AULA TEORICA 4. INTRODUCAO A CONVECCAO [Autosaved]

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CAPITULO 4. 
INTRODUÇÃO A CONVECÇÃO
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dr. AJTsambe
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4.1 As Camadas-Limite da Convecção
Vamos discutir sobre as camadas-limite de velocidade, térmica e de concentração e relacioná-las com coeficiente de atrito, com coeficiente de transferência de calor por convecção e com o coeficiente de
transferência de massa por convecção.
4.1.1 A Camada-limite de Velocidade.
Para apresentar o conceito de uma camada limite, considere o escoamento sobre a placa da figura a seguir. 
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Quando partículas do fluido entram em contacto com a
superfície, elas passam ter velocidade igual a zero. 
Essas partículas actuam no retardamento do movimento
das partículas na camada de fluido adjacente, que por sua vez, actuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente até que, a uma distância da superfície, o efeito se torna desprezível.
Esse retardamento do movimento do fluido está associado às tensões de cisalhamento que actuam em planos que são paralelos à velocidade do fluido. 
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Com o aumento da distância y da superfície, o comprimento x da velocidade do fluido, u, aumenta até atingir o valor na corrente livre, . 
O subscrito ∞ é usado para designar condições na corrente livre, fora da camada–limite.
: é espessura da camada–limite, definida como o valor de y para o qual 
. 
O perfil de velocidades na camada–limite se refere à maneira como u varia com y através da camada-limite.
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Dessa forma, o escoamento do fluido é caracterizado pela existência de duas regiões distintas. 
Uma fina camada de fluido (a camada limite), na qual gradientes de velocidade e tensões cisalhantes são grandes, e uma região fora da camada–limite, na qual 
gradientes de velocidade e tensões cisalhantes são desprezíveis.
Com o aumento da distância da aresta frontal da placa, os efeitos da viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre e a camada limite aumenta ( aumenta com x).
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Como está relacionada à velocidade do fluido, a camada limite descrita anteriormente pode ser chamada de camada-limite de velocidade. 
Ela se desenvolve sempre que há escoamento de um fluido sobre uma superfície e é de fundamental importância em problemas que envolvem transporte convectivo. 
Na mecânica dos fluidos, sua importância para o engenheiro está baseada na sua relação com a
tensão de cisalhamento na superfície, , e, portanto, com os efeitos do atrito na superfície. 
Para os escoamentos externos, ela fornece a base para a determinação do coeficiente de atrito local, 
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que é um parâmetro adimensional chave a partir do qual o arrasto viscoso na superfície pode ser determinado. 
Supondo um fluido Newtoniano, a tensão cisalhante na superfície pode ser determinada a partir do conhecimento do gradiente de velocidade na
 superfície,
Onde μ é uma propriedade do fluido conhecida como viscosidade dinâmica. 
Em camada-limite de velocidade, o gradiente de velocidade na superfície
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depende da distância x da aresta frontal da placa. 
Consequentemente, a tensão cisalhante na superfície e o coeficiente de atrito também dependem de x.
4.1.2 A Camada-limite Térmica.
Uma camada-limite térmica deve se desenvolver se houver diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e da superfície. 
Na aresta frontal o perfil de temperatura é uniforme, com T(y) = T∞.
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A região do fluido na qual há esses gradientes de temperatura é camada-limite térmica e a sua espessura é definida, tipicamente, como o valor de y no qual a razão . 
A relação entre as condições nessa camada-limite e o h pode ser facilmente demonstrada. 
A qualquer distância x da aresta frontal, o da convecção na superfície local pode ser obtido utilizando – se a lei de Fourier no fluido, em que y = 0. Isto é,
Essa expressão é apropriada porque, na superfície, não há movimento de fluido e a transferência de energia seja unicamente por condução. 
Lembrando da lei do resfriamento de Newton, vimos que 
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e, combinado essa equação com a equação de Fourier anterior, obtém-se 
Assim, as condições no interior da camada limite-térmica, que influenciam
fortemente o gradiente de temperatura na superfície , determinam a taxa de transferência de calor através da camada-limite.
