Referencial de resposta do livro calculo diferencial e integral 2

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1 
 
Referencial de respostas do livro Cálculo 
diferencial e integral, volume 2 
 
capítulo 1 
 
Atividade 1 
 
Resolução: 
 
1.1 
2 2= +y x senxy →Tabela Geral de Derivadas: 7 y senu y cos u.u= ⇒ =' ' 
 Produto de funções: y u.v y' = u'.v+v'.u= ⇒ 
2 2 cos cos= + +
dy dy
y x xyy xy x
dx dx
 
2 cos 2 cos− = +
dy dy
y xy x x xyy
dx dx
 
 ( )2 cos 2 cos− = +dy y x xy x y xy
dx
 
 
2 cos
2 cos
+
=
−
dy x y xy
dx y x xy
 
 
1.2 
 
Seja ( );Q a b um ponto do modelo gráfico e o par ordenado ( );a b uma solução 
da suposta equação. Para verificarmos isso, basta substituirmos o ponto dado 
na equação. 
 
O ponto ( )1; 2−Q pertence ao modelo gráfico? Fazendo 1=x e 2= −y temos, 
( ) ( ) ( ) ( )4 34 35 1 3 4 5 1 1 2 3 2 4 1 6 6+ = + − ⇒ + = − + − − ⇒ =x y y x . Portanto, 
confirmamos a afirmação citada. E, diferenciando implicitamente a equação 
dada, podemos determinar o coeficiente angular da reta tangente no ponto 
( )1; 2−Q , isto é, o valor da derivada para 1=x e 2= −y . Assim, 
2 
 
4 3 3 35 1 3 4 5 0 4 3 12 5 12 4 3+ = + − ⇒ + = + − ⇒ + = +
dy dy dy dy
x y y x y x x y
dx dx dx dx
 
( )3 3 3
5 12
5 12 4 3 5 12 4 3
4 3
+
+ = + ⇒ + = + ⇒ =
+
dy dy dy x dy
x y x y
dx dx dx y dx
 
3
5 12
4 3
+
=
+
dy x
dx y
, para 1=x e 2= −y 
( )
( )33
5 12 15 12 17
0,59
4 3 294 2 3
++
= ⇒ = ⇒ = − ⇒ ≅ −
+ − +
dy x dy dy dy
dx y dx dx dx
 
 
Assim, no ponto ( )1; 2−Q ' 17 0,59
29
= = − ≅ −
dy
y
dx
. E, para representar a equação 
da reta tangente a esta curva no ponto ( )1; 2−Q , utilizamos a expressão 
( )0 0− = −y y m x x . Então, 
 
( )0 0− = −y y m x x 
( ) ( )17 17 17 29 58 17 172 1 2
29 29 29 29 29
17 29 75 0
x y x
y x y
x y
− − +
− − = − − ⇒ + = − + ⇒ =
⇒ − − + =
 
 
 
1.3 
3
3
4cos
, 0
24
π =
≤ ≤
=
x t
t
y sen t
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
'
3' 2
'' 2
3
4 12 cos
12cos cos4cos
= = = = − = −
−
sen ty tdy sen t t sent
tg t
dx x t tsent tt
 
 
 
 
 
 
Nota: Razão Trigonométrica: ( )
cos
=
sent
tg t
t
 
Observe que temos um produto-quociente 
com termos semelhantes, daí simplificamos. 
3 
 
 
Como sabemos, a análise do intervalo de validade das respostas é muito 
importante. Pois, observamos que ( )'x t deve ser diferente de zero, pois está 
operando como denominador da expressão anterior. Logo, concluímos que 
para fazer as simplificações indicadas, devemos considerar 0≠t e 
2
π
≠t , pois 
0 0=sen e cos 0
2
π
= . Notamos que apesar de t pertencer ao intervalo 0
2
π
≤ ≤t , 
efetivamente estão excluídos os valores de t supracitados. 
 
Atividade 2 
 
2.1 
( ) 3 2 2 1y g x x x x= = + − + . 
Comparando os valores de e y dy∆ com x variando de 2 para 2,01, temos: 
 
Da função ( ) 3 2 2 1g x x x x= + − + para 2x = temos, 
 
 ( ) 3 22 2 2 2.2 1 (2) 9g g= + − + ⇒ = 
 
E analisando para 2,01x = , temos, 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 22,01 2,01 2,01 2. 2,01 1g = + − + 
 
 ( )2,01 9,140g ≅ 
 
Como ( ) ( )y g x x g x∆ = + ∆ − , então: 
 ( ) ( )2,01 2 9,140 9y g g y∆ = − ⇒ ∆ = − 
 0,140y∴∆ ≅ 
 
Portanto, considerando ( )'dy g x dx= podemos concluir: 
( )'dy g x dx= (Observe que o valor abaixo é da derivada de g ) 
dy = ( )23 2 2x x dx+ − , para 2x = e 0,01dx = ( )Lembre-se: 2,01 2 0,01− = 
( ) ( )23 2 2 2 2 0,01 0,14dy  ∴ = + − =  
 
Em análise, a aproximação y dy∆ ≅ para esta variação de x.E nos cálculos 
desta atividade, os resultados aproximados obtidos foram 0,140y∆ ≅ e 
0,14dy = . Logo concluímos que, à medida que x∆ assume valores menores, a 
aproximação torna-se melhor. 
 
4 
 
2.2 
0602,0
50602,5
]53632[]501,36)01,3(2[
)3()01,3(
)3()01,03(
)()(
22
11
=
−=
+⋅−⋅−+⋅−⋅=
−=
−+=
−∆+=∆
ff
ff
xfxxfy
 
Perceba que, se utilizarmos a definição de que xxfdy ∆⋅= )(' e aplicarmos os 
valores, teremos: 
 
06,0
01,06
01,0)3('
=
⋅=
⋅=
dy
dy
fdy
 
 
Temos que 0602,006,0 ≅ , ou seja, y∆ e dy estão muito próximos, o que nos 
permite visualizar a validade da definição de diferencial. 
 
 
Atividade 3 
3.1 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
3.2 
a) 
5
(0) 20 15
0 1
P = − =
+
 
O número de habitantes desta comunidade é de 15 milhares de habitantes. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
3.3 
a) 
4
(0) 30 5(0) 34 º
(0 1)
T C= − + =
+
 
 
b) 
 
3.4 
a) 
 
 
b)
 
( )2 290000 2500(5) 90000 2500(2)
1750 /
5 2
V
l hora
t
− − −∆
= = −
∆ −
 
A taxa média de escoamento é de 1750 l/hora. 
 
c) 
2
2 2500 10000 /
t
dV dV
t l hora
dt dt =
= − ⋅ ⇒ = −
 
6 
 
A taxa de escoamento depois de 2 horas é de 10000 l/hora. 
3.5 
 
 
3.6 
Dados: 
Velocidade de deslizamento do topo da escada: ? m/s
dy
dt
= 
Velocidade em que a base da escada está escorregando sobre o piso: 5 /
dx
cm s
dt
= 
As variáveis estão relacionadas conforme a equação: 
2 2 2 2 23 9 (I)x y x y+ = ⇒ + = 
Derivando implicitamente a equação obtemos 
( ) ( )2 2 9 2 2 0 (II)d d dx dyx y x y
dt dt dt dt
+ = ⇒ + = 
Substituindo os dados nesta equação encontramos 
2 2 0 2(2)(5) 2 0
dx dy dy
x y y
dt dt dt
+ = ⇒ + = 
Para obter o valor da variável y, substituímos 2x = na equação (I) e obtemos 5y = . 
Assim, 2(2)(5) 2( 5) 0 2 5 cm/s
dy dy
dt dt
+ = ⇒ = − 
A velocidade de descida da extremidade da escada que está encostada na 
parede quando a base está a 2 m de distância da parede é de 2 5 cm/s . 
 
