Otimização 2

Prévia do material em texto

(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 
 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
 Este texto estuda um grupo de problemas, conhecido como “problemas de 
otimização”, em tais problemas, quando possuem soluções, é sempre possível encontrar 
uma função onde uma vez determinado o valor mínimo ou máximo absoluto da função, 
também chamados de valores ótimos, obtém-se a solução do problema. Os problemas de 
otimização deste texto são exemplos simples de um grupo tratado na vasta área de 
Matemática Aplicada chamada de Programação Matemática, esta área é subdividida em 
outros ramos, como por exemplo: Programação Linear, Programação Quadrática, 
Programação Inteira, etc. 
 
 Os exemplos seguintes ilustram problemas de otimização e procedimentos usados 
para resolver tais problemas. 
 
 
Exemplo Resolvido 1. Encontrar o número 
positivo que somado com o inverso do seu 
quadrado, dê o menor valor possível. 
Solução. Seja x um número arbitrário, 
então 1 2x é o inverso do seu quadrado. 
Assim, o problema fica resolvido, 
 
encontrando o valor de x que minimiza a função definida por 
 
.
x
1x)x(S
2
+= 
 
 Como 3
2
x
S (x) 1 ,′ = − tem-se S x′ =( ) 0 para x = 23 e S x′ ( ) não existe para 
x 0,= mas apenas 23 é valor crítico de S, pois 0 não pertence ao domínio de S. 
Sendo S x′ <( ) 0 para 0 23< <x e S x′ >( ) 0 para x > 23 , S é decrescente no 
intervalo ( 30, 2  e crescente no intervalo )
3 2, , +∞
 logo S tem valor mínimo 
absoluto em x = 23 , portanto este é o número procurado. 
 
Exemplo Proposto 1. Mostrar que 2 é o número positivo que somado com o dobro do 
seu inverso é o menor valor possível. 
 
Exemplo Resolvido 2. Se numa indústria 
forem produzidas de 200 a 230 unidades 
de uma peça, haverá um rendimento semanal 
de $540,00 por cada unidade. Entretanto se 
forem produzidas mais de 230 peças, o 
rendimento semanal em cada peça será re-
duzido em $2,00 por cada peça a mais. De-
terminar o maior rendimento semanal da 
indústria. 
Solução. Considere x a quantidade de 
peças produzidas semanalmente e R o 
rendimento semanal da indústria. Logo, se 
200 230≤ ≤x então 
 
R(x) 540x= 
 
e se x > 230 o rendimento de cada peça 
será ),230x(2540 −− isto é, 
 2 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO 
 
[ ]R x x x x x se x( ) ( ) .= − − = − >540 2 230 1000 2 2302 
 
Observe que 200 500≤ ≤x pois x ≥ 200 pela formulação do problema e 
.0x2x1000 2 ≥− Assim, resumindo tem-se 
 
R x
x se x
x x se x
( )
,
=
≤ ≤
− < ≤




540 200 230
1000 2 230 5002
 
 
logo R x′ =( ) 0 para x = 250 e R x′ ( ) não existe para x = 230, ou seja, estes são os 
valores críticos de R em [ ]200 500, . Como 
 
R R R e R( ) , ( ) , ( ) ( ) ,200 108000 230 124200 250 125000 500 0= = = = 
 
o maior rendimento semanal para a indústria é de $125.000,00 e é atingido quando forem 
produzidas 250 peças. 
 
 
Exemplo Proposto 2. Numa excursão, cada pessoa pagará $800,00 se forem no máximo 
30 pessoas. Entretanto, se forem mais de 30 pessoas, será reduzido $10,00 do valor por 
cada pessoa excedente. Provar que deverão ir 55 pessoas na excursão, para que haja lucro 
máximo. 
 
 
 É comum haver na relação em que aparece a variável que deverá ser minimizada 
ou maximizada, mais de duas variáveis; neste caso, usando outras relações que também são 
dadas pelo problema, é mais conveniente explicitar a variável (que deverá ser minimizada 
ou maximizada) como função de uma única variável, através da eliminação das variáveis 
excedentes. Por exemplo, se num problema aparece uma relação envolvendo as variáveis 
x, y e z, onde y deverá ser minimizada ou maximizada, então o problema terá que 
fornecer outra relação envolvendo apenas x e z, a fim de dar meios para colocar y como 
função apenas de x ou somente de z. 
 
