Tema 00 01 - Revisão de Cálculo I

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Cálculo II 1 
 
CURSOS: ENGENHARIA CIVÍL; ENHENHARIA DA COMPUTAÇÃO; ENHENHARIA ELÉTRICA; 
ENHENHARIA DE PRODUÇÃO. 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
 
TEMA 00: Revisão de Derivada 
Objetivo: Rever os principais conceitos e ideias em torno da derivada com o intuito de correlacionar o 
estudo de integrais como antiderivada. 
 
Primeiramente vamos entender o que é derivada. 
A derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação a um ponto. 
 
Origem do conceito de derivada de uma função: 
 https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php 
 
Mas o que é taxa de variação mesmo? 
Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua definida no intervalo ]𝑎, 𝑏[ e sejam 𝑥0 ∈ ]𝑎, 𝑏[ e 𝑥1 ∈ ]𝑎, 𝑏[ , onde 𝑥0 < 𝑥1. 
Chamamos de Δ𝑥 a variação do domínio da função de tal modo que Δ𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0, e por sua vez chamamos de Δ𝑦 
a variação da imagem da função Δ𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0, de tal forma que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) e 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥), com isso, 
Δ𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) . 
 
Incremento em x: Quando x varia de um valor inicial de 𝑥0 para um valor final 𝑥1, temos o incremento em x 
(𝛥𝑥), 𝛥𝑥 ∈ ℝ+
∗ . 
 
Incremento em y: Quando y varia de um valor inicial de 𝑦0 para um valor final 𝑦1, temos o incremento em 
y (𝛥𝑦). Observe que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) e 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥). 𝛥𝑦 ∈ ℝ. 
 
 
Taxa média de variação é a razão 
 
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
= 
 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
 
 
 
 
Cálculo II 2 
 
Para melhorar o entendimento, veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 1: Seja a função 𝑓, tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, para 𝑥 ∈ ℝ. Determine a taxa média de variação de 𝑓, 
quando 𝑥 ∈ [1; 4]. 
 
 Temos que: 𝑥0 = 1 e 𝑥1 = 4, dessa forma, Δ𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 = 4 − 1 = 3 
 
Agora basta calcular 
 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(1) = 2.1 + 1 = 3 
𝑦1 = 𝑓(4) = 𝑓(4) = 2.4 + 1 = 9 
 
Dessa forma, Δ𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 9 − 3 = 6 
 
A taxa média de variação de 𝑓, 
Δ𝑦
Δ𝑥
=
6
3
= 2 
 
Exemplo 2: Seja a função 𝑓, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, para 𝑥 ∈ ℝ. Determine a taxa média de variação de 𝑓, 
quando 𝑥0 = 0 e Δ𝑥 = 2. 
 
 Temos: 𝑥0 = 0 e 𝑥1 = 𝑥0 + Δ𝑥 = 0 + 2 = 2 
 
Agora basta calcular 
 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(0) = 0
2 + 1 = 1 
𝑦1 = 𝑓(4) = 𝑓(2) = 2
2 + 1 = 5 
 
Dessa forma, Δ𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 5 − 1 = 4 
 
A taxa média de variação de 𝑓, 
Δ𝑦
Δ𝑥
=
4
2
= 2 
 
Observe que nos exemplos 1 e 2 Δ𝑥 assumiu um valor real maior que zero. Agora imagine que este Δ𝑥, 
assuma valores como 0,001 , 0,00000001 e assim por diante. 
 
Essa taxa de variação média, passa a tender a uma taxa de variação instantânea. Desta forma, construímos a 
ideia de derivada. 
 
Introdução à taxa média de variação: 
https://pt-pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/functions-average-rate-of-
change/v/introduction-to-average-rate-of-change 
 
Newton, Leibniz e Usain Bolt: 
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-
1/v/newton-leibniz-and-usain-bolt 
 
 
Derivada de funções 
 
De um ponto de vista geométrico, os pontos (P e Q) que determinam a taxa média de variação formam uma 
reta secante a função, onde a taxa média de variação é o coeficiente angular desta reta. 
 
Desta forma, suponhamos que P esteja fixo e que o ponto Q se mova sobre a curva em direção ao ponto P. 
Diante disso, a inclinação da reta secante variará. À medida que Q se aproxima de cada vez mais de P, a inclinação 
da secante varia cada vez menos, tendendo a um valor limite constante. ~çoiuy 
Cálculo II 3 
Este valor é chamado de inclinação da reta tangente a curva no ponto P, ou coeficiente angular da reta 
tangente a curva no ponto P, ou ainda, inclinação da curva em P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Dada uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), seja 𝑃(𝑥0, 𝑦0) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à 
curva no ponto 𝑃 é dada por: 
𝑚(𝑥0) = 𝑎(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
𝑄→𝑃
𝛥𝑦
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥1→𝑥0
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
quando o limite existe. 
 
