Lista de Exercícios - Resistência Dos Materiais Mecânicos - Com Resposta

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Resistência Dos Materiais Mecânicos
Tema 1 - Propriedades Geométricas de Área
MODULO 1 - Calcular o centroide de uma área
1. Considere uma área na forma de um retângulo de dimensões 100mm (base) e 50mm (altura). Em relação ao par de eixos xy mostrado na figura, as coordenadas do centroide da área estão corretamente expressas na opção:
A) C (50,25)mm
B) C (25,50)mm
C) C (0,0)mm
D) C (50,50)mm
E) C (25,25)mm
A alternativa correta é "A".
O retângulo apresenta dois eixos de simetria (passando pelos pontos médios da base e da altura). Assim, o seu centroide encontra-se na metade da base e na metade da altura, ou seja, 50mm e 25mm. Considerando o par de eixos adotado, C(50,25)mm.
2. Seja uma seção retangular de dimensões 80mm (base) e 40mm (altura). Em relação ao par de eixos xy (passando nos pontos médios da base e da altura) mostrado na figura, quais as coordenadas do centroide da área?
A) C(40,20)mm
B) C(20,40)mm
C) C(20,20)mm
D) C(0,0)mm
E) C(40,40)mm
A alternativa "D" está correta.
O retângulo apresenta dois eixos de simetria. Assim, o seu centroide encontra-se no encontro desses eixos. Os eixos x e y adotados são os de simetria. Logo, o centroide está na origem, isto é, C(0,0)mm
3. Um estagiário de Engenharia necessita determinar o centroide da área (quarto de círculo de raio R) da figura a seguir, tomando-se os eixos x e y como referência.
A) C (0, )
B) C (0,0)
C) C ( ,0)
D) C (, )
E) C (0, )
A alternativa correta é "D".
O quarto de círculo possui um eixo de simetria que é a reta bissetriz dos eixos. Assim, o centroide está sobre essa bissetriz. Como o ângulo é de 45º, o centroide é equidistante dos eixos x e y (triângulo isósceles – ver figura). Uma vez que, para o semicírculo, o centroide está a uma distância de do diâmetro, é possível concluir que . Observe a figura a seguir:
4. Considere um perfil na forma de um , conforme a ilustração a seguir. As abas superior e inferior têm, respectivamente, 20cm e 10cm e estão simetricamente dispostas em relação à alma do perfil de espessura 2cm. A ordenada do centroide dessa área é:
A) 10cm
B) 12cm
C) 8,5cm
D) 7,5cm
E) 7cm
A alternativa correta é "C".
Fazendo a decomposição do perfil em três retângulos: superior, base e vertical, e determinando a ordenada dos seus centroides em relação ao par xy e suas áreas, tem-se:
Retângulo horizontal base: e 
Retângulo aba superior: e 
Retângulo vertical: e 
A partir da equação 4:
5. Considere as afirmativas a seguir:
I- O centro de massa e o centroide de uma superfície sempre coincidem.
II- O centroide de uma superfície sempre pertencerá à superfície.
III Quando uma superfície apresenta um eixo de simetria, o centroide sempre estará sobre esse eixo.
IV - As coordenadas do centroide de uma área independem dos eixos adotados como referências.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa II
B) Apenas a afirmativa III
C) Apenas as afirmativas II e III
D) Apenas as afirmativas I, II e III
E) Apenas as afirmativas I, II e IV
A alternativa correta é "B".
I – O centro de massa e o centroide coincidem quando a superfície é constituída de material cuja massa específica é constante.
II – O centroide pode estar ou não na superfície, dependendo da distribuição da área.
IV – As coordenadas do centroide dependem do referencial adotado. O ponto físico não muda de posição, mas suas coordenadas podem variar para cada par de eixos xy adotado.
6. Considere uma seção reta de uma viga, representada pela figura. A expressão matemática associada é dada por , .
Determinando a abscissa do centroide da seção, o valor encontrado é:
A) 150mm
B) 180mm
C) 250mm
D) 300mm
E) 320mm
A alternativa correta é "E".
1. (IBFC ‒ EBSERH ‒ 2020 ‒ Engenheiro Mecânico)
O uso de integrais no desenvolvimento de componentes mecânicos permite que o engenheiro possa obter diversos parâmetros utilizados nos cálculos de resistência de uma peça. A respeito do cálculo do centroide, assinale a alternativa correta:
A) O centroide sempre terá o mesmo valor, em módulo, do centro de massa de uma mesma peça.
B) Só é possível obter o centroide de uma área caso a secção seja simétrica em um dos eixos.
C) Para cálculo do centroide, é necessário saber o material da peça em questão.
D) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro geométrico dela.
E) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro de massa de uma peça.
A alternativa "D" está correta.
O centroide de uma área independe do material. É função exclusiva da forma. O centro de massa é dependente da massa específica do material. Centroide e centro de massa coincidem quando a massa específica do material que constitui a área é constante.
2. Uma estrutura tem uma viga em perfil tal que as abas superior e inferior apresentam o mesmo comprimento, e a alma está simetricamente disposta em relação as essas abas. Observe a seção reta dessa viga:
As dimensões são as seguintes: as abas (retângulos horizontais) têm 100mm de comprimento e 10mm de espessura, e a alma (retângulo vertical) tem 120mm de comprimento e espessura de 10mm. Com relação aos eixos x e y adotados (de simetria), as coordenadas do centroide são:
A) (50,60)mm
B) (60,50)mm
C) (0,70)mm
D) (0,0)mm
E) (50,70)mm
A alternativa "D" está correta.
Uma vez que os eixos x e y considerados são simétricos, o teorema da simetria afirma que o centroide se localiza em sua interseção. Como a interseção é a origem do par, o centroide tem coordenadas (0,0)mm.
MODULO 2 – Calcular o momento estático de uma área
1. Considere que o eixo de transmissão de potência de um motor seja circular maciço de 100mm de raio. Suponha uma seção reta do eixo circular e dois eixos, horizontal e vertical, que passam pelo centro do círculo. Determine os momentos estáticos da seção reta em relação aos eixos x e y.
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
A alternativa "D" está correta.
O centroide do círculo coincide com o seu centro, devido ao fato de dois eixos de simetria concorrerem nesse centro. Assim, os momentos estáticos do círculo em relação aos eixos x e y que passam pelo centro, serão nulos. Observe que:
2. A figura a seguir apresenta uma região retangular cujas dimensões são: base 12cm e altura 6cm. Considerando o eixo x da figura, determine o momento estático da área retangular em relação ao eixo x considerado.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "C" está correta.
Considere o centroide do retângulo, mostrado na figura.
O centroide encontra-se a uma distância do eixo x, conforme a figura. A área é dada por . Substituindo em 
3. Suponha uma seção reta com a forma de um quadrado de lado L. O momento estático da área em relação ao eixo horizontal x que passa pela base do quadrado é dado pela seguinte expressão:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
O momento estático de uma área retangular de base b e altura h em relação ao eixo x que passa por sua base é dado por: . O quadrado é um caso particular do retângulo em que b=h=L. Assim, substituindo na expressão, tem-se que .
4. Uma viga tem comprimento de 2m e seção reta um semicírculo de diâmetro 300mm. O momento estático da seção em relação ao eixo que coincide com o diâmetro, em mm³, é igual a:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "E" está correta.
A expressão que determina o momento estático de um semicírculo em relação ao eixo que coincide com seu diâmetro é dada por sendo R o raio. O enunciado apresenta o diâmetro, logo o raio R vale 
5. Considere a seção reta de uma estrutura, conforme a figura. Supondo que o raio do quarto de círculo vale 300mm, determine o momento estático em relação ao eixo e, que passa pelo centroide da área.
A) 0
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
Como o eixo considerado para o cálculo do momento estático da seção (ou de primeira ordem) passa pelo centroide dessa área (eixo centroidal), o momento estático é nulo.
6. Uma estrutura mecânica é construída utilizando-se o aço ASTM A36. Uma das partes dessa estrutura é uma viga, cuja seção reta é um quarto de círculo de raio 3,0dm. Um dos cálculos a ser realizado pelo engenheiro é o do momento estático da seção reta.Considerando o eixo que coincide com o raio, o valor do momento estático da seção reta vale:
A) 0
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "C".
1. Considere o par de eixos xy, tal que x seja horizontal para a direita e y, vertical para cima, dividindo o plano em quatro quadrantes. Uma área retangular encontra-se inteiramente no terceiro quadrante. A respeito do momento estático dessa área em relação ao eixo x, pode-se afirmar que:
A) É sempre negativa, pois e 
B) É sempre negativa, pois e 
C) É sempre positiva, pois e 
D) É sempre positiva, pois e 
E) É sempre positiva, pois e 
A alternativa "B" está correta.
No terceiro quadrante, os valores de x e y são negativos. Assim, a área retangular estando inteiramente no 3º quadrante, apresentará sempre um valor negativo.
2. Considere um eixo circular maciço cujo diâmetro é dado por D.
Determine o momento estático ou de primeira ordem do círculo em relação ao eixo x.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "C" está correta.
O momento estático de uma área em relação ao eixo x é dado por . A área do círculo é dada por
e a ordenada do centroide do círculo em relação ao eixo x dado é . Substituindo, tem-se:
MODULO 3 – Calcular o momento de inércia de uma área
1. Sendo uma seção reta na forma de um quadrado com áreas de 36 cm², determine seu momento de inércia em relação ao eixo horizontal x, que passa pela base do quadrado.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "C".
