APOSTILA MATEMATICA FINANCEIRA

Prévia do material em texto

Matemática
Financeira Avançada
Pós-Graduação
Núcleo de Educação a Distância – www.unigranrio.com.br
Rua Prof. José de Souza Herdy, 1.160 – 25 de Agosto – Duque de Caxias – RJ
Reitor
Arody Cordeiro Herdy
Pró-Reitora de Pós-Graduação Lato Sensu e Extensão – PROPEX
Nara Pires
Pró-Reitor de Administração Acadêmica
Carlos de Oliveira Varella
Pró-Reitora Comunitária
Sônia Regina Mendes
4 Matemática Financeira Avançada
UNIVERSIDADE UNIGRANRIO
Copyright © 2018, Unigranrio
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por 
qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, 
por escrito, da Unigranrio.
Produção editoração gráfica: Susane Bonifácio
Revisão: Camila Andrade e Laís Sá
Desenvolvimento instrucional: Andréia Ribeiro
Conteudista: Vicente Eudes Veras da Silva
Mestrado e Doutorado:
• Doutor em Educação – UNESA (2012). 
• Especialização em Educação a Distância – UNISEB (2015).
• Mestre em Educação – UNESA (2003).
• Especialização em Matemática e Estatística – UFLA (2000).
• Especialização em Docência Universitária – UCB (1997). 
Graduação:
• Bacharel em Administração – UNESA (2015). 
• Licenciatura e Bacharel em Matemática – FAHUPE (1988). 
Experiência Profissional:
• Professor – UNIGRANRIO. Período: 2017 – Atualmente.
• Professor – Universidade Estácio de Sá (UNESA/RJ). Período: 2002 – 
Atualmente.
• Professor – Universidade Veiga de Almeida. Período: 2014 – 2017.
S586m Silva, Vicente Eudes Veras da. 
Matemática Financeira Avançada / Vicente Eudes Veras 
da Silva. – Duque de Caxias, RJ: Unigranrio, 2018.
32 p.: il. ; 23 cm
Referências: p.32
1. Matemática financeira. 2. Taxas de juros. 3. Títulos 
(Finanças). I. Título.
 CDD – 650.01513
Sumário
Introdução ......................................................................................... 06
Objetivos ........................................................................................... 07
1. Escolha Intertemporal do Consumidor..................................... 08
2. Regimes de Capitalização e Desconto ....................................... 08
2.1 Desconto ................................................................................. 13
3. Taxa Proporcional e Taxa Equivalente ...................................... 15
4. Séries Uniformes (HP 12C) ..................................................... 18
5. Sistemas de Amortização ......................................................... 22
6. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno ................... 25
Síntese ............................................................................................... 31
Referências ......................................................................................... 32
6 Matemática Financeira Avançada
Introdução
A matemática financeira é uma ferramenta útil que tem por objetivo estudar 
as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de 
análise e comparação de alternativas para aplicação/obtenção de recursos financeiros.
O campo de aplicação desta disciplina é bastante amplo, pois suas técnicas 
são necessárias em operações de financiamento de quaisquer naturezas: crédito 
a pessoas físicas e a empresas, financiamentos habitacionais, crédito direto ao 
consumidor, entre outras.
Essas técnicas financeiras também são úteis quando devemos decidir entre 
investimentos alternativos. Assim, a matemática financeira tem aplicação em diversas 
operações cotidianas de nossas vidas, estando presente no cálculo de pagamentos 
de contas com atraso, desconto de cheques, aplicações financeiras, empréstimos, 
financiamentos imobiliários, renegociação de dívidas e até na avaliação da viabilidade 
financeira de projetos de investimentos.
Matemática Financeira Avançada 7
Objetivos
Ao final desta disciplina, você será capaz de:
• Fornecer ferramentas para avaliação dos problemas práticos que envolvem 
questões de matemática financeira;
• Discutir elementos que baseiam decisões de investimentos.
8 Matemática Financeira Avançada
1. Escolha Intertemporal do Consumidor
Entre as diversas escolhas com as quais o agente econômico se 
depara diariamente, o conflito entre consumir e poupar é, sem dúvida, um dos 
mais relevantes para a ciência econômica, cuja sequência de resultados vem a 
determinar a trajetória de consumo intertemporal desses agentes. 
A escolha intertemporal tem estreita ligação com fenômenos que estão na 
ordem do dia, tais como comportamentos de poupança, consumo e investimento.
Figura 1: Poupar ou comprar? Fonte: Dreamstime.
Escolhas intertemporais definem-se como escolhas que envolvem 
trocas entre custos e benefícios que ocorrem em diferentes pontos temporais 
(URMINSKY; ZAUBERMAN, 2014). Por exemplo, o impacto de uma variação 
na taxa de juros sobre o comportamento dos consumidores pode ser analisado 
a partir de suas decisões de consumo no tempo e de sua escolha intertemporal 
associada aos valores presente e futuro de sua utilidade. Em síntese, quando 
decide-se gastar hoje, em vez de guardá-lo para o futuro, você está tomando 
uma decisão intertemporal.