 
Exemplo Resolvido 3. Achar os pontos 
sobre a curva y x= 2 mais próximos do 
ponto (0,2). 
X
O
2y = x2 d
(x,y)
Y
 
Solução. Para resolver o problema, deve-se 
encontrar o ponto ( , )x y sobre a curva, tal 
que a distância 
 
2 2d x (y 2)= + − 
 
de ( , )0 2 a ( , )x y seja mínima. 
Substituindo x y2 = , acha-se d como 
 
função apenas de y, assim 
 (Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 3 
2d(y) y (y 2) .= + − 
 
 Tem-se 
 
,
)2y(y2
3y2
)y(d
2−+
−=′ 
 
logo d y′ =( ) 0 para 32y ,= como d é derivável, este é seu único valor crítico. Sendo 
d y′ <( ) 0 para 32y< e d y′ >( ) 0 para 
3
2
y ,> d tem mínimo local em 3
2
 que 
também é mínimo absoluto. Portanto, como 3
2
y= corresponde a 3
2
x ,=± os pontos 
( )3 32 2,− e ( )3 32 2, estão mais próximos de ( , )0 2 do que qualquer outro ponto sobre a 
curva y x= 2 . 
 
 Observe que, considerando [ ]D y d y( ) ( ) ,= 2 o valor que minimiza d é o mesmo 
que minimiza D e os cálculos usando a função D são mais simples. Veja o exercício 31 
do exercitando do tópico 1 desta aula. 
 
 
Exemplo Proposto 3. Mostrar que a origem é o ponto da curva 3xy = mais próximo do 
ponto (0,1). 
 
 
Exemplo Resolvido 4. Determinar as 
dimensões do retângulo de maior área, que 
pode ser inscrito no círculo de raio igual a 
3. 
X
O
(x,y)
Y
 
Solução. Considere o círculo com centro na 
origem. Se ( , )x y está sobre a 
circunferência de centro em ( , )0 0 e raio 
3, então 2x e 2y são as dimensões de 
um retângulo inscrito no círculo, logo sua 
área é 
 
A xy= 4 . 
 
Como ,9yx 22 =+ esta relação em x e y 
 
permite expressar a área do retângulo em função apenas de x ou de y. Substituindo y, 
obtém-se 
 
.x9x4)x(A 2−= 
Sendo 
 
,
x9
x836)x(A
2
2
−
−=′ 
 4 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO 
 
tem-se A x′ =( ) 0 para 3 22x=± e )x(A′ não existe se x ≤ −3 ou x ≥ 3. 
Observe que 0 3< <x , a fim de que A x( ) seja a área de algum retângulo inscrito no 
círculo, assim 3 2
2
 é o único valor crítico de A, o qual dá o máximo absoluto de A. 
Substituindo 3 2
2
x= na equação x y2 2 9+ = , encontra-se 3 22y= . Portanto, o 
retângulo procurado é um quadrado de lados iguais a 3 2. 
 
 
Exemplo Proposto 4. Provar que o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito 
num círculo de raio 3, é eqüilátero de lados iguais a .33 
 
 
Exemplo Resolvido 5. Um muro com m 
metros de altura é paralelo a uma parede e 
está à distância d metros da mesma. Se um 
refletor deve ser colocado no solo, a fim de 
atingir a parede com um raio luminoso; 
encontrar o ponto em que o refletor deve ser 
colocado, para que o raio luminoso tenha o 
menor comprimento possível e o 
comprimento do raio. 
 
y
x
m
c
d x-d
 
Solução. Sejam x à distância do 
refletor até a parede e y a altura em que o 
raio luminoso atinge a parede. Então, o 
comprimento c do raio luminoso é 
 
c x y= +2 2 . 
 
Como o triângulo de lados x d− e m é 
semelhante ao triângulo de lados x e y, 
tem-se 
 
.
y
x
m
dx =− 
 
Substituindo y desta última relação em 
2 2c x y ,= + acha-se c como função só 
de x, isto é, 
 
2
2 mxc(x) x .
x d
 = +   −
 
 
 Seja [ ]C x c x( ) ( )= 2 (veja observação após a solução do exemplo 3 – pág. 231), 
então 
 
3 2
3
2x (x d) m d
C (x) ,
(x d)
 − −  ′ =
−
 
 
logo C x′ =( ) 0 para x = 0 e x d dm= + 23 e C x′ ( ) não existe para x d= . Como o 
problema exige que x d> , d dm+ 23 é o único valor crítico de C, no qual C tem o seu 
 (Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 
valor mínimo absoluto. Portanto, c tem mínimo absoluto em 3 2dmd + , isto é, o 
refletor deve ser posto a dm23 metros do muro, para que o raio luminoso tenha o menor 
comprimento possível que é de 
 
( )3 2c d dm+ = ( )2 32 2d3 m1m m d m + +   metros. 
 