Como (Ts - T∞) é uma constante, independente de x, enquanto, cresce com aumento de x, os gradientes de temperatura na camada-limite devem diminuir com o aumento de x.
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Desta forma, o valor de diminui com o aumento de x e tem-se que e h diminuem com o aumento de x.
4.1.3 A Camada-limite de Concentração
Se ar movimenta-se ao longo da superfície de uma porção de água, a água líquida irá evaporar e vapor d’agua será
transferido para dentro da corrente de ar. 
Isto é um exemplo de transferência de massa por convecção. 
De uma forma mais geral, considere uma mistura binária, que escoa sobre uma superfície. 
A concentração molar da
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espécie A na superfície é CA,s e na corrente livre é CA,∞.
Se CA,s é diferente de CA,∞, irá ocorrer transferência da espécie A por convecção.
Por exemplo, a espécie A poderia ser um vapor que é transferido para dentro da corrente gasosa (espécie B)
devido à evaporação em uma superfície líquida ou sublimação em uma superfície sólida. 
Nesta situação, uma camada-limite de concentração, que é similar às camadas-limite de velocidade e térmica, irá se desenvolver.
A camada-limite de concentração é a região do
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fluido na qual existem gradientes de concentração e a sua espessura, é tipicamente definida como valor de y no qual 
. 
Com aumento da distância da aresta frontal, os efeitos da transferência da espécie penetram cada vez mais na corrente livre e a camada-limite de concentração cresce.
A transferência de espécies por convecção entre a superfície e a corrente livre de fluido é determinada pelas
condições na camada-limite, e nós estamos interessados na determinação da taxa na qual essa transferência ocorre: O Fluxo molar da espécie A, . 
O fluxo molar associado à transferência de uma espécie por difusão é determinado por uma expressão análoga à lei de Fourier.
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Para as condições de interesse, a expressão, que é chamada de lei de Fick, tem a forma 
Onde DAB é uma propriedade da mistura binária conhecida por coeficiente de difusão binária.
Em qualquer ponto correspondente a y > 0 no interior da camada-limite de concentração, a transferência de uma espécie é devida ao movimento global do fluido e à difusão.
Entretanto, em y = 0 não há movimento do fluido e, assim, a transferência da espécie ocorre somente por difusão. 
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Aplicando a lei de Fick em y = 0, vemos que o fluxo molar na espécie a qualquer distância da aresta frontal é, então,
O subscrito s foi usado para enfatizar que este é o fluxo
molar na superfície, mas ele será retirado nas próximas secções.
Analogamente à lei do resfriamento de Newton, uma equação pode ser escrita relacionando-se o fluxo molar com a diferença de concentrações através da cama-limite, como 
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Onde hm [m/s] é o coeficiente de transferência de massa por convecção, análogo ao coeficiente de transferência de calor por convecção.
Combinado as equações anteriores, tem-se que
 
Consequentemente, as condições na camada-limite de concentração, que influenciam fortemente o gradiente de concentração na superfície ∂CA/∂y│y=0, também influenciam o coeficiente de transferência de massa por convecção e, 
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assim, a taxa de transferência de massa da espécie no interior da camada-limite.
4.1.4 Significado das Camadas–limite
Para o escoamento sobre qualquer superfície existirá sempreuma camada-limite
de velocidade e, portanto, atrito na superfície. 
Da mesma forma, uma camada–limite térmica e, assim, transferência de calor por convecção estarão sempre presentes se houver diferença entre as temperaturas na superfície e na corrente livre.
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Analogamente, uma camada–limite de concentração e transferência de massa por convecção existirão se a concentração de uma espécie na superfície for diferente da sua concentração na corrente livre. 
A camada-limite de velocidade tem uma extensão δ(x) e é caracterizada pela
presença de gradientes de velocidade e de tensões cisalhantes.
A camada limite térmica apresenta uma espessura δt(x) e é caracterizada por gradiente de temperatura e pela transferência de calor.
Finalmente, a camada-
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limite de concentração tem espessura δc(x) e é caracterizada por gradientes de concentração e pela transferência da espécie.
Podem ocorrer situações nas quais as três camadas-limite estão presentes. 