2. Regimes de Capitalização e Desconto
Regime de capitalização é a forma em que se constata o crescimento 
do capital (valor presente ou principal), podendo ser pelo regime de capitalização 
simples ou composta.
Matemática Financeira Avançada 9
Regime de Capitalização Simples 
Os juros que incidem sobre um empréstimo 
são chamados de juros com capitalização simples, sendo 
que, a cada período que dura o empréstimo, os juros são 
calculados sempre em cima do valor inicial do empréstimo 
ou principal. 
Nessa categoria, os juros de cada período serão 
sempre calculados em função do capital inicial (PV = 
Valor Presente). 
Fórmula Geral:
• FV = PV. (1+ i . n)
Sendo:
• FV: Valor Futuro - é a soma de juros no 
período mais principal.
• PV: Valor Presente de Principal aplicado.
• i: Taxa de juros expressa em decimais.
• n: Período de aplicação.
Vejamos um exemplo:
 
Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de juros 
simples de 2% a.m., durante 14 meses. Determine os juros e o montante 
dessa aplicação.
Atenção: Os números que expressam a taxa de juros 
são acompanhados de uma expressão que indica a 
temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ad = ao dia 
• am = ao mês
• at = ao trimestre
• aq = ao quadrimestre
• as = ao semestre 
• aa = ao ano
No vídeo Economizando para o 
amanhã, amanhã, de Shlomo Benartzi, 
você verá que é fácil economizar 
dinheiro na próxima semana. Mas e 
se fosse agora? Shlomo Benartzi diz 
que isso é um dos nossos maiores 
obstáculos para economizarmos 
o suficiente para a aposentadoria. 
Ele ainda lança a 
seguinte pergunta: 
Como nós mudamos 
esse comportamento 
desafiador para 
uma solução 
comportamental?
Vídeo
Assista agora
https://www.ted.com/talks/shlomo_benartzi_saving_more_tomorrow/transcript?language=pt-br
10 Matemática Financeira Avançada
Dados: 
• n = 14 meses
• PV = R$ 1.200,00
• I = 2% ao mês = 0,02
• FV = ?
Solução: 
• FV = PV . (1 + i . n)
• FV = 1.200 . (1 + 0,02.14)
• FV = 1.200 . (1 + 0,28)
• FV = 1.200 . 1,28
• FV = R$ 1.536,00 (este é o MONTANTE (FV) da aplicação).
Somente os juros: 1.536,00 - 1.200,00 = R$ 336,00 (este é o valor dos 
JUROS da aplicação).
Regime de Capitalização Composta
O regime de capitalização composta é o mais comum em nosso dia 
a dia. Ele é largamente aplicado pelas instituições financeiras e no cálculo 
econômico em geral. Nesse regime, os juros calculados em um determinado 
período são incorporados ao principal. Isso te lembra algo? Os juros do cartão de 
crédito normalmente utilizam essa forma de cobrança. Bom, os juros que foram 
incorporados passam a fazer parte da base para o cálculo dos juros no período 
seguinte – é o que comumente denominamos de juros sobre juros.
Ano Saldo inicial Taxade Juros
Base de 
Cálculo
Juros do 
Período Saldo Final
1 1.000,00 10% 1.000,00 100,00 1.100,00
2 1.100,00 10% 1.100,00 110,00 1.210,00
3 1.210,00 10% 1.210,00 121,00 1.331,00
4 1.331,00 10% 1.331,00 133,00 1.464,00
Tabela 1: Regime de capitalização composta. Fonte: Do autor.
Matemática Financeira Avançada 11
Explicando melhor, podemos dizer que o juro produzido em cada 
período é agregado ao saldo do início desse período, constituindo uma nova 
base para o cálculo do juro no período seguinte. A esse processo de agregação de 
juro aos saldos iniciais de cada período, dá-se o nome de capitalização de juros 
ou, simplesmente, capitalização. Nesse sentido, o capital inicial (C = PV), ao 
final de n períodos de aplicação, a uma taxa de juros i ao período, irá gerar um 
montante (M) ou valor futuro (FV) de:
• M = C . (1 + i)n ou FV = PV . (1 + i)n
Vejamos um exemplo:
Calcule o MONTANTE (FV) de um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 6 meses a uma taxa de juros de 
3% a.m., sabendo-se que a capitalização é mensal.
Dados: 
• PV = 1.000,00
• n = 6 m
• i = 3% a.m.
• FV = ?
