordagem frequencista de probabilidade: expressa a proporção de vezes que a ocorrência de um acontecimento é observada num grande número de provas.
A abordagem subjectiva de probabilidade: representa o grau em que alguém acredita que o acontecimento ocorra. Tais probabilidades podem ser também descritas como palpites ou suposições.
Regras de Probabilidades
Regra de multiplicação de probabilidades: Descreve a probabilidade conjunta de ocorrência de dois ou mais acontecimentos, por exemplo, P(A ᴖ B) = P(A e B).
Esta regra envolve vários termos importantes:
Acontecimentos dependentes: dois ou mais acontecimentos diz-se ser dependentes se a ocorrência de um afecta a ocorrência dos demais. Caso contrário, os acontecimentos são independentes;
Probabilidade Marginal: a probabilidade de ocorrência de um dado acontecimento - P(A).
Probabilidade Conjunta: a probabilidade de ocorrência de dois ou mais acontecimentos - P(A ᴖ B) = P(A e B)
Regras de Probabilidades
Probabilidade Condicionada: a probabilidade de ocorrencia de um acontecimento A, dado que um outro acontecimento B já ocorreu ou teve lugar - P(A/B)
		
						(para toda P(B)>0)
Ou
						(para toda P(A)>0)
Regras de Probabilidades
Existem duas regras de multiplicação e a aplicação de cada uma delas depende de se os acontecimentos são dependentes ou independentes.
Se os acontecimentos são independentes:
Se os acontecimentos são dependentes:
Regras de Probabilidades
Exemplo 3: Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Seja A1 o acontecimento “primeira bola extraída ‘e preta” e A2 o acontecimento “a segunda bola extraída é preta”. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas pretas em duas extrapolações?
Se considerarmos uma extração com reposição, os acontecimentos A1 e A2 são independentes.
P(A1) = 2/(3+2) = 2/5 e P(A2) = 2/(3+2) = 2/5.
A probabilidade de as duas bolas serem pretas nas duas extracções é dada por:
Regras de Probabilidades
Se considerarmos uma extracção sem reposição, os acontecimentos A1 e A2 são dependentes.
P(A1) = 2/(3+2) = 2/5 
P(A2|A1) = 1/(3+1).=1/4. 
A probabilidade de as duas bolas serem pretas nas duas extracções é dada por:
Regras de Probabilidades
Regra de Adição de Probabilidade: Descreve a probabilidade de ocorrência de pelo menos um acontecimento, por exemplo, P(A ᴗ B) = P(A ou B).
Se os acontecimentos são mutuamente exclusivos
Se os acontecimentos não são mutuamente exclusivos
Regras de Probabilidades
Exemplo 1: Se definirmos A1 como sendo o acontecimento “saída de um 6 no lançamento de um dado” e A2 o acontecimento “saída de um número ímpar”, então P(A1) = 1/6 e P(A2) = 3/6 = ½. 
Tratando-se de acontecimentos mutuamente exclusivos, a probabilidade de sair um 6 ou um número ímpar num único lançamento é:
Regras de Probabilidades
Exemplo 2: Se A1 é o acontecimento que consiste na extracção de um “As” de um baralho de cartas” e A2 a extração de um “Espada”, então P(A1) = 4/52 = 1/13 e P(A2) = 13/52 = 1/4. 
Tratando-se de acontecimentos não mutuamente exclusivos, a probabilidade de se extrair um “As” ou um “Espada” em uma única extracção é:
Resumo
Exemplo 4: Um escritório possui 100 máquinas de calcular. Algumas dessas máquinas são eléctricas, enquanto outras são manuais; e algumas são novas, enquanto outras são muito usadas. A tabela dá o número de máquinas de cada categoria. Seja N = a máquina é nova; U = a máquina é usada; E = a máquina é eléctrica; e M = a máquina é manual.
