Questão resolvida - Volume do sólido cuja base é um quadrado de vértices (0,0), (1,1), (0,1) e (1,0) e cujas secções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura x-x? Cálculo II - UFMT

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Volume do sólido cuja base é um quadrado de vértices e 0, 0 , 1, 1 , 0, 1 e 1, 0( ) ( ) ( ) ( )
cujas secções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura ?x - x²
 
Resolução:
 
Queremos o volume do sólido cuja base é quadrada e a altura h vária segundo a lei;
 
h x = x - x( ) 2
 
A área de um triângulo é dada pela expresão;
 
A =t
b ⋅ h
2
As bases dos infinitos triângulos, que são secções do sólido perpendiculares ao eixo x, 
coincidem com o lado do quadrado da base e são constante;
 
 
Com isso, a área em função da altura fica;
 
A x = =t( )
1 ⋅ x - x
2
2
x - x
2
2
 
 Queremos, agora, fazer o somatório infinitesimal das áreas para obter o volume do sólido, 
isso é proporcionado pela integral:
 
 
 
x
y
(1,1)
(1,0)
(1,1)
(0,0)
b = l = 1triângulo quadrado
l
l
l
l
V = dx
1
0
∫ x - x
2
2
Resolvendo a integral, fica;
 
V = dx = x - x dx = - = - - -
1
0
∫ x - x
2
2 1
2
1
0
∫ 2 1
2
x
2
2 x
3
3 1
0
1
2
1
2
( )2 1
3
( )3 1
2
0
2
( )2 0
3
( )3
 
V = - = = ⋅
1
2
1
2
1
3
1
2
3 - 2
6
1
2
1
6
 
V = u. v.
1
12
 
 
(Resposta)