GEOMETRIA ESPACIAL

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GEOMETRIA ESPACIAL – ESFERA
Superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto de pontos P do espaço que distam r do
ponto O. Esfera de centro O e raio r é o conjunto de pontos P do espaço que têm a distância
menor ou igual ao raio r ou o sólido gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um
eixo que contém o diâmetro. 
ELEMENTOS
Eixo (e): reta que passa pelo centro da esfera 
Polos: interseções da superfície esférica com o eixo (P1 e P2)
Equador: circunferência máxima perpendicular ao eixo
Paralelo: circunferência paralela ao Equador
Meridiano: circunferência máxima que passa pelo eixo
SECÇÃO: Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Sendo r o raio da esfera, d a
distância do centro ao plano secante e s o raio da seção, vale a relação mostrada abaixo.
 
OBS.: Se o plano secante passa pelo centro da esfera, a seção é chamada de círculo máximo.
VOLUME
Será utilizado o princípio de Cavalieri (matemático italiano). No século XVII, ele estabeleceu
que dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo volume, se as secções planas de igual
altura tem a mesma área.
Vamos calcular o volume da esfera utilizando o princípio de Cavalieri a partir de um cilindro
eqüilátero (h = 2r), onde se destacam dois cones cujas bases coincidem com as bases do
cilindro.
Observe a esfera de diâmetro 2r e o cilindro de altura e diâmetro de base também igual a 2r. O
plano u e t são paralelos. O plano u intersecta a esfera e o cilindro a uma mesma distância d.
Na esfera determina uma secção de raio s. No cilindro determina uma coroa circular. Repare
que as áreas da secção e da coroa são iguais. Logo, pelo princípio de Cavalieri o volume da
esfera será igual ao volume da parte pintada exterior ao cilindro. A parte não pintada do cilindro
é um cone duplo. Logo:
3
r.4
3
r.2r.6
3
r.2
r.2V
3
)r(r.
2)r2(r.V
3
'hr.
2hr.V
V.2VV
3333
3
esfera
2
2
esfera
2
2
esfera
conecilindroesfera
ππππ
π
π
π
π
π






ÁREA
Observe a decomposição da esfera em n pirâmides, cada uma com vértice no centro da esfera
e tendo como altura o raio da esfera. Repare que a superfície da esfera fica dividida em áreas
das bases das pirâmides A1, A2, ...,An cuja soma será a área da esfera. Da mesma forma a
soma dos volumes das pirâmides será aproximadamente o volume da esfera.
 
  23
esfera
esfera
3
n21
3
n21
esfera
n21
esfera
n321esfera
r4
r3
r43
A
3
A.r
3
r4
3
A...AAr
3
r4
3
r.A
...
3
r.A
3
r.A
V
)rh(
3
h.A
...
3
h.A
3
h.A
V
V...VVVV










FUSO ESFÉRICO
É a superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência que gira α graus em torno do
eixo que contém o diâmetro (0º < α  360º). Se o ângulo α = 360ºº o fuso transforma-se na
superfície da esfera. De modo geral a área do fuso pode ser calculada por uma regra de três.
CUNHA ESFÉRICA
É o sólido gerado pela rotação de um semicírculo que gira α graus em torno de um eixo que
contém seu diâmetro (0º < α  360º). No caso de α = 360ºº o volume da cunha será o volume
da esfera. Analogamente uma regra de três resolvem a maioria dos problemas.
OBS: Área da cunha: A cunha = A fuso + A círculo máximo
QUESTÕES
1) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 2cm324 . 
2) Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de 2cm16 de área.
Determine o raio da esfera, sabendo que o plano dista 3 cm do centro da esfera.
3) FGV) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB
sob um ângulo α de 72º, como mostra a figura. Calcule a área do fuso esférico
determinado por α. 
4) (UNAERP-SP) Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de
uma esfera de 6m de diâmetro e um ângulo diedro de 36º. 
 5) (UNITAU) Uma esfera esta inscrita em um cubo de aresta 4cm. Calcule a área da
superfície esférica e o volume da esfera.
6) (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está completamente cheia de
massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16cm. O número de doces em for-
mato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100
7) (PUC) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3cm, com água. Se mergulharmos
inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água subirá cerca de
1,2 cm. O raio da bolinha vale, aproximadamente:
a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm
8) Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm, contém perfume em 1/4
de seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 mL, do perfume, das al-
ternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume
será: (considere  = 3)
a) 16 dias b) 32 dias c) 26 dias d) 54 dias e) 43 dias
9) (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o
raio da esfera inscrita nesse cone, em centímetros?
10) (MACK) Qual a razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero e a superfície es-
férica nele inscrita?
11) Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a
área da superfície? 
12) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com
altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do
cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas.
13) Calcule, em cm3, o volume de um dado fabricado a partir de um cubo de aresta
igual a 4 cm, levando em consideração que os buracos representativos dos números,
presentes em suas faces, são semi-esferas de raio igual a 3 7
1

