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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 10
Temas abordados : Concavidade; Esboço de gráficos; Regra de L’Hôpital
Seções do livro: 4.4; 4.6
1) Para as funções f abaixo determine: pontos cŕıticos, máximos e mı́nimos locais, intervalos
de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima
e para baixo, asśıntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.
(a) f(x) =
16− x2
4(x− 2)2 , f
′(x) =
x− 8
(x− 2)3 , f
′′(x) =
2(11− x)
(x− 2)4 ;
(b) f(x) =
x2 − x+ 1
x− 1 , f
′(x) =
x(x− 2)
(x− 1)2 , f
′′(x) =
2
(x− 1)3 ;
(c) f(x) =
3
4
3
√
x(x− 4), f ′(x) = x− 1
3
√
x2
, f ′′(x) =
1
3
(x+ 2)
3
√
x5
.
2) Para cada uma das funções abaixo determine: pontos cŕıticos, máximos e mı́nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava
para cima e para baixo. Determine ainda as (posśıveis) asśıntotas e, finalmente, faça um
esboço do gráfico da função.
(a) f(x) = −2x3 − 3x2 + 12x+ 4 (b) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(c) f(x) = ln(x) (d) f(x) = ex
(e) f(x) = tan(x2), x ∈ (−
√
π/2,
√
π/2) (f) f(x) = arctan(x)
(g) f(x) = arccos(x), x ∈ (−1, 1) (h) f(x) = x
3 − 2
x
(i) f(x) =
2x2 − 8
x2 − 16 (j) f(x) = e
−x − e−2x
(k) f(x) = x+ sen x, x ∈ (0, 2π) (l) f(x) = x
2 − 1
x3
3) Repita o que foi feita no exerćıcio acima para as funções seguintes.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
4) Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L’Hôpital. (veja Vı́deo 1)
(a) lim
x→1
ex−1 − 1
x− 1 (b) limx→0+
ln(x+ 1)
x
(c) lim
x→+∞
ln x
x
(d) lim
x→+∞
x2 − 1
ex2
5) Em alguns casos, é necessário aplicar a Regra de L’Hôpital mais de uma vez. Por exemplo,
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞.
Lista de Exerćıcios – Semana 10 - Página 1 de 6
https://www.youtube.com/watch?v=04HVya_APh0
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo ∞/∞,
enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı́deo 1)
(a) lim
x→0
ex − 1− x− x2
2
x2
(b) lim
x→0
cos2 x− 1
x2
(c) lim
x→+∞
x2 + 3e3x
e3x
(d) lim
x→0
ln(1 + x)− x− x2
2
− x3
6
x3
6) A Regra de L’Hôpital se aplica somente a indeterminações do tipo 0/0 e ∞/∞. Em
alguns casos, quando temos uma indeterminação do tipo 0·∞, uma manipulação algébrica
adequada nos permite aplicar L’Hôpital. Por exemplo,
lim
x→−∞
(x− 3)ex = lim
x→−∞
x− 3
e−x
= lim
x→−∞
1
−e−x = 0.
Note que, no segundo limite acima, temos uma indeterminação do tipo ∞/∞, enquanto
no último o denominador tende para infinito.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı́deo 2)
(a) lim
x→0+
x2 ln(x) (b) lim
x→+∞
x sen(1/x) = 1
7) O limite lim
x→0+
(1 + x)1/x é uma indeterminação do tipo 1∞. Ele pode ser calculado,
observando-se que
(1 + x)1/x = eln(1+x)
1/x
= e
ln(1+x)
x
Vimos no primeiro exerćıcio que limx→0+
ln(1+x)
x
= 1. Assim, como a função exponencial
é cont́ınua, temos que
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
x→0+
e
ln(1+x)
x = elimx→0+
ln(1+x)
x = e1 = e.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı́deo 2)
(a) lim
x→0+
xx (b) lim
x→∞
(1 + 2x)
1
2 ln(x)
8) Calcule cada um dos limites abaixo.
(a) lim
x→0
√
1 + x− 1− (x/2)
x2
(b) lim
x→0
x
arctan(x)
(c) lim
x→0+
(
1 +
1
x
)x
(d) lim
x→0
8x2
cos(x)− 1
(e) lim
x→+∞
√
9x+ 1√
x− 1
(f) lim
x→−∞
x−2e−x
2
(g) lim
x→+∞
ln(ln(x))
ln x
(h) lim
x→0
x cos
(
1
x
)
(i) lim
x→0
(cosx)1/x
2
(j) lim
x→0+
xr ln(x), com r > 0
(k) lim
x→+∞
x2 ln(x) (l) lim
x→0
tan(x)
x
(m) lim
x→+∞
p(x)
ex
, onde p é um polinômio (n) lim
x→0+
√
x
√
sen(x)
(o) lim
x→2−
3 + x
x− 2 (p) limx→4−
√
x2 − 8x+ 16
x− 4
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https://www.youtube.com/watch?v=2UqU355LeHw
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RESPOSTAS
1) (a) pontos cŕıticos: x = 8 (mı́nimo local)
crescente em: (−∞, 2); (8,+∞)
decrescente em: (2, 8)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 2); (2, 11)
Observe que estaria incorreto dizer que f é côncava para cima em (−∞, 11) porque 2 6∈ dom(f)
concavidade voltada para baixo em: (11,+∞)
ponto de inflexão: x = 11
asśıntota vertical: x = 2
asśıntota horizontal: y = −1/4
(b) pontos cŕıticos: x = 0 (máximo local); x = 2 (mı́nimo local)
crescente em: (−∞, 0); (2,+∞)
decrescente em: (0, 1); (1, 2)
Observe que estaria incorreto dizer que f é decrescente em (0, 2) porque 1 6∈ dom(f)
concavidade voltada para cima em: (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 1)
asśıntota vertical: x = 1
(c) pontos cŕıticos: x = 0 (não é extremo local); x = 1 (mı́nimo local)
crescente em: (1,+∞)
decrescente em: (−∞, 1)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−2); (0,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−2, 0)
pontos de inflexão: x = −2; x = 0
2) (a) pontos cŕıticos: x = −2 (mı́nimo local); x = 1 (máximo local)
crescente em (−2, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−2); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1/2)