Sendo a área do quadrado igual a 36cm², seu lado será 6cm. O quadrado é um retângulo particular em que b= h = L. A partir da equação 11, tem-se que:
2. Uma seção tem a forma de um retângulo de dimensões 3m de base e 1m de altura. Considerando o eixo que passa pela base desse retângulo, determine o momento de inércia desse retângulo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
A partir da expressão que determina o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo que passa pela base, , tem-se, portanto, que 
3. Seja um retângulo de base 20cm e altura 10cm, em que sua base repousa sobre um eixo horizontal x. A aresta esquerda do retângulo coincide com o eixo vertical y. Determinando os momentos de inércia e 
A) 4
B) 2
C) 1
D) 0,5
E) 0,25
A alternativa correta é "E".
O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo que passa pela base é dado por . Em relação ao eixo y é igual a .
A razão 
4. (FCC ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil ‒ Adaptada) Uma viga de seção retangular foi projetada buscando-se o momento de inércia igual a (em relação ao eixo x’ que passa pelo centroide e é paralelo à base). Como a altura da viga é igual a 0,3m, a largura da viga, em cm, deve ser igual a: 
A) 21
B) 30
C) 10
D) 5
E) 18
A alternativa "C" está correta.
A expressão que determina o momento de inércia de um retângulo (dimensões b e h) em relação ao eixo ̅, paralelo à base, passando pelo centroide, é:
5. Considere uma seção reta, conforme a figura a seguir, cuja área A é igual a 400 cm² e os eixos 1 e 2 são paralelos. O momento de inércia da área A em relação ao eixo 1, vale .
A distância entre os eixos 1 e 2 é de 2cm, e o centroide está a uma distância de 3cm do eixo 2. Qual é o momento de inércia da área em relação ao eixo 2?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "E" está correta.
Os eixos 1 e 2 são paralelos, mas nenhum deles é centroidal. Assim, não se deve utilizar o teorema de Steiner. Contudo, suponha um eixo 3, paralelo aos dois primeiros e que passe pelo centroide da área.
Aplicação de Steiner para os eixos 1 e 3:
Aplicação de Steiner para os eixos 2 e 3:
6. Considere uma viga cujo perfil seja um T. A figura representa a seção reta dessa viga com as suas dimensões. Determine o momento de inércia do perfil em relação ao eixo horizontal que passa por seu centroide.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
1. Seja uma seção reta quadrangular de lado 12cm. Os eixos x e y são tais que x (horizontal) coincide com a base do quadrado e y (vertical), com a aresta à esquerda. Dessa forma, o momento polar do quadrado, sendo o polo o encontro desses eixos em um dos vértices do quadrado vale:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
A resolução passa pela ideia de que , ou seja, a partir dos momentos de inércia da área em relação aos eixos x e y, pode-se determinar o momento polar de inércia 
Logo, 
2. A viga estrutural de um componente mecânico (seção retangular) apresenta as seguintes dimensões: base 200mm e altura 300mm. Deseja-se conhecer o raio de giração , sendo x o eixo que passa pela base do retângulo. Assim, qual das alternativas apresenta a solução?
A) 100mm
B) 173mm
C) 200mm
D) 223mm
E) 245mm
A alternativa "B" está correta.
A partir da definição de raio de giração, tem-se que . Além disso, o momento de inércia da área retangular em relação ao eixo horizontal x que passa por sua base, é dado por , e a área A do retângulo vale . Determinando a área A e o momento de inércia Ix, tem-se que:
• Área do retângulo: 
• Momento de inércia: 
Assim, 	
MODULO 4 - Empregar o produto de inércia de uma área
1. Sejam as afirmativas a seguir a respeito do produto de inércia de uma área A em relação a um par de eixos xy considerado.
I- O produto de inércia da área inteiramente localizada no 2⁰ quadrante é sempre negativo.
II- A área estando distribuída nos quatro quadrantes terá produto de inércia nulo, de acordo com o teorema da simetria.
III- O teorema de Steiner não é aplicável para a determinação do produto de inércia de uma área A.
São corretas as afirmativas:
A) Apenas a afirmativa I
B) Apenas as afirmativas I e II
C) Apenas a afirmativa I e III
D) Apenas a afirmativa II e III
E) Apenas a afirmativa III
A alternativa "A" está correta.
I- Uma seção reta, inteiramente localizada no 2⁰ quadrante, apresenta abscissa negativa e ordenada positiva. Como a área é sempre positiva, o produto de inércia da área em relação ao par de eixos será negativo.
II- Para que o produto de inércia seja nulo, um dos eixos dever ser de simetria. O fato de a área estar nos quatro quadrantes não garante que um dos eixos (x ou y) seja de simetria.
III- É possível utilizar o teorema de Steiner para o produto inércia de uma área A, desde que os dois pares de eixos sejam paralelos e um deles passe pelo centroide da área.
2. Seja uma viga de 2m de comprimento e seção reta retangular tal que a base 0,3m e a altura 0,2m. Considerando o par de eixos xy da figura, determine o produto de inércia do retângulo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Traçando-se um par de eixos que passe pelo centroide do retângulo, é possível aplicar o teorema da simetria () e de Steiner.
A área do retângulo vale e as distâncias entre os eixos paralelos valem 0,15m e 0,10m. Substituindo os valores de A, as distâncias e o produto de inércia em relação aos eixos centroidais na equação 18, tem-se que:
3. Considere uma área A de 100cm² e o par de eixos principais x’ e y’. O produto de inércia dessa área A em relação ao par de eixos x’y’ vale, em :
A) 0
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
Quando os momentos inércia são os principais, ou seja, os valores máximo e mínimo, o produto de inércia para esses eixos, ditos principais, é sempre igual a zero.
4. Seja a figura a seguir que representa o croqui da seção reta (triângulo retângulo de catetos b e h) de uma viga a ser utilizada em um projeto. Considerando o produto de inércia da área da figura em relação aos eixos centroidais ( , determine a expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos xy.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "D".
O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas ( . Considerando os pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia:
5. Considere a seção reta de uma viga como sendo um semicírculo de raio R. Determine a expressão do produto de inércia da área semicircular em relação aos eixos xy, conforme a figura. Considere que os pares de eixos são paralelos.
A) 
B) 
C) 
D) 
E)A alternativa "D" está correta.
O centroide da área semicircular apresentada em relação aos eixos x e y tem as coordenadas () . Considerando os pares de eixos paralelos (sendo um centroidal), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia. Ademais, o eixo ( é simétrico. Assim, pelo teorema da simetria, 
6. Considere uma seção circular de raio 20mm. As coordenadas de seu centroide em relação ao par xy são (25, - 30) mm. Determine o produto de inércia da seção em relação ao par xy.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
1. Considere um semicírculo e dois eixos x e y, conforme a figura abaixo. O produto de inércia em relação ao par considerado é determinado pela expressão . Suponha que um semicírculo, cujo raio vale 12mm, tenha produto de inércia P (em relação ao par xy). Ao se multiplicar por dois o raio desse semicírculo, o novo produto de inércia P’ (em relação ao mesmo par xy) valerá: 
A) P’ = P
B) P’ = 2.P
C) P’ = 4.P
D) P’ = 8.P
E) P’ = 16.P
Assim:
2. A figura a seguir é a seção reta de uma viga. Considerando o produto de inércia da área da figura em relação aos eixos centroidais ( e , determine a expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos x, y. 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas ( em relação aos eixos x e y. Considerando os pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia:
Tema 2 - Torção
MODULO 1 - Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares
1. Um eixo tubular de raios 90 e 120mm está submetido à torção. Em uma dada seção, o torque atuante é de 20kN.m. Considere que o fenômeno ocorra inteiramente no regime elástico. A respeito das tensões cisalhantes atuantes na seção, são feitas as seguintes afirmações:
I – A relação sempre é válida ao longo do raio;
II – A relação é válida ao longo do raio, na parede do tubo;
III – A variação da tensão cisalhante segue uma relação quadrática, na parede do tubo.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa I e II.
D) Apenas a afirmativa I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
A alternativa correta é "B".
Considerando o regime elástico, a tensão cisalhante em um tubo devido à torção apresenta variação linear a partir da parede interna. Na região “vazia”, a tensão cisalhante é nula. Assim, as afirmativas I e III estão incorretas.
2. A figura representa a seção circular de um eixo maciço de diâmetro 240mm, sob a ação de um torque. A tensão de cisalhamento atuante a 40mm é de 150MPa. A tensão cisalhante máxima é igual a:
A) 50MPa
B) 150MPa
C) 200MPa
D) 300MPa
E) 450MPa
A alternativa correta é "E".
O diâmetro é de 240mm. Logo, o raio vale 120mm. A figura mostra uma variação linear da tensão ao longo do raio. Assim, é possível utilizar a expressão da equação 3:
3. Um eixo tubular é parte de uma estrutura. O principal efeito atuante no eixo é a torção. Suponha que o raio externo seja igual a 100mm e a parede do tubo igual a 60mm. Se a tensão de cisalhamento máxima atuante em uma dada seção é 80MPa, determine a tensão atuante a 20mm do centro.
A) 16MPa
B) 12MPa
C) 8MPa
D) 4MPa
E) 0MPa
A alternativa correta é "E".
Para um tubo sujeito à torção, a relação é válida na parede do tubo, ou seja, para distâncias . Para distância menores que o raio interno, a tensão cisalhante é nula. Sendo o raio externo igual a 100mm e a parede do tubo de 60mm, o raio interno vale 40mm. Logo, a tensão cisalhante a 20 mm do centro será igual a 0.
4. Considere uma estrutura na forma tubular sujeita à torção, trabalhando exclusivamente no regime elástico. Supondo que a relação entre a parede do tubo e seu raio interno valha 4, determine a razão entre as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Faltam informações.
A alternativa correta é "D".
A deformação cisalhante (no regime elástico), ao longo do raio de uma seção tubular, tem variação linear quando sob ação de um torque, conforme a equação 1.
Lembrando-se que essa relação é válida para toda a parede do tubo.
O problema apresenta que:
Além disso, . Denominando de x e 
Substituindo na equação 1 e, lembrando-se de que a deformação máxima ocorre na parede externa, tem-se que:
5. Um eixo maciço apresenta algumas informações, dentre as quais um gráfico que relaciona a deformação cisalhante, quando ação de um torque T, com a distância ao centro do eixo. A partir do gráfico a seguir, qual é a deformação máxima em uma dada seção de estudo, sabendo que o diâmetro desse eixo é de 120mm?
A) 4·10-3rad
B) 6·10-3rad
C) 8·10-3rad
D) 9·10-3rad
E) 12·10-3rad
A alternativa correta é "E".
O diâmetro apresentado é de 120mm. Logo, o raio c vale 60mm. O gráfico mostra que e 
No gráfico, a uma distância = 20mm a deformação cisalhante vale 4·10-3rad. Substituindo os valores na expressão anterior:
6. O gráfico a seguir mostra a variação da tensão cisalhante na seção reta de um tubo circular ao longo do raio, quando sob ação de um torque T. Supondo que o tubo esteja em equilíbrio sob torção e no regime elástico, determine a espessura do tubo em estudo.
A) 10mm
B) 12mm
C) 15mm
D) 20mm
E) 30mm
1. Seja um eixo maciço, cuja seção reta é representada na figura. Considere que o regime é elástico e que o eixo se encontra sob torção. A variação da tensão ao longo do raio é crescente linear. Supondo dois pontos da seção, afastados do centro do círculo, 40mm e 70mm. A razão entre as tensões cisalhantes atuantes nos pontos é:
A) 
B) 
C) 1
D) 
E) 
A alternativa "A" está correta.
A figura mostra que a variação da tensão cisalhante ao longo do raio é linear. A partir da equação 3:
Dividindo as duas equações anteriores:
2. Considere um tubo em equilíbrio, no regime elástico, submetido a um conjunto de torques. Uma dada seção é estudada. O torque interno atuante tem módulo . Considerando que as tensões máxima e mínima valem 60MPa e 20MPa, determine a razão entre o raio interno e a espessura da parede.
A) 
B) 
C) 1
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
Sejam r e R os raios interno e externo do tubo e t a espessura da parede (t = R – r). Considerando a equação 3, pode-se escrever que:
É possível escrever que r = x e R = 3x. Assim, a espessura t será 3x – x = 2x. Portanto, a razão pedida é .
MODULO 2 – Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção
1. Seja o eixo de transmissão de um motor circular maciço de 50mm de raio. Supondo que em dada seção o torque tenha intensidade de 20kN.m, determine o a tensão máxima cisalhante.
A) 80MPa
B) 90MPa
C) 102MPa
D) 110MPa
E) 120MPa
A alternativa correta é "C".
Inicialmente, as unidades apresentadas serão adequadas ao Sistema Internacional. Dessa forma, o raio de 50mm será 0,05m e o torque de 20kN.m será 20.000N.m. Substituindo os valores na equação 8, tem-se que:
2. Um eixo tubular apresenta raio externo igual a 80mm e parede de 50mm. Em dada seção, o torque interno apresenta módulo de 2000kN.mm. Determine a tensão de cisalhamento atuante a 10mm do centro.
A) 0
B) 0,157MPa
C) 0,528MPa
D) 0,872MPa
E) 1,256MPa
A alternativa correta é "A".
Ajuste das unidades ao S.I.
- Torque: 2.000N.m
- Raio externo: 0,08m
- Raio interno: 0,03m
A partir da equação:
Na parede do tubo, a variação da tensão cisalhante é linear. Como a distância do centro (10mm) está na região “vazia” do tubo, a tensão cisalhante é nula.
3. Um estagiário deseja fazer o dimensionamento de um pequeno eixo maciço que utilizará em um sistema mecânico. Inicialmente, ele seleciona um aço, cuja tensão cisalhante admissível é de 90MPa. O torque máximo nas seções internas a que o eixo ficará submetido é de 0,4kN.m. Determine o diâmetro mínimo do eixo.
A) 18,7mm
B) 21,8mm
C) 25,4mm
D) 28,3mm
E) 30,4mm
A alternativa correta é "D".
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m;
O raio pode ser determinado a partir da equação 8:
Logo, o diâmetro mínimo será 2.(14,15) = 28,3mm.
4. Umaestrutura é construída com elementos metálicos maciços e circulares. Uma dessas peças está submetida à torção, respeitado o regime elástico do material. O engenheiro quer fazer uma modelagem do sistema e, para isso, precisa escrever uma função que determine a tensão de cisalhamento em uma dada seção, a partir apenas da distância do centro. Considere que, na seção de estudo, o torque aplicado seja de 900N.m e raio 50mm. Determine a função , sendo apresentado em m e em . Utilize .
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "B".
Inicialmente, será determinada a tensão de cisalhamento máxima atuante na seção, a partir da equação 8:
Substituindo na equação 3, tem-se:
5. Considere que um eixo tubular de diâmetro externo igual a 150mm e raio interno 10mm esteja sendo utilizado para transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico de pás. Uma seção do eixo é escolhida para estudo. Considere que o torque interno apresenta módulo de 5 kN.m. Determine a tensão de cisalhamento na parede interna do tubo, nessa seção.
A) 1,00MPa
B) 1,57MPa
C) 1,92MPa
D) 6,25MPa
E) 7,55MPa
A alternativa correta é "A".
6. (Ano: 2015 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: CESGRANRIO ‒ 2015 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Manutenção Júnior ‒ Mecânica) Na torção de um eixo de seção transversal circular, a tensão cisalhante máxima vale . Se o diâmetro desse eixo é duplicado, o valor dessa tensão cisalhante máxima é:
A) Multiplicado por dois.
B) Multiplicado por quatro.
C) Multiplicado por oito.
D) Dividido por quatro.
E) Dividido por oito.
A alternativa correta é "E".
Escrevendo a tensão de cisalhamento em função do diâmetro, tem-se:
Logo, se o diâmetro for multiplicado por 2, a tensão máxima ficará:
1. Considere que o eixo tubular de diâmetro externo igual a 200mm e parede de 80mm esteja sendo utilizado para transmissão de 20kW de potência de um motor. Em dada seção, o torque interno apresenta módulo de 400N.m. Determine a tensão de cisalhamento máxima.
A)0,112MPa
B) 0,157MPa
C) 0,180MPa
D) 0,255MPa
E) 0,347MPa
A alternativa "D" está correta.
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m
Potência: 20.000W
Diâmetro externo: 0,2m. Logo, raio externo 0,1m
Parede: 0,08m. Assim, raio interno igual a 0,1 – 0,08 = 0,02m
A tensão cisalhante máxima pode ser determinada a partir da equação 9.
2. (Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ LIQUIGÁS ‒ Engenheiro Júnior ‒ Mecânica) Ao se aplicar um torque a um eixo de seção circular maciça, o valor da tensão cisalhante máxima que atua nos pontos da superfície do eixo:
A) Independe do diâmetro do eixo.
B) Aumenta se o comprimento do eixo aumentar.
C) Diminui se o diâmetro do eixo aumentar.
D) Diminui se o diâmetro do eixo diminuir.
E) Diminui se o comprimento do eixo diminuir.
A alternativa "C" está correta.
A tensão cisalhante na seção reta de um eixo circular maciço é dada pela expressão . Escrevendo em função do diâmetro, tem-se:
Assim, para T constante, a tensão cisalhante máxima aumenta com a diminuição do diâmetro e vice-versa.
MODULO 3 – Calcular a transmissão de potência
1. Considere a figura a seguir em que um motor de potência 3kW é acoplado a um eixo circular maciço de aço. A frequência de rotação é 1800rpm e o aço utilizado tem tensão cisalhante admissível de 60MPa. Qual é o raio mínimo da seção do eixo?
A) 4,73mm
B) 5,12mm
C) 5,53mm
D) 6,82mm
E) 7,91mm
A alternativa "C" está correta.
Sendo o eixo maciço, pode-se utilizar a equação 12, ou seja,
Ajustando as unidades, Pot = 3.000W, f = 30 Hz e tensão cisalhante = 60.106.
2. Um projeto de um eixo maciço foi dimensionado para os parâmetros potência, frequência de rotação e o tipo de material. Com isso, chegou-se ao raio mínimo de 15mm. Para um novo projeto em que apenas a potência é modificada (passa a ter valor 8 vezes maior), qual é o novo raio mínimo?
A) 30mm
B) 25mm
C) 20mm
D) 15mm
E) 7,5mm
A alternativa correta é "A".
Considerando para o projeto inicial os parâmetros: , , o raio mínimo é . A partir da equação 12, os parâmetros citados se relacionam. Utilizando a mesma expressão para o segundo projeto alterando-se apenas a potência , o raio mínimo é determinado. Observe:
Assim, o novo raio é igual a 30mm.
3. Um tubo será utilizado como eixo de transmissão de potência de um motor. A geometria do tubo apresenta os valores para raio externo de 50mm e parede igual a 10mm. A frequência de rotação é de 1800rpm e a potência a transmitir de 120kW. Qual é a tensão de cisalhamento máxima que atua no eixo?
A) 2,8MPa
B) 3,7MPa
C) 4,5MPa
D) 5,5MPa
E) 6,4MPa
A alternativa correta é "D".
A parede do tubo circular é dada pela expressão Assim, o raio interno . O raio externo vale 0,05m. Adequando as unidades de potência e frequência, e substituindo na equação 13, temos que:
4. Um eixo maciço transmite potência de um motor elétrico para um sistema de engrenagens. A potência é de 4.000W e a frequência de rotação 40Hz. A tensão cisalhante máxima atuante em uma dada seção do eixo é de 20MPa. Qual é a tensão cisalhante atuante a 5mm do centro do círculo?