Nesses casos, raramente as
camadas-limite crescem na mesma taxa e os valores de δ, δt e δc em uma dada posição não são os mesmos.
Para o engenheiro, as principais manifestações das três camadas-limite são, respectivamente, o atrito superficial, a transferência de calor por convecção e a transferência de massa por
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convecção. 
Os parâmetros-chave das camadas-limite são, então, o coeficiente de atrito Cf e os coeficientes de transferência de calor e de massa por convecção h e hm, respectivamente.
Voltamos nossa atenção agora para o exame desses três parâmetros-chave, que 
são importantes para análise de problemas de transferência de calor e de massa por convecção.
4.2 Coeficiente Convectivo Local e Médio
4.2.1 Transferência de calor
Considere as condições da figura abaixo, um fluido, com velocidade V e a temperatura
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T∞, escoa sobre uma superfície de forma arbitrária e área superficial As.
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Presume-se que a superfície se encontre a uma temperatura uniforme, Ts, e se Ts ≠ T∞ sabemos que irá ocorrer transferência de calor por convecção. 
O fluxo térmico na superfície e o coeficiente de transferência de calor convectivo variam ao longo da superfície. A taxa total de transferência de calor q pode ser obtida pela integração do fluxo local de toda a superfície. Ou seja, 
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Definindo um coeficiente convectivo médio para toda a superfície, a taxa de transferência de calor total também pode ser escrita na forma 
Os coeficientes convectivos médio e local se relacionam por uma expressão que tem a forma 
No caso do escoamento sobre uma placa plana, h varia somente com a distancia x da aresta frontal e a última equação se reduz a 
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4.2.2 Transferência de massa
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Se um fluido, com uma concentração molar de espécie CA,∞, escoa sobre uma superfície na qual a concentração dessa espécie é mantida em algum valor uniforme CA,s ≠ CA,∞, transferência dessa espécie irá ocorrer. 
A Transferência de uma espécie por convecção local e total pode ocorrer numa (a) superfície com forma arbitrária, (b) Placa plana.
Sabemos que o fluxo molar () na superfície e o
coeficiente de transferência de massa convectivo variam ao longo da superfície.
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A taxa de transferência molar (kmol/s), pode, então ser representada por 
Os coeficientes de transferência de massa por convecção médio e local estão relacionados por uma equação na forma
Para a placa plana, segue-se que
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A transferência de uma espécie também pode ser expressa como um fluxo de mássico, , ou como uma taxa de transferência de massa, nA.
Onde ρA é a concentração mássica da espécie A. 
Podemos também escrever a lei de Fick em uma base mássica. 
 
Além disso, podemos obter
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uma expressão alternativa para hm:
Para executar um cálculo de transferência de massa por convecção é necessário determinar o valor de CA,s ou ρA,s. 
Tal determinação pode ser efetuada supondo-se equilíbrio termodinâmico na interface entre o gás e a fase líquida ou sólida.
Uma implicação do equilíbrio é que a temperatura do vapor na interface é igual à temperatura da superfície Ts. 
Uma segunda implicação é
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que o vapor se encontra em estado saturado, estado no qual as tabelas termodinâmicas, podem ser usadas para obter a sua densidade a partir do conhecimento de Ts. 
Com uma boa aproximação, a concentração molar do vapor na superfície também pode ser determinada a partir
da pressão de vapor, através da utilização da equação de estado para um gás ideal. 
Isto é,
Onde R é a constante universal dos gases e psat(Ts) é a pressão de vapor
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correspondente à saturação a uma temperatura Ts. 
Note que a concentração mássica e a concentração molar do vapor estão relacionadas pela expressão
.
O fluxo local e/ou a taxa de transferência total são de capital importância em qualquer problema de convecção.
4.2.3 O Problema da Convecção
Essas grandezas podem ser determinadas pelas equações
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das taxas anteriores, que dependem do conhecimento dos coeficientes convectivos local e médio. 
É por esse motivo que a determinação desses coeficientes é vista como o problema da convecção. 
Contudo o problema não é
simples, pois, além de dependerem de numerosas propriedades dos fluidos, tais como densidade, viscosidade, conductividade térmica e calor específico, os coeficientes são funções da geometria da superfície e das condições de escoamento. 