 
Exemplo Proposto 5. Um fio de comprimento C vai ser cortado em duas partes, uma será 
dobrada na forma de circunferência e a outra na forma de triângulo eqüilátero. Mostrar que 
a circunferência deverá ter 
π+
π
39
C3 de comprimento e o triângulo 
π+ 39
C9 de perímetro, 
para que a soma das áreas das figuras seja menor possível. 
 
 
 
EXERCITANDO 
 
1. Encontre o número negativo que somado com o seu inverso, seja o maior valor possível. 
 
2. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível com 4 cm de perímetro. 
 
3. Encontre os dois números cuja soma seja igual a 12 e o produto seja maior possível. 
 
4. Seja R a região limitada pela parábola y x= 2 e a reta y = 4. Determine as dimensões 
do triângulo com base paralela ao eixo X, de maior área possível e que pode ser inscrito 
na região R. 
 
5. Encontre os pontos da curva dada, mais próximos do ponto indicado: 
 (a) xy A= 1 2 2, ( , ); (b) y x A2 2 1 0 4− = , ( , ). 
 
6. Mostre que a elipse de maior área circunscrita num retângulo de base e altura iguais a 4 
e 2, respectivamente, tem semi-eixos iguais a 2 2 e 2 . Sugestão: use que a área 
da elipse de semi-eixos a e b é igual a πab. 
 
7. Ache as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito num 
semicírculo de raio igual a 2. Resolver o problema trocando o semicírculo por uma 
semi-elipse de semi-eixos a e b. 
 
8. Determine o triângulo isóscele de maior área inscrito num círculo de raio igual a 3. 
Resolver o problema trocando o círculo por uma elipse de semi-eixos a e b, sendo o 
lado do triângulo, diferente dos outros dois, paralelo a um dos eixos da elipse. 
 
9. Considere uma reta contendo ( , )11 e interceptando os semi-eixos positivos. Ache a reta 
 6 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO 
 
de forma que a área do triângulo determinado pela reta e os eixos coordenados seja 
mínima. Mostre que essa é a reta contendo (1,1) que está à distância máxima da 
origem. 
 
10. Um texto vai ser impresso numa folha de papel retangular com a cm2 , as margens 
inferior e superior terão b cm e as margens laterais c cm. Ache as dimensões da 
folha de papel, para que a área a ser impressa seja maior possível. 
 
11. Um retângulo está inscrito num triângulo de base b e altura h. Se esse retângulo é o 
de maior área possível e tem um lado sobre a base do triângulo, determine suas 
dimensões, quando o triângulo é: 
 (a) Eqüilátero (b) Retângulo; (c) Qualquer. 
 
12. Um terreno retangular vai ser murado pelo seu proprietário e um de seus vizinhos vai 
pagar um dos lados. Se as despesas são de $8,00 por metro para o lado paralelo ao do 
vizinho e $5,00 por metro para os lados restantes, ache as dimensões do terreno de 
maior área possível que pode ser murado pelo proprietário com $800,00. 
 
13. Uma janela terá a forma retangular encimada por uma semi-elipse. Se p e h são o 
perímetro da parte retangular e a altura máxima da janela, respectivamente, determine 
as dimensões do retângulo e o semi-eixo vertical da semi-elipse, para que penetre o 
máximo de luz pela janela. 
 
14. Uma pessoa encontra-se numa embarcação a 8 km do local mais próximo de uma 
praia e ele deseja chegar a um lugar da praia distante 208 km de onde se encontra. 
Se a embarcação desenvolve 6 km h e a pessoa pode andar 8 km h, determine onde 
ela deve desembarcar na praia para chegar ao menor tempo possível. 
 
15. Considere um fio na forma de Y suspenso nos pontos A e B, se a distância de A até 
B é de d metros e a extremidade inferior do fio está h metros da reta contendo A e 
B, determine o fio de menor comprimento possível. 
 
16. Quais são as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa de menor área possível e que 
tenha volume igual a V. 
 
17. Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível, que pode ser 
inscrito num cone cuja base tem raio e altura iguais a r e h, respectivamente. 
 
18. Encontre as dimensões do cilindro circular reto de área máxima, que pode ser inscrito 
numa esfera de raio igual a r. 
 
19. Determine as dimensões do cone de máximo volume, que pode ser inscrito numa esfera 
de raio igual a r. 
 
20. A resistência de uma viga, cuja seção transversal será retangular, devera variar na razão 
direta da raiz quadrada da largura pela altura. Se a viga deverá ser serrada de um 
 (Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 7 
tronco de árvore cilíndrico, ache as dimensões da seção transversal da viga mais 
resistente possível. 
 
21. Uma indústria deseja fazer embalagens na forma de caixa: 
 (a) Se as partes laterais e o fundo serão feitos com uma lâmina quadrada de 30 cm de 
lados, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, ache o 
comprimento do lado do quadrado que deve ser cortado, para que seja obtido uma 
embalagem de maior volume possível; 
 (b) Se as caixas terão tampa e serão feitas da mesma forma e com a mesma lâmina de 
(a), só que cortando retângulos iguais em cada canto, encontre as dimensões do 
retângulo que deve ser cortado, para que seja obtida uma embalagem de maior 
volume possível; 
 (c) Se as caixas não terão tampa e serão feitas com uma lâmina quadrada, cortando 
quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, determine o comprimento dos 
lados da lâmina e do quadrado a ser cortado, para que seja obtida uma caixa de 
volume igual a V com o menor custo possível; 
 (d) Se as caixas terão tampa e serão confeccionadas com uma lâmina quadrada, 
cortando retângulos iguais nos cantos, determine o comprimento dos lados da 
lâmina e as dimensões do retângulo a ser cortado, para que seja obtida uma caixa 
de volume igual a V com o menor custo possível. 
 
22. Uma viga deverá passar horizontalmente por dois corredores que se encontram em 
ângulos retos e de larguras iguais aos valores a e b. Mostre que a maior viga deve 
ter comprimento igual a ( ) ( ) .b/a1ba/b1a 3232 +++ 
 
23. Uma viga de comprimento igual a c é arrastada por uma extremidade ao longo de um 
corredor de largura a e que se encontra com outro corredor perpendicularmente. 
Determine a menor largura do outro corredor para que a viga possa passar. 
 
24. (Lei da Refração de Snell). Suponha que um raio de luz vai do ponto A ao ponto B, 
onde A e B estão em meios diferentes, e v e vA B são as velocidades da luz nos 
dois meios. Se M é o ponto onde o raio de luz muda de meios, mostre que a luz 
percorre o caminho de A até B, no menor tempo possível se v vB Asen sen ,α β= 
onde α está subtendido pelo raio de luz e a vertical por M no meio onde se 
encontra o ponto A e β está compreendido entre o raio de luz e a vertical por M no 
meio onde se encontra o ponto B. Mostre ainda a lei da reflexão, isto é, o ângulo de 
incidência do raio luminoso é igual ao ângulo de reflexão. 
 
 
RESPOSTAS (Exercícios Ímpares) 
 
 1. ;1− 3. 6 e 6; 5. (a) ( , )− −1 1 se x < 0 e ( , )11 se x > 0, (b) ( )± 3 2, ; 
 7. 2 2 e 2 , e 2a e ;
2
b 9. x y 2;+ = 11. (a) 
2
b e ,
2
h (b) 
2
b e ,
2
h (c) 
2
b e ;
2
h 
 8 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO 
 
13. As dimensões do retângulo são 
)4(2
h
4
p
π−
π− e p h ,
4 2(4 )
π+
− π
 e o semi-eixo da elipse é 
;
)4(2
)8(h
4
p
π−
π−
+− 
15. As partes iguais têm d m
3
 e a parte de baixo dh m;
2 3
− 
17. O raio é 2r
3
 e a altura é ;
3
h 19. O raio é 2 2r
3
 e a altura é ;
3
r4 
 
21. (a) 5 cm, (b) 5 cm e 10 cm, (c) os lados da lâmina são 32 2V e os lados do 
quadrado são ,
4
V3 (d) os lados da lâmina são ,V32
9
V4 33 + as dimensões do 
retângulo são 3
9
V2 e ;
22
V3
9
V2
3
3 + 
 
23. ( )3 2 2 3 2 3 3c c a a .− +