SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

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PROF. RODRIGO XAVIER 
@MATEMATICAFINANCEIRARESOLVIDA 
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SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO 
 
 
 - CONTEXTUALIZAÇÃO TEÓRICA – 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Olá, futuro escriturário do Banco do Brasil! 
 
Conforme esclarecido anteriormente, esta é apenas uma base do conteúdo necessário para amparar o 
entendimento das resoluções de questões sobre SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO. Antes de cada novo 
tópico, teremos uma contextualização teórica como esta, sempre de forma resumida e objetiva. Portanto, 
leia com atenção e procure entender, mas não se limite a este PDF. Foque suas energias no entendimento de 
cada um dos exercícios que serão comentados diariamente a partir de hoje! 
 
Bem, vamos lá! 
 
ASPECTOS INICIAIS 
 
 
De modo simplificado, podemos entender que “amortizar” significa pagar gradual ou parcialmente alguma 
dívida, abatendo parte do valor total devido. Assim, os sistemas de amortização existentes representam 
diferentes formas de se pagar uma determinada dívida. 
 
Você já deve ter reparado que, em geral, os empréstimos consignados são pagos em parcelas iguais, enquanto 
o financiamento imobiliário, por exemplo, comumente é pago em parcelas decrescentes. Isso se deve ao fato 
de essas operações serem regidas por sistemas de amortização distintos, conforme veremos adiante. 
 
Seja qual for o sistema de amortização, iremos trabalhar com alguns elementos essenciais que compõem o 
processo em questão, a saber: prestação, amortização, juros, saldo devedor, taxa e prazo. A distinção desses 
conceitos é fundamental para a correta interpretação e resolução dos exercícios. Portanto, fique ligado! 
 
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• PRESTAÇÃO (P): é simplesmente o valor da parcela a ser pago 
periodicamente, composto de amortização (A) mais juros do período (J); 
 
• AMORTIZAÇÃO (A): um dos componentes da prestação (P), que 
reduz periodicamente o saldo devedor (SD). Seu valor varia de acordo 
com o sistema de amortização vigente. Além disso, a soma de todas as 
amortizações será sempre igual ao valor original da dívida (saldo devedor total), indicando a sua liquidação; 
 
• JUROS (J): um dos componentes da prestação (P), que apenas corrige/atualiza o saldo devedor (SD), sem 
reduzir a dívida a pagar. Resulta da multiplicação da taxa de juros da operação (i) pelo saldo devedor atual 
(SDn-1), após a amortização do período imediatamente anterior. Logo, J = i x SDn-1 
 
• SALDO DEVEDOR (SD): é o valor da dívida que ainda resta a ser pago. Antes de qualquer amortização, 
o sado devedor inicial (SD0) é igual ao valor original da dívida. Com o decorrer do tempo, esse valor é 
periodicamente abatido por meio das amortizações (e não através dos pagamentos das prestações!). Desse 
modo, o saldo devedor diz respeito apenas ao que ainda resta a amortizar da dívida; 
 
• TEMPO (n): é a duração da operação financeira, que se traduz na quantidade de parcelas do financiamento. 
 
Entenda que, como regra geral, independentemente do sistema de amortização adotado, temos que o valor de 
cada PRESTAÇÃO é composto de duas partes distintas: AMORTIZAÇÃO e JUROS do período, formando 
a seguinte fórmula base: 
 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS 
 
 
 
 FÓRMULA 06 P = A + J 
J = i x SDn-1 
 
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Tendo esses conceitos em mente, vamos aprender sobre os dois sistemas de amortização que serão cobrados 
em sua prova, utilizando como exemplo um mesmo financiamento hipotético de R$ 100.000,00, a ser pago 
por meio de 5 parcelas mensais, a uma taxa de juros efetiva de 2% a.m., ok? 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
 
O Sistema de Amortização Constante (mais conhecido pela sigla SAC), como o próprio nome já diz, é 
caracterizado pelo fato de o valor da AMORTIZAÇÃO ser sempre o mesmo em todas as parcelas, de tal 
forma que a dívida é abatida regularmente por uma quantia fixa a cada período. 
 
ATENÇÃO: não é o valor da parcela que é fixo, mas sim o valor da amortização (A) é que se mantêm 
constante ao longo de todo o prazo do financiamento! O valor da parcela varia: os juros (J) são decrescentes 
e, consequentemente, as prestações (P) também são decrescentes. 
 
