Aula 02 - Modelagem Matemática

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NEAD – Núcleo de Educação a Distância 
ROTAS DE APRENDIZAGEM 
Fundamentos Quantitativos para Ciências da Saúde | Modelagem Matemática | Aula 02 
Onde Chegar 
• Compreender os passos necessários para a modelagem matemática de um sistema 
• Refletir sobre as vantagens e limitações impostas pela modelo matemático utilizado 
• Favorecer a atuação profissional em equipes multiprofissionais ao estabelecer 
relações entre conteúdos inter e transdisciplinares 
 
O que Aprender 
• Definição de modelagem matemática 
• Processo para geração de um modelo a partir de um sistema físico 
• Como é realizada a previsão de resultados a partir de um modelo matemático 
 
AULA 
02 
Modelagem Matemática 
Fundamentos 
Quantitativos para 
Ciências da Saúde 
 
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Desenvolvimento 
Observe as perguntas a seguir: 
“Qual a quantidade de ingredientes que eu devo utilizar para fazer o dobrar uma 
receita de bolo?” 
A fim de prever resultados ou explicar o comportamento de um sistema físico, 
realizamos cálculo que exploram as relações entre as grandes envolvidas com a saída, 
ou seja, como resultado. 
Mesmo que de forma intuitiva, fazemos uso do raciocínio lógico para modelar 
matemática os mais variados sistemas, do mais simples ao mais complexo. 
Bassanezi (2015) define a modelagem como uma forma de obter explicações ou 
entendimento sobre de determinadas situações reais. 
Por isso, nessa aula vamos apresentar o processo utilizado na modelagem de sistemas 
reais e suas vantagens e suas limitações. 
A figura 1 apresenta o ciclo de modelagem apresentado por Borromeo e Blumi (2010) e 
por Vecchia e Maltempi (2019). 
As etapas estão do processo de modelagem estão descritas na figura e os processos 
que nos levam de uma etapa a outra estão detalhados ao lado. 
 
Figura 1 – Ciclo de Modelagem. 
 
Fonte: Adaptado de Borromeo e Blumi (2010) apud Vecchia e Maltempi (2019). 
 
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O primeiro passo no ciclo de modelagem é o de observar o mundo real e identificar o 
problema a ser resolvido. 
Em seguida, é necessário descrever a situação real e a forma como ela é afetada pelo 
problema, a fim de compreendê-lo melhor e para construir uma versão simplificada da 
realidade, mas que contenha as principais características do mundo real que permitam 
resolver o problema a ser solucionado. 
Ao considerar determinados cenários em que o fenômeno será analisado, cria-se um 
ambiente controlado e os resultados, uma vez validados serão válidos nas condições 
apresentadas incialmente. Por isso, é possível elaborar modelos mais sofisticados ou 
menos simplificados ao considerar ou ao desprezar as variáveis do ambiente. 
Na sequência o modelo será matematizado, ou seja, as relações entre as entradas e as 
saídas do modelo serão definidas matematicamente. Geralmente, a modelagem tem 
início com uma tabela de valores, cujos dados foram coletados experimentalmente em 
condições controladas. 
Quanto mais detalhes ele envolver, mais robusto ele será, porém mais complexo será 
seu equacionamento. Por outro lado, um modelo extremamente simplificado pode não 
ser compatível com o comportamento observado na realidade. 
A experiência, o raciocínio lógico e o bom senso vão ajudá-lo a definir o modelo mais 
adequado para a análise a ser realizada. 
É comum encontrar simplificação do modelo real em exercícios presentes nos livros de 
Física, nos quais despreza-se o efeito do arrasto do ar ou efeito do atrito dinâmico entre 
os pneus e o solo ao determinar a velocidade média de um automóvel. Embora essas 
variáveis sejam desprezadas, os resultados previstos pelo modelo matemático se 
aproximam daqueles observados na realidade. 
O trabalho matemático realizado a partir dos dados coletados pode ser realizado pelo 
próprio pesquisador manualmente ou com auxílio de algum recurso de informática, 
sendo possível recorrer a algum programa como o Excel, Calc ou similares, ou pode ser 
realizado computacionalmente, no qual o pesquisador inseri os dados coletados em um 
programa especializado no tratamento desses dados. 
Uma vez o que os dados forem tratados, eles são interpretados, a fim de determinar 
qual o conjunto de regras que estabelecem suas relações, essa formalização artificial 
que contém essas relações é denominada modelo matemático. 
A validação se dá pela verificação se o modelo é capaz de predizer ou de representar as 
mesmas condições do sistema real. 
 
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Caso o modelo consiga predizer ou detalhar o comportamento do sistema real, o 
mesmo pode ser refinado, ou seja, o modelo pode passar por adequações para 
descrever o sistema físico da forma mais fidedigna possível. 
A elaboração de modelos, embora faça uso de recursos matemáticos, não é restrita aos 
cursos das áreas de Ciências Exatas. 
Para exemplificar a aplicação de técnicas de modelagem matemática na área da saúde, 
apresentamos os resultados do estudo publicado por Diaz-Narvaez et al., que teve o 
objetivo de explorar o melhor tipo de curva ou modelo de tendência para explicar o 
comportamento epidemiológico do contágio por COVID-19. 
 
Figura 2 - Resultados da estimação das curvas dos dados observados de casos 
confirmados, ajustados e previstos, segundo o modelo. 
 
