Exercicios Calculo (84)

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1.12 Prova de Reavaliação da AB2 – 25 de Novembro de 2017 
 
𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 1 
 
𝑎) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 1)2√𝑥 − 1
(𝑥 + 4)3𝑒𝑥
 𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑎. 
 
𝑏) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑦 = lim
𝑥→+∞
(
𝑥 + 2
𝑥 + 1
)
𝑥
, 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 
𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑦 = log2 𝑥. 
 
𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 2. 
 
𝑎) 𝑈𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑚 𝑓𝑢𝑛𝑖𝑙 𝑐ô𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 24𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒 
16𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜. 𝐴 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑖 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 12𝑐𝑚 
𝑑𝑒 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜.𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 
𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑛𝑜 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 é 12𝑐𝑚, 𝑠𝑒 𝑠𝑒𝑢 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑢𝑚𝑎 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 1𝑐𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ ? 
 
𝑏) 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑥2𝑦+ 3 ln(1 − 𝑦) + 𝑥4 = 1. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 
𝑓 ′𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 à 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1,0). 
 
𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 3. 
 
𝑎) 𝑀𝑜𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚 𝑥 ∈ (0,1) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 5𝑥4− 4𝑥 + 1 = 0. 
 
𝑏) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 lim
𝑥→0+
(sen𝑥)
1
ln 𝑥 . 
 
𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 4. 
 
𝑎) 𝐷𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐴 𝑒 𝐵 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑙𝑎𝑔𝑜 
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 1𝑘𝑚 𝑑𝑒 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜.𝑈𝑚 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑖𝑟 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑎𝑡é 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐵. 
𝐸𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟 à 2𝑘𝑚 ℎ⁄ 𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑟 à 4𝑘𝑚 ℎ⁄ . 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑠𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑚 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝐴 𝑎𝑡é 𝐵. 
 
𝑏) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = 𝜋√𝑥7
3
+
𝑒𝑥
1+4𝑒𝑥
+
sen 𝑥−cos𝑥
sen 𝑥+cos𝑥
+
𝑥2
1+𝑥6
. 
 
𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 5. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓(𝑥) =
2𝑥2 +𝑥 + 2
𝑥2 + 1
. 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓 ′(𝑥) =
1 − 𝑥2
(𝑥2 +1)2
 
𝑒 𝑓 ′′(𝑥) =
2𝑥(𝑥2 − 3)
(𝑥2 +1)3
, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒: 
 
(𝑖) 𝐴𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑠 𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎𝑚; 
(𝑖𝑖) 𝑂𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜; 
(𝑖𝑖𝑖) 𝑂𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑜𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜; 
(𝑖𝑣) 𝐴𝑠 𝑎𝑠𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 ,𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑚;