MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO
Campus Universitário de Iturama
Matemática Aplicada II
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Docente: 
Prof. Dra. Ulcilea Alves Severino Leal
Discentes:
Augusto Guimarães, Érika M. Silva Lima,
Karolayne Medeiros, Lucas Davi,
Luiz Filho A. Nogueira e Mateus Nunes
Tópicos
1. Teoria
2. Métodos 
3. Definições de Matrizes
4. Exemplos
5. Aplicação nas Ciências Agrárias
 Estudo de matrizes
 James Joseph Sylvester
Fonte: Wikipédia
1. TEORIA: MATRIZES 
SISTEMAS LINEARES
Estudo envolvendo sistemas lineares
Dcocumentos históricos
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Matrizes e sistemas lineares parecem ser assuntos distintos, no entanto a história nos mostra ao contrário, existe na literatura vários exemplos de sistemas de equações lineares em forma matricial.
2. MÉTODOS
Existem vários métodos para resolução de sistemas lineares, tais como:
Regra de Cramer;
Método do Escalonamento (Gauss);
Método da Matriz Inversa;
Fonte: Onze investimentos
REGRA DE CRAMER
Um sistema linear quadrado na forma matricial.
 Considerando “D” o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas.
 “Di” o determinante da matriz modificada através da troca da i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes.
Podemos encontrar o conjunto solução do sistema de “n” variáveis.
ESCALONAMENTO
Poderemos resolver um sistema qualquer na sua forma original ou na forma matricial. 
Para ambos os casos, devemos transformar o sistema em questão em um sistema escalonado equivalente. 
Para isso, realizaremos operações elementares com as linhas do sistema.
Trocar duas (ou mais) linhas de posição. 
Multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha.
MÉTODO DA MATRIZ INVERSA 
Para determinarmos a matriz [X] (que possui as incógnitas procuradas), devemos resolver a expressão matricial:
[A].[X]= [B]
Este método torna-se útil quando o sistema a ser resolvido é quadrado e do tipo SPD. 
Pode ser aplicado com o auxílio de uma planilha eletrônica, como o Microsoft Excel ou similar.
MÉTODO DA MATRIZ INVERSA 
Assim, podemos determinar o valor das incógnitas em [X], de um Sistema Linear.
Através do produto da matriz inversa de [A] 
Pela matriz dos termos independentes [B]
3. DEFINIÇÃO DE MATRIZES
 As matrizes são formadas por dados numéricos, em linhas e colunas.
 Onde é utilizado ¨M¨ para a representação da quantidade de linhas, e a letra ¨N¨ para a quantidade de colunas.
 Diferentes tipos de matrizes.
3. DEFINIÇÃO SISTEMAS LINEARES
 É um conjunto de equações do 1° grau.
 Possui duas ou até mais incógnitas nas suas equações.
 Método da comparação, o método da adição e o método da substituição.
 Pode ser classificado em Três grupos, Sistema possível determinado, Sistema possível indeterminado e Sistema impossível.
4. EXEMPLOS
2-a) 2x+3y=7
 5x-2y=31
1° Passo calcular o determinante da variável:
2° Passo calcular o determinante de X : 
3° Passo calcular o determinante de Y:
 
│2 3│
│5 -2│=-4-(15)=-19
│7 3│
│31 -2│=-14-93=-107
│2 7│
│5 31│=62-35=27
X=-107/-19=5,63
Y=27/-19=-1,42
x=Dx/D
Y=Dy/D 
4° Passo dividir os determinantes:
REGRA DE CRAMER 
PROVA REAL 
Para termos certeza que o valor obtido está correto, podemos fazer a prova real, onde substituímos o x e y por seus respectivos valores, ficando assim:
2x +3y= 7
5x-2y= 31
(2.5,63)+(3.-1,42)= 7
(5.5,63)-(2.-1,42)= 31
Esse é um sistema possível (SPD)
ESCALONAMENTO
EXEMPLO: 
X - 2Y + Z=0
2X - 6Y + 3Z=-1
-3X + 7Y - 4Z=-1
Esse sistema é um sistema 3x3 (3 incógnitas e 3 equações. Para resolver esse sistema vamos diminuir o numero de incógnitas
 -2X+4y-2z=0 *L1.-2 +L2
+ 2x-6y+3z=-1
= 0x-2y+z=-1
 3x-6y+3z=0 *L1.3 +L3
(+)-3x+7y-4z=-1
=y-z=-1
 
=X - 2Y + Z=0 Já escalonamos
 -2Y+Z=-1
 Y-Z=-1
- 2Y + Z=-1
 + 2Y -2Z=-2 *L3.2+L2
= -Z=-3 *.-1
= Z=3
Substituímos o Z na L2 para encontrar o valor de Y
 -2Y+3=-1
-2Y=-4
 Y=2
Agora que já sabemos o valor de Z=3 e de Y=2 basta substituir na L1 que descobriremos o valor de X
 X – 2Y +Z=0 → X – 2.2+3=0 → X=1 Esse sistema é possível SPD
 
Prova real
X – 2Y + Z=0
1 – 2.2 +3=0
-4+4=0
2X -6Y+3Z=-1
2.1-6.2+3.3
2-12+9=-1
-3X+7Y-4Z=-1
-3.1+7.2-4.3
-3+14-12=-1
Escalonamento
5. APLICAÇÃO NAS CIÊNCIAS AGRÁRIAS
 Tanto as matrizes quanto os sistemas de equações lineares estão presentes em todos os ramos do conhecimento bem como nas ciências agrárias. 
Fonte: Campovivo.com.br
 Umas formas de exemplificar o uso de matrizes e sistemas lineares dentro da agronomia pode ser facilmente visto quanto por exemplo utilizamos o GPS.
Fonte: Agropos.com.br
Fonte: Geodata.com.br
CONSIDERAÇÕES FINAIS
	Neste sentido podemos concluir que através do trabalho foi possível constatar que os sistemas de equações lineares e matrizes se originaram da necessidade do homem para resolver os problemas do cotidiano, como em criações de animais e plantações e hoje muito utilizada nas ciências agrárias sendo uma ferramenta de auxílio de resolução. 
	Vale ressaltar a relevância de se conhecer a história das matrizes e sistemas lineares e como saber como saber utilizá-las.
Referências Bibliográficas
 FERREIRA, A,E,G. A importância dos sistemas lineares no ensino médio e a contribuição para a matemática e suas aplicações. Universidade Estadual de Ponta Grossa. Fevereiro, 2013. Acesso em: 16 de fevereiro de 2022.
Stormowski, V. Estudando matrizes a partir de transformações geométricas. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Outubro, 2008. Acesso em: 16 de fevereiro de 2022.
BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Blücher, 1996.  Acesso em: 16 de fevereiro de 2022.
ACHADO, Antônio dos Santos. Sistemas Lineares e Combinatória. São Paulo: Atual, 1986. 
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. v.2. São Paulo: Moderna, 1995. 
POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson, 2004. 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 
LINK DE ACESSO A GRAVAÇÃO DA APRESENTAÇÃO
 https://drive.google.com/file/d/1Esw1bJyhfKHrkGYLU8dmRhkHxpvbG_1Z/view?usp=sharing
FIM