 
3.7 Considerando 
 
h : altura do cone 
r : raio do cone 
V : volume do cone 
t : tempo 
D : diâmetro do cone 
 
 
Sabe-se que: 
7 
 
2
2
2
D r
h
D h r h r
=
= ⇒ = ⇒ =
 
330 /
dV
m mim
dt
= →Taxa de descarregamento da cana 
dh
dt
= ? (a que taxa está crescendo a altura da pilha?) 
 
Logo, 
2
2 31 1 1
3 3 2 12
h
V r h V h V hπ π π = ⇒ = ⇒ = 
 
 
31
12
V hπ= → Derivando implicitamente ambos os lados 
2 21 130 (10)
4 4
dV dh dh
h
dt dt dt
π π= ⇒ = 
6
5
dh
dt π
= 
 
Portanto, conclui-se que a altura da pilha está crescendo a rapidez de 
6
/ min
5
m
π
. 
 
 
Atividade 4 
 
4.1) Vamos construir o gráfico da função xxxxf 523)( 23 −+= . 
 
1º) Podemos verificar que esta função é do tipo polinomial e que, 
portanto, não teremos nenhum problema de domínio. Logo D IR= 
2º) Encontrando os interceptos: 
0)523(
05230)(
2
23
=−+
=−+⇒=
xxx
xxxxf
 
 
Logo, as raízes são 
3
5
− , 0 e 1. 
 
Encontrando o ponto onde a curva toca o eixo das ordenadas, temos 
que 0)0( =f . 
 
3º) Calculando )(' xf e estudando o seu sinal: 
 
Temos que, 549)(' 2 −+= xxxf . 
 
05230 2 =−+= xxex
8 
 
Fazendo 0)(' =xf temos que as raízes da função )(' xf são – 1 e 
9
5
. 
No estudo de sinal, temos: 
 
 
• )(xf é crescente se 1−<x ou 
9
5
>x ; 
• )(xf é decrescente 
9
5
1 <<− x ; 
 
4º) Estudando os pontos críticos: 
 












9
5
,
9
5
f e [ ])1(,1 −− f são pontos críticos de )(xf 
 
• [ ])1(,1 −− f é ponto de máximo local; 
• 











9
5
,
9
5
f é ponto de mínimo relativo. 
 
5º) Calculando )('' xf e estudando o seu sinal: 
 
Temos que ''( ) 18 4f x x= + . 
Estudando o sinal de )('' xf , temos: 
 
4 2
18 4 0 18 4
18 9
x x x
−
+ = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se 
9
2
−<x , )(xf tem a concavidade voltada para baixo; 
• Se 
9
2
−>x , )(xf tem a concavidade voltada para cima; 
• 










−−
9
2
,
9
2
f é ponto de inflexão. 
9 
 
Finalmente, fazemos o esboço do gráfico com base nos dados vistos 
anteriormente e com o auxílio da tabela de valores aproximados da 
função: 
 
 
 
x y 
-2 -6 
-1,5 1,875 
-1 4 
-0,5 2,625 
0 0 
0,56 
-
1,64595 
0,80 -1,184 
1 0 
1,5 7,125 
 
 
 
 
4.2) Vamos construir o gráfico da função 4 2( )f x x x= − . 
1º) Analisando o domínio, constatamos que D IR= 
 
2º) Encontrando os interceptos, temos que: 
4 2 2 2( ) 0 0 ( 1) 0f x x x x x= ⇒ − = ⇒ − = 
As raízes são -1 , 0 e 1 
Temos, também, que f(0)=0,o que indica que a interseção da curva com o 
eixo y é dada pelo ponto (0,0). 
 
3º) Calculando f'(x), e fazendo o estudo de sinal. 
3'( ) 4 2f x x x= − 
3 2'( ) 0 4 2 0 (4 2) 0f x x x x x= ⇒ − = ⇒ − = 
10 
 
Temos um produto de duas funções 
( )g x x= e 2( ) 4 2h x x= − 
Fazendo o estudo de sinal de , temos que: 
 
• se 
1
0
2
x− < < e 
1
2
x > . Logo, concluímos que )(xf será 
crescente para estes intervalos; 
• 0)(' <xf se 
2
1
−<x e 
2
1
0 << x . Logo, concluímos que )(xf será 
decrescente para estes intervalos. 
 
4º) Analisando os pontos críticos. 
• 
















−−
2
1
,
2
1
f e 
















2
1
,
2
1
f são pontos de mínimo; 
• [ ])0(,0 f é ponto de máximo relativo. 
 
5º) Calculando f''(x), e fazendo o estudo de sinal. 
2''( ) 12 2f x x= − 
Fazendo o estudo de sinal de )('' xf , temos: 
 
As raízes são: 
6
1
− e 
6
1
 
 
 
• )(xf tem a concavidade voltada para baixo se 
6
1
6
1
<<− x ; 
• )(xf tem a concavidade voltada para cima se 
6
1
−<x e 
6
1
>x ; 
• 
















−−
6
1
,
6
1
f e 
















6
1
,
6
1
f são pontos de inflexão. 
)(' xf
0)(' >xf
11 
 
6º) )(xf não tem assíntotas. Esboçando o gráfico, temos: 
x y 
-1,5 2,8125 
-1 0 
-0,5 -0,1875 
0 0 
0,5 -0,1875 
1 0 
1,5 2,8125 
 
 
 
 
 
Atividade 5 
 
5.1 Como podemos observar a receita obtida com a venda de k peças 
artesanais é 2800k , a função R é expressa por ( ) 2800=R k k . 
A função lucro P é representada pela diferença entre a função receita R e a 
função custo C , ou seja, 
 
( ) ( ) ( ) ( )3 22800 3 80 500= − = − − − +P k R k C k k k k k 
( ) 3 23 2880 500= − + + −P k k k k 
 
Diferenciamos para encontrar o lucro máximo ( )P k . Logo, 
12 
 
 
( )' 23 6 2880= − + +P k k k → Derivada 1ª 
( ) ( )' 23 2 960= − − −P k k k 
 
Fazendo ( )' 0=P k →Encontramos o número crítico 
( )2 23 2 960 0 2 960 0− − − = ⇒ − − =k k k k 
 ( )( )32 30 0⇒ − + =k k 
 1 32⇒ =k 
 2 30= − →k Não serve ao proposto. Então, vamos 
verificar 1 32=k . 
 
