Relatorio 3 Fisica III (FISD40) - Constante de tempo em circuitos RC (EAD)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INST ITUTO DE FÍSICA 
DISCIPLINA: FISD40 FÍSICA EXPERIMENTAL III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITOS RC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR 
 2021 
Procedimento Experimental 
 
O experimento foi realizado online através do simulador tinkercad onde foi 
montado o circuito RC para a realização do experimento constante de tempo 
em circuitos RC. 
 
Experimento 
Tabela 1: Valores inicias definidos para a simulação 
Imagem 1: Circuito montado e carregado – configuração correspondente a chave 1. 
Com a chave em 1 e o voltímetro ligado entre os pontos E e D, o valor máximo 
de tensão encontrado foi 6,83 V. 
Com a chave na posição 3, o tempo de descarga ate 37% do valor máximo, 
neste caso até 2,53 V. O tempo necessário foi de t3 = 5,4 segundos. 
O tempo necessário para a tensão alcançar 63% do seu valor máximo foi de t1 
= 5,5 segundos. Como esperado temos que t1 e t3 são aproximadamente iguais 
já que temos o mesmo valor de resistência em ambas as medidas, este erro de 
0,1 s se deve ao operador do cronometro. 
Com a chave na posição 2 temos que o tempo de descarga foi de t2 = 20,8 
segundos. Notamos que t2 é 3,8 vezes maior que t3 e isso ocorreu porque com 
Resistência (Ω) Resistência 
Interna Rv (Ω) 
Tensão (V) Desvio avaliado 
(V) 
50000 2000000 7 0,1 
a chave na posição 3 o capacitor descarrega sobre a resistência R, já na 
posição 2 essa descarga ocorre sobre a resistência Rv, com isso como a 
constante de tempo é dada por t = R*C, como Rv > R então t2 > t3. 
Foram feitas mais duas medidas de tempo: 
Medida t1 (s) t2 (s) t3 (s) 
1 5,41 20,75 5,48 
2 5,33 21,09 5,52 
3 5,30 20,53 5,71 
Média 5,30 ± 0,02 20,79 ± 0,16 5,57 ± 0,02 
Tabela 2: Tempos de carga e descarga. 
Como t = R*C, temos que R = 2000000 Ω e C = 0,0001 F a constante de tempo 
será t = 200 segundos. Então, foram feitas 21 medidas durante o 
descarregamento do capacitor sobre a resistência Rv em 400 segundos. 
Medida t (s) Tensão (v) Medida t (s) Tensão (v) 
1 0 6,83 12 220 2,31 
2 20 6,18 13 240 2,09 
3 40 5,60 14 260 1,89 
4 60 5,08 15 280 1,72 
5 80 4,60 16 300 1,56 
6 100 4,16 17 320 1,41 
7 120 3,77 18 340 1,27 
8 140 3,42 19 360 1,15 
9 160 3,09 20 380 1,05 
10 180 2,81 21 400 0,96 
11 200 2,54 
 Tabela 3: 21 medidas de tensão em um intervalo de 20 em 20 segundos. 
Gráfico para as 21 medidas de tensão e tempo: 
 
Gráfico 1: Tensão x Tempo (s) 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Te
n
sã
o
 (
v)
Tempo (S)
Tensão (v) x Tempo (s)
Observando o gráfico podemos notar o comportamento exponencial que a 
descarga do capacitor possui, como esperado pela equação. 
 
Perguntas: 
- A partir das medidas de tensão entre 1 e D e entre E e D, calcule o valor da 
resistência interna Rv do voltímetro, na escala utilizada. 
𝑉𝑜 = 7𝑉 
𝑉𝑣 = 6,83𝑉 
𝑅 = 50000Ω 
𝑉𝑜 = 𝑉𝑟 + 𝑉𝑣 
𝑅 ∗ 𝐼 + 𝑅𝑣 ∗ 𝐼 
𝑅𝑣 ∗ 𝐼 = 𝑉𝑣 
𝑅
𝑅𝑣
+ 1 =
𝑉𝑜
𝑉𝑣
 
1
𝑅𝑣
=
1
𝑅
(
𝑉𝑜
𝑉𝑣
− 1) 
1
𝑅𝑣
=
1
50000
(
7
6,83
− 1) 
𝑅𝑣 = 2008824Ω ± 19642,7 Ω 
Pelo erro associado confirmados que o valor está compatível com o esperado. 
 
- Das medidas das constantes de tempo t2 e t3 calcule o valor de Rv, compare 
com o valor calculado no item anterior. 
𝑡2 = 𝑅 ∗ 𝐶 𝑒 𝑡3 = 𝑅𝑡ℎ ∗ 𝐶 
𝑅𝑡ℎ =
𝑅 ∗ 𝑅𝑣
𝑅 + 𝑅𝑣
 → 
𝑡2
𝑅𝑣
=
𝑡3 (𝑅 + 𝑅𝑣)
𝑅 ∗ 𝑅𝑣
 → 
𝑡2
𝑡3
= 1 +
𝑅𝑣
𝑅
→ 𝑅𝑣 = (
𝑡2
𝑡3
∗ 𝑅) − 𝑅 
𝑅𝑣 = (
20,75
5,41
∗ 2000000) − 2000000 
𝑅𝑣 = 5670980Ω ± 19642,7 Ω 
Como podemos notar pelo erro associado o valor não está compatível com o 
esperado, temos uma diferença muito grande entre os valores de Rv. 
 