Essa multiplicidade de variáveis independentes resulta do facto
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de que a transferência por convecção é influenciada pelas camadas-limite que se desenvolvem sobre a superfície.
Problema exemplo 4.1
Foi determinado que os resultados experimentais para o coeficiente de transferência de calor local 
h(x) para o escoamento sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa seguem a seguinte relação;
Onde a é um coeficiente (W/m1,9K) e x (m) é a distância da aresta frontal da placa. 
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(a) Desenvolva uma expressão para a razão entre o coeficiente de transferência de calor medio em uma placa com comprimento x e o coeficiente de transferência de calor local h em x. 
(b) Mostre, de forma qualitativa, a variação de h e em função de x.
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Resolucao: (a)
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Resolucao (b). A variação de h e tem a seguinte forma:
Problema exemplo 4.2
Um longo cilindro circular com 20 mm de diâmetro é fabricado de Naftalina sólido, um repelente comum contra traças, e é exposto a uma corrente de ar que proporciona um coeficiente de transferência de massa convectivo médio de . 
A concentração molar do vapor de Naftaleno na supefície do cilindro é e a sua massa molar é de 128 kg/kmol. 
Qual é a taxa mássica de sublimação por unidade de comprimento do cilindro?
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Cálculos em regime estacionário. Tratando-se de uma sublimação: na corrente livre.
Resolucao:
; Com e , segue-se que:
A taxa mássica de sublimação é, então,
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Problema exemplo 4.3.
Em algum ponto sobre a superfície de uma panela contendo agua são efetuadas medidas da
pressão parcial de vapor d’agua pA (atm) em função da distância y da superfície do liquido. Os resultados obtidos são os seguintes (figura ao lado). Determine o coeficiente de transferencia de massa por conveccao hm nessa posição.
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O vapor de d’água pode ser considerado como um gás ideal. As condições são isotérmicas.
Propriedades: 
Tabela A.6, vapor saturado (0,1 atm = 0,101 bar): Ts = 319 K. 
Tabela A.8, vapor d’agua - ar (319K): DAB(319K) = DAB(298K) x (319K/298K)3/2 = 0,288 x 10-4 m2/s
, com T constante: 
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44com base na distribuição de pressões do vapor medida 
Assim, a partir do equilíbrio termodinâmico na interface liquido-vapor, a temperatura interfacial foi determinada na tabela A.6.
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4.3 Escoamento laminar e turbulento
Uma primeira etapa essencial no tratamento de qualquer problema de convecção é a determinação se a camada-limite é laminar ou turbulenta. 
O atrito superficial e as taxas de transferência por convecção dependem
fortemente de qual dessas condições está presente.
4.3.1 Camadas-limite de velocidade laminar e turbulenta
as condições de escoamento laminar e turbulento, coexistem com a secção
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laminar precedendo a turbulenta.
Para cada condição, o movimento de fluido é caracterizado por componentes da velocidade nas direções x e y. 
O movimento do fluido se afastando da superfície se faz necessário pela
desaceleração do fluido próximo à parede na medida em que a camada-limite cresce na direção x. 
Na camada-limite laminar, o movimento do fluido é altamente ordenado, sendo possível identificar linhas de correntes ao longo das quais as partículas do fluido se movem.
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Quando a espessura da camada – limite aumenta os gradientes de velocidade em y = 0 diminuem no sentido do escoamento (aumento de x). 
Sabemos também que a tensão de cisalhamento também diminui com o aumento de x. 
O comportamento altamente ordenado continua até que uma zona de transição é atingida, ao longo da qual ocorre uma conversão das condições laminares para as turbulentas.
As condições na zona de transição mudam com o tempo, com o escoamento às vezes mostrando
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comportamento laminar e às vezes exibindo características de escoamento turbulento.
O escoamento na camada-limite completamente turbulenta é, em geral, altamente irregular, sendo caracterizado pelo movimento tridimensional aleatório de relativamente grandes parcelas do fluido.
A mistura no interior da camada-limite direciona fluido com alta velocidade na direção da superfície do sólido e transfere fluido com movimento mais lento para dentro da corrente livre.