Fonte: Diaz-Narvaez et al. (2020). 
 
Portanto, o profissional dos cursos da saúde também deve conhecer a importância e 
saber elaborar modelos matemáticos capazes de representar condições reais para 
compreender fenômenos, predizer resultados e antecipar a tomada de ações. 
 
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Vá mais Longe 
A leitura do capítulo norteador permitirá compreender a importância da modelagem 
matemática. 
Capítulo Norteador: 
Capítulo 1 - Etapa de uma modelagem. BASSANEZI, Rodney Carlos. Modelagem 
matemática: teoria e prática. São Paulo: Contexto, 2015. Cap. 1. p. 17-44. Biblioteca 
Virtual. 
 
Agora é sua Vez! 
Após a leitura dos conteúdos indicados, procure refletir sobre as situações cotidianas, 
na vida pessoal ou no trabalho, em que você modela matematicamente condições do 
mundo real. Nas quais você deve pensar sobre o problema matemático, realizar 
cálculos e tomar decisões. 
Tome como exemplo a pergunta inicial da aula: 
“Qual a quantidade de ingredientes que eu devo utilizar para fazer o dobrar a receita de 
bolo?” 
 
Interação 
Faça a leitura da Conclusão do artigo: 
 
DIAZ-NARVAEZ, Víctor et al. Qual é a curva que melhor explica o crescimento de casos 
confirmados da COVID-19 no Chile?. Rev. Latino-Am. Enfermagem, Ribeirão Preto, v. 
28, e3346, 2020. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-
11692020000100366&lng=pt&nrm=iso>. Acesso em: 18 jan. 2021. 
 
Em seguida, responda: 
Qual a importância social da modelagem matemática realizada pelos pesquisadores? 
Quais contribuições ela pode dar à sociedade? 
 
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Compartilhe e discuta sua resposta com os colegas nos Fórum da disciplina. 
Verifique quais afirmações dos colegas complementam sua resposta e faça comentários 
se desejar. 
 
Questão para Simulado: 
 
1 – Em um laboratório de microbiologia, uma pesquisadora estava testando a eficácia 
de um novo bactericida. O modelo matemático prevê que o número de bactérias 
eliminadas seja proporcional à dose aplicada. 
Durantea realização de ensaios em laboratório, a pesquisadora manteve a temperatura 
da sala controlada e começou a aplicar o bactericida em 
Observou que 10% das bactérias foram eliminadas ao aplicar uma dose de x mL desse 
bactericida e ao dobrar a dose ela percebeu que 20% das bactérias foram eliminadas. 
Porém, ao triplicar a dose a pesquisadora esperava eliminar 30% das bactérias, mas 
notou que 60% das bactérias das bactérias foram eliminadas. 
Ao obter um resultado diferente do esperado, a pesquisadora 
a) Pode concluir que o modelo empregado é incapaz de prever resultados 
em quaisquer situações. 
b) Deve variar a temperatura da sala e repetir os ensaios até que o valor 
previsto no modelo seja obtido. 
c) Deve repetir o experimento aplicado um bactericida de eficácia 
conhecida em conjunto com o produto em fase de teste. 
d) Deve refinar seu modelo, a fim de obter resultados mais próximos ao 
comportamento real do sistema. 
e) Deve desprezar os valores obtidos e adotar os dados gerados pelo 
modelo como resultados do seu estudo. 
Resposta: Letra D 
 
 
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Comentário: Quando um modelo não é capaz de representar um sistema real dentro 
das situações previstas, então é necessário realizar refinamentos no modelo, de modo 
que ele passe a corresponder com os resultados observados na realidade. 
 
"Organize-se: 2 horas semanais – mínimo sugerido para autoestudo e realização das 
atividades da disciplina." 
 
REFERÊNCIAS 
BASSANEZI, Rodney Carlos. Etapa de uma modelagem. In: BASSANEZI, Rodney Carlos. 
Modelagem matemática: teoria e prática. São Paulo: Contexto, 2015. Cap. 1. p. 17-44. 
 
BORROMEO FERRI, R.; BLUM; W. Insights into Teachers’ Unconscious Behaviour in 
Modeling Contexts. In: LESH, R. et al. (Org.). Modeling Students’ Mathematical 
Modeling Competences. New York: U.S.A., Springer, 2010. p. 423-432. 
 
COSTA, Helisângela Ramos da. A modelagem matemática através de conceitos 
científicos. Ciênc. cogn., Rio de Janeiro, v. 14, n. 3, p. 114-133, nov. 2009. Disponível 
em: <http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-
58212009000300010&lng=pt&nrm=iso>. Acesso em: 16 jan. 2021. 
 
DIAZ-NARVAEZ, Víctor et al. Qual é a curva que melhor explica o crescimento de casos 
confirmados da COVID-19 no Chile?. Rev. Latino-Am. Enfermagem, Ribeirão Preto, v. 
28, e3346, 2020. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-
11692020000100366&lng=pt&nrm=iso>. Acesso em: 18 jan. 2021. 
 
VECCHIA, Rodrigo Dalla; MALTEMPI, Marcus Vinicius. O Problema na Modelagem 
Matemática: determinação e transformação. Bolema, Rio Claro, v. 33, n. 64, p. 748-767, 
Ago. 2019. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-
636X2019000200748&lng=en&nrm=iso>. Acesso em: 16 Jan. 2021.