Solução:
• FV = PV . (1 + i)n
• FV = 1000 . (1 + 0,03)6
• FV = 1000 . (1,03)6
• FV = 1000 . 1,19405
• FV = R$ 1.194,05
O seguro-desemprego é um auxílio temporário disponibilizado pelo governo 
aos trabalhadores que ficam desempregados. Trata-se de um benefício de 
garantia e assistência ao trabalhador e seus dependentes durante um período 
temporário. O benefício é somente válido para trabalhadores que tenham 
sido demitidos sem justa causa.
Na prática
12 Matemática Financeira Avançada
Valor do salário (média dos 3 últimos meses) Valor da parcela
Até R$ 1.480,25 Salário médio * 0,8
Entre R$ 1.480,26 e R$ 2.647,33 O que exceder a R$ 1.480,25, multiplica-se por 0,5 (50%) e soma-se a R$ 1.184,20
Maior que R$ 2.647,33 R$ 1.677,74
Tabela 2: Seguro-desemprego 2018. Fonte: Do autor.
O trabalhador poderá receber entre 3 e 5 parcelas do benefício, 
porém, a quantidade de parcelas dependerá de quanto tempo ele trabalhou 
com carteira assinada.
Tempo de trabalho Nº de parcelas
6 a 11 meses 3 parcelas
12 a 23 meses 4 parcelas
24 meses ou mais 5 parcelas
Tabela 3: Tempo de trabalho x número de parcelas. Fonte: Do autor.
Situação: Antônio recebia de salário bruto o valor de R$ 2.000,00. Ele 
trabalhou por exatamente 2 anos e tinha plenas condições de recebimento do 
benefício na forma da lei.
 
a) Quanto receberá de seguro-desemprego e por quanto tempo? 
Resolução: 
Antônio irá receber 5 parcelas (trabalhou 24 meses) no valor de R$ 
1.677,74 cada uma.
b) Se Antônio juntar o total recebido de seguro-desemprego e, depois, 
aplicar o total a juros compostos de 1,5% a.m, quanto ele terá ao final 
de 1 ano?
Resolução: 
Antônio irá receber 5 parcelas (trabalhou 24 meses) no valor de R$ 
1.677,74 cada uma. O total será de R$ 8.388,70.
Matemática Financeira Avançada 13
Logo, teremos:
Dados: 
• PV = R$ 8.388,70
• n = 1 ao = 12 meses 
• i = 1,5% a.m.
• FV = ?
Solução:
• FV = PV . (1 + i)n
• FV = 8.388,70 . (1 + 0,015)12
• FV = 8.388,70 . (1,015)12
• FV = 8.388,70 . 1,1956
• FV = R$ 10.029,53
2.1 Desconto
Existem, basicamente, dois tipos de desconto: o desconto comercial 
(bancário ou por fora) e o desconto racional (ou por dentro). Os dois tipos 
podem ser aplicados em operações de juros simples (desconto simples) e de 
juros compostos (desconto composto). No Brasil, as operações de desconto mais 
usuais são:
a) Desconto simples comercial ou bancário (por fora);
b) Desconto composto racional (por dentro).
Desconto Simples Comercial ou Bancário (por fora)
É aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o Valor 
Nominal ou Valor Futuro (FV). É utilizado no Brasil, principalmente, nas 
chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, 
por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. 
• Dc = FV. i.n
Sendo que i representa a taxa de desconto e n o prazo. 
14 Matemática Financeira Avançada
Vejamos um exemplo:
Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtivemos um desconto simples comercial, que 
foi calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título (FV):
a) Qual o valor do desconto (Dc)?
b) Qual o valor atual (PV), em reais? 
Dados:
• FV = R$ 31.104,00
• i = 2% a.m. = 0,02
• n = 2 meses
• PV = ?
Solução:
a) Qual o valor do desconto (Dc)?
• Dc = FV . i.n
• Dc = 31104 . 0,02 . 2
• Dc = R$ 1.244,16  (Valor do desconto simples comercial)
b) Qual o valor atual (PV), em reais? 
• PV= FV – Dc
• PV = 31.104 - 1.244,16 = R$ 29.859,84  (Valor atual do título)
Desconto Composto Racional (por dentro)
O desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido 
segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o 
desconto composto racional é a diferença entre o valor nominal (FV) e o valor 
atual de um título (PV), quitado antes do vencimento. Na prática, o desconto 
“por dentro” ou racional nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de 
um título (FV) e o seu valor atual (PV), determinado com base no regime de 
capitalização composta, portanto, de aplicação generalizada.
• PV = FV
 (1 + i)n
Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtivemos um 
desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 2% a.m.
Matemática Financeira Avançada 15
Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título (FV):
a) Qual o valor atual (PV), em reais? 
b) Qual o valor do desconto (Dr)?
Dados:
• FV = R$ 31.104,00
• i = 2% a.m. = 0,02
• n = 2 meses
• PV = ?