A) 4,00MPa
B) 10,86MPa
C) 12,53MPa
D) 15,50MPa
E) 18,30MPa
A alternativa correta é "C".
Inicialmente será determinado o raio do eixo, utilizando a equação 12:
Como a variação da tensão cisalhante é linear, ao longo do raio, temos que:
 
	Assim, = 12,53MPa
5. Um motor de um exaustor tem potência de 1000W. Mantendo constante a potência e variando a frequência de rotação de F1 = 1800rpm para F2 = 1200rpm, qual é a razão dos torques (em intensidade) que atuam no eixo nos instantes em que as frequências são, respectivamente, F1 = 1800rpm para F2 = 1200rpm?
A) 
B) 
C) 1
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
A partir da equação 11 e, pelo fato de a potência ser constante, é possível escrever que:
Substituindo os valores:
6. Seja um motor M1, cuja potência é igual a Pot. Suponha dois eixos 1 e 2, circulares maciças de mesmo material, cujos raios sejam, respectivamente, = 200mm. O motor M1 será acoplado em cada um dos eixos, alternadamente. Quando conectado ao primeiro, a frequência de rotação F1 é 2400rpm. Qual é a frequência de rotação F2, supondo que o regime seja elástico e a tensão cisalhante atuante seja a admissível para o material?
A) 300rpm
B) 1000rpm
C) 1200rpm
D) 2400rpm
E) 4800rpm
A alternativa correta é "A".
1. Um motor transmite potência de 2.000W por meio de um eixo que tem frequência de rotação de 3Hz. O torque a que fica submetido é igual a:
A) 66,67N.m
B) 92,10N.m
C) 100,45N.m
D) 106,16N.m
E) 125,12N.m
A alternativa "D" está correta.
A partir das equações e , é possível escrever que:
2. A transmissão de potência de um motor por meio de um eixo maciço se relaciona com a frequência (f) de rotação e o torque atuante (T). Desse modo, são feitas as seguintes afirmativas:
I – Para um valor constante de T, a potência depende do quadrado da frequência de rotação;
II – Para um valor constante de f, a potência varia inversamente com o módulo de T;
III – Para potência constante, o torque atuante e a frequência de rotação são grandezas inversamente proporcionais.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
A alternativa "C" está correta.
A potência (Pot), o torque atuante no eixo (T) e a frequência de rotação (f) são relacionadas matematicamente por:
A partir da expressão anterior, podemos inferir que:
I – Quando T é constante, a potência depende diretamente da frequência;
II – Quando f é constante, a potência depende diretamente de T;
III – Para potência constante, T e f são inversamente proporcionais.
MODULO 4 - Calcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
1. Considere um tubo de seção quadrangular que esteja submetido a um par de torques (intensidade 144N.m). A área média da seção do tubo é igual a 3.600mm2 e a espessura do tubo é constante, e bem menor que as dimensões externa e interna. Nessas condições, a tensão cisalhante média atuante na parededo tubo é 2MPa. Determine a espessura do tubo.
A) 8mm.
B) 10mm.
C) 11mm.
D) 12mm.
E) 15mm
A alternativa correta é "B".
Inicialmente, as unidades serão homogeneizadas ( = 3600mm2 = 0,0036m2) e a tensão cisalhante igual a 2.106Pa. A partir da equação 16, temos que:
2. Um tubo de seção fechada e paredes finas não constantes sob torção apresenta fluxo de cisalhamento . Em uma dada seção de estudo, as espessuras máxima e mínima valem 5mm e 4mm. Determine as tensões cisalhantes médias nesta seção do tubo.
A) 80MPa e 100MPa.
B) 20MPa e 100MPa.
C) 9MPa e 100MPa.
D) 2MPa e 2,5MPa.
E) 4MPa e 5MPa.
A alternativa correta é "E".
O fluxo de cisalhamento é constante e dado por:
Para a parede de maior espessura, a tensão cisalhante será mínima, e para a parede de menor espessura, a tensão cisalhante será máxima. Assim:
3. Um tubo de paredes finas e espessura variável encontra-se sob torção, em um regime elástico. As seguintes afirmativas são feitas:
I – O fluxo de cisalhamento é variável, aumentando à medida que a espessura da parede aumenta.
II – A tensão cisalhante média, ao longo da parede, varia de maneira diretamente proporcional à espessura.
III – A tensão cisalhante média máxima ocorre na região com menor espessura da parede.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e II.
E) Apenas as afirmativas I e III.
A alternativa "C" está correta.
O fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas (regime elástico) é constante e dado pela seguinte expressão:
Assim, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são inversamente proporcionais. Logo, a tensão cisalhante máxima ocorre para a espessura mínima.
4. Considere um tubo retangular submetido à torção. Uma seção reta desse tubo é representada na figura. Suponha que a espessura em AB seja o dobro da espessura em BC e que o fluxo de cisalhamento seja q. A razão entre as tensões de cisalhamento (média) nos ramos AB e BC é:
A) 
B) q
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
O fluxo de cisalhamento q é constante, mesmo com variação da espessura da parede. Assim, é possível escrever, a partir da equação 15, que:
5. Um tubo de seção quadrangular está em equilíbrio sob a ação de três torques. As dimensões da seção reta são: lado externo do quadrado 30mm e parede 5mm. Considerando o regime elástico, qual é a tensão de cisalhamento que atua na parede da seção entre os pontos A e B?
A) 4MPa
B) 8MPa
C) 16MPa
D) 32MPa
E) 64MPa
A alternativa correta é "D".
O tubo encontra-se em equilíbrio sob a ação dos torques. Fazendo um corte entre os pontos A e B, a parte do todo estará em equilíbrio, sendo representada a seguir:
Do equilíbrio: 100 + = 300. Assim, = = 200N.m
Área média = (30 - 5) x (30 - 5) = 625mm2 = 625 · 10-6m2.
t = 5mm = 0,005m
Substituindo na expressão 16, tem-se:
6. Considere um tubo de seção reta triangular (triângulo equilátero), conforme figura. Suponha que o tubo esteja em equilíbrio no regime elástico. A seção em estudo apresenta torque interno de módulo 1,5kN.m e a parede do tubo tem 5mm de espessura. Determine a tensão cisalhante média que age nas paredes do tubo. Desconsidere o fator de concentração dos vértices.
A) 17,42MPa
B) 34,68MPa
C) 8,25MPa
D) 42,58MPa
E) 64,02MPa
A alternativa correta é "B".
1. Um tubo é utilizado para transmitir potência de um motor. Em dado instante, fica submetido a um torque de intensidade T. Considere o regime elástico e as paredes do tubo finas. As paredes variam sua espessura ao longo da “volta” da seção, de acordo com o gráfico a seguir.
A razão entre as tensões cisalhantes média mínima e máxima é:
A) 0,500
B) 0,850
C) 0,900
D) 0,947
E) 0,950
A alternativa "C" está correta.
A partir do gráfico, é possível inferir que a menor espessura da parede do tubo é igual a 90mm e a maior, 100mm. Como o fluxo de cisalhamento é constante, a tensão máxima ocorre na parede com menor espessura e a tensão mínima, na parede com maior espessura. Assim:
2. Para um tubo de paredes finas sujeito ao esforço de torção, são feitas as seguintes afirmativas:
I – A tensão cisalhante média depende diretamente da área média da seção.
II – A tensão de cisalhamento aumenta com a espessura da parede.
III – A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque T atuante na seção.
IV – O fluxo de cisalhamento é constante, independentemente da espessura da parede.
São corretas:
A) Apenas as afirmativas I e II.
B) Apenas as afirmativas II e III.
C) Apenas as afirmativas III e IV.
D) Apenas as afirmativas II, III e IV.
E) Apenas as afirmativas I, II e III.
A alternativa "C" está correta.
Em um tubo de paredes finas, sob torção, o fluxo de cisalhamento é constante.
Analisando a equação :
A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque.
A tensão cisalhante média depende inversamente da área média.
A tensão cisalhante média depende inversamente da espessura da parede.
Tema 3 - Flexão Pura
MODULO 1 - Identificar a distribuição de tensões em função do momento
1. Uma viga está submetida à flexão pura. O regime é o elástico e a viga apresenta eixo de simetria. Sabe-se que a seção reta da viga tem 150mm de altura. As fibras superiores estão deformadas de maneira compressiva, enquanto as fibras inferiores de forma trativa. A deformação compressiva máxima vale, em módulo, o dobro da deformação trativa máxima em módulo. A partir da base da seção, a que altura se encontra o eixo neutro?
A) 60mm
B) 50mm
C) 80mm
D) 100mm
E) 15mm
A alternativa "B" está correta.
A variação da tensão normal por flexão ao longo da altura da seção reta é linear, sendo zero na linha neutra e trativa ou compressiva nas regiões superiores ou inferiores (ou vice-versa), dependendo da orientação do momento aplicado. Dessa forma, é possível considerar a figura seguinte.
Da semelhança de triângulos:
2. A figura apresenta um elemento prismático sob a ação de um par de momentos fletores. São feitas as seguintes afirmativas:
I- As fibras superiores estão tracionadas e as inferiores comprimidas.
II- Na situação mostrada não existe a linha neutra.
III- As seções transversais sofrem rotação durante a atuação do momento.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas as afirmativas I e II.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas as afirmativas II e III.
A alternativa "D" está correta.
A partir da figura, é possível concluir que as fibras superiores estão alongadas, isto é, tracionadas, e as fibras inferiores, comprimidas. Como existem duas regiões com deformações de sinais opostos, essa transição ocorre com a existência da linha neutra (deformação e tensão nulas). As seções retas sofrem apenas a rotação.