Fazendo 𝛥𝑥 + 𝑥0 = 𝑥1, podemos reescrever o limite na forma: 
𝑚(𝑥0) = 𝑎(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝛥𝑥
 
 
Conhecendo a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a curva no ponto P, podemos encontrar a 
equação da reta tangente à curva em 𝑃. 
 
Equação da reta tangente: Se a função 𝑓(𝑥) é contínua em 𝑥0, então a reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) em 
𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) é: 
A reta que passa por 𝑃 tenda o seguinte coeficiente angular: 
 
𝑚(𝑥0) = 𝑎(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝛥𝑥
 
 
Se o limite existir, neste caso, 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑚(𝑥 − 𝑥0), ou ainda, 𝑦 = 𝑎(𝑥0 ). 𝑥 + 𝑏 
 
A derivada é uma das peças chave no estudo de cálculo, para diversos campos das ciências a utilização das 
derivadas se faz presente. Mas essa aplicabilidade das derivaras terá uma interpretação específica no estudo 
financeiro, onde a derivada assume o significado de marginalidade. Já na física, cinemática a derivada assume o papel 
de velocidade instantânea. 
 
Os artigos links abaixo ajudam a elucidar as aplicações da derivada. O primeiro link é da dissertação de 
mestrado de Luiz Eduardo Wanderley Buarque de Barros, e trata da aplicação de cálculo na área de finanças e 
economia; O segundo link, de Marcos Noé, é do site Brasil Escola e remete uma visão geral e sucinta do assunto; Já 
o terceiro link, de Geraldo Ávila, retrata a aplicação de derivada na física; E o quarto, que na verdade é um bloco, 
possui vários links explicando o que é derivada. 
 
Cálculo um estudo de suas aplicações às áreas financeira e econômica: 
http://tede.biblioteca.ufpb.br/bitstream/tede/7469/5/arquivototal.pdf 
 
Introdução ao Estudo de Derivadas: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm 
 
Derivada e Cinemática: 
http://rpm.org.br/cdrpm/61/6. 
http://rpm.org.br/cdrpm/61/6
Cálculo II 4 
 
Derivada: Coeficientes da Reta 
https://www.youtube.com/watch?v=I11VcxwOCm0 
 
Derivadas - Aula 1 - Definição - Prof. Gui 
https://www.youtube.com/watch?v=UszuOqS0DYE 
 
Me Salva! Cálculo - O que é uma Derivada? 
https://www.youtube.com/watch?v=CQxb5ZXeY3E 
 
Grings - Curso básico de derivadas - Aula 1 
https://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw 
 
A derivada de uma função 𝑓 é representada por 𝑓′, esta representação não é única; é comum encontrar as 
seguintes representações também 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 e 𝐷𝑥𝑓(𝑥). Independente da notação a definição de derivada é única. 
 
𝑓′(𝑥) = lim
𝛥𝑥→0
𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝛥𝑥
 
 
Diferenciação é a operação que determina a derivada de uma função 𝑓(𝑥), a qual podemos determinar 
efetuando a definição de derivada. No entanto, este processo não é prático, e para dinamizar este processo o uso da 
tabela de derivação será adotado. 
As relações estabelecidas na tabela podem ser demonstradas pela aplicação da definição de derivada. 
 
Propriedades 
Considere 𝑘 uma constante e 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) funções que possuem limites determinados. 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑔′(𝑥) 
ii) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + ℎ′(𝑥) 
iii) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ ℎ′(𝑥) 
iv) 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑔′(𝑥)∙ℎ(𝑥)−𝑔(𝑥)∙ℎ′(𝑥)
[ℎ(𝑥)]2
 ∗ 𝑜𝑏𝑠: ℎ(𝑥) ≠ 0 
v)𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥))  𝑓′(𝑥) = ℎ′[𝑔(𝑥)] ∙ 𝑔′(𝑥) 
 
Tabela de Derivadas 
 
𝑦 = 𝑐  𝑦  = 0 
 𝑦 = 𝑥  𝑦  = 1 
 𝑦 = 𝑥𝑛  𝑦  = 𝑛 𝑥𝑛−1 
 𝑦 = 𝑎𝑥  𝑦  = 𝑎𝑥 𝑙𝑛 𝑎 
 𝑦 = 𝑒𝑥  𝑦  = 𝑒𝑥 
𝑦 = log𝑎 𝑥  𝑦
′ =
1
𝑥
. loga 𝑒 
 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥  𝑦  =
1
𝑥
 
 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥  𝑦  = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥  𝑦  = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥  𝑦  = sec2 𝑥 
 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥  𝑦  = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥  𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 
 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥  𝑦  = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥  𝑦  = 
1
√1−𝑥2
 
 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥  𝑦  = −
1
√1−𝑥2
 
 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥  𝑦  = 
1
1 + 𝑥2
 
 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥  𝑦  = −
1
1 + 𝑥2
 
 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥  𝑦  = 
1
|𝑥|√𝑥2−1
 
 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥  𝑦  = − 
1
|𝑥|√𝑥2−1
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=I11VcxwOCm0
https://www.youtube.com/watch?v=UszuOqS0DYE
Cálculo II 
 5 
 
Vamos testar os seus conhecimentos? 
 