Solução: 
a) Qual o valor atual (PV), em reais? 
• PV = 31.104  PV = 31.104  PV = 31.104
 (1 + 0,02)2 (1,02)2 1,0404
• PV = R$ 29.896,19  (Valor atual do título)
b) Qual o valor do desconto (Dr)?
• Dr= FV – PV
• Dr = 31.104 - 29.896,19
• Dr = R$ 1.207,81  (Valor do desconto composto racional)
3. Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
É muito comum vermos, em dicas básicas de economia, que o 
consumidor tenta sempre fazer suas compras à vista, pois, ao comprar a prazo, 
o consumidor está contraindo uma dívida que deverá ser paga em um período 
predeterminado. É necessário muito cuidado e atenção porque, quando se parcela 
o valor de um produto, além de pagar pelo que está comprando, o consumidor 
também pagará pelo prazo que lhe está sendo concedido. 
16 Matemática Financeira Avançada
Taxa Proporcional
Duas taxas são proporcionais se ambas produzirem o mesmo juro ou 
montante acumulado ao final do período considerado, no regime de juros 
simples. Vale lembrar que essas taxas devem ser aplicadas ao mesmo capital, 
pelo mesmo intervalo de tempo. Assim, considerando o período de um ano, as 
seguintes taxas são proporcionais entre si:
• 1% ao mês  3% ao trimestre  6% ao semestre  12% ao ano.
Exemplo 1
Calcule a taxa semestral proporcional a 6% a.m. Sabemos que 1 semestre = 6 meses, então: 6% (taxa 
mensal) X 6 meses (período proporcional) = 36% a.s.
Exemplo 2 
Calcule a taxa mensal proporcional a 101,22% a.a. Sabemos que 1 ano = 12 meses, então: 101,22 
% (taxa anual) / 12 meses (período proporcional) = 8,435 % a.m.
Taxa Equivalente
Duas taxas de juros são equivalentes se ambas produzirem o mesmo 
juro ou montante acumulado ao final do período considerado, no regime de 
juros compostos. Vale lembrar que essas taxas devem ser aplicadas ao mesmo 
capital, pelo mesmo intervalo de tempo.
Para relacionar, de modo sistemático, essas equivalências, consideram-se 
as seguintes nomenclaturas:
• ia - taxa de juros anual;
• it - taxa de juros trimestral;
• is - taxa de juros semestral;
• im - taxa de juros mensal;
• id - taxa de juros diária.
• (1 + ia)1 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)360
Vejamos um exemplo de cálculo da taxa equivalente de um período menor 
para um período maior:
Calcule a taxa semestral equivalente a 6% a.m.
Matemática Financeira Avançada 17
Dados:
• n = 1 semestre= 6 meses
• i = 6 % a.m.
• (1 + is)
1 = (1 + im)
6
• 1 + is = (1 + 0,06)6
• 1 + is = (1,06)6
• 1 + is = 1,41852
• is = 1,41852 – 1
• is = 0,41852  A taxa semestral equivalente é 
de 41,85 %.
Registre nas teclas financeiras:
• F REG (limpar todos os registros anteriores)
• 100 CHS PV
• 6 n
• 6 i
• FV
• RCL PV + (aparece no visor: 41,85)  A taxa 
semestral equivalente é de 41,85%.
Vejamos um exemplo de cálculo da taxa 
equivalente de um período maior para um período 
menor:
Calcule a taxa mensal equivalente a 101,22% a.a.
Dados:
• n = 1 ano = 12 meses
• i = 101,22 % 
• (1 + ia)1 = (1+im)12
• im = (1 + ia )1/12 - 1
• im = (1 + 1,0122)1/12 – 1
• im = (2,0122)1/12 - 1
Como funciona o 
exemplo acima na 
calculadora HP 12C?
18 Matemática Financeira Avançada
• im = 1,06 - 1
• im = 0,06  A taxa mensal equivalente é de 
6%.
Registre nas teclas financeiras:
• STO EEX (a HP12C deve conter, na parte 
inferior, do lado direito do visor, a letra “c”)
• F REG (limpar todos os registros anteriores)
• 100 CHS PV
• 12 1/x n
• 101,22 i
• FV
• RCL PV + (aparece no visor: 6,00)  A taxa 
mensal equivalente é de 6 %.
Não se preocupe com a possibilidade de 
tornar o seu filho uma pessoa avarenta ou 
materialista demais. É importante falar 
sobre dinheiro desde cedo. Leia o artigo 
proposto e fique por dentro do assunto.
4. Séries Uniformes (HP 12C)
Uma série de pagamentos pode ser usada para 
constituir um capital ou pagar um dívida de forma parcelada, 
denominada Série uniforme de pagamentos. Vamos analisar 
o procedimento de duas séries de pagamentos uniformes, 
em um intervalo de tempo que se refere à taxa de juros 
considerada.
