lista_01_22

Prévia do material em texto

Métodos Matemáticos em Engenharia Química 
 
 
Luís F. Novazzi 
Departamento de Engenharia Química 
Março de 2022 
 
Lista 01 
 
O Matlab é um ambiente utilizado para programação e para computação numérica, com 
diversas aplicações em Engenharia Química. Os exercícios a seguir devem ser feitos em 
Matlab, através da execução de comandos ou através da proposição de scripts / 
functions, quando necessário. 
 
1) Defina as matrizes: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Calcule: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Respostas 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja 
 
 
 . Determinar , e . Descreva a matriz para valores 
elevados do número inteiro , verificando se existe convergência. 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
 
 
 
 
 
 
3) Sejam as seguintes matrizes: 
 
 
 
 , = zeros(2,2) e 
 
 
 
a) Construa uma matriz constituída pelos seguintes elementos . 
b) Determine o menor valor de um número positivo e inteiro , diferente de 1 e que 
satisfaça a relação . 
 
Respostas 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 3 
 
4) Um planejamento fatorial dois a dois com ponto central foi usado para se avaliar a 
influência da porcentagem de catalisador (x1) e da temperatura (x2) sobre o grau de 
conversão (Y) de uma reação para a produção de biodiesel. Foram obtidos os seguintes 
dados experimentais: 
x1 / % x2 / ºC Y / % 
0,25 25 58,32 
0,75 25 61,61 
0,25 45 74,01 
0,75 45 92,42 
0,50 35 78,14 
Sugeriu-se que o grau de conversão da reação pode ser aproximado por uma função do 
tipo , na qual os parâmetros ai devem ser ajustados em 
função dos dados experimentais. Verifique se a aproximação é boa, determinando o 
coeficiente de correlação entre os valores experimentais e os previstos pelo modelo. 
Calcule os coeficientes ai e represente a função graficamente, em três dimensões, 
utilizando a função surf em Matlab. Nesse tipo de problema, os coeficientes podem ser 
ajustados pela expressão , na qual é o vetor de coeficientes escrito 
como , X uma matriz que contém os dados de entrada acrescidos de 
uma coluna de , ou seja, [1 ; ] e Y é um vetor que contém os dados 
experimentais. 
 
 
 
 
Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Dados os vetores [1 5 2 8 9 5 1] e [5 2 2 6 0 0 2], executar e explicar os 
resultados dos seguintes comandos: 
a) 
b) 
c) 
 
Respostas 
 
a) [0 1 0 1 1 1 0] 
b) [0 0 1 0 0 0 0] 
c) [0 1 0 0 0 1 0] 
 
6) Os polinômios de Legendre, , são definidos pela seguinte relação de 
recorrência: 
 
 
 
 
 
 
com e . Escreva um script em Matlab que compute os próximos 
três polinômios de Legendre e faça um gráfico do comportamento desses cinco 
polinômios no intervalo de [-1,1]. 
 
 
 
 
Resposta 
 
 
7) O valor de pode ser estimado pela seguinte série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em qual termo a série deve ser truncada para se obter uma precisão de 10
-12
 ? Qual 
precisão tem a soma de 100 termos dessa série? 
 
Respostas 
 
Termo: 3757 
 
Precisão: 5,0733e-08 
 
8) Considere as seguintes fórmulas de recorrência: 
 
 
 
 com com 
 
Escreva uma function em Matlab que tenha como variável de entrada um número inteiro 
 maior ou igual a 1 retorne como saída os valores de e . Teste seu programa com 
 igual a 5, por exemplo. 
 
Resposta 
 
 
 
 
 
9) Diz-se que uma matriz quadrada composta por números inteiros é um quadrado 
mágico quando a soma dos elementos de cada linha, a soma dos elementos de cada 
coluna e a soma dos elementos das diagonais principal e secundária são iguais, como no 
seguinte caso: 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva uma function em Matlab que tenha como variável de entrada uma matriz 
quadrada e retorne 1 se se tratar de um quadrado mágico ou 0 se não for o caso. 
 
 
10) Para condições de escoamento turbulento e incompressível de fluidos em 
tubulações, o fator de atrito de Darcy, , pode ser estimado pela equação implícita de 
Colebrook: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa equação, representa a rugosidade relativa da tubulação e indica o número 
de Reynolds. Escreva uma function em Matlab que tenha como argumentos de entrada 
os parâmetros de e e retorne como saída com o valor de . Na resolução da 
equação implícita de Colebrook, utilize o método das substituições sucessivas. Faça um 
teste em sua função, levando em conta uma rugosidade relativa de 10
-4
 e um número de 
Reynolds igual a 2,5∙10
4
. Compare sua resposta com o diagrama de Moody. 
 
Resposta 
 
Da função: 0,0216 
Do diagrama de Moody: 0,021 
 
Referências 
 
Beers, K.J., Numerical Methods for Chemical Engineering: Applications in Matlab. 
Nova Iorque: Editora Cambridge University Press, 2007 
 
Constantinides, A., Mostoufi, N. Numerical Methods for Chemical Engineers with 
Matlab Applications. Nova Iorque: Editora Prentice Hall, 1999 
 
Gilat, A.; Subramanian, V. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas: uma 
introdução com aplicações usando o Matlab. Porto Alegre: Editora Bookman, 2008 
 
Green, D. W., Perry, R. H. Perry’s Chemical Engineers’ Handbook, 7 ed. Nova Iorque: 
Editora McGraw-Hill, 1999