3. Um eixo maciço encontra-se biapoiado em equilíbrio sob determinado carregamento. Uma seção circular é estudada e considera-se a flexão pura como o principal efeito. Na periferia da seção ocorre a tensão máxima por flexão em módulo igual a 20MPa. Considerando o raio da seção igual a 80mm, determinar, em módulo, a tensão normal por flexão em um ponto a 20mm do eixo neutro.
A) 20MPa
B) 12MPa
C) 10MPa
D) 6MPa
E) 5MPa
A alternativa correta é "E".
Um elemento estrutural sob flexão pura, apresentando eixo de simetria, tem a distribuição de tensão e normas lineares, a partir do eixo neutro, de acordo com a equação.
Utilizando a equação em módulo, tem-se:
4. Uma viga apresenta seção retangular de lados 80mm e 100mm e está submetida a um momento fletor M, paralelo à base (80mm), de tal forma que as fibras superiores ficam sob compressão. Sabendo que o regime é o elástico, a estrutura está em equilíbrio, e a linha neutra passa pelo centroide da seção reta, a razão entre as tensões normais atuantes a 20mm acima da linha neutra e a tensão normal atuante a 30mm abaixo da linha neutra (considerar os sinais da compressão e da tração).
 A) 
B) 
C) 1
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Na questão, as fibras superiores são compressivas, ou ainda, apresentam valores negativos. As fibras inferiores (abaixo da linha neutra) estão sob tração,ou ainda, apresentam valores positivos. A partir da equação , é possível inferir que as tensões são diretamente proporcionais às distâncias do eixo neutro. Assim: e , com K um número real positivo. Logo, a razão será 
5. Uma viga está sob flexão pura. A deformação normal por flexão é apresentada no gráfico a seguir. O eixo neutro da seção em estudo divide o eixo y em duas partes: 40mm na parte superior e 20mm na parte inferior.
É correto afirmar que:
A) As fibras na parte superior (acima do eixo neutro) estão comprimidas.
B) Todas as fibras apresentam-se tracionadas.
C) A 10mm acima do eixo neutro a deformação normal é 1000 μ.
D) A 20mm abaixo da linha neutra a deformação normal é 2000 μ.
E) A seção é retangular de base 60mm.
A alternativa correta é "C".
A partir do gráfico e do enunciado da questão, os 40mm acima do eixo neutro (ou linha neutra) estão tracionados (valores positivos de deformação), e os 20mm abaixo da linha neutra, comprimidos (valores negativos de deformação). O gráfico mostra uma relação linear entre a deformação e a distância y. Assim, a 10mm acima do eixo neutro, tem-se:
Abaixo da linha neutra, as deformações são negativas.
O gráfico informa sobre a dimensão vertical, não sobre a forma e a dimensão da base.
6. Uma estrutura encontra-se sob a ação de um momento fletor, em equilíbrio no regime elástico. O gráfico a seguir mostra a variação da tensão normal na seção ao longo do eixo y de simetria. Supondo que a estrutura está em equilíbrio sob flexão e no regime elástico, determine a tensão normal por flexão mínima:
A) - 28MPa
B) - 30MPa
C) - 40MPa
D) - 50MPa
E) - 70MPa
A alternativa correta é "A".
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - Engenheiro Mecânico) Em um corpo, as forças podem ser aplicadas de diferentes maneiras, originando diferentes tipos de solicitação. Leia a descrição abaixo e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a “Solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça”.
A) Tração
B) Compressão
C) Cisalhamento
D) Flexão
E) Torção
A alternativa "D" está correta.
Um elemento estrutural sob tração ou compressão preserva seu eixo geométrico, ocorrendo apenas aumento ou diminuição da peça. Na torção, a deformação ocorre em torno do eixo geométrico. A flexão deforma a estrutura, mudando o seu eixo geométrico. Observe:
2. Uma estrutura tem uma viga retangular de dimensões 80mm (base) e 120mm (altura). O eixo neutro está localizado paralelamente à base, passando pelo centroide da seção reta. Sob flexão, as fibras superiores estão comprimidas. Considerando dois pontos quaisquer, dispostos simetricamente em relação ao eixo neutro, a soma das tensões normais atuantes nos pontos:
A) É igual, em módulo, ao dobro da tensão que ocorre em um dos pontos.
B) É igual, em módulo, à metade da tensão que ocorre em um dos pontos.
C) É igual a zero.
D) Depende do momento fletor aplicado na seção.
E) É igual, em módulo, ao triplo da tensão que ocorre em um dos pontos.
A alternativa "C" está correta.
A parir da equação 4 () é possível determinar a tensão por flexão em qualquer ponto y afastado da linha neutra. Dois pontos A e B, simétricos em relação à linha neutra estarão a distância +d e -d da linha neutra. Logo:
Assim, a soma das tensões será:
MODULO 2 - Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo de resistência
1. Considere duas estruturas feitas do mesmo material e com as mesmas dimensões. Admitindo-se que a seções são retangulares com dimensões b (base) e h (altura), tal que h = 2b. Qual a razão entre os módulos resistentes da seção em cada situação 1 ou 2?
A) 
B) 1
C) 2
D) 
E) 
A alternativa "C" está correta.
O módulo resistente do retângulo é dado por:
Do enunciado, h = 2b.
Para a situação 1, base é b e altura h = 2b. Assim, 
Para a situação 1, base é h = 2b e altura b. Assim, 
Logo, 
2. Considere uma viga circular maciça de 2m de comprimento e raio 40mm. Em dada seção dessa viga, o momento fletor tem módulo 2kN.m. Considerando o equilíbrio no regime elástico e a flexão pura, determine o módulo da tensão normal máxima:
A) 25,6MPa
B) 32,0MPa
C) 36,8MPa
D) 39,8MPa
E) 46,8MPa
A alternativa correta é "D".
O raio da seção circular é 40mm = 0,04m. O momento de inércia do círculo em relação ao eixo centroidal horizontal (coincidente com o eixo neutro) é dado pela expressão
 . O maior afastamento da linha neutra é igual ao raio (0,04m). Substituindo na equação 5, tem-se:
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Engenharia Civil - Conhecimentos Específicos). Considere a viga prismática de seção transversal retangular representada na figura abaixo:
Considerando que o material da viga seja homogêneo e elástico linear, a tensão máxima de compressão devido à flexão, em MPa, é:
A) 175
B) 250
C) 125
D) 75
E) 50
A alternativa correta é "B".
A carga distribuída ao longo da viga é de 2kN/m = 2.000N/m. As dimensões da seção reta são b = 0,06m e h = 0,10m. O momento fletor interno máximo ocorre no ponto médio da viga e tem módulo 
Logo:
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é igual a:
A tensão máxima de compressão ocorre na parte superior da viga, ou seja, a 0,05m da linha neutra. Substituindo na equação 5, tem-se:
4. Em uma estrutura, uma viga está carregada de tal forma que o principal efeito é o da flexão pura. Supondo o módulo de resistência à flexão da seção reta igual a 12.000mm³ e a tensão admissível do material 80MPa, qual o módulo do momento fletor máximo que pode atuar na seção de estudo?
A) 1500N.m
B) 960N.m
C) 750N.m
D) 480N.m
E) 150N.m
A alternativa "B" está correta.
Homogeneizando as unidades, a tensão admissível (máxima) é e o módulo resistente (W) igual a 
A tensão máxima em função do módulo resistente é apresentada a seguir:
Substituindo os valores, tem-se:
5. Considere que uma viga oca (Ver figura) de seção quadrangular esteja submetida à flexão pura. Em dada seção, o momento fletor atuante tem módulo 6kN.m. Considerando as dimensões da seção reta da viga como 100mm e 80mm, determine a tensão por flexão máxima em módulo: 
A) 61MPa
B) 52MPa
C) 45MPa
D) 31MPa
E) 28MPa
A alternativa correta é "A".
O momento de inércia da seção quadrangular de lado L em relação ao eixo neutro é igual a:
Para a seção “vazada”, o momento de inércia em relação ao eixo neutro será igual a:
Em que L e l são as arestas dos quadrados externo e interno. Dessa forma:
A tensão máxima ocorre para o maior afastamento c da linha neutra, ou seja, Substituindo na equação 5, tem-se:
6. (VUNESP - 2018 - Prefeitura de São Bernardo do Campo - SP - Engenheiro Civil). Considere a viga simplesmente apoiada com vão de 8m e seção transversal retangular representada na figura a seguir:
A tensão normal máxima, devido à flexão na fibra mais tracionada da viga, em MPa, é:
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
E) 150
A alternativa correta é "E".
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - Perito Criminal - Engenharia Mecânica). A fórmula da flexão é dada por: e é utilizada para determinar a tensão normal em um membro reto, com seção transversal simétrica em relação a um eixo, e no qual o momento seja aplicado no sentido perpendicular àquele eixo. A máxima tensão normal ocorrerá no(s):
A) Ponto mais próximo do eixo neutro.
B) Eixo neutro.
C) Ponto mais afastado do eixo neutro.
D) Pontos acima do eixo neutro.
E) Pontos abaixo do eixo neutro.
A alternativa "C" está correta.
A partir da expressão apresentada no problema, e como M e I são valores constante, a tensão por flexão varia linearmente com a distância y do eixo neutro. Sendo assim, no eixo neutro a tensão é nula e terá valor máximo no ponto mais afastado do eixo neutro.
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal - Engenharia Civil – adaptada). Considere a viga biapoiada de seção retangular constante, submetida a uma carga uniformemente distribuída, representada na figura a seguir:
A tensão normal por flexão máxima em módulo é igual a:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
Momento fletor máximo em módulo é dado por:
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutroé e o afastamento máximo da linha neutra é .
