TRABALHO DE PRÁTICA

Prévia do material em texto

1. INTRODUÇÃO
 A modelagem matemática, de uma forma simples, resume-se à criação de um modelo 
matemático (um padrão ou fórmula matemática) para explicação ou compreensão de um 
fenômeno natural. Esse fenômeno pode ser de qualquer área do conhecimento. Atualmente, 
podemos perceber o uso da modelagem matemática na criação de bovinos, produção de 
materiais para construção civil, movimentação de animais, teoria da decisão, crescimento de 
cidades, controle biológico de pragas e outros.
 O atual papel da educação matemática é formar cidadãos aptos para o convívio em 
sociedade, respeitando as diferenças, agindo de forma crítica e reflexiva diante das situações 
cotidianas. Através do uso da modelagem matemática na sala de aula podemos trabalhar a 
interdisciplinaridade, a transversalidade, mostrando ao aluno como a matemática pode ser útil 
em sua vida fora do ambiente escolar e como ela interage com as demais áreas do 
conhecimento. O aluno passa a perceber a importância da matemática para a compreensão de 
fenômenos naturais, como é possível “prever” alguns acontecimentos utilizando fórmulas e 
modelos e isso acaba despertando seu interesse pela ciência.
 A introdução da modelagem matemática pode ser feita através da resolução de 
problemas, trazendo para dentro de sala a realidade do aluno, uma vez que a matemática só 
fará sentido para os educandos quando ela se tornar significativa e prazerosa. As diversas 
situações-problemas farão com que a capacidade de interpretação melhore, o aluno assuma 
uma posição crítica ao tentar resolvê-las e consiga analisar que pode haver mais de uma 
solução e que há vários caminhos para chegar até elas. Observe que isso é essencial para a 
solução de situações que são vividas por todos nós diariamente. Precisamos de cidadãos 
matematicamente alfabetizados que, ao se depararem com seus problemas econômicos, no 
comércio, na medicina e em outras situações diárias, consigam resolvê-los de forma rápida e 
precisa.
1
2. MODELAGEM MATEMÁTICA
Com o auxílio da matemática o homem utiliza representações que são capazes de 
explicar e interpretar fenômenos em estudo. A estas representações damos o nome de modelo. 
O uso da Matemática como linguagem simbólica conduz a uma representação da 
situação problema em termos matemáticos. Um modelo matemático pode ser entendido como 
um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representa uma situação, um fenômeno 
ou um objeto real a ser estudado. Os modelos matemáticos podem ser expressos através de 
gráficos, tabelas, equações, sistemas de equações, etc. 
Por outro lado, um conjunto de regras e procedimentos que guiam o modelador na 
obtenção de um modelo matemático que represente um problema extra matemático, 
utilizando-se para isso técnicas matemáticas, conhecimentos científicos, experiência e 
criatividade é o que denominamos Modelagem Matemática. 
A Modelagem Matemática “consiste na arte de transformar problemas da realidade em 
problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo 
real”. Ela permite a realização de previsões e tendências e é eficiente a partir do momento que 
tomamos consciência de que estamos trabalhando sobre representações de um sistema ou 
parte dele. É um processo dinâmico, onde, partindo-se de um problema real, associado a um 
conjunto de hipóteses, é obtido um modelo que forneça possíveis soluções para o problema. 
Como método de pesquisa, tem uma orientação metodológica a ser seguida. Neste 
sentido, foram elaborados diferentes esquemas visando descrever as etapas pertinentes a um 
processo de Modelagem Matemática. Um esquema encontrado com freqüência na literatura é 
composto pelas seguintes etapas: 
• Definição do problema: a partir de uma situação real é identificado o problema a ser 
estudado. Em seguida devem-se obter os dados necessários para sua solução. 
• Simplificação e formulação de hipóteses: Os dados são examinados e selecionados de modo 
que preservem as características do problema, isto é, é feita uma simplificação. 
• Dedução do modelo matemático: Nesta etapa substitui-se a linguagem em que se 
encontra o problema para uma linguagem matemática coerente. 
2
• Resolução do problema matemático: é a fase em que, utilizando-se recursos da 
Matemática, procura-se uma solução do problema matemático formulado. 
• Validação: é a fase em que a aceitação do modelo encontrado é analisada. Assim, os 
dados reais são comparados com os dados fornecidos pelo modelo. Caso o modelo 
seja considerado não válido, deve-se retornar à formulação de hipóteses e 
simplificações e reiniciar o processo. 
• Aplicação do modelo: Caso seja considerado válido, o mesmo é utilizado para 
compreender, explicar, analisar, prever ou decidir sobre a realidade em estudo. Esta é a 
fase que possibilita o intervir, o exercitar, o manejar situações associadas ao problema. 