Calcule a derivada das funções: 
 
Bloco I: 
a) 𝑓(𝑥) = 5 𝑥10 
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) =
5
3
𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 4 
g) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 3𝑥2 
h) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4𝑐𝑜 𝑠(𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑡𝑔(𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ln 𝑥 
m) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥3 
 
Bloco II: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥6. 𝑒𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥5. 𝑡𝑔(𝑥) 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1). 3𝑥 
 
Bloco III: 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑙 𝑛 𝑥
𝑥
 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑒𝑥
 
e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
f) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
 
Bloco IV: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥3) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 + 6) 
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)7 
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥6 + 3𝑥 )8 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)7 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥2 + 1) 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
3+4𝑥 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛( 𝑥
5+5𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥6 + 5𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛6(𝑥4 + 3𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛( 𝑥2 + 1)) 
 
 
Cálculo II 
 6 
Soluções: 
 
Calcule a derivada das funções: 
 
Bloco I: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 5 𝑥10 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 5 .10 𝑥10−1 = 50 𝑥9 
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = (−3). cos(𝑥) = −3cos (𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) =
5
3
𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
5
3
𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1 + 0 = 2𝑥 + 1 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 4 ⇒ 𝑓′ (𝑥) = 2𝑥 + 3.1 + 0 = 2𝑥 + 3 
g) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 3𝑥2 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3.4𝑥3 + 3.2𝑥 = 12𝑥3 + 6𝑥 
h) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 ⇒ 𝑓′ (𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛 2 + 3𝑥 𝑙𝑛 3 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4𝑐𝑜 𝑠(𝑥) ⇒ 𝑓′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑡𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0 + sec2(𝑥) = sec2(𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ln 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 1 +
1
𝑥
 
m) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 ln 3 + 3𝑥2 
 
 
Bloco II: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑔(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 1 
ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ ℎ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
𝑓′ (𝑥) = [1. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] + [𝑥. 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)] 
𝑓′ (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥6. 𝑒𝑥 
𝑔(𝑥) = 𝑥6 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 6𝑥5 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓′ (𝑥) = [6𝑥5 . 𝑒𝑥] + [𝑥6 . 𝑒𝑥] 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 . 𝑒𝑥 + 𝑥6 . 𝑒𝑥 
 
Nesse caso, é comum colocar em evidência o termo “𝑒𝑥” e observara seguinte função: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥(6𝑥5 + 𝑥6) 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 𝑒𝑥 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 2𝑥 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓′(𝑥) = [2𝑥. 𝑒𝑥] + [𝑥2. 𝑒𝑥] 
𝑓′ (𝑥) = 𝑒𝑥 (2𝑥 + 𝑥2) 
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥5. 𝑡𝑔(𝑥) 
𝑔(𝑥) = 𝑥5 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 5𝑥4 
ℎ(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) ⇒ ℎ′ (𝑥) = sec2(𝑥) 
 
𝑓′(𝑥) = 5𝑥4. 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑥5. sec2(𝑥) 
 
 
 
Cálculo II 
 7 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1). 3𝑥 
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 1 
ℎ(𝑥) = 3𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 3𝑥 𝑙𝑛 3 
 
𝑓′ (𝑥) = [1 . 3𝑥] + [(𝑥 + 1)3𝑥𝑙𝑛 3] 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 . (1 + 𝑥 𝑙𝑛 3 + 𝑙𝑛 3 ) 
 
 
Bloco III: 
 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
 
𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
ℎ(𝑥) = 𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 1 
 
𝑓′ (𝑥) =
cos(𝑥) . 𝑥 − 1. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(𝑥)2 
 
𝑓′ (𝑥) =
𝑥𝑐𝑜 𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥2
 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥
 
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 1 
ℎ(𝑥) = 𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 1 
 
𝑓′ (𝑥) =
[1. 𝑥] − [1. (𝑥 + 1)]
(𝑥)2
 
𝑓′ (𝑥) =
𝑥 − 𝑥 − 1
𝑥2
 = −
1
𝑥2
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑙 𝑛 𝑥
𝑥
 
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥) ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 1/𝑥 
ℎ(𝑥) = 𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 1 
 