O módulo da tensão por flexão máxima é calculado por:
MODULO 3 - Calcular a linha elástica
1. (CESGRANRIO - 2015 - Petrobras - Profissional Júnior - Engenharia Mecânica) A linha elástica de uma viga engastada-livre, sujeita a um carregamento transversal uniforme ao longo de todo o seu vão, é representada por um polinômio de ordem:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A alternativa correta é "E".
A partir da EDO que descreve a linha elasticidade (equação 10), tem-se:
Para um carregamento uniformemente distribuído, o momento fletor atuante ao longo da viga é uma função polinomial do 2º grau. Como serão feitas duas integrações, a linha elástica será do 4º grau.
2. Uma viga prismática de material homogênea, disposta horizontalmente, encontra-se engastada em uma das extremidades. Na extremidade livre é aplicada uma força vertical para baixo de 1.200N. Supondo que o material que constitui a viga possui módulo de elasticidade 80GPa e a seção reta momento de inércia, em relação à linha neutra, , determine em módulo o deslocamento vertical da extremidade livre. Considere o comprimento de 4m da viga.
A) 4mm
B) 4,5mm
C) 5mm
D) 6mm
E) 7mm
A alternativa correta é "A".
Seja uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força concentrada P na extremidade livre, com rigidez à flexão (E.I) constante. O deslocamento vertical é em módulo igual a:
	Substituindo os valores apresentados na questão:
3. Suponha uma viga disposta horizontalmente engastada em uma das extremidades com o comprimento de 2m. Na extremidade livre é aplicada uma força vertical para baixo de 4kN. Supondo a rigidez à flexão (E.I) constante e igual a em unidades do S.I., determine em módulo as inclinações nas extremidades da viga:
A) 0 e 0,002 rad
B) 0,001 e 0,001 rad
C) 0 e 0,0001 rad
D) 0 e 0,001 rad
E) 0,0001 e 0,001 rad
A alternativa correta é "D".
Considere uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força concentrada P na extremidade livre, sendo a rigidez à flexão (E.I) constante. A inclinação na extremidade engastada é zero e, na extremidade livre, tem módulo igual a:
Substituindo os valores apresentados na questão:
4. Uma viga encontra-se biapoiada e com um carregamento uniformemente distribuído (q) ao longo de seu comprimento L. Supondo que a seção reta seja constante e o material homogêneo, determine a equação da linha elástica para a situação descrita. Considere a rigidez à flexão igual a E.I.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "C" está correta.
5. Considere um elemento estrutural prismático (viga) biapoiado, disposto horizontalmente e com carregamento uniformemente distribuído q ao longo de seu comprimento L. Supondo que a seção reta seja constante, o material homogêneo e o regime elástico, determine em módulo o maior deslocamento vertical da viga. Considere a rigidez à flexão igual a E.I.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Para a situação descrita, a linha elástica é:
O deslocamento vertical máximo ocorre para . Substituindo na equação da linha elástica, tem-se:
Em módulo: 
6. Considere uma estrutura metálica que possui elementos horizontais e verticais. Um dos elementos horizontais apresenta-se biapoiado (apoios de primeiro e segundo gêneros nas extremidades) sob carregamento distribuído q, ao longo de seu comprimento. O material utilizado é o aço A 36 com seção reta constante, tal que o produto do momento de inércia (I) pelo módulo de elasticidade (E) do aço é constante. Assim, em módulo, as inclinações nas extremidades onde encontram-se os apoios valem:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "C" está correta.
A situação de carregamento e apoios apresenta a seguinte linha elástica:
Derivando em relação a x, tem-se:
A inclinação θ é dada por . Nas extremidades, x = 0 e x = L. Substituindo na equação anterior:
1. Suponha as duas situações apresentadas na figura. Considerando que as barras 1 e 2 apresentam a mesma rigidez à flexão (E.I) e o comprimento da segunda é o dobro do comprimento da primeira, a razão entre os deslocamentos das extremidades livres é:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
Para uma viga engastada de comprimento L e sob a ação de uma força concentrada F na extremidade livre, com rigidez à flexão (E.I) constante, o deslocamento vertical em módulo da extremidade livre é igual a:
Para cada situação, apenas o comprimento varia. Assim:
A razão será:
2. Seja uma viga sob um carregamento genérico, tal que o momento fletor que atua nas seções internas é descrito por uma função polinomial do 3º grau. Adotando-se as premissas de regime elástico, seção constante e material uniforme, a linha elástica será descrita por uma
A) função exponencial.
B) função constante.
C) função polinomial do 5º.
D) função polinomial do 4º.
E) função polinomial do 3º.
A alternativa "C" está correta.
A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a linha elasticidade é:
O carregamento apresentado é tal que o momento fletor atuante ao longo da viga é uma função polinomial do 3º grau. Como serão feitas duas integrações numa função do 3º grau, a linha elástica será do 5º grau.
MODULO 4 - Formular o cisalhamento na flexão
1. Uma viga biapoiada de 3m de comprimento encontra-se sob um carregamento uniformemente distribuído q = 2 kN/m. A seção reta da viga é um retângulo de base 120mm e altura 300m. A flexão sofrida pela viga provoca tensões de cisalhamento na seção de estudo. Sobre essas tensões, são feitas as seguintes afirmativas:
I- A variação da tensão ao longo do eixo vertical y é linear, sendo máxima nas extremidades e mínima na linha neutra.
II- A variação da tensão cisalhante ao longo do eixo y varia segundo uma função quadrática.
III- Os valores mínimos das tensões de cisalhamento encontram-se nas fibras superior e inferior da viga.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas as afirmativas I e II.
C) Apenas a afirmativa I e III.
D) Apenas a afirmativa II e III.
E) Apenas a afirmativa III.
A alternativa correta é "D".
A equação 15 rege a distribuição da tensão cisalhante ao longo da seção:
A função é do 2º grau e não linear, e para ou (extremos da viga) a tensão cisalhante é zero, logo mínima.
2. Uma viga retangular de área com dimensões 50mm por 100mm encontra-se biapoiada com carregamento distribuído na forma triangular. Uma seção foi definida para o estudo das tensões cisalhante e o esforço cisalhante é de 3kN. Determinar a tensão de cisalhante máxima:
A) 0,90MPa
B) 0,80MPa
C) 0,75MPa
D) 0,60MPa
E) 0,50MPa
A alternativa correta é "A".
A área A da seção retangular é . A expressão para tensão máxima numa seção retangular é dada por:
3. Considere uma viga biapoiada de seção circular e área A. O esforço cortante na região analisada apresenta módulo V. Determine a tensão cisalhante máxima, em módulo:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "C".
Considere a seção circular a seguir. A tensão de cisalhamento ocorre no diâmetro da seção:
Espessura da linha: t = 2R
Área 
Momento estático Q – lembrando que o centroide do semicírculo, em relação ao diâmetro, está na posição 
Momento de inércia I do círculo em relação ao eixo neutro: 
Substituindo na equação 13, tem-se:
4. Considere a viga mostrada na figura como parte de uma estrutura em equilíbrio. A seção reta da viga é constante e tem a forma de um retângulo de base b e altura h. Em dada seção é feito um “corte” para estudo e o esforço cortante tem módulo V. Que expressão determina a tensão cisalhante num ponto localizado a uma distância de da linha neutra?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
A equação 15 determina a tensão cisalhante em qualquer ponto para uma seção retangular.
y é medido a partir da linha neutra. Para a questão, . Substituindo-se na equação anterior, tem-se:
5. Duas vigas maciças e de seções retas com mesma área A estão submetidas a carregamento particulares. A primeira viga tem seção retangular, e a segunda viga, seção circular. Considere que nas duas seções de estudo os esforços cortante tenham mesmo valor V. Qual a razão entre as tensões cisalhantes máximasatuantes (na seção considerada) na primeira e na segunda vigas:
A) 
B) 
C) 1
D) 
E) 
A alternativa correta é "D".
A tensão cisalhante máxima para a seção retangular é dada por , e para a seção circular é dada por . Assim, a razão entre as tensões será:
6. (Questão 7.4 do livro Resistência dos Materiais. Hibbeler, 2010, p. 272) Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V = 125kN, conforme a figura, determine a tensão de cisalhamento máxima:
A) 8,74MPa
B) 10,25MPa
C) 14,89MPa
D) 16,52MPa
E) 19,87MPa
A alternativa correta é "E".
1. Considere que uma viga de seção circular de raio 20mm está sob flexão, no regime elástico. A tensão cisalhante máxima é igual a 6,00MPa. Se a viga for trocada por outra de raio 40mm, sob as mesmas condições, a tensão cisalhante máxima será:
A) 6,00MPa
B) 4,50MPa
C) 3,00MPa
D) 1,50MPa
E) 0,50MPa
A alternativa "D" está correta.
Para uma seção circular, a tensão máxima é dada por:
	A razão entre as tensões cisalhantes é:
2. Uma viga biapoiada com 2m de comprimento está sob um carregamento uniforme. Em dada seção o esforço cortante é de 12kN. Supondo que a seção reta seja um retângulo de base 200mm e altura 250mm, determine a tensão cisalhante máxima:
A) 1,00MPa
B) 0,80MPa
C) 0,50MPa
D) 0,36MPa
E) 0,25MPa
A alternativa "D" está correta.
Para uma seção retangular, a tensão máxima é dada por:
Tema 4 - Flexão Obliqua, Composta e Flambagem
MODULO 1 - Calcular a flexão oblíqua
1. Suponha uma viga de base e altura , conforme a imagem. O momento fletor M atuante na viga é tal que o ângulo 0 é igual a . Determine a inclinação da linha neutra, em relação ao eixo z.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "B".
