AP3-GE-2012.2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Sup erior a Distância 
 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFF/CEDERJ/UAB 
 
Gabarito - Geometria Espacial – AP3 – 2012.2 
 
Questão 1 [2,0pts]: Um triângulo retângulo isósceles, girando em torno de um dos seus 
catetos, gera um sólido cujo volume é π/3 m3. Calcule a hipotenusa e a área total do 
sólido. 
Solução: A figura gerada pela rotação abaixo é um cone circular reto ou cone de 
revolução, onde: 
V = (Área da base . altura)/3 = π/3 
V = (πc2 . c)/3 = π/3, então, 
c =1, utilizando o teorema de Pitágoras: 
c2 + c2 = h2 
h = 21/2 
Área total = Área da base + Área lateral = πc2 + πch = (1 + 21/2)π 
 
Questão 2 [2,0pts]: A figura abaixo representa uma caixa com a forma de um prisma 
triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente 
as cinco faces do prisma. 
 
 
Determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação 
ao volume da caixa. 
 
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Questão 3 [2,0pts]: Uma sala retangular medindo 3 metros por 4,25 metros deve ser 
ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos 
vizinhos pergunta-se: 
a) Qual deve ser a dimensão máxima, em cm, de cada um desses ladrilhos para que a 
sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? 
b) Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários? 
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Questão 4 [2,0pts]: Uma panela cujo formato interno é um cilindro com raio de medida 
15 cm e altura medindo 20 cm, está completamente cheia de doce. Quantos "docinhos" 
em forma de esfera, com diâmetro medindo 2 cm, podem ser feitos? 
Solução: 
Vcilindro = Área da base . Altura = π15
2 . 20 = 4500π 
Vesfera = 4πr
3/3 = 4π/3 
Para obtermos o número de docinhos, basta dividirmos o volume da panela (Vcilindro) pelo 
volume de 1 docinho (Vesfera): 
(4500π) / (4π/3) = 3375 docinhos 
 
Questão 5 [2,0pts]: Considere um cubo cuja aresta mede 1 m. O sólido cujos vértices 
são os centros das faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos 
equiláteros congruentes. 
 
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. 
b) Calcule a área da superfície desse octaedro regular. 
Solução: 
a) Aplicando o teorema de Pitágoras, calcula-se o valor da aresta a: 
a2 = (1/2)2 + (1/2)2 
a = 21/2/2 m 
 
b) Áreatotal = 8 . Áreatriângulo equilátero 
h = (a . 31/2)/2 = 61/2/4 m 
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 Áreatriângulo equilátero = (Base . Altura)/2 = (2
1/2/2) . (61/2/4)/2 = 31/2/8 m2 
Áreatotal= 8 . 3
1/2/8 = 31/2 m2