cm.
14) Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de
raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original? 
15) (UERJ) Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas
seis faces numeradas de 1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixados por semi-esferas idênticas
retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume
total do cubo.
Considerando  = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das
semi-esferas, expressas na mesma unidade, é igual a:
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 10
Respostas
1) 972; 2) r = 5; 3) 20º; 4) 3,6; 5) A=16 e V=32/3; 6) D; 7) C; 8) B; 9) r=10º/3
10º) 1; 11) Multiplica por 8 e por 4; 12) ½; 13) 62 cm³; 14) R = 10º; 15) D
CILINDROS - RESUMO
1. Definição. Cilindro é o sólido convexo que: 
I - Possui duas faces distintas, circulares de mesmo raio e paralelas chamadas
bases.
II - A superfície lateral é formada por segmentos congruentes e paralelos ao
eixo que une os centros das bases.
2. Elementos do Cilindro 
Bases - C1 e C2
Raio - r
Geratriz - g
Altura - h
Eixo - OO'
Seção Transversal - S'
Seção Reta - S''
Seção Meridiana - MNPQ
3. Cilindro Reto e Cilindro Oblíquo. O cilindro é chamado reto no caso em
que suas geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Em caso
contrário é chamado oblíquo.
OBS. O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por
ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. As-
sim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado BC gera o cilindro mostrado.
4. Cilindro Eqüilátero. É o cilindro em que a seção meridiana é um quadrado.
5. Área do Cilindro e Volume
Área lateral - é a área da superfície lateral.
Área total - é a soma da área lateral com a área das bases
Volume - é o produto da medida da área da base pela medida de sua altura.
 
h.r.h.A)isma(PrVolume:Volume
hrr..2r.2h.r..2totalÁrea
r.A:baseÁrea
h.r..2A:lateralÁrea
2
b
2
2
b
l








.
QUESTÕES
1) (UFRN) Se um cilindro eqüilátero mede 12 m de altura, então o seu volume em m3 vale:
a) 144 b) 200 c) 432 d) 480 e)600
2) Um reservatório de combustível tem a forma de um cilindro de revolução cuja altura é igual a
5/3 do raio da base. Se sua área lateral mede 30 m2, calcule o volume desse cilindro. 
3) (MACK-SP) A área total de um cilindro vale 48 m2 e a soma das medidas do raio da base
e da altura é igual a 8 m. Então, em m3, o volume do solido é:
a) 75 b) 50 c) 45 d) 25 e)
15
4) Um cilindro reto tem a altura igual ao diâmetro da base. Se o volume desse cilindro é
54 cm3, determine a área total desse cilindro.
5) A figura mostra uma piscina com água até o nível indicado.
A cada 400 litros de água, serão adicionados 20g de um certo produto químico. 
Determine quantos gramas de produtos deverão ser colocados. Use  = 3,14.
6) Abaixo temos um cilindro circular reto e a planificação de sua superfície lateral. 
Determine o volume desse cilindro.
7) (UFMG) Dois cilindros têm áreas laterais iguais. O raio do primeiro é igual a um terço do raio
do segundo. O volume do primeiro é V1 e o volume do segundo é V2. Portanto V2 é igual a:
a) 13
1
V b) 1V c) 13
2
V d) 12V e) 13V
8) A embalagem de certo produto era uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 12 cm de diâmetro
de base. O fabricante substituiu essa embalagem por outra lata cilíndrica do mesmo material e
com o mesmo volume da antiga. Se o diâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm, calcule
a sua altura.
9) (UF-AL) Na figura abaixo aparecem duas vistas de um tanque para peixes, construídas em
uma praça pública. Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura de 1,2 m e raio da
base com medidas 3 m e 4 m. Se, no momento, a água no interior do tanque está alcançando
4
3
de sua altura, quantos litros de água há no momento? (Use π = 
7
22
).
10) (UFPE) Uma piscina circular tem 5m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado
a água, na razão de 25g por 500 litros de água. Se a piscina tem 1,6m de profundidade esta
totalmente cheia, quanto do produto deve ser misturado a água? (Use 1,3 )
a) 1,45 kg b) 1,55 kg c) 1,65 kg d) 1,75 kg e) 1,85 kg
11) (UNESP) A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex de uma fábrica
de preservativos cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, vazaram 12 mil
litros de látex. Considerando a aproximação 3 , e que 1000 litros correspondem a 1m3, se
utilizássemos vasilhames na forma de um cilindro circular reto com 0,4m de raio e 1m de altura,
a quantidade de látex derramado daria para encher exatamente quantos vasilhames? 
a) 12 b) 20 c) 22 d) 25 e) 30
12) (UCS) A superfície lateral de embalagens em forma de cilindro circular reto é
confeccionada unindo–se dois lados opostos de folhas de flandres retangulares de 12
cm x 18 cm. Conforme os lados que são unidos, obtêm-se embalagens de alturas diferentes.
Qual é a razão entre o volume V1 da embalagem de altura menor e o volume V2 da embalagem
de altura maior? 
a) 1 b) 2 c) 
2
1
 d) 
2
3
 e) 4
13) (CEFET) Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como mostra a figura. Entre
um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o for-
mato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e volume de 126 cm3. Com base nesses
dados, pode-se dizer que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será igual a: (use
14,3 )
a) 36 b) 41 c) 12 d) 17 e) 48
14) (MACK) Um cilindro reto C1 tem altura igual ao diâmetro da base e um cilindro C2, também
reto, tem altura igual a oito vezes o diâmetro da base. Se a razão entre os volumes de C1 e de
C2 é 
27
1
, então a razão entre os respectivos raios é: 
a) 
9
1
 b) 
27
2
 c) 
27
1
 d) 
3
1
 