- Mostre que o tempo de descarga de um capacitor é igual ao tempo de carga, 
desde que seja feito nas mesmas condições ou seja, em um circuito com a 
mesma resistência R. 
Equação de carga: 
𝑄 = 𝑄𝑜(1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶) 
Equação da constate de tempo de carga: 
𝜏= 𝑅 ∗ 𝐶 
Equação de descarga: 
𝑄 = 𝑄𝑜( 𝑒−𝑡/𝑅𝐶) 
Em t1 era utilizada a resistência interna do voltímetro Rv e a resistência R 
durante o carregamento. 
Através da resistência de Thévenin: 
𝑅𝑡ℎ =
𝑅 ∗ 𝑅𝑣
𝑅 + 𝑅𝑣
 𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑡1 = 𝜏 = 𝐶 (
𝑅 ∗ 𝑅𝑣
𝑅 + 𝑅𝑣
) 
Para t3, houve o descarregamento considerando Rv em paralelo com R. Então: 
𝑅𝑒𝑞 = 
𝑅
𝑅𝑣
 = 
𝑅 ∗ 𝑅𝑣
𝑅 + 𝑅𝑣
 𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑡3 = 𝜏 = 𝐶 (
𝑅 ∗ 𝑅𝑣
𝑅 + 𝑅𝑣
) 
Com isso, através dessas equações podemos notar a igualdade entre t1 e t3. 
- Trace o gráfico de V versos t, em algum programa que constrói gráfico 
usando a função correta para cada medida. 
Utilizando a equação de descarga do capacitor 𝑄 = 𝑄𝑜( 𝑒−𝑡/𝑅𝐶) foram obtidos 
os valores da tensão calculada, esses valores foram comparados com os 
valores de tensão da tabela 3. 
Para o cálculo foi utilizado 𝑅 = 2𝑀Ω 𝑒 𝐶 = 100 µ𝐹 
Tabela 4: Tensão aferida e Tensão calculada. 
Tabela 5: continuação - Tensão aferida e Tensão calculada. 
Existe uma pequena diferença entre a tensão aferida e calculada, podemos 
associar esse erro a precisão no momento de aferir a tensão com a sincronia 
com o cronometro. 
Tempo (s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tensão aferida (v) 6,83 6,18 5,60 5,08 4,60 4,16 3,77 3,42 3,09 2,81 2,54
Tensão calculada (v) 6,83 6,18 5,59 5,06 4,58 4,14 3,75 3,39 3,07 2,78 2,51
Modulo da diferença 0,00 0,00 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,03 0,02 0,03 0,03
Tempo (s) 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
Tensão aferida (v) 2,31 2,09 1,89 1,72 1,56 1,41 1,27 1,15 1,05 0,959
Tensão calculada (v) 2,28 2,06 1,87 1,69 1,53 1,39 1,25 1,14 1,03 0,930
Modulo da diferença 0,03 0,03 0,02 0,03 0,03 0,02 0,02 0,01 0,02 0,03
 
Gráfico 2: Tensão calculada (v) x Tempo (s) 
- Trace o gráfico de V versos t, linearizado. A partir daí, calcule o valor de C. 
 
Gráfico 3: linearização do gráfico 1 - Tensão(v) x Tempo (s) 
Temos que 𝑌 = −0,0139𝑥 + 5,81. 
α = −0,0139𝑥 ∆α = 0,996 ∗ 10−4 
𝑅𝑣 = 2000000 Ω ∆𝑅𝑣 = 0,1Ω 
α =
1
(Rv∗C)∗log(e)
 → C = 
−log (e)
𝑅𝑣∗α 
 = 1,56 ∗ 10−5 𝑓 
Erro associado: 
𝛥𝐶 =
𝜕𝐶
𝜕𝛼
∗ 𝛥𝛼 +
𝜕𝐶
𝜕𝑅𝑣
∗ 𝛥𝑅𝑣 
𝛥𝐶 = −
𝑙𝑜𝑔(𝑒)
𝛼2 ∗ 𝑅𝑣
∗ 𝛥𝛼 −
𝑙𝑜𝑔(𝑒)
𝛼 ∗ 𝑅𝑣2
 𝛥𝑅𝑣 
𝛥𝐶 = (1,124 ∗ 10−3 ) ∗ (0,996 ∗ 10−4 ) + ( 7,81 ∗ 10−12 ) ∗ (0,1) = 1,12 ∗ 10−7 
y = 6,83e-0,005x
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Tensão calculada (v) x Tempo (s)
y = -0,0139x + 5,81
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Te
n
sã
o
 (
v)
Tempo (S)
Tensão (v) x Tempo (s)
- Analise detalhadamente os gráficos obtidos. O que acontece quando 𝑡 → ∞? 
Está de acordo com a teoria? 
Pelos gráficos podemos notar o comportamento esperado quando o tempo → 
∞, ou seja, com o capacitor descarregando à medida que o tempo passa a 
tensão diminui, com isso quando 𝑡 → ∞ a tensão → 0. 
 