Os valores da Tabela acima devem entender-se do seguinte modo:
Probabilidade de obter uma máquina nova: 
						P(N) = 70/100;
Probabilidade de obter uma máquina usada: 
						P(U) = 30/100
Probabilidade de obter uma máquina eléctrica: 
						P(E) = 60/100
Probabilidade de obter uma máquina manual: 
						P(M) = 40/100
Probabilidade de obter uma máquina eléctrica e nova: 
						P(EeN) = (40/100)
Probabilidade de obter uma máquina manual e usada: 
						P(MeU) = (10/100)
Probabilidade de obter uma máquina manual ou nova: 
					P(MouN)=70/100+40/100-30/100
Probabilidade de uma máquina ser Manual sabendo que é nova
					P(M|N) = (30/100)/(70/100) 
Partição do Espaço de Resultados
A probabilidade condicional é de grande utilidade se conhecermos a partição do espaço de resultados.
Diz-se que os acontecimentos A1 A2, ...An definem uma partição S, quando se verificam simultaneamente as seguintes condições:
a)Formam grupo completo, isto é, a união de todos os acontecimentos é o próprio espaço de resultados;
b)Os acontecimentos são mutuamente exclusivos dois a dois;
c)Todos os acontecimentos têm probabilidade não nula, isto é, P(Aj)>0
Probabilidade Total
Se os acontecimentos A1, A2, ..., An definem uma petição sobre Ω, então para qualquer eventos A definido em Ω tem-se:
Probabilidade Total
Exemplo 5: Num escritório existem três impressoras A, B, e C, que imprimem a velocidades diferentes. Os ficheiros são enviados para a primeira impressora que estiver disponível. A probabilidade de um ficheiro ser enviado para as impressoras A, B ou C é respectivamente 0.6, 0.3 e 0.1. Ocasionalmente a impressora avaria e destrói a impressão. As impressoras A, B e C avariam com probabilidades 0.01, 0.05 e 0.04.
a) Um ficheiro é enviado para impressão. Qual é a probabilidade de avaria da impressora e destruição da impressão?
Probabilidade Total
Vamos considerar a seguinte anotação:
A1: “enviar para impressora A”; P(A1)=0.6; A2: “enviar para impressora B’; P(A2)=0.3 A3 : “enviar para impressora C”; P(A3)=0.1; A : “Avaria da impressoara e distruição da impressão e’; P(A|A1)=0.01, P(A|A2)=0.05, P(A|A3)=0.04; P(A)=?.
Fórmula de Bayes
É uma extensão do conceito de probabilidade condicional e emprega-se para reavaliar as probabilidade dos acontecimentos Aj de uma partição [A1, A2, …, An] quando se obtém a informação adicional de que um dado acontecimento A se realizou e se conhece P(A/Aj).
Se A1, A2, ..., An definem uma partição sobre Ω, então, para A definido em Ω com P(A)>0:
Fórmula de Bayes
Exemplo 6: Do exemplo anterior sabe-se que a impressão do ficheiro foi destruída. Qual a probabilidade de ter sido enviada para impressora A?
Exemplo 7: Uma equipa de futebol ganha, perde ou empata, qualquer que seja o adversário, com probabilidade 0.6; 0.3 e 0.1 respectivamente. Se a equipa tiver que disputar 3 partidas na próxima semana:
a) Qual é espaço de resultados implicito nesta pergunta para esta equipa?
b) Qual é a probabilidade de não ganhar nenhuma partida?
c) Qual é a probabilidade de ganhar uma partida?
d) qual é a probabilidade de ganhar duas partidas?
e) Qual é a probabilidade de ganhar as tres partidas?
f) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos uma partida?
a) Qual é espaço de resultados implicito nesta pergunta para esta equipa?
	0		1		2		3
b) Qual é a probabilidade de não ganhar nenhuma partida?
P(0) = 0,4*0,4*0,4 = 0,43
c) Qual é a probabilidade de ganhar uma partida?
P(1)=0,6*0,4*0,4 + 0,4*0,6*0,4 + 0,4*0,4*0,6 = 3*0,6*0,42
d) qual é a probabilidade de ganhar duas partidas?
P(2)=0,6*0,6*0,4 + 0,6*0,4*0,6 + 0,4*0,6*0,6 = 3*0,4*0,62
e) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos uma partida? P(>=1) = P(1) + P(2) + P(3)	= 1 - P(0)
P(>=1) = 0,6*0,42 + 0,4*0,62 + 0,63 = 1 - 0,43
possiveis
resultados
de
total
Número
nto
acontecime
ao
favoráveis
resultados
Numero
n
m
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P
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acontecime
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