Série uniforme com pagamentos 
postecipados
Série uniforme com pagamentos 
antecipados
Os pagamentos ou recebimentos são 
efetuados no FIM de cada intervalo 
de tempo.
 Os pagamentos ou recebimentos 
são efetuados no IN CIO de cada 
intervalo de tempo.
Quadro 1: Séries uniformes. Fonte: Do autor.
Saiba mais
Como funciona o 
exemplo acima na 
calculadora HP 12C?
Leia agora
https://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/6-dicas-para-ensinar-criancas-a-gastar-poupar-e-investir/
Matemática Financeira Avançada 19
As principais funções financeiras da HP 12C para operações com séries 
uniformes são:
• TECLA PMT (Periodic Payment Amount ) da HP 12C 
É o valor de uma parcela que pode ser adicionada ou subtraída do 
montante a cada período.
• Como operar com o registrador PMT da HP 12C
É preciso, inicialmente, determinar se a série calculada é postecipada 
(configurada por [g] [END]) ou antecipada (configurada por [g] 
[BEG]).
• Desembolsos e recebimentos
Vale a pena lembrar que os desembolsos de caixa devem ser colocados 
com sinal negativo, e recebimentos com o sinal positivo. 
Figura 2: Calculadora HP 12C.
Vejamos um exemplo de série uniforme com pagamentos postecipados: Dado 
PV Achar PMT.
Um par de sapatos está anunciado por R$ 200,00 para pagamento à vista ou em 5 prestações iguais e 
mensais, sendo a primeira para daqui a 30 dias após a compra. Calcule o valor das prestações, sabendo que a 
taxa de juros compostos cobrada pela loja é de 5% a.m.
Dados:
• PV = R$ 200,00
• n= 5 meses
• i = 5 a.m.
• PMT?
BEG END
20 Matemática Financeira Avançada
Solução:
• Como a série calculada é postecipada (Usar [g] [END]).
• Série uniforme com pagamentos postecipados: Dado PV achar 
PMT.
Passos HP-12C Resposta
1º
2º
3º
4º
5º 46,19  Valor da prestação
Tabela 4: Pagamentos postecipados: Dado PV Achar PMT. Fonte: Do autor.
Vejamos um exemplo de série uniforme com pagamentos postecipados: Dado 
FV Achar PMT.
Uma pessoa deseja acumular R$ 100.000,00 aplicando um valor todo mês durante 5 anos, a uma taxa 
de juros de 1,2% ao mês, a fim de realizar a viagem dos seus sonhos. Determine o valor de cada parcela a ser 
depositada mensalmente:
Dados:
• FV = R$ 100.00,00
• n= 5 anos = 60 meses
• i = 1,2 % a.m.
• PMT?
Solução:
• Como a série calculada é postecipada (Usar [g] [END]).
• Série uniforme com pagamentos postecipados: Dado FV achar 
PMT.
f REG
200 PVCHS
5
5
n
i
PMT
Matemática Financeira Avançada 21
Passos HP-12C Resposta
1º
2º
3º
4º
5º 1.147,61  Valor da parcela
Tabela 5: Pagamentos postecipados: Dado FV Achar PMT. Fonte: Do autor.
Vejamos um exemplo de série uniforme com pagamentos antecipados: Dado 
PV Achar PMT.
Um veículo custa, à vista, R$ 50.000,00, mas pode ser adquirido em 12 prestações mensais iguais, sob 
uma taxa de 1,5% a.m., sendo que a primeira prestação é no ato da compra. Determine o valor das prestações.
Dados:
• PV = R$ 50.00,00
• n= 12 meses 
• i = 1,5 % a.m. 
• PMT?
Solução:
• Como a série calculada é antecipada (Usar [g] [BEG]).
• Série uniforme com pagamentos antecipados: Dado PV achar 
PMT.
Passos HP-12C Resposta
1º
2º
3º
4º
5º 4.516,26  Valor da prestação
Tabela 6: Pagamentos antecipados: Dado PV Achar PMT. Fonte: Do autor.
f REG
100000 FVCHS
60
1,2
n
i
PMT
f REG
50000 PVCHS
12
1,5
n
i
PMT
22 Matemática Financeira Avançada
Vejamos um exemplo de série uniforme com pagamentos antecipados: Dado FV 
Achar PMT
Um investidor tem uma promissória para quitar, daqui a 8 meses, no valor de R$ 95.000,00. 
Considerando que um título em renda fixa rende 1,45% a.m., calcule o valor do depósito mensal que deve ser 
realizado, a partir de hoje, em uma instituição bancária, a fim de que tenha o valor de resgate que precisa.
Dados:
• FV = R$ 95.00,00
• n= 8 meses
• i = 1,45 a.m. 