𝑓′ (𝑥) =
[
1
𝑥
. 𝑥] − [1. 𝑙 𝑛 𝑥]
(𝑥)2
 
𝑓′ (𝑥) =
1 − 𝑙 𝑛 𝑥
𝑥2
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑒𝑥
 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 2𝑥 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 𝑒𝑥 
 
𝑓′ (𝑥) =
[2𝑥. 𝑒𝑥] − [𝑥2. 𝑒𝑥]
(𝑒𝑥)2
 
𝑓′ (𝑥) =
𝑒𝑥(2𝑥 − 𝑥2)
(𝑒𝑥)2
 
𝑓′ (𝑥) =
2𝑥 − 𝑥2
𝑒𝑥
 
 
 
 
Cálculo II 
 8 
e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑔(𝑥) = 1 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 0 
ℎ(𝑥) = 𝑥 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 1 
 
𝑓′(𝑥) =
0 . 𝑥 − 1.1
[𝑥]2
= −
1
𝑥2
 
 
f) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
 
𝑔(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = 1 
ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ ℎ′ (𝑥) = cos (𝑥) 
 
𝑓′(𝑥) =
1 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 . cos(𝑥)
[𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2
 
 
𝑓′(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
 
 
Bloco IV: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥3) 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜 𝑠(𝑥3) . 3𝑥2 = 3𝑥2. 𝑐𝑜 𝑠(𝑥3) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 + 6) 
𝑓′ (𝑥) = 𝑐𝑜 𝑠(5𝑥 + 6) (5 + 0) = 5𝑐𝑜𝑠 (5𝑥 + 6) 
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)7 
𝑓′ (𝑥) = 7. (𝑥2 + 1). (2𝑥) = 14𝑥 (𝑥2 + 1)6 
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥6 + 3𝑥 )8 
𝑓′(𝑥) = 8. (𝑥6 + 3𝑥)7. (6𝑥5 + 3) = (𝑥6 + 3𝑥)7(48𝑥5 + 24) 
 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)7 
𝑓′(𝑥) = 7 . (𝑥 + 4)6(1 + 0) = 7(𝑥 + 4)6 
 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥2 + 1) 
𝑓′(𝑥) = (2𝑥).
1
( 𝑥2 + 1)
=
2𝑥
 𝑥2 + 1
 
 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
3+4𝑥 
𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 + 4). 𝑒𝑥
3+4𝑥 
 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛( 𝑥
5+5𝑥) 
𝑓′(𝑥) = (5𝑥4 + 5). cos(𝑥5 + 5𝑥) 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥
5+5𝑥) 
 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥6 + 5𝑥) 
𝑓′(𝑥) = cos(𝑥6 + 5𝑥) . (6𝑥5 + 5) = (6𝑥5 + 5) cos(𝑥6 + 5𝑥) 
 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛6(𝑥4 + 3𝑥) 
𝑓′(𝑥) = (24𝑥3 + 18). cos (𝑥4 + 3𝑥). 𝑠𝑒𝑛5(𝑥4 + 3𝑥) 
 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛( 𝑥2 + 1)) 
𝑓′(𝑥) = (2𝑥). 𝑐𝑜𝑠( 𝑥2 + 1).
1
𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥2 + 1)
=
2𝑥. 𝑐𝑜𝑠( 𝑥2 + 1)
 𝑠𝑒𝑛( 𝑥2 + 1)
= 2𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔( 𝑥2 + 1) 
 
Cálculo II 
 9 
Derivada de uma Função: 
https://www.youtube.com/watch?v=OHi7owgHqcU 
 
 
Derivada de uma Função – Exercícios: 
https://www.youtube.com/watch?v=Z9lwjtROUuU 
 
Regras de Derivação - Parte 1 
https://www.youtube.com/watch?v=pobHKCKWP4I 
 
 
Regras de Derivação - Parte 2 
https://www.youtube.com/watch?v=LGjtwyatXtI 
 
Regra da Cadeia - Parte 1 
https://www.youtube.com/watch?v=p9xjPa1EVrw 
 
Derivadas Trigonométricas – Seno 
https://www.youtube.com/watch?v=TcrIT3eN7Tg 
 
Derivadas Trigonométricas – Cosseno 
https://www.youtube.com/watch?v=aqOXEGH4mPI 
 
 
 
Cálculo II 
 10 
Bibliografia: 
 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A - Funções, limite, derivação e 
integração. 6. ed. Pearson, 2006. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos, 2010. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Limites, Derivadas e Noções de 
Integral. 6. ed. Atual, 2005. v.8. 
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. v.1. 
MUNEM, M. FOULIS D. Cálculos.Rio de Janeiro: Guanabara Dois. Vol.1