Para encontrar o valor da amortização nesse sistema, basta dividir o valor original da dívida pela 
quantidade de parcelas da operação, conforme abaixo: 
 
𝑨𝑴𝑶𝑹𝑻𝑰𝒁𝑨ÇÃ𝑶 =
𝑺𝑨𝑳𝑫𝑶 𝑫𝑬𝑽𝑬𝑫𝑶𝑹 𝑰𝑵𝑰𝑪𝑰𝑨𝑳
𝑸𝑼𝑨𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬 𝑫𝑬 𝑷𝑹𝑬𝑺𝑻𝑨ÇÕ𝑬𝑺
 
 
 
 
Utilizando como exemplo o financiamento hipotético de R$ 100.000,00, em 5 parcelas mensais, a uma taxa 
de 2% a.m., teríamos uma amortização constante de R$ 20.000,00 mensalmente: 
 
𝐴 =
𝑺𝑫𝟎
𝒏
=
𝑅$ 100.000,00
5 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑖𝑠
= 𝑅$ 20.000,00 
 FÓRMULA 07 𝑨 =
𝑺𝑫𝟎
𝒏
 
 
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Então, sabendo o valor da amortização mensal, podemos ver como esse sistema se comporta ao longo de todo 
o financiamento, conforme sintetizado no quadro de abaixo: 
 
 
MÊS PRESTAÇÃO (P) AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) SALDO DEVEDOR (SD) 
0 - - - R$ 100.000,00 
1 20000 + 2000 = R$ 22.000,00 R$ 20.000,00 100000 x 0,02 = R$ 2.000,00 100000-20000 = R$ 80.000,00 
2 20000 + 1600 = R$ 21.600,00 R$ 20.000,00 80000 x 0,02 = R$ 1.600,00 80000 - 20000 = R$ 60.000,00 
3 20000 + 1200 = R$ 21.200,00 R$ 20.000,00 60000 x 0,02 = R$ 1.200,00 60000 - 20000 = R$ 40.000,00 
4 20000 + 800 = R$ 20.800,00 R$ 20.000,00 40000 x 0,02 = R$ 800,00 40000 - 20000 = R$ 20.000,00 
5 20000 + 400 = R$ 20.400,00 R$ 20.000,00 20000 x 0,02 = R$ 400,00 20000 - 20000 = R$ 0,00 
∑ R$ 106.000,00 R$ 100.000,00 R$ 6.000,00 - 
 
Gaste um tempo aqui para analisar todos os campos da tabela acima, sem pressa! Procure entender cada 
detalhe! Note, por exemplo, que o valor de cada prestação é igual à soma da amortização com os juros do 
período. Além disso, perceba que o valor da amortização é constante (sempre R$ 20.000,00) e a soma 
dessas amortizações é igual ao saldo devedor original (R$ 100.000,00), liquidando totalmente a dívida após 
a última parcela. E, como já mencionado, o valor dos juros (J) e das prestações (P) são ambos decrescentes 
ao longo do tempo, pois a taxa de juros incide sobre um saldo devedor também decrescente. 
 
Outra observação interessante para resolução de questões é que, nesse Sistema de Amortização Constante, a 
prestação decresce de forma linear, sempre reduzindo um mesmo valor em relação à prestação anterior. No 
caso em análise, essa redução é sempre de R$ 400 ao mês. Essa característica é valiosa para facilitar a 
resolução de alguns exercícios! 
 
Por fim, vale destacar que o SAC é o sistema de amortização que liquida a dívida de forma mais rápida, 
ou seja, é o sistema no qual o capital tomado emprestado é mais rapidamente devolvido ao credor e, 
consequentemente, o total de juros cobrados é menor do que nos demais sistemas! 
 Decrescente Constante Decrescente Decrescente 
 
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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) 
 
 
O Sistema de Amortização Francês (também conhecido por Tabela Price ou simplesmente Price, em 
virtude do sobrenome de seu criador) é caracterizado por possuir PRESTAÇÕES com valor constante. 
Notou a diferença?! No sistema SAC, a Amortização é constante; no sistema PRICE, a Prestação é constante! 
 