A maior parte da mistura é promovida por vórtices na direção do escoamento chamados de “streaks” que são gerados internamente
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próximo a placa plana, onde eles crescem e decaem rapidamente.
Estudos analíticos e experimentais recentes sugerem que essas e outras estruturas coerentes no interior de escoamentos turbulentos podem se deslocar em ondas com velocidades que podem ser
superiores a u∞, interagem não linearmente e geram as condições caóticas que caracterizam o escoamento turbulento.
Como um resultado das interacções que levam às condições de escoamento caótico, flutuações de velocidade e de pressão ocorrem em qualquer ponto
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no interior da camada-limite turbulenta.
Três regiões distintas podem ser delineadas na camada-limite turbulenta como uma função da distância da superfície: 
i) uma subcamada viscosa na qual
o transporte é dominado pela difusão e o perfil de velocidade é aproximadamente linear. 
ii) uma camada de amortecimento adjacente na qual a difusão e a mistura turbulenta são comparáveis e,
iii) uma zona turbulenta na
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qual o transporte é dominado pela mistura turbulenta.
Uma comparação dos perfis do componente x da velocidade nas camadas-limite laminar e turbulenta, mostra que o perfil de velocidade turbulento é relativamente plano devido à mistura que ocorre no interior
da camada de amortecimento e da região turbulenta, dando lugar a grandes gradientes de velocidade na subcamada viscosa.
 
Desta forma, é geralmente maior na porção turbulenta da camada-limite que na porção laminar. 
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A transição do escoamento laminar para o turbulento é em última análise devida a mecanismos de gatilho, tais como como a interacção de estruturas transientes do escoamento que se desenvolvem naturalmente no interior do fluido ou pequenos distúrbios que existem no interior de muitas camada-limite típicas. 
Esses distúrbios podem se originar em flutuações na corrente livre ou podem ser induzidos pela rugosidade superficial ou minúsculas vibrações na superfície. 
O inicio da turbulenta depende da amplificação ou atenuação dos mecanismos de gatilho na direção do escoamento do fluido, o que, por sua vez, 
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depende de um agrupamento adimensional de parâmetros chamado de número de Reynolds,
onde, para uma placa plana, o comprimento característico é x, a distância a partir da aresta frontal.
O número de Reynolds representa a razão entre as forças de inercia e as viscosas. 
Se o número de Reynolds for pequeno, as forças de inercia serão insignificantes em relação às forças viscosas. 
Os distúrbios são, então, 
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dissipados e o escoamento permanece laminar. 
Entretanto, para um número de Reynolds grande, as forças de inércia podem ser suficientes para amplificar os mecanismos de gatilho e a transição para que a turbulência ocorre.
No cálculo do comportamento de camadas-limite, frequentemente é razoável supor que a transição comece em um certo local xc, como mostrado na figura a seguir. 
Esse local é determinado pelo número de Reynolds critico, Rex,c. 
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Para o escoamento sobre uma placa plana, sabe-se que o Rex,c varia de aproximadamente 105 até 3.106, dependendo da rugosidade da superfície e do nível de turbulência na corrente livre. 
Um valor representativo de 
é frequentemente admitido em cálculos da camada-limite e, caso não haja observação em contrário, é usado nos cálculos neste texto que envolvem placas planas.
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4.3.2 Camadas – limite térmico e de concentração de espécies laminares e turbulentas
Como a distribuição de velocidade determina o componente adventivo do transporte de energia térmica ou de espécies químicas no interior da camada-limite, a natureza do escoamento também tem uma profunda influencia nas taxas de transferência de
calor e de massa convectivas. 
Similarmente ao que acontece com a camada-limite de velocidade laminar, as camadas – limite térmica e de
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espécies crescem no sentido do escoamento (aumento de x), os gradientes de temperatura e de concentração das espécies no fluido em y = 0 diminuem no sentido do escoamento e, consequentemente, os coeficientes de transferência de calor e de massa também diminuem com o aumento de x.
Da mesma forma que induz grandes gradientes de velocidade em y = 0, a mistura turbulenta promove grandes gradientes de temperatura e de concentração de espécies adjacentes à superfície do solido, assim como um aumento correspondente nos coeficientes de transferência de calor e de massa ao longo da região de transição. 