- Mostre que RC tem dimensão de tempo. 
Como 𝜏 = 𝑅𝐶 
𝜏=
𝑉
𝐼
 ∗
𝑄
𝑉
 −> 𝜏 =
𝑄
𝐼
. 
Em unidade de medida: 𝜏 = [𝐶]/[𝐶]/[𝑠] + −> 𝜏 = [𝑠] 
Logo, 𝜏 tem uma dimensão de tempo. 
 
 
- Mostre por substituição direta que a equação 8 é solução da equação 7, como 
também a 15 é solução da 14. 
 
Dedução da fórmula 8 através da 7: 
𝑉𝑜 = 𝑅 ∗
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
𝑄
𝐶
 
𝑅 ∗
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑉𝑜 −
𝑄
𝐶
 
Multiplicando os dois lados por C: 
𝑅𝐶 ∗
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝐶𝑉𝑜 − 𝑄 
𝑑𝑄
𝐶𝑉𝑜 − 𝑄
=
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 
Integrando os dois lados. O primeiro de 0 a Q e o segundo lado de 0 a t: 
 ∫
𝑑𝑄
𝑄−𝐶𝑉𝑜 
= −∫
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 
𝑙𝑛(𝑄 − 𝐶𝑉𝑜) = −
𝑡
𝑅𝐶
 
𝑙𝑛 (
𝑄 − 𝐶𝑉𝑜
−𝐶𝑉𝑜
) = −
𝑡
𝑅𝐶
 
𝑄 − 𝐶𝑉𝑜
−𝐶𝑉𝑜
 =
𝑒−𝑡
𝑅𝐶
 
𝑄 = 𝐶 ∗ 𝑉𝑜 (1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶) = 𝐶. 𝑉𝑜 (1 − 𝑒−
𝑡
𝜏) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 8 
 
Dedução da equação 15 através da 14: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= − (
1𝑅𝐶
) 𝑄 
𝑑𝑄
𝑄
= −
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 
∫
𝑑𝑄
𝑄
= −∫
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 
𝑙𝑛𝑄 = | −
𝑡
𝑅𝐶
| 
 𝑄 = 𝑄𝑜 ∗ 𝑒−𝑡/𝑅𝐶 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 15 
- Calcule o erro na determinação de C e de Rv. 
𝑅𝑣 = (
𝑡2
𝑡3
) 𝑅 − 𝑅 
𝛥𝑅𝑣 = |
𝜕𝑅𝑣
𝜕𝑅
| 𝛥𝑅 + |
𝜕𝑅𝑣
𝜕𝑡2
| 𝛥𝑡2 + |
𝜕𝑅𝑣
𝑡3
| 𝛥𝑡3 
𝛥𝑅𝑣 = (
𝑡2
𝑡3
− 1)𝛥𝑅 + (
𝑅
𝑡3
)𝛥𝑡2 + (
𝑅 ∗ 𝑡2
𝑡32
)𝛥𝑡3 
𝑡2 = 20,75 𝛥𝑡2 = 0,02 𝑒 𝑡3 = 5,48 𝛥𝑡3 = 0,16 
𝛥𝑅 = 0,1 ∗ 50000 = 5000Ω 
𝛥𝑅𝑣 = (
20,75
5,48
− 1) 5000 + (
50000
5,48
) 0,02 + (
50000 ∗ 20,75
5,482
) 0,16 
𝛥𝑅𝑣 = 19642,7 Ω 
 
 
- Compare o valor de Rv encontrado experimentalmente com o valor de RV 
escolhido para o voltímetro. Justifique a diferença. 
 
Para o primeiro valor de 𝑅𝑣 = 2008824Ω temos um valor compatível com 
𝑅𝑣 = 2000000 que foi o valor escolhido no voltímetro. Já para a medida de 
𝑅𝑣 = 5670980Ω que foi realizada através das medidas de tempo, temos um 
valor incompatível com o esperado como podemos notar pelo erro 𝛥𝑅𝑣 =
 19642,7 Ω, o erro que causou tamanha discrepância não foi detectado, 
provavelmente um erro grosseiro. 
 
 
Conclusão 
 
Com a realização do experimento foi possível observar melhor o funcionamento 
de um capacitor em um circuito RC. Com a realização das medidas das 
constantes de tempo de carga e descarga do capacitor, foi possível 
compreender como se dá o processo de aumento e decaimento da tensão do 
componente em função do tempo. Concluiu-se também que as constantes de 
tempo de carga e descarga devem ser iguais, desde que sejam mantidos os 
mesmos valores de resistência equivalente e de capacitância. 
 
 
Referências 
 
Fundamentos de Física – Eletromagnetismo – Volume 3, 10ª Edição / David 
Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. 
https://www.tinkercad.com/things/aDuV8L2vZDf-epic-jarv/editel (circuito) 
 
https://www.tinkercad.com/things/aDuV8L2vZDf-epic-jarv/editel