• PMT?
Solução:
• Como a série calculada é antecipada (Usar [g] [BEG]).
• Série uniforme com pagamentos antecipados: Dado FV achar 
PMT.
Passos HP-12C Resposta
1º
2º
3º
4º
5º 11.124,06  Depósito mensal
Tabela 7: Pagamentos Antecipados: Dado FV Achar PMT. Fonte: Do autor.
5. Sistemas de Amortização
Quando fazemos um financiamento de um bem, seja de automóvel ou 
de uma casa, ou um empréstimo para uma empresa, é preciso determinar como 
serão pagos os juros e amortizações devidos ao longo do tempo. No Brasil, os 
sistemas mais utilizados são: 
• Sistema de Amortização Constante (SAC); 
• Sistema de Amortização Francês (Tabela Price).
f REG
95000 FV CHS
8
1,45
n
i
PMT
Matemática Financeira Avançada 23
Vejamos, com mais detalhes, a seguir:
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O financiamento é pago em prestações decrescentes. Cada parcela 
compreende o pagamento de juros e da amortização de parte do principal. Essa 
modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e em financiamentos às 
empresas, por parte de entidades governamentais.
Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma 
amortização. Como todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será 
uniforme, e, portanto, os juros dos períodos também serão uniformemente 
decrescentes ao longo do tempo.
Vejamos um exemplo: 
Um empréstimo no valor de R$ 12.000,00 foi contraído para ser pago pelo SAC em 6 prestações 
mensais, a uma taxa de juros de 2% a.m.
Solução:
• Para montagem da planilha, devemos, inicialmente, calcular o valor 
da amortização, considerando a seguinte fórmula: A = P
 n 
 Sendo:
• A = Amortização
• P = Principal
• n = números de prestações
Resolução:
• A = P
 n
• A = 12.000 / 6
• A = R$ 2.000,00
Figura 3: Amortização do saldo devedor pelo SAC. Fonte: Faz a Conta.
24 Matemática Financeira Avançada
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) 
Esta modalidade de amortização consiste em uma série de pagamentos 
iguais e periódicos. A parcela periódica de pagamentos compreende os juros do 
período mais a amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada, 
principalmente, no crédito direto ao consumidor.
Observe que, em um pagamento parcelado, os juros de cada prestação 
vão diminuindo com o tempo, pois o principal remanescente vai se tornando 
cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela de amortização 
de cada prestação vai aumentando ao longo do tempo.
Há uma grande polêmica relativa à ocorrênciade capitalização 
de juros na Tabela Price, evento proibido no ordenamento legal 
brasileiro. Isso tem gerado questionamentos, sobretudo no campo 
jurídico, resultando em milhares de ações judiciais. Muitos desses 
questionamentos são desprovidos de qualquer fundamento 
matemático. Neste artigo, você verá um tratamento analítico 
do modelo matemático da Tabela Price, que busca trazer uma 
contribuição técnica ao tema.
Vejamos um exemplo: 
Um empréstimo no valor de R$ 12.000,00 foi contraído para ser pago, pela Tabela Price, em 6 parcelas 
ao mês, a uma taxa de juros de 2% a.m.
Solução:
• Como no Sistema de Amortização Francês a prestação é constante, 
utilizamos a fórmula a seguir para o cálculo da prestação:
• P = PV . (1 + i)n . i
 (1 + i)n - 1
Sendo: 
• PV = valor presente
• P = prestação 
• n = número de parcelas 
• i = taxa de juros = 2% = 0,02
Importante
Leia agora
http://lares.org.br/Anais2010/images/468-422-1-RV.pdf
Matemática Financeira Avançada 25
Figura 4: Amortização do saldo devedor pela Tabela Price. Fonte: Faz a Conta.
6. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de 
Retorno
Vamos, agora, conhecer uma das técnicas mais sofisticadas para realizar 
um orçamento de capital (Valor Presente Líquido) e veremos, também, um 
dos métodos mais sofisticados de se avaliar propostas de investimentos: a Taxa 
Interna de Retorno (TIR) ou Intern Rate of Return (IRR).
Valor Presente Líquido
Para Gitman (2010, p.369), o Valor Presente Líquido (VPL) considera:
Explicitamente o valor do dinheiro no tempo. É considerada uma 
técnica sofisticada de orçamento de capital. Todas as técnicas desse tipo 
descontam de alguma maneira os fluxos de caixa da empresa a uma 
taxa especificada. Essa taxa, comumente chamada de taxa de desconto, 
retorno requerido, custo de capital ou custo de oportunidade, consiste 
no retorno mínimo que um projeto precisa proporcionar para manter 
inalterado o valor de mercado da empresa. 