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Esses efeitos estão ilustrados na figura a seguir para a espessura da camada-limite de velocidade e para o coeficiente de transferência de calor por convecção h.
Como a turbulência induz a mistura, que por sua vez reduz a importância da condução e da difusão na determinação das espessuras
das camadas-limite térmica e de concentração de espécies, diferenças nas espessuras das camadas-limite de velocidade, térmica e de espécies tendem a ser bem menores no escoamento turbulento do que no escoamento laminar. 
A presença da transferência de calor e/ou de massa pode
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afetar o local da transição de escoamento laminar para turbulento xc se a densidade ou a viscosidade dinâmica do fluido dependerem da temperatura ou da concentração das espécies.
Problema exemplo 4.4
Agua escoa a uma velocidade de u∞ = 1m/s sobre uma placa plana de comprimento L = 0,6 m. 
Considere dois casos, um no qual a temperatura da água é de aproximadamente 300 K e o outro para uma temperatura aproximada da água de 350 K. 
Nas regiões laminar eturbulenta,medidas experimentais mostram que os coeficientes convectivos locais são bem descrito por 
 
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Onde x tem a unidade de m. 
A 300 K, e .
Enquanto a 350 K, e .
Como está evidente, a constante, C, depende da natureza do escoamento, assim como a temperatura da água, em função da dependência com a temperatura de várias propriedades do fluido.
Determine o coeficiente convectivo medio , sobre a placa inteira para as duas temperaturas.
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Estamos diante de um escoamento de água sobre uma placa plana, expressões para a dependência do coeficiente convectivo local com a distância da aresta frontal da placa, x, e temperatura aproximada da água. 
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Precisamos determinar o coeficiente convectivo medio. O esquema do processo também está disponível.
Considerações: condições de regime estacionário e a transição ocorre em número de Reynolds crítico de 
Rex,c = 5 x 105.
A partir das tabelas termodinâmicas são extraídas os dados seguintes:
Tabela A.6, agua (:, 
µ = 855 x 10-6 Ns/m2
Tabela A.6, agua (T ≈350K): , 
µ = 365 x 10-6 Ns/m2
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Análise: o coeficiente convectivo local é altamente dependente do fato de serem as condições de escoamento laminar ou turbulento. 
Consequentemente, em primeiro lugar determinamos a extensão dessas condições achando o local onde a transição ocorre, xc. 
a 300 K, 
a 350 K,
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sabemos que 
 
A 330 K, 
A 350 K, 
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As distribuições dos coeficientes convectivos locais e o valor do coeficiente convectivo médio para x = L = 0,6 m na placa são mostrados na figura ao lado.
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Comentários:
1. O coeficiente convectivo médio a T ≈ 350 K é mais do que o dobro do valor a T ≈ 300 K. 
Essa forte dependência com a temperatura é devida
principalmente ao significativo deslocamento de xc, que esta associado à menor viscosidade da agua na maior temperatura.
Uma consideração cuidadosa da dependência com a temperatura das propriedades do fluido é crucial ao se fazer uma análise da transferência de calor por convecção.
2. Variações com a posição do coeficiente convectivo local são significativas. Os maiores coeficientes convectivos locais ocorrem na aresta frontal da placa plana, onde a camada-limite térmica laminar é extremamente fina, e logo apos xc, onde a camada-limite turbulenta é mais fina.
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4.4 Resfriamento Evaporativo
Uma aplicação importante da analogia da transferência de calor e de massa é o processo de resfriamento evaporativo, que ocorre quando um gás escoa sobre um líquido (figura ao lado). 
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A evaporação ocorre na superfície do líquido e a energia associada à mudança de fase é o calor latente de vaporização do líquido. 
A evaporação acontece quando as moléculas do líquido, próximas à superfície sofrem colisões que aumentam a sua energia
para um valor acima daquele necessário para superar a energia de ligação na superfície. 
A energia necessária para sustentar a evaporação vem da energia interna do líquido, que deve então experimentar uma redução na sua temperatura (o efeito de resfriamento). 