Estas etapas não representam uma prescrição rigorosa, mas constitui uma seqüência de 
procedimentos norteadores que podem proporcionar maior êxito no estudo de 
problemas por meio da Modelagem Matemática.
Biembengut e Hein (2003) dizem que a formulação de modelos interpretativos dos 
fenômenos naturais e sociais é inerente ao ser humano. Os mesmos autores, citando Granger 
(1969) dizem que:
“(...) o modelo é uma imagem que se forma na mente, no 
momento em que o espírito racional busca compreender e expressar de 
forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo já 
conhecido, efetuando deduções” (p. 11).
Bassanezi (2004) diz que se cria o modelo quando se procura refletir sobre uma porção 
da realidade, na tentativa de explicar, de entender ou de agir sobre ela (a realidade). Assim, 
entendemos por modelo a representação de algo que foi compreendido e expresso de alguma 
maneira que se possam fazer relações com o mundo ao redor, através de predições, 
explicações, manipulações, formulações.
Se usarmos um conjunto de símbolos e relações matemáticas a fim de traduzir um 
fenômeno ou problema real, estaremos utilizando um modelo matemático (Biembengut e 
Hein, 2003), pois, como afirma Bassanezi (2004),
“Um modelo matemático é um conjunto consistente de equações 
ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a algum 
3
fenômeno – este pode ser físico, biológico, social, psicológico, 
conceitual ou outro modelo matemático” (p. 174).
3. MODELO E MODELAGEM MATEMÁTICA
 Para Biembengut e Hein (2000, p.11), “a idéia de modelagem suscita a imagem de um 
escultor trabalhando com argila produzindo um objeto”. Na concepção dos autores, esse 
objeto que representa sua idéia é um modelo, e o processo de obtenção desse modelo é a 
modelagem. 
 Tenho plena compreensão que o termo modelo é sempre ambíguo, e, dependendo do 
estudo, cada autor se aventura em dar uma definição. Contudo muitas situações do mundo 
real podem apresentar problemas que requeiram soluções e decisões provenientes da 
matemática, seja qual for o caso, a resolução de um problema, em geral quando quantificado, 
requer uma formulação matemática detalhada. 
 Nessa perspectiva, a idéia de modelo apresentada a partir das reflexões feitas 
anteriormente, cria uma nova roupagem, a relação com a matemática e passa a ser 
denominado modelo matemático. Vejamos alguns conceitos encontrados na literatura:
• “Um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz, de alguma forma, um 
fenômeno em questão ou um problema de situação real, é denominado de Modelo 
Matemático” (BIEMBENGUT e HEIN, 2000, p. 12). 
• “Modelo matemático de um fenômeno, é um conjunto de símbolos e relações 
matemáticas que traduzem de alguma forma o objeto estudado” (BASSANEZI, 2002, 
p. 20).
 Destaforma, podemos dizer que “a Matemática com suas expressões, equações, 
funções, fórmulas, tabelas, formas e teorias, é um conjunto de modelos” (CHAVES, 2005). 
Em relação à forma de utilização de um Modelo Matemático, Chaves (2005, p.9) apoiada em 
Biembengut e Hein (2003), frisa que: 
... Um modelo matemático só é um modelo, se servir de referência ou se 
permitir ser reproduzido para a resolução de problemas semelhantes 
que originaram o modelo, além de ser mola propulsora para o 
desenvolvimento de outros conhecimentos. 
4
Para Bassanezi (2002, p.20), a importância do modelo matemático “consiste em ter 
uma linguagem concisa que expresse nossas idéias de maneira clara e sem ambigüidade...” 
[grifos meus]. 
Portanto, pode-se notar, que os caminhos para se chegar a um Modelo Matemático não 
são muito simples, alguns esforços deverão ser feitos para se chegar a melhor representação 
matemática, ou seja, o tipo de modelo a ser utilizado dependerá da situação analisada, das 
variáveis selecionadas e dos recursos disponíveis. Para chegarmos a um Modelo Matemático, 
temos que passar por um processo denominado de Modelagem Matemática. 
• D’ambrosio (1986), Modelagem Matemática, “é um processo muito rico de encarar 
situações e culmina com a solução efetiva do problema real e não com a simples 
resolução formal de um problema artificial”. 
• Biembengut e Hein (2000, p.12), definem Modelagem Matemática como “uma arte, ao 
formular, resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma situação 
particular, mas que também sirvam posteriormente para outras aplicações”.
• Blum (1995) define Modelagem Matemática, “como sendo um processo de 
construção de modelos que transforma uma situação real em uma situação matemática.
• Bassanezi (2002, p.16), Modelagem Matemática, “consiste na arte de transformar 
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas 
soluções na linguagem do mundo real”. 