Fazendo a derivada 2ª da função lucro P , obtemos, 
 
( )'' 6 6= − +P k k 
Substituindo 1 32=k em ( )'' 6 6= − +P k k temos, 
( ) ( ) ( )'' '' ''6 6 32 6 32 6 (32) 186 0= − + ⇒ = − + ⇒ = − <P k k P P 
 
Dessa forma, pelo “teste da derivada 2ª”, obtemos o lucro máximo se forem 
fabricadas e vendidas mensalmente 32 peças artesanais. E concluímos que o 
lucro máximo mensal é obtido substituindo 1 32=k na função lucro ( )P k . 
Assim, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 23 2880 500 32 32 3 32 2880 32 500= − + + − ⇒ = − + + −P k k k k P 
( )32 61.964=P 
 
Portanto, o lucro máximo possível obtido mensalmente é de R$61.964,00. 
 
 
5.2 
 
13 
 
Como 2 2 12.000= − +T w e T é positivo podemos concluir que a função procura 
p é expressa por 
 
( ) 2 12.000= = − +T p w w 
 
PERGUNTA: Qual o domínio de p ? 
 
→ O domínio de p consiste em todos os valores de w , tais que 
2 12.000 0− + >w . Ou, de modo equivalente 2 12.000<w . 
 
Isolando w , temos 0 6.000≤ <w 
 
Graficamente, temos 
 
 
Gráfico de 2 2 12.000= − +T w 
 
 
Analisando o esboço gráfico de ( )p w , concluímos que teoricamente não 
haverá vendas caso o preço de venda for 12.000 109,54≅ . E, quando o preço 
de venda for próximo de zero a procura está mais próxima de 6.000 unidades. 
 
Como obter a função procura marginal? Basta derivar p . Logo, 
' 1
2 12.000
−
=
− +
p
w
 → “Sinal negativo!!!” 
 
14 
 
Interpretando o sinal negativo, concluímos que uma redução no preço está 
associada a um aumento na procura. 
 
Calculando a função receita R , temos, 
 
( ) ( ) 2 12.000= = − +R w wp w w w → Diferenciando ambos os lados em relação 
a w e simplificando os resultados, obtemos a função receita marginal ( )'R w 
expressa por, 
 
( )' 3 12.000
2 12.000
− +
=
− +
w
R w
w
 
 
Para encontrar o número de unidades e o preço unitário que produzam receita 
máxima temos, 
 
12.000 / 3 4000= = →w Número crítico para a função receita R 
 
Observando a função receita marginal ( )'R w concluímos que: 
→ ( )'R w é positiva se 0 4.000≤ <w 
→ ( )'R w é negativa se 4.000 6.000< <w 
 
Portanto, a receita máxima será obtida quando se produzir e vender 4.000 
unidades. Esse valor corresponde a um preço unitário de venda expresso por: 
 
( ) ( ) ( )
( )
2 12.000 4.000 2 4.000 12.000
63,25
p w w p
p w
= − + ⇒ = − +
⇒ ≅
 
 
E para finalizar a receita máxima ( )R w , obtida com a venda de 4.000 unidades 
a um preço unitário de R$63,25 resulta em: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4.000 63, 25 253.000,00= ⇒ = ⇒ =R w wp w R w R w 
 
15 
 
5.3 
 
Pergunta: Quais as dimensões que minimizam o custo do material utilizado 
num recipiente cilíndrico, com abertura superior, e devendo ter a capacidade de 
3375πcm , supondo que não há perda do material? 
 
Planificando o cilindro reto, de base com raio R e altura h , obtemos a seguinte 
figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Refletir: Repare que a base do retângulo é exatamente o comprimento da 
circunferência da base do cilindro ( )2πR ; como a área do retângulo ( )LS é o 
produto de duas dimensões, isto é, lados 2πR e h ; temos que 2π=LS Rh . 
Concluindo, temos 
R : denota o raio. 
h : denota a altura. 
BS : denota a área do círculo de raio R (área da base), sendo 
2π=BS R . 
LS : denota a área do retângulo de lados 2πR e h (área lateral). 
TS : denota a área total do cilindro, sendo ( )2π= +TS R R h . 
 
C : denota o custo do material 
Suposição: não há perda de material 
Custo por 2cm → Base do material: R$0,15 
 → Parte curva: R$0,05 
 
 
 
⇒ 
16 
 
Assim, 
 
Custo do recipiente: 15(área da base) + 5(área da parte lateral) 
Logo, 
( ) ( )215 5 2π π= +C R Rh 
( ) ( )25 3 5 2π π= +C R Rh →Colocamos o termo 5π em evidência 
( )25 3 2π= +C R Rh → Observamos que podemos expressar C como função de 
uma variável, R , isolando h em termos de R . 
 
O enunciado nos informou que o volume do recipiente, V , é 3375πcm , então, 
2 2
2 22
375 375
375
π
π π π
ππ
=
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
=
V bh
V R h R h h h
R Rb R
 
 
Substituindo h por 2375 / R em C , temos 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
375 750
5 3 2 5 3 2 5 3π π π   = + ⇒ = + ⇒ = +   
   
C R R Rh C R R R C R R
R R
 
( ) ( ) ( )
3
2 2750 250 2505 3 5 3 15π π π
 +   = + ⇒ = + ⇒ =     
     
R
C R R C R R C R
R R R
 
( ) ( ) ( )
3 3
2250 250 25015 15 15π π π
   +  = ⇒ = + ⇒ = +     
    
R R
C R C R C R R
R R R R
 
 
Atenção: O domínio de C é ( )0;∞ . 
Pergunta: Como determinar os números críticos? 
Resposta: Para determinar os números críticos basta diferenciar C em relação 
a R (Derivada implícita). 
 
Portanto, 
 
( ) 2 25015π  = + 
 
C R R
R
→ Tabela Geral de Derivadas: 
17 
 
 Quociente de funções: 
2
' '
'
u u v v u
y y
v v
⋅ − ⋅
= ⇒ = 
 
2 2
250 0* 1*250 250−
= = ⇒ = −
R
y y
R R R
 
 
'
2 2
250 250
( ) 15 2 15 2π π
    = = + − = −        
dC
C R R R
dR R R
 
( )
3
'
2 2 2
250 2 250 250
15 2 15 15 2π π π
 −   = = − = = −    
    
dC R
C R R R
dR R R R
 
( )' 2
250
15 2π  = = − 
 
dC
C R R
dR R
 
Fazendo 0=
dC
dR
→Encontramos o número crítico 
2
250
15 2 0π  − = 
 
R
R
 
 ⇒
2 3
2
3 3 3
250 250
2 0 125
2
125 5
R RR R
R
R R
− = ⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
 
 
Podemos observar que onúmero 5 é o único número crítico. 
 