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No entanto, se condições de regime estacionário forem mantidas, a energia perdida pelo líquido em função da evaporação deve ser reposta pela transferência de energia para o líquido, originada na sua vizinhança. 
Desprezando efeitos radiantes, essa transferência pode ser devida à convecção
de energia sensível oriunda do gás ou devida à adição de calor por outros meios, como, por exemplo, através de um aquecedor eléctrico submerso no líquido. 
Aplicando a conservação de energia em uma superfície de controlo em torno do liquido, tem-se que, por uma unidade de área superficial,
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onde pode ser aproximado pelo produto do fluxo de massa evaporado pelo calor latente de vaporização
Se não houver adição de calor por outros meios, a equação anterior se reduz a um equilíbrio entre a transferência de calor por convecção a partir do gás e da perda de calor do líquido em função da evaporação.
Substituindo as equações de calor anteriores, a equação actual pode, então, ser escrita como 
onde a densidade do vapor na superfície é aquela associada às condições de saturação a Ts. Assim, a magnitude do efeito de resfriamento pode ser representado por 
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Substituindo (hm/h) vindo da equação anterior e as densidades do vapor obtidas pela lei do gás ideal, o efeito de resfriamento também pode ser representado por
 
Com o objectivo de melhorar a precisão, as propriedades do gás (espécie B) ρ, Cp e Le deveriam ser calculadas na temperatura média aritmética da camada-limite térmica, 
Tma = (Ts + T∞)/2. 
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Numerosas aplicações ambientais e industriais dos resultados anteriores surgem em situações nas quais o gás é o ar e o líquido é a água.
Problema exemplo 4.5
Um recipiente que se encontra envolvido por um tecido que é continuamente humedecido com um líquido altamente volátil pode ser
usado para manter bebidas frias em regiões quentes e áridas..
Suponha que o recipiente seja colocado em um ambiente com ar seco a 40 oC, com as transferências de calor e de massa entre agente humectante e o ar ocorrendo por convecção forçada. 
O agente humectante possui
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massa molar de 200 kg/kmol e um calor latente de vaporização de 100 kJ/kg.
Sua pressão de vapor saturado para as condições especificadas é de aproximadamente 5000 N/m2, e o coeficiente de difusão do vapor no ar é 0,2 x 10-4 m2/s. 
Qual é a temperatura da bebida no regime estacionário?
Resolução: As propriedades do agente humectante usado para resfriar, por evaporação, um recipiente de bebida. Precisa-se achar a temperatura da bebida no regime estacionário.
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Esquema:
Considerações: 
Analogia da transferência de calor e de massa aplicável.
Vapor apresenta comportamento de gás ideal.
Efeitos da radiação desprezíveis.
Propriedades do ar podem ser calculados na temperatura média da camada-limite, suposta igual a 300 K.
Propriedades: tabela A.4, ar (300K): ρ = 1,16 , 
Cp = 1007 kJ/kgK, .
Análise: sujeito às considerações anteriores o efeito do resfriamento evaporativo é dado pela equação a seguir.
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Estabelecendo e rearrumando, tem-se que 
Onde o coeficiente B é 
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donde
Não considerando o sinal de menos com base em argumentos físicos (Ts tem que ser igual a T∞ se não houver evaporação, caso em que pA,sat = 0 e B = 0), tem-se que
Comentários: o resultado é independente da forma do recipiente desde que a analogia das transferências de calor e de massa possa ser usada.
4.5 Os Coeficientes Convectivos.
Neste capítulo analisamos vários temas fundamentais
relacionados aos fenómenos do transporte convectivo. 
No processo, entretanto, esperamos que você tenha perdido de vista o resto do problema da convecção. 
Nosso objetivo principal ainda é o de desenvolver os meios para determinar os
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coeficientes convectivo h e hm. 
Embora esses coeficientes possam ser obtidas pela solução das equações de camada-limite, somente em condições de escoamento mais simples tais soluções podem ser obtidas de imediato.
O procedimento mais prático envolve, frequentemente, o cálculo de h e hm a partir de relações empíricas. 
A forma particular dessas equações é obtida pela correlação de resultados das transferências de calor e de massa, medidas em termos dos grupos adimensionais apropriados.
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FIM
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