• Barbosa (2003, p.53), define Modelagem Matemática, na perspectiva da Matemática 
Aplicada, como “todo o processo de abordagem de um problema não matemático, 
envolvendo a construção do modelo [matemático]”, partindo de uma situação real até 
a construção de um modelo através da utilização de ferramentas e entes matemáticos, 
como gráficos, equações e inequações para representar certos aspectos de uma 
situação real.
 Acredito que, além da característica motivadora inerente à aplicação da Modelagem 
Matemática no ensino da Matemática, esse processo contribui de forma significativa para 
reflexões, não só relativas a “matematização” do modelo em estudo e na escolha das técnicas 
para a resolução destes modelos incluindo as tecnologias disponíveis, mas também -e talvez 
principalmente- para interpretações das soluções encontradas na linguagem do mundo real, 
5
possibilitando o ensino de uma matemática crítica, onde o conhecer reflexivo na forma 
proposta por Skovsmose (2004, p.115-116) tem a mesma importância do conhecer 
matemático e do conhecer tecnológico. 
 Na seqüência, pretendo à luz das reflexões feitas por alguns dos pesquisadores 
apontados no inicio deste capítulo, entre outros -que produziram e ainda produzem 
conhecimentos sobre Modelagem Matemática discutir a organização e condução de atividades 
baseadas nesse ambiente de ensino e de aprendizagem, com objetivo de apresentar uma forma 
de materializar essa nova tendência em nossa realidade curricular. 
4. MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE 
ENSINO E APRENDIZAGEM
 Embora seja alicerçada na Matemática Aplicada, na Educação Matemática a 
modelagem assume perspectivas distintas. A sua aplicação no contexto escolar conduz a 
algumas mudanças quanto à organização dos trabalhos e quanto aos objetivos da utilização. 
 A essência de um processo de Modelagem consiste na transposição de um problema 
real para um universo matemático. No entanto, quando o processo de construção e utilização 
de modelos se desenvolve em sala de aula, deve-se atribuir atenção especial ao cenário 
pedagógico, isto é, as questões relativas ao ensino e à Matemática do currículo escolar 
ocupam um lugar de destaque. 
 A Modelagem matemática tem sido reconhecida como uma alternativa pedagógica na 
condução do processo de ensino e aprendizagem em cursos regulares submetidos a programas 
e cronogramas preestabelecidos.
 Entre os argumentos que têm sido usados para justificar e sugerir a criação de um 
espaço para introduzir atividades de Modelagem Matemática na estrutura curricular de 
Matemática, citamos: 
• O desenvolvimento de aspectos sociais. O conflito gerado na interação dos indivíduos 
pode beneficiar mutuamente as pessoas que se encontram em um mesmo nível de 
desenvolvimento cognitivo, mas que analisam uma determinada situação com 
perspectivas diferentes. As atividades desenvolvidas em grupos podem proporcionar o 
desenvolvimento do senso de responsabilidade, a auto-estima, a cooperação e a 
criticidade. Nestes grupos são valorizadas qualidades sociais, tais como capacidade de 
6
negociar, de comunicar-se na linguagem do grupo, de partilhar responsabilidades e de 
trabalhar em equipe [7]. 
• Reconhecimento do papel da Matemática na sociedade. A Matemática tem sido 
utilizada como argumento para apresentar sugestões e soluções à problemas políticos e 
sociais. É encarada como a palavra final em virtude de dados estatísticos e resultados 
matemáticos, os quais muitas vezes são utilizados como base nas argumentações. Este 
poder de conter o argumento definitivo é sustentado pelo que denominam de 
“ideologia da certeza”[5]. Assim, é importante que todo indivíduo conheça e 
reconheça o papel importante que a Matemática tem na vida, seja ela no âmbito 
acadêmico, profissional ou social. Em o autor salienta que “se a Matemática é tão 
importante na sociedade parece natural que no ensino da Matemática se mostre o 
porquê e como”. 
• Aquisição de conceitos matemáticos e suas aplicações. As dificuldades encontradas 
pelos alunos no aprendizado da Matemática ultrapassam os limites do ensino 
fundamental e médio, chegando ao curso superior. Essa situação acarreta um alto grau 
de desistência e/ou reprovação nas disciplinas de Matemática e outras que necessitam 
dos conteúdos matemáticos. Por outro lado, se o aluno não teve a oportunidade 
durante a sua vida acadêmica, de participar ativamente da elaboração e solução de 
problemas, coletando dados, sugerindo hipóteses, encontrando a solução, este 
provavelmente não conseguirá solucionar os problemas encontrados no setor 
profissional. Assim, é preciso uma educação que incentive a resolução de problemas 
mostrando onde e como se aplica a Matemática. A aplicação de conceitos matemáticos 
em situações do dia-a-dia exige que essa capacidade seja desenvolvida e ainda que, 
devemos trabalhar em sala de aula com “verdadeiras situações problemas” [15]. 