E, por meio do Teste da derivada primeira, temos, 
 
( )
( )
'
'
0, se 5
0, se 5
 = < <

 = > >

dC
C R R
dR
dC
C R R
dR
 
 
 
Teste da derivada primeira para 1= −R : 
( )
( )
( )' ' 22
250 250
( ) ( 1) 15 2 15 2 1 15 2 250
1
π π π
    = = − = − = − − = − −     − 
dC
C R C R
dR R
 
18 
 
( ) ( ) ( ) ( )' ' '( 1) 15 2 250 1 15 252 1 11.875,22π π− = − − ⇒ − = − ⇒ − ≅ −C C C →Não serve 
ao proposto. 
 
 
Teste da derivada primeira para 6=R : 
 
( )
( )
( )' ' 22
250 250
( ) (6) 15 2 15 2 6 15 12 6,95
6
π π π
    = = = − = − = −      
dC
C R C r
dR r
 
( ) ( ) ( ) ( )' ' '(6) 15 12 6,95 6 15 5,05 6 237,98π π= − ⇒ = ⇒ ≅C C C 
 
Substituindo 5=R em C , temos, 
 
( ) ( )2 2250 25015 5 15 5 15 75
5
π π π   = + ⇒ = + =   
   
C R R C
R
 
( ) ( )2 2505 15 5 15 75 5 3.534,29
5
π π = + = ⇒ ≅ 
 
C C 
 
Portanto, pelo Teste da derivada primeira, segue que o custo mínimo C do 
material utilizado é obtido quando o raio do cilindro for de 5cm e o valor 
correspondente da altura for 
2
375 375
15
25
= = ⇒ =h h cm
R
. Sendo assim, as 
dimensões que minimizam o custo do material utilizado num recipiente 
cilíndrico, com abertura superior, e devendo ter a capacidade de 3375πcm , 
supondo que não há perda do material é 5=R cm e 15=h cm . 
 
 
5.4 
 
Resolução: 
 L : Largura da base do condutor de água. 
x : valor em cm a ser dobrado em cada lado do condutor. 
30 2= −L x 
 
Pergunta: Qual a capacidade máxima do condutor, de acordo 
com a vazão de água esperada? 
 
Refletindo: “Quando a retânguloA de lados x e 30 2− x for 
máxima”. 
 
 
19 
 
 
 
 
 
Assim, 
( ) ( )30 2= = −retânguloA f x x x 
( ) 230 2= = −retânguloA f x x x 
 ( )' 0= = →retânguloA f x Número(s) crítico(s). 
' '( ) 0 30 4 0 2(15 2 ) 0= = ⇒ − = ⇒ − =retânguloA f x x x 
 2 0⇒ = →Falso 
 15 2 0 7,5⇒ − = ⇒ =x x (único número crítico). 
Logo, 7,5=x cm . 
 
Conclui-se que para obtermos um condutor de água com capacidade máxima, 
de acordo com a vazão de água esperada, devem ser dobrados 7,5cm de cada 
lado do material utilizado. 
 
5.5 resolução 
 
 
 
 
Nota: Observe que esta atividade forneceu uma dica de como encontrar o 
tempo mínimo que um grupo de esportistas levará para atingir uma residência 
situada em uma ilha. E, para encontrar este tempo, foi fornecido um dado ao 
qual devemos ter muita atenção, ou seja, o grupo pode determinar este tempo 
B: Bote 
 I: representa a posição do ponto mais 
próximo na Ilha 
A: representa o ponto que o bote Atinge a Ilha 
R: Residência 
x: distância entre I e A. 
20 
 
mínimo de duas formas, pois foi fornecido na atividade a razão (taxa) de 3 /km h 
que o grupo pode realizar o percurso remando e/ou pode realizá-lo andando, a 
uma razão (taxa) de 5 /km h . Logo, para “checar” este tempo mínimo, 
precisamos encontrar um tempo TOTAL ( )T x , que é a soma das duas formas 
de realizar o percurso (Utilize-se da Dica). 
 
A seguir, realize o estudo separadamente dos valores extremos do domínio de 
f . Assim , você encontrará o valor mínimo. Estes valores são as alternativas 
que o grupo tem para realizar o percurso. 
 
Observe: 
 
0x = → Alternativa que o grupo tem de remar (taxa de 3 /km h ) até I (Ilha). Em 
seguida, fazer o percurso por terra, andando (taxa de 5 /km h ) de a I R
(Residência). 
 
6x = → Alternativa que o grupo tem de remar (taxa de 3 /km h ) de B (Barco) a 
R (Residência). 
 
 Por fim, diferencie o tempo TOTAL ( )/dt dx , ou seja, ( ) 0T x = → número(s) 
crítico(s). E por que encontrar o número(s) crítico(s)? A resposta é simples, ou 
seja, é por isso que devemos sempre insistir nas “IDÉIAS” que cada situação-
problema exige para ser solucionada. Você estudou as alternativas que o grupo 
tem para realizar o percurso, separadamente, na função tempo TOTAL ( )T x , 
agora precisa diferenciar ( )T x que fornece as duas alternativas juntas. Dessa 
forma, você irá verificar o tempo mínimo entre todas as alternativas possíveis e 
propostas nesta atividade. 
 
Assim, 
do teorema de Pitágoras, temos que: 
 
2 2 2hipotenusa cateto cateto= + 
( )22 2 2( até ) 2 até 4B A x B A x= + ⇒ = + , onde 0 6x≤ ≤ 
 
Da dica, temos: 
distância
tempo
taxa
= . 
 
Então: 
 
Tempo para remar de até AB
2 4
3
x +
= 
 
Tempo para remar de A até R
6
5
x−
= 
 
Logo, o tempo total T é expresso por: 
 
21 
 
( )
2
1/2
24 6 1 6 14
3 5 3 5 5
x x
T T x x
+ −
= + ⇒ = + + − 
 
 
Atenção! 
Qual o valor mínimo? Então temos que estudar o domínio de x , ou seja, os 
extremos. Assim: 
 
Para 0x = → O grupo vai remar até I e realizar o percurso por terra de até I R
. 
 
Para 6x = → O grupo vai remar até de até B R . 
 
Substituindo em T , temos: 
 
( ) ( )1/221 6 1 4 60 0 4 .0
3 5 5 3 5
T x T= = + + − ⇒ = + 
( ) 280 1,86
15
T x = = ≅ → Que corresponde a 1 52minh 
 ( ) 2 106 2,11
3
T x = = ≅ → Que corresponde a 2 7minh 
 
Diferenciando ( ) 0T x = → Encontrar o(s) número(s) crítico(s): 
 
'( ) 0 0 3 / 2
dT
T x x
dx
= ⇒ = ⇒ = → Único número crítico 
 
Logo, substituindo este valor em T , temos: 
 
3 26
1,73
2 15
T x
 = = ≅ 
 
→ Que corresponde a 1 44minh 
 
Conclui-se que o tempo mínimo é de 1 44minh em 3 2x = . Portanto, o bote 
deve aportar em A (ponto em que o bote atinge a Ilha), a1 e meiokm de I a fim 
de minimizar T . 
 