Inicialmente, serão determinados os momentos de inércia da seção retangular em relação aos eixos y e z, ou seja:
A partir da equação 6, tem-se:
2. Seja uma seção reta quadrangular em que o momento fletor forma um ângulo de 40º com o eixo principal z. A intensidade do momento fletor é igual a 1.200N.m. A inclinação da linha neutra ou eixo neutro, em relação ao eixo z, vale:
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) Faltam Dados
A alternativa "C" está correta.
A seção reta é um quadrado. Assim, os momentos de inércia em relação aos eixos principais y e z são iguais, ou seja, . A partir da equação 6, tem-se:
3. Considere uma viga cuja seção reta é um retângulo de base 100mm e altura 200mm. Um momento de intensidade 200N.m é aplicado tal que o seu vetor forme um ângulo de 300 com o eixo principal z (observe a imagem). Determine a tensão normal por flexão no ponto A.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Inicialmente, serão determinadas as projeções de M em y e em z:
Coordenadas do ponto A, em relação aos eixos adotados:
Momentos de inércia:
Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
4. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil – adaptada) A imagem a seguir representa a seção transversal de um pilar retangular de área submetido à flexão oblíqua, em que os momentos e nos sentidos representados na imagem. Pode-se afirmar que a tensão normal atuante no ponto A vale:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "C" está correta.
É possível inferir, a partir da imagem, que os dois momentos fletores aplicados provocam tensão normal trativa no ponto A. Momentos de inércia da seção reta em relação aos eixos principais:
Efeitos separados de cada momento fletor:
Fazendo a superposição dos efeitos, a tensão normal trativa em A é 
5. Uma viga de seção circular com 40mm de raio está sob ação de dois momentos fletores em torno dos eixos principais y e z, conforme a imagem a seguir. Determine a tensão normal em A.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "C".
Considerando os eixos y e z apresentados, os momentos são positivos. Assim:
Momento de inércia em relação aos eixos y e z:
Localização do ponto A:
Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
6. (Questão 6.103, HIBBELER, R. C, 2010, p. 222). Determine o valor máximo do momento fletor M de modo que a tensão de flexão no elemento não ultrapasse .
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
1. (IESES - 2015 - TRE-MA - Técnico Judiciário - Edificações – adaptada) Nas estruturas usuais de edificações compostas por vigas, lajes e pilares, o caminho das cargas começa pelas lajes, que transferem o carregamento para as vigas e em seguida para os pilares que as transferem para as fundações. Existe uma diferença na excentricidade do carregamento que depende do fato de o pilar ser de canto (submetido ao carregamento de duas vigas), de borda (submetido ao carregamento de três vigas) ou interno (submetido ao carregamento de quatro vigas). Assinale o tipo de solicitação a que estão submetidos os pilares de canto.
A) Flexão oblíqua
B) Compressão simples
C) Flexão composta
D) Flexão confinada
E) Flexão pura
A alternativa "A" está correta.
Os pilares dos cantos sustentam duas vigas que são perpendiculares. O efeito de cada uma é a flexão. Como são duas “flexões” perpendiculares, equivale às projeções ortogonais de um vetor momento oblíquo. Por isso, a flexão é obliqua.
2. Uma estrutura tem uma viga de seção reta quadrada com de aresta sob flexão oblíqua. O momento aplicado tem intensidade igual a e forma um ângulo 0 com o eixo principal z. A linha neutra tem uma orientação dada pelo ângulo com o mesmo eixo z. Determine a razão entre as tangentes desses ângulos, ou seja, .
A) 0,5
B) 0,8
C) 1,0
D) 1,2
E) 1,5
A alternativa "C" está correta.
A orientação da linha neutra ou eixo neutro é dada pela expressão:
Os momentos de inércia, em relação aos eixos y e z:
	
Assim:
MODULO 2 - Calcular a flexão composta
1. (CS-UFG - 2014 - UEAP - Técnico em Infraestrutura - Engenharia Civil – adaptada). Um pilar com seção transversal 0,20m x 0,50m está submetido a uma solicitação normal cuja resultante de 100,0kN localiza-se no eixo de menor inércia, a 0,20m do centroide da seção. Qual é o valor da tensão normal, em MPa, nesse centroide?
A) 1,0
B) 2,0
C) 2,4
D) 3,4
E) 4,0
A alternativa correta é "A".
Inicialmente, deve-se substituir a força normal por um sistema equivalente no centroide. Assim, no centroide, uma força normal de intensidade 100kN, e um momento fletor ao longo de um dos eixos principais. Analisando cada efeito isoladamente: o momento é uma flexão pura. Logo a linha neutra coincide com o eixo principal, ou ainda no centroide esse momento não exerce tensão por flexão. Assim, o efeito resultante é apenas a tensão provocada pelo esforço normal.
2. Em dada seção reta de uma viga, atua uma carga normal excêntrica de 10kN (não localizada em nenhum eixo principal). A seção é retangular de dimensões 100mm de base e 200mm de altura. Supondo que nessa seção existam tensões por flexão compressivas e trativas, a linha neutra da seção é uma função:
A) Polinomial do 4º grau.
B) Polinomial do 3º grau.
C) Polinomial do 2º grau.
D) Polinomial do 1º grau.
E) Não existe linha neutra.
A alternativa "D" está correta.
Como na seção existem tensões de sinais distintos, há uma linha de transição em que as tensões são nulas, ou seja, a linha neutra. A partir da equação 9, tem-se:
F, A, , , e são valores constantes. Substituindo os valores hipotéticos e utilizando o fato de a tensão ser nula na linha neutra, tem-se:
Assim, a equação é uma função polinomial do primeiro grau.
3. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil). A figura representa a seção transversal de um pilar de , submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de compressão de valor , e os momentos e , nos sentidos representados na figura. Pode-se afirmar que a tensão normal característica atuante no ponto A vale:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "D".
Momentos de inércia:
Calculando a tensão normal devido a cada efeito:
Força normal:
Tensão devido ao momento 
Por inspeção, é trativa: 
Tensão devido ao momento 
Por inspeção, é trativa: 
Assim, a tensão resultante em A é:
4. Em uma estrutura, uma viga retangular de dimensões 100mm de base e 200mm de altura apresenta umacarga excêntrica compressiva de 200kN aplicada no vértice A paralela ao eixo x. Determine neste ponto, a tensão normal.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 0
A alternativa correta é "B".
5. (CESPE - 2018 - TCM-BA - Auditor Estadual de Infraestrutura). As peças submetidas à flexão composta sofrem ação de flexão acompanhada de:
A) Torção
B) Força normal
C) Esforço cortante
D) Momento fletor
E) Deformações excessivas
A alternativa "B" está correta.
A flexão composta é a superposição dos efeitos de uma carga normal (compressiva ou trativa) e dois momentos fletores em torno dos eixos principais de inércia.
6. Considere uma seção reta ABCD na forma retangular (80mm de base e 120mm de altura) em que atua uma carga concêntrica P. A flexão composta apresenta linha neutra dada pela equação y – 3, 6z – 0,048 = 0 (y e z em metros), conforme a figura. Determine o valor do segmento DI, em milímetros.
A) 35mm
B) 30mm
C) 25mm
D) 20mm
E) 10mm
A alternativa correta é "E".
A interseção da linha neutra com a aresta AD ocorre para y = - 60mm = - 0,06m. Substituindo na equação da linha neutra, tem-se:
Assim:
1. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal - Engenharia Civil – adaptada). Considerando: I - Flexão pura, II - Flexão oblíqua, e III - Flexão composta para um elemento estrutural de seção transversal retangular, podemos afirmar que:
A) I - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; II - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal; III - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
B) I - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
C) I - o eixo neutro não coincide com os eixos principais de inércia da seção transversal; II - o eixo neutro não passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
D) I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal.
E) I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal e coincide com um dos eixos principais de inércia; III - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal de forma similar à flexão oblíqua.
A alternativa "B" está correta.
Na flexão pura, a linha neutra coincide com um dos eixos principais. Na flexão oblíqua, a linha neutra passa pela interseção dos eixos principais, não coincidindo com os eixos principais. Na flexão composta, a linha neutra sofre uma translação em relação à linha neutra da flexão oblíqua.
2. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil - adaptada). A figura representa a seção transversal de um pilar de área retangular submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de compressão de valor e , nos sentidos representados na figura. Pode-se afirmar que a tensão normal característica atuante no ponto B vale:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa "A" está correta.
Cálculo dos momentos de inércia principais:
Em B, os momentos fletores atuam no sentido de comprimir o ponto, assim como a força norma. Determinado o módulo da tensão normal no ponto B, devido a cada efeito, tem-se:
Força normal:
Tensão devido ao momento :
Por inspeção, é compressiva: 
Tensão devido ao momento 
Por inspeção, é compressiva: 
Assim, a tensão resultante em A é:
MODULO 3 - Reconhecer o centro de cisalhamento
1. Suponha uma viga apenas com simetria na direção horizontal, submetida a um carregamento vertical P aplicado no centroide da seção, conforme figura. A espessura t é considerada desprezível frente às outras dimensões. Quanto ao centro de cisalhamento (O), é correto afirmar que:
A) Se a força P for aplicada no centro de cisalhamento (O), ocorrerá torção na viga, denominada pura.
B) Se a força for oblíqua e aplicada no centro de cisalhamento, a torção poderá ocorrer dependendo do ângulo que P faz com a horizontal.
C) Se a força P tiver sua linha de ação passando pelo centro de cisalhamento, não provocará torção na viga.
D) Para evitar a torção na viga, o centro de cisalhamento deve estar localizado na parede vertical da seção reta.
E) A torção na viga poderá ser evitada caso o centro de cisalhamento esteja localizado em uma das abas (inferior ou superior).