concavidade voltada para baixo em: (−1/2,+∞)
ponto de inflexão: x = −1/2
(b) pontos cŕıticos: x = 0 (mı́nimo local); x = 1 (não é extremo local)
crescente em (0,+∞)
decrescente em (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 1/3) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (1/3, 1)
pontos de inflexão: x = 1/3 e x = 1
(c) pontos cŕıticos: não existem
sempre crescente
concavidade sempre voltada para baixo
pontos de inflexão: não existem
asśıntota vertical: x = 0
(d) pontos cŕıticos: não existem
sempre crescente
Lista de Exerćıcios – Semana 10 - Página 3 de 6
concavidade sempre voltada para cima
pontos de inflexão: não existem
asśıntota horizontal: y = 0
(e) pontos cŕıticos: x = 0 (mı́nimo local)
crescente em : (0,
√
π/2)
decrescente em: (−
√
π/2, 0)
concavidade sempre voltada para cima
pontos de inflexão: não existem
asśıntotas verticais: x = −
√
π/2; x = +
√
π/2
(f) sempre crescente
concavidade voltada para cima em: (−∞, 0)
concavidade voltada para baixo em: (0,+∞)
ponto de inflexão: x = 0
asśıntotas horizontais: y = −π/2; y = π/2
(g) sempre decrescente
concavidade voltada para cima em: (−1, 0)
concavidade voltada para baixo em: (0, 1)
ponto de inflexão: x = 0
(h) pontos cŕıticos: x = −1 (mı́nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−1, 0; (0,+∞)
decrescente em: (−∞,−1)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (0, 21/3)
pontos de inflexão: x = 21/3
asśıntotas verticais: x = 0
(i) pontos cŕıticos: x = 0 (máximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−4); (−4, 0)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (0, 4); (4,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−4, 4)
pontos de inflexão: nenhum
Observe que estaria incorreto dizer que x = −4 ou x = 4 são pontos de inflecão porque, ainda que
a concavidade troque, a função não é cont́ınua nestes pontos
asśıntotas verticais: x = −4; x = 4
asśıntotas horizontais: y = 2
(j) pontos cŕıticos: x = ln 2 (máximo local)
crescente em: (−∞, ln 2)
decrescente em: (ln 2,+∞)
concavidade voltada para cima em: (ln 4,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, ln 4)
pontos de inflexão: x = 2 ln 2 = ln 4
asśıntotas verticais: não existem
asśıntotas horizontais: y = 0
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(k) pontos cŕıticos: x = π (não é extremo local)
crescente em: (0, 2π)
decrescente em: nunca
concavidade voltada para cima em: (π, 2π)
concavidade voltada para baixo em: (0, π)
pontos de inflexão: x = π
asśıntotas verticais: não existem
asśıntotas horizontais: não existem
(l) pontos cŕıticos: x = −
√
3 (mı́nimo local); x =
√
3 (máximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes:(−
√
3, 0); (0,
√
3)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (−∞,−
√
3); (
√
3,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−
√
6, 0) ∪ (
√
6,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−
√
6) ∪ (0,
√
6)
pontos de inflexão: x = −
√
6; x =
√
6
asśıntotas verticais: x = 0
asśıntotas horizontais: y = 0
3) (a) pontos cŕıticos: x = −10 (máximo local); x = 10 (mı́nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−10); (10,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−10, 0); (0, 10)
concavidade voltada para cima em: (0,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexão: não existem
asśıntotas verticais: x = 0
(b) pontos cŕıticos: x = −1 (mı́nimo local); x = 1 (máximo local)
crescente em: (−1, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−
√
3, 0) ∪ (
√
3,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−
√
3) ∪ (0,
√
3)
pontos de inflexão: x = −
√
3, x = 0 e x =
√
3
asśıntotas verticais: não existem
asśıntotas horizontais: y = 1
(c) pontos cŕıticos: não existem
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 1)
pontos de inflexão: não existem
asśıntotas verticais: x = 1
asśıntotas horizontais: y = 1
(d) pontos cŕıticos: x = 0 (máximo local)
crescente em: (−∞, 0)
decrescente em: (0,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−1, 1)
ponto de inflexão: x = −1 e x = 1
asśıntotas verticais: não existem
Lista de Exerćıcios – Semana 10 - Página 5 de 6
asśıntotas horizontais: y = 0
(e) pontos cŕıticos: x = 0 (mı́nimo local)
crescente em: (0,+∞)
decrescente em: (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−1, 1)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
ponto de inflexão: x = −1 e x = 1
Apresentamos abaixo o gráfico de cada uma das funções do exerćıcio.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) = (x+1)
2
1+x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
Figura 1: Gráficos do exerćıcio 3
4) (a) 1 (b) 1 (c) 0 (d) 0
5) (a) 0 (b) −1 (c) 3 (d) não existe
6) (a) 0 (b) 1
7) (a) 1 (b) e1/2
8)
(a) −1/8 (b) 1 (c) 1 (d) −16
(e) 3 (f) 0 (g) 0 (h) 0
(i) e−1/2 (j) 0 (k) +∞ (l) 1
(m) 0 (n) 1 (o) −∞ (p) −1
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