5.6 
a) Leia o problema, retire os dados e busque fazer um desenho para 
representar tal situação; 
22 
 
 
 
b) Levantando as informações disponíveis; 
 
• Tela disponível para o cercado: 80m; 
• Objetivo: área máxima; 
• Pergunta: quais as dimensões do cercado? 
 
c) Obtenha as funções envolvidas, lembrando que estamos trabalhando 
com conceitos referentes a perímetro e área; 
 
Da geometria, sabemos que a Área de um retângulo é dada pelo produto da 
medida de um dos lados pela medida do outro lado, chegando à expressão 
de acordo com o desenho representado anteriormente. 
 
yxA ⋅= 
 
Da geometria, também sabemos que o perímetro de um polígono é dado 
pela soma das medidas de todos os seus lados. 
 
pyyxx 2=+++ 
 
Contudo, a cerca não será utilizada para o lado do retângulo, que é 
compreendido pelo muro. Logo, temos que: 
 
80 2x y= + 
 
d) Utilizando os recursos algébricos para atender ao objetivo da situação 
(Área máxima); 
 
Queremos a área máxima para uma condição pré-estabelecida. Nossa 
função área tem mais de uma variável, a saber, representadas pelas letras 
x e y (Comprimento e largura do cercado). Na relação que envolve a 
extensão da tela, temos que 80 2y x= − . 
 
Substituindo este dado na relação de área, teremos que: 
 
2
(80 2 )
80 2
A x x
A x x
= ⋅ −
= −
 
 
23 
 
e) Utilizando os recursos da derivada para encontrar o ponto ótimo da 
função; 
 
Calculando a derivada primeira: 
 
' 80 4A x= − 
 
Encontrando o(s) ponto(s) crítico(s) da função: 
 
' 0
80 4 0
20
A
x
x
=
− =
=
 
 
Fazendo a derivada segunda da função A, temos que: 
 
'' 4A = − 
 
Se a função derivada segunda é negativa para todo x real da função A, 
temos que a função sempre terá a concavidade voltada para baixo, 
caracterizando o ponto crítico ( ))20(,20 A como um ponto de máximo 
absoluto, o que, na situação, equivale à área máxima a ser obtida para o 
cercado. Logo, quando a dimensão intitulada de x na situação tiver 20m, o 
cercado terá a área máxima. 
 
 
f) Voltando às relações obtidas anteriores para concluir e responder ao 
problema. 
 
80 2
80 2 20
40
y x
y
y m
= −
= − ⋅
=
 
 
g) Resposta: 
 
Logo, para que o cercado tenha a área máxima, é necessário que o lado 
oposto ao muro tenha 40m e que os outros ladostenham 20m. 
 
5.7 Vamos chamar os números de x e y. Temos, então, que x . y = 42. Isolando 
y, teremos que y = 42 - x. Queremos determinar o produto entre eles de forma 
que este seja o maior possível. Se P = x . y substituindo a relação anterior 
teremos que P = x . (42 - x) e, finalmente, a função produto P = 42x - x2. 
Derivando esta função temos P' = 42 - 2x. Igualando esta derivada a zero, 
encontraremos que x = 21 e, conseqüentemente, que y = 21. Portanto, os 
números são 21 e 21. 
 
5.8 
 
Da geometria, sabemos que: 
 
24 
 
2
CILV r hπ= ⋅ ⋅ e que a relação entre o raio R da esfera, o raio r do cilindro e a 
altura h do cilindro é dada por 
2
2 2
2
h
R r
 = +  
 
, analisando o triângulo retângulo 
formado no ponto médio do eixo central do cilindro, pelo raio do cilindro e pelo 
ponto onde este raio toca a esfera. 
 
Desenvolvendo esta última relação e deixando em função de r2, concluímos 
que: 
2
2 2
4
h
r R= − 
Substituindo a relação anterior na fórmula do volume ficamos com a função: 
2 3
2 2
4 4
h h
V R h V R h
π
π π
  ⋅
= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − 
 
 
 
Em que R e π são constantes. 
 
Fazendo a derivada desta função, e igualando a mesma a zero, temos: 
 
4
3
'
2
2 hrV
⋅
−⋅=
π
π 0
4
3
0'
2
2 =
⋅
−⋅⇒=
h
rV
π
π 
Desenvolvendo a igualdade, temos que 
3
2R
h = e, substituindo o dado na 
relação inicial, encontramos 
3
2
Rr = 
 
Logo, o cilindro tem altura medindo 
3
2R
h = e raio medindo 
3
2
Rr = 
 
5.9 
 
Da geometria, temos que a fórmula para cálculo da área do retângulo é dada 
pelo produto dos seus lados, que, no presente problema, será representada por 
baA ⋅= . Na situação, a área de cada campo deve ser de 400m2. Então, temos 
que: 
a
bba
400
400 =⇒⋅= 
Para calcular o gasto com a cerca, temos a relação baC 43 += . 
 
Substituindo a primeira relação encontrada na segunda, ficamos com: 
 
a
aC
1600
3 += 
Derivando a função dada para o gasto da cerca e igualando a zero, teremos: 
 
25 
 
2
1600
3'
a
C −= 
2
1600 40 3
' 0 3 0
3
C a m
a
= ⇒ − = ⇒ = 
Voltando na relação inicial, temos que 10 3b m= 
 
Logo, as dimensões dos campos devem ser de 
40 3
3
a m= e 10 3b m= . 
 
5.10 
 
O volume da caixa, neste caso, será dado por 2V x y= ⋅ ⋅ imaginando x como a 
largura da caixa e y como a altura. Isolando y, temos: 
3
2
y
x
= 
 
A expressão que nos dá a quantidade de material para fabricar a embalagem é 
dada por: 2 2 2 2 2 4 4 2M x y x y M x y xy= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = + + 
 
Substituindo a primeira relação na segunda, temos: 
 
3 3 6
4 4 2 4 3
2 2
M x x M x
x x x
= + ⋅ + ⋅ ⇒ = + + 
 
Derivando a função M, e igualando a zero, temos: 
 
2
6
' 4M
x
= − 
2
6 6
' 0 4 0
2
M x m
x
= ⇒ − = ⇒ = 
Voltando à relação inicial, encontramos 
6
2
y m= 
Logo, as dimensões da caixa devem ser de 2m x 
6
2
m x m
2
6
 
 
5.11 
 
Utilizando nossos conhecimentos sobre semelhança de triângulos, e 
analisando a situação, temos que o �ABF é semelhante ao �FDE, pois ˆ ˆA F≡
(ângulos correspondentes) e ˆ ˆB D≡ (ângulos retos), assim, 
9
12 9
x y−
= , donde 
108 9
12
x
y
−
= . 
 