Por sua vez, Casarotto Filho (2011, p.116) define VPL como um cálculo 
simples, que “em vez de se distribuir o investimento inicial durante sua vida 
(custo de recuperação do capital), deve-se somar os demais termos do fluxo 
de caixa para somá-los ao investimento inicial de cada alternativa. Escolhe-se 
aquela que apresentar melhor valor presente líquido”.
O Valor Presente Líquido (VPL) ou Net Present Value (NPV) 
é um dos instrumentos sofisticados mais utilizados para avaliar propostas de 
investimento de capital.
26 Matemática Financeira Avançada
Método Prático:
• VPL = - Investimento Inicial + FC1 + FC2 + … + FCn
 (1 + i)1 (1+i)2 (1+i)n
Sendo:
• FCn = Saldo do fluxo de caixa no período n.
• i = taxa de juros estipulada (taxa mínima de atratividade) ou custo 
de capital do projeto do investimento.
Vejamos um exemplo: 
Uma instituição está analisando a perspectiva de um novo empreendimento, o que permitirá alavancar 
as suas vendas. Sabe-se que o custo de capital da empresa é igual a 10% ao ano, e o fluxo de caixa operacional 
líquido está estimado na Tabela 8, apresentada a seguir: 
Anos 0 1 2 3 4
Valores (2.500.000) 600.000 750.000 800.000 1.500.000
Tabela 8: Fluxo de caixa operacional líquido. Fonte: Do autor.
Figura 5: Fluxo de Caixa. Fonte: Do autor.
Sendo assim, determine o Valor Presente Líquido (VPL).
Solução:
• Substituímos os valores dos respectivos fluxos de caixa na fórmula 
a seguir:
600.000 750.000 800.000 1.500.000
2.500.000
Matemática Financeira Avançada 27
• VPL = - Investimento inicial + FC1 + FC2 + … + FCn
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1+i)n
• VPL = -2.500.000 + 600.000 + 750.000 + 800.000 + 1.500.000
 (1,10)1 (1,10)2 (1,10)3 (1,10)4 
• VPL = -2.500.000 + 600.000 + 750.000 + 800.000 + 1.500.000
 1,1 1,21 1,331 1.4641 
• VPL = -2.500.000 + 545.455 + 619.835 + 601.052 + 1.024.520
• VPL = -2.500.000 + 2.790.862 = R$ 290.862,00
Solução: VPL calculado por meio da HP 12C
Figura 6: Calculadora HP 12C.
Registre nas teclas financeiras:
• F REG (limpar todos os registros anteriores)
• 2500000 CHS g Cfo
• 600000 g CFj
• 750000 g Cfj
• 800000 g Cfj
• 1500000 g Cfj
• 10 i (lembre-se de que a taxa i é de 10%)
CFo NPV CFj
28 Matemática Financeira Avançada
• f NPV (teclar f e, em seguida, NPV)
• Aparecerá, no visor da calculadora, o valor de R$ 290.861,28.
Interpretação do VPL
• O projeto é viável, pois o VPL (considerando o período de 4 anos) 
é maior do que zero (+ R$ 290.862,00);
• O VPL apurado indica que a empresa atingiria, além do mínimo 
esperado (10%), um resultado excedente, em dinheiro, de R$ 
290.862,00.
Taxa Interna de Retorno 
Ela representa a taxa de desconto que iguala, em um único momento, 
os fluxos de entradas com os de saídas de caixa. 
A TIR representa a rentabilidade interna de um projeto, obtida pelo 
desconto do fluxo de caixa observado nos períodos de análise, e que anule o valor 
do investimento inicial. A Taxa Interna de Retorno, que é possível obter com o 
projeto, é equiparável a uma taxa mínima de atratividade.
Esse método consiste em calcular a taxa que anula o valor presente dos 
fluxos de caixa do projeto. Em outras palavras, é a taxa que produz um VPL 
igual a zero e pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:
• 
Normalmente, as empresas utilizam como Taxa Mínima de Atratividade 
(TMA) os custos dos financiamentos ou os índices econômicos, levando em 
conta também o risco dos projetos. A regra de decisão é a seguinte:
• TIR ≥ TMA  projeto é viável;
• TIR < TMA  projeto não é viável.
Observação: A complexidade na determinação da TIR pode ser evidenciada 
observando-se a equação que envolve o seu cálculo, uma vez que consiste na 
resolução de um polinômio de grau "n" (número de períodos no fluxo de 
caixa), por interpolação linear ou por processos matemáticos interativos. Nesse 
sentido, para facilitar esse cálculo, vamos recorrer à calculadora HP 12C.
Matemática Financeira Avançada 29
Vejamos um exemplo: 
Considere o projeto A de uma determinada empresa, conforme o fluxo de caixa visualizado na Figura 
7, para cinco anos.