e) 
3
2
Respostas: 1) C; 2) 45; 3) C; 4) 54; 5) 942 G; 6) V=40º0º0º cm³; 7) E; 8) 16 cm; 9)1980º0º L;
10º) B; 11) D; 12) D; 13) B; 14) E.
PRISMAS
1. Definição Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes
denominadas bases e as demais faces em forma de paralelogramos.
 
2. Elementos 
BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE.
FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´; BCB´C; CDC´D´; …… 
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´ e EE´ 
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma 
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ; D´E´ e E´A´ 
3. Nomenclatura O nome do prisma dá-se através da figura da base. 
• Prisma Triangular: As bases são triangulares. 
• Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. 
• Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos. 
4. Classificação De acordo com sua inclinação um prisma pode ser:
Observações:
1) No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura.
2) Se o polígono da base for regular e o prisma for reto, ele será chamado de Prisma Regular.
5. Fórmulas: Considere um prisma regular com n lados da base.
QUESTÕES
1) Calcule a área total de um prisma reto
de altura 12 cm e base quadrada, com
aresta 5 cm.
2) Calcule a área lateral e o volume de um
prisma reto de base triangular, cujas arestas
da base medem 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja
aresta lateral mede 20 cm.
3) Num prisma reto, cada uma das bases é
um retângulo em que um lado é o dobro do
outro. A altura do prisma mede 12 cm e a
área total, 352 cm2. Calcular as dimensões
do prisma.
4) Um prisma regular triangular tem 10 cm
de altura. Sabendo que a medida da aresta
da base é de 6 cm, determine a área total
do prisma.
5) Em um prisma triangular regular, a área
da base é 39 m2 e a área lateral é o
triplo da área da base. Calcular o volume
desse prisma.
6) Calcular a área total de um prisma
quadrangular regular de volume 54 cm3,
sabendo que a aresta lateral desse sólido
tem o dobro da medida da aresta da base.
7) Se um prisma hexagonal regular de
altura 6 cm possui volume igual a
31728 cm³, calcule a área lateral.
8) Calcular o volume de um prisma qua-
drangular regular cuja área total tem 144
m², sabendo-se que sua área lateral é igual
ao dobro da área da base.
9) Calcule o volume de um prisma
hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja
área lateral é igual a área da base.
10) Um prisma hexagonal regular tem a
área da base igual a 396 cm². Calcular a
área lateral do prisma sabendo que sua al-
tura é igual ao apótema da base.
11) Uma indústria produz e comercializa
um recipiente, sem tampa, no formato de
um prisma reto de altura 8m, cuja base é
um hexágono regular de lado 2m. O custo
de produção de cada m² desse recipiente é
de R$ 2,00. Sabendo-se que a indústria
agrega um lucro de 15% na venda de cada
unidade, qual é o valor de venda de cada
recipiente? (Use 7,13  ).
12) Calcular o volume de um prisma trian-
gular regular de cm35 de altura, sa-
bendo-se que a área lateral excede a área
da base de ²cm356 .
Respostas:
1) 290º cm² 2) Al = 480º e V = 480º 3) 4 cm e 8 cm 4) 18(10º + 3 ) 5)
40º,5 6) 90º 7) 288 3 8) 10º8 9) 1728 3 10º) 192 3 11)
R$ 244,26 12) 11760º ou 60º
Paralelepípedo retângulo
Diagonal do paralelepípedo
1º) Diagonal da face A5A6A7A8
²b²a²d 
2º) Diagonal do Paralelepípedo
²c²b²aD²c²b²a²D².b²a²d,Mas²c²d²D 
Área total e Volume do Paralelepípedo
c.b.aV 
)c.bc.ab.a.(2A t 
Cubo
Chamamos de cubo ao paralelepípedo retângulo que tem todas as faces quadradas.
Diagonal do cubo
.3.aD²a.3D²a²a²aD
:totanPor.cbatemoscuboNo²c²b²aD:pedoParalelepídoDiagonal
cubocubocubo 
Área total e Volume do Cubo
²a.6A²)a.3.(2A)a.aa.aa.a.(2A
:totanPor.cbatemoscuboNo)c.bc.ab.a.(2A:pedoParalelepídototalÁrea
³.aVa.a.aV
:totanPor.cbatemoscuboNoc.b.aV:pedoParalelepídoVolume
)cubo(t)cubo(t)cubo(t
t
cubocubo