26 
 
 
 
 
Logo, o retângulo deve ter dimensões de 4,5cm e 6 cm. 
 
capítulo 2 
 
Atividade 1 
a) 
3
1 2 3 2
2 2
2 3 3
3 3
15 14 15 14
35 2 5 3
2
15 28
2 5 3
x x x
x dx x dx x dx C
x x x
C
− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ +
− + +
∫ ∫ ∫
 
 
 
b) 
2 3 2
3 2
3 2
2
5 5
13 7 2 13 7 2
6 6 2 3 2
5 13 7
2
12 3 2
z z z
z dz z dz z dz dz z C
z z
z C
z
−
− + − + = ⋅ + − + +
−
−
+ − + +
∫ ∫ ∫ ∫
 
c) 
4
1 4 3 3
23
2 2
3 2 2
3 34 4 3
8 15 3 8 15 3
4
3
3 3
8 15 3 6 5
4 3 2 2
x x x
x dx dx dx x dx x dx
x x
x x x
x C x x C
+ − = ⋅ + −
⋅ + ⋅ − ⋅ + = + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
Temos a relação de área A x y= ⋅ 
 
 Substituindo a relação encontrada anteriormente 
na relação área, temos: 
 
2108 9 3
9
12 4
x x
A x A x
− = ⋅ ⇒ = − 
 
 
 
Derivando, temos: 
3
' 9
2
x
A = − ' 0 6A x cm= ⇒ = 
Voltando à relação inicial, temos que 4,5y cm= . 
 
 
 
27 
 
d) 
1
3 22
5
3 4 2 3 42
2 32
4
5 2 3
9 6 12 9
3
9 6 12 9 9 6 3
54 2 3 2
2
18 3
6 3
5 2
y y dy y dy y dy y dy
y y y y y
y dy C y y C
y
y y y C
⋅ − − +
− ⋅ − ⋅ + ⋅ + = ⋅ − − + +
− − + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ 
 
 
Atividade 2 
a) 
1
15 sec 3 14xx dx dx dx
x
− +∫ ∫ ∫ 
 
3
15ln sec tan 14 ln
ln3
x
x x x C+ − + ⋅ + 
 
b) 
2
1 2
12 9 tan 5
325
zdz z dz dz e dz
z
− + +
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
 2
2
12 9 ln cos 5 ln 25
3
ze
z z z z C+ ⋅ + ⋅ + − + + 
 
c) 
2 2
1 1
2 3 tan 7
cos 4
d d dθ θ θ θ
θ θ
− +
−∫ ∫ ∫ lembrando que: 
2
2
1
sec
cos
θ
θ
= 
 ( ) 1 22 tan 3 ln cos 7 ln
2 2 2
C
θ
θ θ
θ
+
− ⋅ − + ⋅ ⋅ +
⋅ −
 
 
7 2
2 tan 3ln cos ln
4 2
C
θ
θ θ
θ
+
+ + ⋅ +
−
 
 
 
Atividade 3 
 
3.1 ( )2 23 4 4 3 4 4dy x x dx dy x x dx= + − → = + −∫ ∫ 
 Resolvendo a integral: 
 
3 2
3 23 4 4 2 4
3 2
x x
y x C y x x x C= + − + → = + − + 
 Mas 2)0( =f , então: 3 22 3 0 4 0 4 0 2C C= ⋅ + ⋅ − ⋅ + → = . 
 Assim: 
3 22 4 2y x x x= + − + 
 
28 
 
3.2 
2 23 3
12 8 12 8
2 2
ds ds t t
v t ds t dt
dt dt
 
= → = − + → = − + 
 
 
 Resolvendo a integral: 
3 2 3
23 12 8 6 8
2 3 2 2
t t t
s t C t t C= ⋅ − ⋅ + + = − + + 
 Temos: 
3
2
(0)
0
10 6 0 8 0 10 10
2
s C C= → − ⋅ + ⋅ + = → = 
 Assim: 
3
2
( ) 6 8 10
2
t
t
s t t= − + + 
 Para o instante 3 segundos: (3) 25s m= 
 
 
Atividade 4 
a) Fazendo: 3 3
3 3
x x xdu duu e e e dx
dx
π
= − → = → = 
 
1
cos 3 cos sen
3 3 3
1
sen 3
3 3
x x
x
du
I e e dx u u C
I e C
π
π
 = ⋅ − = = + 
 
 = − + 
 
∫ ∫
 
b) Fazendo: 25 2
2
du du
u x x x dx
dx
= − → = − → =
−
 
 
( )
2 2
3
1 2
32
3
2
8 5 8 5 8
2
8 2
4 4
32 3
2
8 5
3
du
I x x dx x x dx u
u
I u du C u C
x
I C
= ⋅ − = ⋅ − =
−
= ⋅ = − ⋅ + = − ⋅ ⋅ +
−
− −
= +
∫ ∫ ∫
∫ 
c) Fazendo: 4 3 33 4
4
du du
u x x x dx
dx
= + → = → = 
 
3 3
4 4
4
5 1 545 5 5 ln
3 3 4 4
5
ln 3
4
du
x x dx du
I dx u C
x x u u
I x C
= = = = ⋅ = ⋅ +
+ +
= ⋅ + +
∫ ∫ ∫ ∫
 
d) Fazendo: 2 3 3
3
du du
u x dx
dx
= − → = − → =
−
 
29 
 
 
( )
( ) ( )
1 1
sec 2 3 sec sec ln sec tan
3 3 3
1
ln sec 2 3 tan 2 3
3
du
I x dx u u du u u C
I x x C
−
= − = = = ⋅ + +
− −
−
= ⋅ − + − +
∫ ∫ ∫
 
e) Fazendo: cos sen sen
1
du du
u x x x dx
dx
= → = − → =
−
 
 
4
4 4 4
3
3
3
5sen sen
5 5 5
cos cos
5
5
3 3
5
3cos
x x dx du
I dx u du
x x u
u
I C C
u
I C
x
−
−
−
= = ⋅ = ⋅ = −
= − ⋅ + = +
−
= +
∫ ∫ ∫ ∫
 
f) Fazendo: 
2 1
ln(2 )
2
du
u x du dx
dx x x
= → = → = 
 
[ ]
2
2
ln(2 ) 1
ln(2 )
2
ln(2 )
2
x u
I dx x dx u du C
x x
x
I C
= = ⋅ = = +
= +
∫ ∫ ∫
 
capítulo 3 
Atividade 1 
 
) cos 2
2
cos 2
2
1 1
cos 2 2 2
2 2
1 1 cos 2
2
2 2 2
1 1
2 cos 2
2 4
a x xdx
u x du dx
sen x
dv xdx v
x xdx x sen x sen x dx
x
x sen x c
x sen x x c
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⋅ −
 = ⋅ − − + 
 
= ⋅ + +
∫
∫ ∫
 
 
 
30 
 
) ln 5
ln 5
ln 5 ln 5 ln 5
ln 5
b xdx
dx
u x du
x
dv dx v x
dx
xdx x x x x x dx
x
x x x c
= ⇒ =
= ⇒ =
= − = −
= − +
∫
∫ ∫ ∫
 
 
2
2 2 2
2
2
) ln
ln
2
1
ln ln ln
2 2 2 2
1
ln
2 4
c x xdx
dx
u x du
x
x
dv xdx v
x x dx x
x xdx x x xdx
x
x
x x c
= ⇒ =
= ⇒ =
= − ⋅ = −
= − +
∫
∫ ∫ ∫
 
 
)
cos
cos cos cos
d x sen x dx
u x du dx
dv sen x dx v x
x sen x dx x x xdx x x senx c
⋅
= ⇒ =
= ⇒ = −
⋅ = − − − = − + +
∫
∫ ∫
 
 
 