Figura 7: Fluxo de Caixa. Fonte: Do autor.
a) Calcule a Taxa Interna de Retorno (TIR).
b) Considerando o custo de capital de 15%, o projeto A é aceitável?
Solução: TIR calculada por meio da HP 12C
CFo CFj IRR
Figura 8: Calculadora HP12C.
13.000 9.000 10.000 7.000
24.000
20.000
30 Matemática Financeira Avançada
Registre nas teclas financeiras:
• F REG (limpar todos os registros anteriores)
• 24000 CHS g Cfo
• 13000 g CFj
• 9000 g Cfj
• 10000 g Cfj
• 7000 g Cfj
• 20000 g CFj
• f IRR (teclar f e, em seguida, IRR)
• Aparecerá, no visor da calculadora, o valor de 37,71 (37,71%).
Interpretação da TIR: 
• O projeto é viável, pois a TIR é maior que a TMA (37,71% é 
visivelmente superior a 15%); 
• Se a TIR fosse igual a 15%, também indicaria que o projeto é 
viável, pois o mínimo esperado também teria sido atingido;
• Esse excedente de TIR em relação à TMA (37,71 – 15 = 22,71%) 
não tem significado na análise de investimento; apenas evidencia 
a viabilidade do projeto. É um indicativo da riqueza que está 
sendo agregada.
Matemática Financeira Avançada 31
Síntese
A matemática financeira tem como objetivo principal o estudo do valor do 
dinheiro no tempo. 
Inicialmente, estudamos o regime de capitalização simples e o regime de 
capitalização composta. Para esses dois regimes de capitalização, vimos as relações 
fundamentais entre suas variáveis, questões relativas às taxas de juros e operações de 
descontos.
Abordamos, também, como devemos calcular as prestações de um 
financiamento, dando ênfase à série uniforme de pagamentos. Verificamos os dois 
principais sistemas de amortização de dívidas (Sistema de Amortização Constante e a 
Tabela Price), bem como os modelos de prestação constante e de amortização constante 
por sua relevância na vida cotidiana.
Por fim, conhecemos as ferramentas para análise de viabilidade dosprojetos 
de investimentos, o Valor Presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR).
Esta disciplina oferece a base necessária para o entendimento do assunto, assim 
como disponibiliza algumas formas de cálculos que facilitam suas realizações com 
praticidade, como a utilização da calculadora financeira HP 12C. 
32 Matemática Financeira Avançada
Referências
BENVENHO, A. C. A polêmica da capitalização de juros na tabela price: uma abordagem 
matemática. 10ª Conferência Internacional da Lares. 2010. Disponível em: <http://
lares.org.br/Anais2010/images/468-422-1-RV.pdf>. Acesso em: 17 abr. 2018.
CASAROTTO FILHO, N. Análise de investimentos. 11 ed. São Paulo: Atlas, 2011.
EXAME. Seis dicas para ensinar crianças a gastar, poupar e investir. Disponível em: 
<https://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/6-dicas-para-ensinar-criancas-a-gastar-
poupar-e-investir/>. Acesso em: 17 abr. 2018.
FAZ A CONTA. Empréstimos e Financiamentos na Tabela SAC. Disponível em: 
<fazaconta.com/financiamentos-tabela-sac.htm>. Acesso em: 27 abr. 2018.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12 ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6 ed. Saraiva, 2007.
SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 
TED. Shlomo Benartzi saving more tomorrow. Disponível em: <https://www.ted.
com/talks/shlomo_benartzi_saving_more_tomorrow/transcript?language=pt-br>. 
Acesso em: 17 abr. 2018.
URMINSKY, O; ZAUBERMAN, G. The psychology of intertemporal preferences. 
2014. Disponível em: <http://home.uchicago.edu/ourminsky/Urminsky_
Zauberman_2014.pdf>. Acesso em: 17 abr. 2018.
http://lares.org.br/Anais2010/images/468-422-1-RV.pdf
http://lares.org.br/Anais2010/images/468-422-1-RV.pdf
https://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/6-dicas-para-ensinar-criancas-a-gastar-poupar-e-investir/
https://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/6-dicas-para-ensinar-criancas-a-gastar-poupar-e-investir/
https://www.ted.com/talks/shlomo_benartzi_saving_more_tomorrow/transcript?language=pt-br
https://www.ted.com/talks/shlomo_benartzi_saving_more_tomorrow/transcript?language=pt-br
http://home.uchicago.edu/ourminsky/Urminsky_Zauberman_2014.pdf
http://home.uchicago.edu/ourminsky/Urminsky_Zauberman_2014.pdf
	Introdução
	Objetivos
	1.	Escolha Intertemporal do Consumidor
	2.	Regimes de Capitalização e Desconto
	2.1	Desconto
	3.	Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
	4.	Séries Uniformes (HP 12C)
	5.	Sistemas de Amortização
	6.	Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno
	Síntese
	Referências