ATENÇÃO: não é o valor da amortização que é fixo, mas sim o valor da prestação (P) é que se mantêm 
constante ao longo de todo o prazo do financiamento! O valor da amortização(A) é crescente e, 
consequentemente, os juros (J) são decrescentes, pois a taxa (i) incide sobre um saldo devedor cada vez menor. 
 
Assim sendo, estamos diante de um sistema que trabalha com as chamadas SÉRIES PERIÓDICAS 
UNIFORMES (ou Rendas Certas, Anuidades, entre outros sinônimos), que nada mais é que uma situação em 
que um mesmo fluxo se repete em períodos uniformes ao longo do tempo. Portanto, para calcular o valor da 
PARCELA no Sistema de Amortização Francês, basta utilizar a fórmula de séries periódicas uniformes (onde 
VP é o valor presente da dívida, P é a prestação, i é a taxa de juros e n é a quantidade de períodos da operação): 
 
 
 
 
Contudo, atente-se para o fato de que a banca CESGRANRIO também costuma trabalhar uma versão 
reestruturada dessa fórmula anterior (ambas possuem a mesma finalidade e resultam exatamente no mesmo 
valor, sendo apenas formas diferentes de estruturação da conta), conforme abaixo: 
 
 
 
 FÓRMULA 08.1 𝑽𝑷 = 𝑷 𝑥
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑥 𝒊
 
𝑽𝑷 = 𝑷 𝑥
𝟏 − (𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝒊
 FÓRMULA 08.2 
 
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Embora seja cobrado com uma frequência bem menos recorrente, também vale ficar ligado na fórmula para 
cálculo do VALOR FUTURO (VF) acumulado de todas as prestações do financiamento: 
 
 
 
 
Utilizando como exemplo o financiamento hipotético de R$ 100.000,00, em 5 parcelas mensais, a uma taxa 
de 2% a.m., teríamos a seguinte prestação no sistema Francês: 
 
𝑽𝑷 = 𝑷 𝒙
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
 
 
𝑅$ 100.000,00 = 𝑃 𝑥
(1 + 2% 𝑎. 𝑚. ) − 1
(1 + 2% 𝑎. 𝑚. ) 𝑥 2% 𝑎. 𝑚.
 
 
100000 = 𝑃 𝑥
(1,02) − 1
(1,02) 𝑥 0,02
 
 
100000 = 𝑃 𝑥
1,1040808 − 1
1,1040808 𝑥 0,02
 
 
100000 = 𝑃 𝑥
0,1040808
0,0220816
 
 
100000 = 𝑃 𝑥 4,713463 
 
𝑃 =
100000
4,713463
= 𝑅$ 21.215,84 
 
Logo, cada uma das cinco prestações será sempre de R$ 21.215,84 ao mês, valor este que engloba a 
amortização e o juros do período. Então, sabendo o valor da parcela mensal, podemos ver como esse sistema 
se comporta ao longo de todo o financiamento, conforme sintetizado no quadro a seguir: 
𝑽𝑭 = 𝑷 𝑥
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
 FÓRMULA 09 
Já percebeu que o cálculo será meio 
complicado, né? Mas, calma: a banca 
geralmente irá fornecer o FAC ou alguma 
etapa da conta pronta, quando a questão 
envolver sistemas de amortização! 
 
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MÊS PRESTAÇÃO (P) AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) SALDO DEVEDOR (SD) 
0 - - - R$ 100.000,00 
1 R$ 21.215,84 21215,84 - 2000= R$ 19.215,84 100000 x 0,02 = R$ 2.000,00 100000 - 19215,84= R$ 80.784,16 
2 R$ 21.215,84 21215,84 - 1615,68= R$ 19.600,16 80784,16 x 0,02 = R$ 1.615,68 80784,16-19600,16= R$ 61.184,00 
3 R$ 21.215,84 21215,84 - 1223,68= R$ 19.992,16 61184,00 x 0,02 = R$ 1.223,68 61184,00-19992,16= R$ 41.191,84 
4 R$ 21.215,84 21215,84 - 823,84= R$ 20.392,00 41191,84 x 0,02 = R$ 823,84 41191,84-20392,00= R$ 20.799,84 
5 R$ 21.215,84 21215,84 - 416,00= R$ 20.799,84 20799,84 x 0,02 = R$ 416,00 20799,84 - 20799,84= R$ 0,00 
∑ R$ 106.079,20 R$ 100.000,00 R$ 6.079,20 - 
 
Mais uma vez, gaste um tempo aqui para analisar todos os campos da tabela acima, sem pressa! Procure 
entender cada detalhe! Perceba que o valor de cada prestação, mesmo constante, continua sempre sendo 
igual à soma da amortização com os juros do respectivo período. Além disso, a soma de todas as 
amortizações equivale ao saldo devedor original (R$ 100.000,00), liquidando a dívida após a última parcela. 
E, como já mencionado, o valor dos juros (J) de cada período decresce ao longo do tempo, enquanto a 
amortização (A) aumenta mês após mês. 
 