 
)
cos
cos cos cos cos
x
x x
x x x x x
e e sen x dx
u e du e dx
dv sen x dx v x
e sen x dx e x e xdx e x e xdx
= ⇒ =
= ⇒ = −
= − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ + ⋅
∫
∫ ∫ ∫
 
 
Neste momento aplicaremos novamente o método de integração por partes na 
integral cosxe xdx⋅∫ ; assim temos que: 
 
31 
 
cos
cos
x x
x x x
u e du e dx
dv x dx v sen x
e x dx e sen x e sen x dx
= ⇒ =
= ⇒ =
= −∫ ∫
 
 
Substituindo o resultado na equação anterior teremos: 
 
( )
( )
cos cos
cos
cos
2 cos
1
cos
2
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
e sen x dx e x e xdx
e sen x dx e x e sen x e sen x dx
e sen x dx e sen x dx e x e sen x
e sen x dx e sen x xe sen x dx e sen x x c
= − ⋅ + ⋅
= − ⋅ + −
+ = − ⋅ +
= −
= − +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
 
 
 
f) Fazendo: 
 3 3u x du dx= → = 
 2 2
1
sec (2 ) sec (2 ) tan(2 )
2
dv x dx dv x dx v x= → = → =∫ ∫ 
 Temos: 
 
1 1
3 tan(2 ) tan(2 ) 3
2 2
3 3 3 3 1
tan(2 ) tan(2 ) tan(2 ) ln cos(2 )
2 2 2 2 2
3 3
tan(2 ) ln cos(2 )
2 4
I u v v du x x x dx
x x
I x x dx x x C
x
I x x C
= ⋅ − = ⋅ − ⋅
−
= − = − ⋅ ⋅ +
= ⋅ + ⋅ +
∫ ∫
∫ 
g) Fazendo: 
 
1
lnu x du dx
x
= → = 
 
3
2 2 55 2 5 2 2
3
x
dv x dx dv x dx v x= − → = − → = −∫ ∫ 
 
3 3
3 3 3
2
3 3
5 5 1
ln 2 2
3 3
5 5 5 5
2 ln 2 2 ln 2
3 3 3 3 3
5 5
2 ln 2
3 9
x x
I u v v du x x x dx
x
x x x
I x x x dx dx x x x C
x x
I x x x C
   
= ⋅ − = ⋅ − − −   
   
   
= − ⋅ − + = − ⋅ − ⋅ + +   
   
 
= − ⋅ − + + 
 
∫ ∫
∫ ∫ 
32 
 
 
h) Fazendo: 
 12 12u x du dx= → = 
 ( ) ( ) ( )1sen 3 2 sen 3 2 cos 3 2
3
dv x dx dv x dx v x
−
= − → = − → = −∫ ∫ 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
12 cos 3 2 cos 3 2 12
3 3
1
4 cos 3 2 4 cos 3 2 4 cos 3 2 4 sen 3 2
3
4
4 cos 3 2 sen 3 2
3
I u v v du x x x dx
I x x x dx x x x C
I x x x C
− −
= ⋅ − = ⋅ − − − ⋅
= − ⋅ − + − = − ⋅ − + ⋅ − +
= − ⋅ − + − +
∫ ∫
∫ 
i) Fazendo: 
 ( ) 2 1ln 2
2
u x du dx du dx
x x
= → = → = 
 1dv dx dv dx v x= → = → =∫ ∫ 
 
( )
( )
( )
1
ln 2
ln 2
ln 2
I u v v du x x x dx
x
I x x dx
I x x x C
= ⋅ − = ⋅ − ⋅
= ⋅ −
= ⋅ − +
∫ ∫
∫ 
 
 
Atividade 2 
 
a) 
( )
2
2
2 2
1
1
1
1 1
1
1 ln 1
1 1 2
+
= − +
+ +
 = − + = − + + + + + 
∫
∫ ∫
x
dx
x
x
x
x x
x x
dx x dx x x c
x x
 
 
b) 
 
 
33 
 
 
 
 
( )( )
( )( )
9
5 2
9
5 2 5 2
9 ( ) ( 2 5 )
1
2 1
2 5 9
1 1
2ln 5 ln 2
5 2
−
+ −
−
= +
+ − + −
− = + + − +
+ =
⇒ = = −
− + = −
− + = + − − + + − 
∫
∫
x
dx
x x
x A B
x x x x
x A B x A B
A B
A e B
A B
dx x x c
x x
 
 
 
c) 
2
2
2
2 2
2
2
2
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1 1 2
1 1 ln 2ln 1
1
+
−
+ +
= +
− −
+ + − 
+
= +
−−
+ =
⇒ = − =
− =
+ −   + = + + = − + − +   −−   
∫
∫
∫ ∫ ∫
x
dx
x x
x x
x x x x
x
dx
x x
x A B
x xx x
A B
A e B
A
x
dx dx dx x x x c
x xx x
 
34 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
f) 
2
2
2
16
2 8
16 16
2 8 ( 2)( 4) 2 4
16 ( ) (4 2 )
1
3 2
4 2 16
16 3 2
3ln 2 2ln 4
2 8 2 4
x
dx
x x
x x A B
x x x x x x
x A B x A B
A B
A e B
A B
x
dx dx x x c
x x x x
+
+ −
+ +
= = +
+ − − + − +
+ = + + −
+ =
⇒ = = −
− =
+  = − = − − + + + − − + 
∫
∫ ∫
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
1
5 1
1
1 55 1 5
1 ( ) (10 4 ) (25 5 )
0
1 1 1
10 4 0 , ,
36 36 6
25 5 1
1 1 1 1
ln 1 ln 5
36 36 6( 5)5 1
dx
x x
A B C
x xx x x
A B x A B C A B C
A B
A B C A B C
A B C
dx x x c
xx x
+ −
= + +
− ++ − +
= + + + + + − −
+ =

+ + = ⇒ = = − = −
 − − =
= − − + + +
++ −
∫
∫
35 
 
2
3 2
2
3 2 2
2 2
2
3 2
5 3 2
2
5 3 2
22
5 3 2 ( ) (2 ) 2
5
2 3 2, 1, 3
2 2
5 3 2 1
2 ln 3ln 2
2
+ −
+
+ −
= + +
++
+ − = + + + +
+ =

+ = ⇒ = = − =
 = −
+ −
= ⋅ + + + +
+
∫
∫
x x
dx
x x
x x A B C
x xx x x
x x A C x A B x B
A C
A B A B C
B
x x
dx x x c
xx x 
 
g) 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
6 7
2
6 7
22 2
6 7 (2 ) 6, 5
6 7 6 5 5
6ln 2
2 22 2
+
+
+
= +
++ +
+ = + + ⇒ = = −
 + − = + = + + +
 + ++ + 
∫
∫ ∫
x
dx
x
x A B
xx x
x Ax A B A B
x
dx dx x c
x xx x
 
 
Atividade 3 
A resposta está no livro. 
 
capítulo 4 
Atividade 1 
 
 
2
2 5
2
3
1
1
81
) (1 )
2 5 10−
−
 
+ = + = 
 
∫
x x
a x x dx 
36 
 
 
0
3 2
0
2
3
3
4
) ( 4 7) 7 48
3 2−
−
 
− + = − + = 
 
∫
x x
b x x dx x 
5 2 2
2
6 51
1
1
1 31
)
5 1605
−
= = − =
−∫
dx x
c
x x
 
 
9
5
9
2
4
4
4 844
) 2
5 5
= =∫d t tdt t 
 
 
( )
1
11
2
0
0
2 2
) 3 1
3 33 1
= + =
+∫
dy
e y
y
 
 
Sugestão: use o método da substituição. 
 