QUESTÕES
1) Num cubo, a soma das medidas de
todas as arestas é 48 cm. Calcule a medida
da diagonal desse cubo.
2) (PUCCAMP-SP) Usando uma folha de
latão, deseja-se construir um cubo com
volume de 8 dm3. A área da folha
utilizada para isso será, no mínimo:
a) 20cm2 b) 40cm2 c)
240cm2 d) 2000cm2 e)
2400cm2
3) (ACAFE-SC) Num paralelepípedo reto,
as arestas da base medem 8dm e 6dm e a
altura mede 4dm. Calcule a área da figura
determinada pela diagonal do
paralelepípedo, com a diagonal da base e a
aresta lateral.
a) 20 dm2 b) 24 dm2 c) 32 
dm2 d) 40 dm2 e) 48 dm2
4) Um cubo de aresta 4 m está
completamente cheio com certo líquido.
Todo este líquido será transportado para
outro recipiente na forma de um
paralelepípedo retângulo com arestas da
base medindo 2 m e 8 m. Qual a altura que
o líquido atinge no paralelepípedo
retângulo?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
5) Dois blocos de alumínio, em forma de
cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm
são levados juntos à fusão e em seguida o
alumínio líquido é moldado como um
paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm
e x cm. O valor de x, em centímetros, é:
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
6) (UFMG) Considere um reservatório, em
forma de paralelepípedo retângulo, cujas
medidas são 8 m de comprimento, 5 m de
largura e 120 cm de profundidade.
Bombeia-se água para dentro do
reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa
de 2 litros por segundo. Quantos minutos
são necessários para se encher
completamente esse reservatório?
7) Uma piscina em forma de um
paralelepípedo retângulo de 10,0 m x 15,0
m e fundo horizontal está com água até a
altura de 1,5 m. Um produto químico em pó
deve ser misturado à água à razão de um
pacote para cada 4500 litros. O número de
pacotes a serem usados é:
a) 25
b) 50
c) 100
d) 250
e) 500
8) Em um paralelepípedo retângulo, de 15
cm de altura o comprimento da base mede
o dobro da largura. Sabendo que a área to-
tal desse sólido mede 424 cm², calcule as
dimensões da base. 
 
9) Um armário, com a forma de um parale-
lepípedo de dimensões 0,5 m, 2,5 m e 4 m,
deve ser pintado. O rendimento da tinta
empregada é de 5 m² por litro. Determine a
quantidade de tinta necessária para pintar
toda a parte interna do armário.
 
10) As dimensões a, b e c de um paralele-
pípedo retângulo são proporcionais aos nú-
meros 2, 4 e 7. Determine essas dimen-
sões sabendo que a área total desse sólido
é de 900cm².
11) Um paralelepípedo retângulo tem
142cm2 de área total e a soma dos
comprimentos de suas arestas vale 60cm.
Sabendo que seus lados estão em
progressão aritmética, eles valem em
centímetros:
a) 2, 5, 8 b) 1, 5, 9 c) 12, 20, 28 
d) 4, 6, 8 e) 3,5,7
12) Para fazer uma caixa sem tampa com
um único pedaço de papelão, utilizou-se
um retângulo de 16 cm de largura por 30
cm de comprimento. De cada um dos
quatro cantos desse retângulo foram
retirados quadrados de área idêntica e,
depois, foram dobradas para cima as abas
resultantes. Determine a medida do lado do
maior quadrado a ser cortado do pedaço de
papelão, para que a caixa formada tenha
área lateral de 204 cm2.
Respostas:
1) 4 3 2) E 3) A 4) C 5) D 6) 40º0º 
7) B 8) 4 cm e 8 cm 9) 5,3 litros 10) 6, 
12 e 21 11) E 2) 3
	Superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto de pontos P do espaço que distam r do ponto O. Esfera de centro O e raio r é o conjunto de pontos P do espaço que têm a distância menor ou igual ao raio r ou o sólido gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.