Outra observação interessante para resolução de questões é que, no Sistema Francês, a amortização cresce a 
uma taxa de (1+i) ao período. Em outros termos, An-1 x (1 + i) = An. No caso em análise, esse crescimento 
pode ser demonstrado, por exemplo, da seguinte forma: A1 x (1 + i) = A2 --> R$ 19.215,84 x 1,02 = R$ 
19.600,16. Essa característica é valiosa para facilitar a resolução de alguns exercícios! 
 
Por fim, é importante entender que alguns detalhes adicionais podem surgir, a depender da forma como se dá 
o pagamento da dívida. Alguns financiamentos exigem o pagamento de uma entrada, por exemplo. Também 
é possível que um período de carência seja concedido antes do início das prestações, ou seja, um prazo inicial 
de “respiro”, sem qualquer pagamento, o que demandará ajustes pontuais na resolução, por representar uma 
série periódica DIFERIDA. Por outro lado, pode acontecer de a primeira parcela ser paga no ato da compra, 
já abatendo na data zero esse valor do saldo devedor inicial, o que caracteriza a chamada série periódica 
ANTECIPADA. Mas, fique tranquilo, pois veremos todas essas e outras variações de cobrança do conteúdo! 
Constante Crescente Decrescente Decrescente 
 
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RESUMÃO! 
É isso! Espero que tenha entendido esta contextualização sobre taxas. Por hoje, basta de teoria! 
 
 
Sistema SAC: amortização constante, parcelas decrescentes, juros 
decrescentes. A prestação decresce de forma linear. 
 Sistema Francês (Price): amortização crescente, parcelas constantes, juros 
decrescentes. A amortização cresce a uma taxa de (1 + i). 
 É o valor da amortização (não da prestação) que abate o saldo devedor; 
 A soma de todas as amortizações é sempre igual ao total da dívida original; 
 O juros (J) de um determinado período resulta da multiplicação da taxa (i) 
pelo saldo devedor atual (SDn-1), após a amortização da parcela 
imediatamente anterior, ou seja: J = i x SDn-1 
 Fórmula 06: P = A + J ou, de forma mais completa: Pn = An + (i x SDn-1) 
 Fórmula 07: 𝑨 = 𝑺𝑫𝟎
𝒏
 
 Fórmula 08.1: 𝑽𝑷 = 𝑷 𝑥
(𝟏 𝒊)𝒏 𝟏
(𝟏 𝒊)𝒏 𝒊
 
 Fórmula 08.2: 𝑽𝑷 = 𝑷 𝑥 𝟏
(𝟏 𝒊) 𝒏
𝒊
 
 Fórmula 09: 𝑽𝑭 = 𝑷 𝑥
(𝟏 𝒊)𝒏 𝟏
𝒊
 
 CUIDADO: a fórmula 06 é uma regra geral, mas a fórmula 07 é específica 
do SAC e as fórmulas 08 e 09 do sistema Francês. Não misture! 
 
 
Não se preocupe com mais nada por enquanto! Complementaremos o que for necessário durante a 
resolução das próximas questões! Dessa forma, conseguiremos enfrentar todas as formas de cobrança de 
exercícios que envolvam os sistemas de amortização SAC e/ou PRICE. 
 
Caso ainda esteja tudo muito vago, tenha calma! Garanto que, por meio dos exercícios comentados 
diariamente, logo tudo ficará bem mais claro e intuitivo! Até mesmo essas fórmulas mais complexas serão 
“decoradas” naturalmente, com o devido treino! 
 
BONS ESTUDOS! 
Mesma fórmula e mesma finalidade, apenas 
escritas de modo distinto. A banca Cesgranrio 
exige o conhecimento das duas formas de cálculo.