( )
2 2
3 4
2
3 4
4
4
2 2
2 2
) cos 0
2 2 2
   
   
   ⋅ = = − =∫
sen x
f sen x x dx
π
π
π
π
 
Sugestão: use o método da substituição. 
 
 
( ) ( ) ( )
1
12
1
3 2
1 3
1
2 2 2 2
) 9 10 2 2 5 2
3 3 39
−
−
= + = − = −
+
∫
x dx
g x
x
 
 
Sugestão: use o método da substituição. 
 
 
3
0
) 1+∫h x xdx 
Sugestão: use o método da substituição. 
 
37 
 
( ) ( ) ( )
31 3 1 5 3
2 2 2 2 2
0
1
1
2 2 116
1 1 1 1
5 3 15
= + ⇒ =
= −
   
+ = − ⋅ = − = + − + =   
  
∫ ∫ ∫
u x du dx
x u
x xdx u u du u u du x x
 
 
 
( ) ( )
4
1 14
2 2
0
0
) 2 1 2 1 3 1 2
−
+ = + = − =∫i x dx x 
 
Sugestão: use o método da substituição. 
 
 
Atividade 2 
 
3
4
3
3
2
2
9
3
9
2
1
1
5 5
11
65
) .
4 4
2 52
) .
3 3
1
) ln ln 5 .
= = =
= = =
= = =
∫
∫
∫
x
a A x dx u a
b A xdx x u a
c A dx x u a
x
 
 
 
Atividade 3 
 
( )
1
2 31
2
0
0
2
2
2
1
1
1
1
1
5 5 5
0
0
1 1 1
) .
2 3 2 3 6
1 1
) .
2
)sugestão:useométododa substituição
2 10 10 1 .
1
5
5 5
x x
x x
a A x x dx u a
b A x dx u a
x
c
A e dx e e u a
x
u du dx dx du
−
 
= − = − = − =  
 
= = − =
 
 = = = −
 
 
= ⇒ = ⇒ =
∫
∫
∫
38 
 
 
Atividade 4 
 
 
 a) 
 
 
 
[ ] ( )1 12 2
0 0
1
3 2
0
( ) ( ) ( 2) ( ) 2
11
2
3 2 6
b
a
A f x g x dx x x dx x x dx
x x
A x unidades de área
 = − = + − = − + 
 
= − + = 
 
∫ ∫ ∫
 
 
b) 
 
 
39 
 
3 2 2
3
2
2
( ) ( )
3 10 2
3 12 0
3 ( 4) 0
3 0 0
4 0 4 2
f x g x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
=
− − = − +
− =
− =
= ⇒ =
− = ⇒ = ± = ±
 
Observe que no intervalo 
[ ]
[ ]
2;0 ( ) ( )
0;2 ( ) ( )
g x f x
f x g x
− ≤
≤
 
 
[ ] [ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 2 0 2
3 3
2 0 2 0
0 2
4 4
2 2
2 0
( ) ( ) ( ) ( ) 3 12 3 12
3 3
6 6 0 0 12 24 12 24 0 0 24 . .
4 4
A f x g x dx g x f x dx x x dx x x dx
x x
x x u a
− −
−
= − + − = − + − +
   
= − + − + = − − − + − + − + =   
   
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
Atividade 5 
 
 
a) 
1
521 1
2 4
0 0
0
. .
5 5
x
V x dx x dx u v
π
π π π = = = = ∫ ∫ 
 
b) 
2 22 1
2 2
2
1 1
11
1 1 1 1
. .
1 2 1 2
x
V dx x dx u v
x x
π
π π π π π
−
−     = = = = − = − + =     −     ∫ ∫
 
 
 
 
c) 
 
( )
21 1
2
0 0
2
2
2
0
0
2 2
2
1 . .
2 2 2
x x
u
u
V e dx e dx
Utilizemétododa substituição
du
u x du dx dx
du e
V e e u v
π π
π
π π
 = = 
= ⇒ = ⇒ =
= = = −
∫ ∫
∫
 
 
40 
 
d) 
( )
1
3 4 521 1
2 2 3 4
0 0
0
2 2
3 4 5
1 1 1
. .
3 2 5 30
y y y
V y y dy y y y dy
V u v
π π π
π
π
 
 = − = − + = − +  
 
 = − + = 
 
∫ ∫
 
 
 
Atividade 6 
 
 
a) 
( )
2 22
3 2 3 4
0 0
4
3
3
1
577 577 577
3 3 2
3 31 1 1
577
3
2
3
1
2 2 1 6 2 2 1 36
1 36
144
144
0 1
2 577
2
2 2 2 2
144 144 72
1
577 1
336 54
2
A x x dx x x dx
Utilizandoométododa substituição
u x
du
du x dx dx
x
x u
x u
du du
A x u x u u du
x x
u
A
π π
π π π
π
π
 = + = + 
= +
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
/= = =/
/
= = −

∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )577 577 1 . .
54
u a
π = −

 
b) 
2
4 4 4 4
0 0 0 0
4
2
0
1 1 1 5 5 1 5
2 1 2 2
2 2 2 4 2 2 2
5 5 16
0 4 5 . .
2 2 2 2
A x dx x dx x dx x dx
x
A u a
π π π π
π π π
 = + = = =  
   = = − =   
  
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
Atividade 7 
 
a) 
41 
 
 
2
1 2
8 8
3 3
1 1
2 2 2
3 3 38 8 8
2 2 11 1 11
3 3
3
2
3
1
3
1
3
340
197
3
4 16
1 1
9 81
81 16 81 16 81 16
81 981
:
81 16
54
54
1 97
8 340
9
s x dx x dx
x x x
s dx dx dx
x xx
utilizando o métododa substituiçãotemos
u x
x
du dx dx du
x
x u
x u
u
s
x
− − 
= + = + 
 
+ + +
= = =
 
 
 
= +
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
1
340
1 33 340
2 2
97
97
3 3
2 2
1 1 2
54 486 486 3
1
340 97 7,29 . .
729
x
du u du u
s u c
⋅ = = ⋅
 
= − ≈ 
 
∫
 
b) 
 
2
2 4
2 2
2 41 1
2
4 2 2
2 2 2
4 2 21 1 1
2
3
1
1 1 1
1 1
4 16 2
1 1 1 1
16 2 4 4
1 8 1 1 1 13
. .
12 12 2 12 1 12
x x
s dx dx
x x
x x x
s dx dx dx
x x xx
s u c
x
 
= + − = + − + 
 
   
= + + = + = +   
   
     = − = − − − =     
    
∫ ∫
∫ ∫ ∫