Questão resolvida - 5) Para o sistema dado, ENCONTRE todos os valores de p para os quais o sistema tem infinitas soluções, tem solução única e não tem solução ... - Álgebra Linear I - FK

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Para o sistema dado, ENCONTRE todos os valores de p para os quais o sistema tem 
infinitas soluções, tem solução única e não tem solução:
 
x + 2y + z = 3
x + y - z = 2
x + y + p - 5 z = p2
 
Resolução:
 
Vamos resolver pelo método de elimiação de Gauss;
 
x + 2y + z = 3
x + y - z = 2
x + y + p - 5 z = p2
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪2 e 3 com a 1° multiplicada
por -1
x + 2y + z = 3
x - x + y - 2y - z - z = 2 - 3
x - x + y - 2y + p - 5 z - z = p - 32
 
x + 2y + z = 3
x - x + y - 2y - z - z = 2 - 3
x - x + y - 2y + p - 5 z - z = p - 32
→
x + 2y + z = 3
0 - y - 2z = -1
0 - y + p - 5 - 1 z = p - 32
 
x + 2y + z = 3
0 - y - 2z = -1
0 - y + p - 5 - 1 z = p - 32
→
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
-y + p - 6 z = p - 32
 
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
-y + p - 6 z = p - 32
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪a 2°, multiplicada por -1
 com a 3°
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
-y + y + p - 6 z + 2z = p - 3 + 12
 
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
-y + y + p - 6 z + 2z = p - 3 + 12
→
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
0 + p - 6 + 2 z = p - 22
 
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
0 + p - 6 + 2 z = p - 22
→
x + 2y + z = 3
-y - 2z = -1
p - 4 z = p - 22
 
 
 
somando as equações
Agora, somamos
 
Para que o sistema seja possível e determinado z deve ser um número pertencente a ;R
 
p - 4 z = p - 2 z =2 →
p - 2
p - 42
 
Para z ser um número pertencente aos reais, a expressão , vamos resolver a p - 4 ≠ 02
equação do 2° incompleta;
 
p - 4 = 0 p = 4 p = ± p = ±22 → 2 → 4 →
 
Assim, para o sistema ser possível e detrminado p pode assumir qualquer valor em R
menos ;±2
 
Sistema possível e determinado p ∈ R / p = ± 2→ { }
 
Para o sistema ser possível e indeterminado, o coeficiente na frente de z deve ser zero, e o 
termo depois da igualdade também deve ser zero, da solução da equação verificamos que 
se o valor do coeficiente na frente de z será zero. Com isso, a equação depois da p = ±2
igualdade deve ser igual a zero também, ou seja, ;p - 2 = 0
 
p - 2 = 0 p = 2→
 
Com isso, para o sistema ser possível e indeterminado, devemos ter;
 
S.P. I. p = 2→
 
Para o sistema ser impossível, devemos ter o coeficiente na frente de z igual a zero e o 
coeficiente depois da igualdade diferente de zero, isso ocorre se , assim;p = -2
 
S. I. p = -2→
 
 
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)
(Resposta - 3)