Segundo uma atividade de Modelagem Matemática pode apoiar os alunos na aquisição 
e compreensão dos conteúdos matemáticos como também promover atividades e 
habilidades que estimulem a criatividade e a solução de problemas. Para a 
apresentação de novos conceitos a partir de situações reais, pode ser uma base 
concreta para desenvolver os conceitos, como também ter um importante papel 
motivador. 
• Desenvolvimento do conhecimento reflexivo. Em o autor afirma que “a Matemática 
está formatando nossa sociedade” e completa seu pensamento quando nos fala que a 
7
Matemática intervém na realidade quando nos oferece não apenas discussões de 
fenômenos, mas também modelos para a alteração de comportamento. Afirma ainda 
que agimosde acordo com a Matemática, e diante disto, entende que é necessário 
desenvolver uma competência crítica nos alunos que possa possibilitá-los a lidar com 
o desenvolvimento social e tecnológico que estamos presenciando. Essa forma 
específica de saber está relacionada com uma dimensão do conhecimento, chamada 
por Skovsmose de conhecimento reflexivo. Este autor afirma que o conhecimento 
reflexivo se refere “à competência de refletir sobre o uso da Matemática e avaliá-lo”. 
• Processos cognitivos desenvolvidos pelos alunos. De acordo com, o conhecimento 
construído através dos modelos é um saber contextualizado e com significado. O aluno 
é agente desse processo de construção, onde ele observa, coleta dados, procura 
soluções e toma decisões. Se o conceito for construído pelo aluno será facilmente 
resgatado quando necessário. Alguns aspectos cognitivos foram desenvolvidos por um 
grupo de alunos e observados em: Compreensão de situações extra matemáticas, 
atribuição de significados aos aspectos matemáticos, aplicação de conhecimentos, 
introdução de novos conceitos, elaboração de estratégias próprias. 
5. COMO UTILIZAR A MODELAGEM MATEMÁTICA EM SALA 
DE AULA
 Em observamos que em um ambiente de ensino e aprendizagem os trabalhos de 
Modelagem Matemática podem ser desenvolvidos de forma gradativa com os alunos, 
respeitando diferentes momentos: 
• Momento 1: abordar com todos os alunos, situações em que está em estudo a dedução, 
utilização, análise e exploração de um modelo matemático a partir de uma situação 
problema já estabelecida. 
• Momento 2: o professor sugere uma situação problema já estabelecida, juntamente 
com um conjunto de informações, e os alunos realizam a formulação das hipóteses e a 
dedução do modelo durante uma investigação e, finalmente, validam o modelo 
encontrado para o problema em estudo. 
8
• Momento 3: os alunos, divididos em grupos, são incentivados a conduzirem um 
processo de modelagem a partir de um problema escolhido por eles, assessorados pelo 
professor. Uma vez estabelecido o problema, os alunos procedem à coleta de 
informações e dados necessários para encontrar uma possível solução. O processo de 
validação do modelo leva o aluno a analisar, tomar decisões, discutir, descobrir, 
explorar, experimentar o novo. 
9
6. CONCLUSÃO
 Enfim a Modelagem Matemática tem como objetivo interpretar e compreender os mais 
diversos fenômenos do nosso cotidiano, devido ao “poder” que a Modelagem proporciona 
pelas aplicações dos conceitos matemáticos. Podemos descrever estes fenômenos, analisá-los 
e interpretá-los com o propósito de gerar discussões reflexivas sobre tais fenômenos que 
cercam nosso cotidiano.
 A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino da Matemática 
que pode ser utilizada no Ensino Fundamental e no Ensino Médio e veio a ser explorada para 
tentar esclarecer estas dúvidas, ou seja, tem o objetivo de interpretar e compreender os mais 
diversos fenômenos do nosso cotidiano; e se trabalhada de maneira criativa, motivadora e 
eficaz, ela pode proporcionar diversos benefícios, como por exemplo, motivação, facilitação 
da aprendizagem, preparação para futuras profissões, desenvolvimento do raciocínio, 
desenvolvimento do aluno como cidadão crítico, compreensão do papel sócio-cultural da 
Matemática tornando-a mais importante e agradável.
10
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• BASSANEZI, Rodney C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem 
Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
• D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1990.
• http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/Doc_12.pdf
• http://www2.ufpa.br/eji/epamm/MC%20Modelagem%20Matem
%C3%A1tica%20com%20TIC.pdf
11
http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/Doc_12.pdf
http://www2.ufpa.br/eji/epamm/MC%20Modelagem%20Matem%C3%A1tica%20com%20TIC.pdf
http://www2.ufpa.br/eji/epamm/MC%20Modelagem%20Matem%C3%A1tica%20com%20TIC.pdf