A alternativa correta é "C".
A forças resultantes que atuam nas abas geram um conjugado que pode ser “anulado” com o deslocamento da linha de ação da força P. O ponto de aplicação de P é denominado centro de cisalhamento e é calculado por:
2. Seja uma viga metálica com uma extremidade engastada e a outra livre. Pelo centroide da seção reta passa a linha de ação da força F = 30kN. Nessa situação, ocorre a torção da viga. Um engenheiro deseja eliminar o efeito de torção, deslocando a linha de ação da força para o centro de cisalhamento. Considerando como referencial a parede média da alma da seção (linha tracejada em destaque), determine a distância . A imagem apresenta a situação descrita e as dimensões da seção reta são b = 200mm, h = 300mm e a espessura t = 5mm.
A) 80mm
B) 75mm
C) 70mm
D) 65mm
E) 60mm
A alternativa correta é "A".
A distância do centro de cisalhamento à parede média da alma da seção (vertical) é determinada por:
Substituindo os valores apresentados, tem-se:
3. Para a viga em forma de U, o centro de cisalhamento apresenta-se a distância e da parede média vertical da seção. Seu valor pode ser determinado pela expressão:
Em que b é a dimensão das abas e h a altura da alma da viga. Supondo que a espessura t seja uniforme e bem menor que os valores de b e h, que valores o pode assumir:
A) De 0 a h
B) De 0 a b
C) De 0 a h/2
D) De 0 a b/2
E) De b a h
A alternativa correta é "D".
A expressão que determina a distância e do centro de cisalhamento é:
É possível dividir o numerador e o denominador da fração por 3b. Assim:
A razão pode assumir valores pequenos (tendendo a zero) ou valores grandes (tendendo a infinito). Em cada situação tem-se:
Logo, a distância varia de 0 a b/2.
4. Suponha uma cantoneira, conforme a figura a seguir. Os pontos A e C localizam-se nas extremidades das abas. B está no vértice da cantoneira, enquanto D e E estão nos pontos médios das abas. Para que não ocorra torção, a força atuante deve ter linha de ação passando pelo centro de cisalhamento. Dentre os pontos apresentados, qual pode representar o centro de cisalhamento para a seção reta?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
A alternativa correta é "B".
As forças atuantes nas abas concorrem no ponto B. Para que não ocorra torção, a força cortante deve ser aplicada tal que sua linha de ação passe pelo ponto B. Matematicamente, tem-se:
Como as forças concorrem em B, . Logo, a equação é satisfeita se a força for aplicada de tal forma que a linha de ação passe pelo ponto B.
5. Considere uma seção reta de uma viga U, com espessura t constante, conforme a figura. A tensão na aba superior tem variação linear, porém na extremidade da esquerda e máxima. O fluxo de cisalhamento na aba é dado por:
Determine a expressão que define a intensidade da força F na aba.
Dado: 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Substituindo-se q na expressão para a determinação da força F, tem-se:
Substituindo os limites de integração: 0 e b
6. Considere uma viga U engastada em uma das extremidades e com o carregamento mostrado na imagem.
O centro de cisalhamento é o ponto O, onde a força de 1000N é aplicada. As dimensõesda seção reta da viga são: b = 100mm, h = 200mm e a espessura t = 2mm. Sabe-se que a tensão cisalhante na aba superior é dada pela seguinte expressão:
Qual a tensão no ponto médio da aba superior?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "A".
1. Um engenheiro determinou uma expressão para calcular a distância e do centro de cisalhamento para determinada viga, em função dos parâmetros geométricos da seção reta (b e h).
Considerando que a razão é muito menor que 2, qual o valor da distância e?
A) b
B) h
C) 
D) 
E) 
A alternativa "D" está correta.
É possível reescreve a expressão que calcula e:
Se a razão for muito menor que 2, pode ser desprezada (em relação ao 2). Assim:
2. A tensão de cisalhamento nas abas da seção reta de uma viga é determinada a partir da expressão: 
Em que V é o esforço cortante na alma da viga, h a distância entre as abas e i o momento de inércia da seção em relação ao eixo centroide horizontal. É correto afirmar que, ao longo da aba:
A) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo nula na extremidade A.
B) A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo nula na extremidade A.
C) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima na extremidade A.
D) A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo máxima no ponto B.
E) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima no ponto médio de AB.
A alternativa "A" está correta.
A equação que determina a tensão cisalhante é linear (depende de x). A partir do eixo x, na figura, é possível determinar a tensão cisalhante em A, x = 0 e, em B, x = b. Assim, a tensão no ponto A é:
MODULO 4 - Formular a flambagem de colunas
1. (IADES - 2014 - UFBA - Engenheiro Mecânico). Um componente mecânico sujeito a severas cargas de compressão precisa ser investigado quanto à flambagem. Considerando que seu momento de inércia é X, que a área de seção transversal é Y e que o comprimento é Z, é correto afirmar que o índice de esbeltez desse componente, definido como a razão do comprimento pelo raio de giração, é:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Inicialmente, será determinado o raio de giração:
O índice de esbeltez da coluna é dado por . Substituindo, tem-se:
2. Uma coluna tem seção reta quadrada e 2m de comprimento. Supondo que as extremidades da coluna sejam articuladas e uma força compressiva de 350kN seja aplicada, determine a aresta mínima da seção reta para que a coluna não sofra flambagem. Considere que o material apresenta módulo de elasticidade E = 70GPa e que a tensão admissível do material não seja alcançada.
A) 50,28mm
B) 55,62mm
C) 60,75mm
D) 65,42mm
E) 70,25mm
A alternativa correta é "E".
A partir da equação da carga crítica para colunas biarticuladas, tem-se:
Mas o momento de inércia da seção quadrangular é dado por: . Portanto:
3. Considere uma pequena coluna cilíndrica biarticulada de seção circular de raio 20mm que está submetida a uma força F compressiva. O material da coluna é tal que seu módulo de elasticidade é 200GPa, e a tensão de escoamento à compressão é 320MPa. Determine a carga crítica, sendo o comprimento da coluna de 1m.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A alternativa correta é "E".
Análise para a flambagem:
Momento de inércia para a seção circular: 
Para colunas biarticuladas, a equação de Euler é:
Análise para o escoamento.
Logo, a flambagem é mais crítica que o escoamento.
4. (FGV - 2016 - COMPESA - Analista de Saneamento - Engenheiro Mecânico). A imagem a seguir apresenta duas barras constituídas pelo mesmo material e que possuem também o mesmo comprimento e seção transversal.
A viga (1) tem uma das extremidades fixa (engastada) e a outra fixa por pino. A viga (2) tem as extremidades fixas (biengastada). A relação entre as cargas críticas de flambagem de Euler das colunas (2) e (1), nessa ordem, vale:
A) 0,25
B) 0,50
C) 1,40
D) 1,96
E) 4,00
A alternativa correta é "D".
Inicialmente, deve-se encontrar o comprimento efetivo para cada coluna.
Coluna 2: 
Coluna 1: 
5. (UECE-CEV - 2018 - Prefeitura de Sobral - CE - Analista de Infraestrutura - Engenharia Mecânica – adaptada). Um pilar de aço de seção retangular maciça (0,12m x 0,01m) e 20m de comprimento está engastado em ambas as suas extremidades e é submetido a um carregamento de compressão, conforme apresentado na imagem a seguir.
Sabendo que o módulo de elasticidade do aço é de e considerando , é correto afirmar que a carga crítica de flambagem é igual a:
A) 30.000N
B) 28.800N
C) 7200N
D) 200N
E) 50N
A alternativa correta é "D".
6. (FCC - 2007 - MPU - Analista - Engenharia Civil - adaptada). O comprimento de flambagem das colunas de comprimento L submetidas a esforços de compressão é função de suas extremidades, sendo dado pela expressão do comprimento efetivo . O valor de K, para as colunas abaixo representadas, é, respectivamente:
A) 0,3; 0,5; 0,7; 1,0
B) 0,5; 0,7; 0,8; 1,5
C) 1,0; 1,5; 2,0; 2,5
D) 0,7; 1,0; 1,5; 2,0
E) 0,5; 0,7; 1,0; 2,0
A alternativa correta é "E".
A expressão geral para determinar a carga crítica para colunas sob compressão é dada por:
Dependendo da vinculação que a coluna tenha, o comprimento efetivo será diferente:
Coluna biengastada: 
Coluna engastada /rotulada: 
Coluna birrotulada: 
Coluna engastada/livre: 
Assim, o K para cada situação será: 0,5 / 0,7 / 1,0 / 2,0
1. (FEPESE - Engenheiro (CELESC)/Engenharia Civil/2018). Fenômeno de instabilidade elástica que pode ocorrer em elementos compridos delgados, e que se manifesta pelo aparecimento de movimentos significativos transversais à direção principal da força. Essa definição refere-se à:
A) Flambagem
B) Flexão oblíqua
C) Flexão composta
D) Flexão pura
E) Torção
A alternativa "A" está correta.
A flambagem caracteriza-se pela aplicação de uma força compressiva em elementos compridos e esbeltos (colunas). Na flambagem, ocorre um deslocamento lateral, na situação de equilíbrio instável.
2. (IBADE - 2019 - Prefeitura de Vilhena - RO - Engenheiro Civil - adaptada). No que tange ao cálculo de flambagem de colunas de comprimento 2,0m engastadas em ambas as extremidades, o valor do comprimento efetivo é:
A) 4,0m
B) 3,0m
C) 2,0m
D) 1,0m
E) 0,5m
A alternativa "D" está correta.
Para colunas biengastadas, a fórmula para a determinação da carga crítica de flambagem é dada por:
Em que é o comprimento efetivo.
Para essa vinculação particular, . Logo: