Termodinâmica do gás ideal

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Termodinâmica	
  do	
  gás	
  ideal	
  
	
  
1.A	
  energia	
  interna	
  de	
  um	
  gás	
  ideal	
  
	
  
Joule	
  fez	
  um	
  experimento	
  	
  onde	
  um	
  gás	
  ideal	
  que	
  foi	
  colocado	
  em	
  um	
  recipiente	
  
com	
  paredes	
  adiatérmicas	
  (figuras	
  1-­‐a	
  e	
  1-­‐b)	
  se	
  expandiu	
  contra	
  uma	
  pressão	
  
externa	
  nula.	
  Ele	
  verificou	
  que	
  a	
  temperatura	
  do	
  gás	
  no	
  estado	
  de	
  equilíbrio	
  
termodinâmico	
  	
  inicial	
  e	
  no	
  estado	
  de	
  equilíbrio	
  termodinâmico	
  final	
  eram	
  iguais	
  
(Ti = Tf ).	
  
	
  
	
  
	
  
Neste	
  experimento	
  calor	
  trocado	
  com	
  o	
  exterior	
  e	
  o	
  trabalho	
  trocado	
  com	
  o	
  
exterior	
  foram	
  nulos	
  porque	
  as	
  paredes	
  do	
  recipiente	
  com	
  o	
  gás	
  eram	
  
adiatérmicas	
  e	
  	
  trabalho	
  	
  que	
  o	
  exterior	
  realizou	
  sobre	
  o	
  gás	
  	
  era	
  nulo	
  ,	
  uma	
  vez	
  
que	
  
Wext = −pextΔV = 0. 	
  
Logo	
  pela	
  Primeira	
  Lei	
  da	
  termodinâmica	
  temos	
  que:	
  
ΔU =Qext +Wext = 0⇒ΔU = 0 .	
  
No	
  experimento	
  de	
  Joule,	
  nem	
  a	
  temperatura	
  do	
  gás	
  nem	
  a	
  energia	
  interna	
  do	
  
gás	
  mudaram.	
  O	
  que	
  variou	
  foi	
  o	
  volume	
  do	
  gás.	
  Com	
  isto,	
  Joule	
  concluiu	
  que	
  a	
  
energia	
  interna	
  do	
  gás	
  ideal	
  não	
  dependia	
  do	
  volume	
  do	
  gás,	
  isto	
  é,	
  só	
  
dependia	
  da	
  temperatura	
  do	
  gás.	
  Com	
  isto,	
  foi	
  possível	
  obter	
  uma	
  expressão	
  
para	
  a	
  energia	
  interna	
  do	
  gás	
  ideal.	
  Como	
  a	
  energia	
  interna	
  do	
  gás	
  	
  só	
  depende	
  
das	
  suas	
  coordenadas	
  termodinâmicas	
  do	
  gás	
  do	
  gás,	
  para	
  calcular	
  a	
  expressão	
  
da	
  variação	
  da	
  energia	
  interna	
  de	
  um	
  gás	
  ideal	
  é	
  suficiente	
  imaginar	
  dois	
  
processos	
  reversíveis	
  que	
  liguem	
  os	
  dois	
  estados.	
  Vamos	
  calcular	
  a	
  variação	
  da	
  
energia	
  interna	
  do	
  gás	
  ideal	
  	
  entre	
  estados	
  com	
  coordenadas	
  termodinâmicas	
  
(V1,T1)	
  e	
  (V2,T2).	
  	
  Estes	
  estados	
  de	
  equilíbrio	
  serão	
  ligados	
  por	
  um	
  processo	
  
isotérmico	
  que	
  leva	
  o	
  gás	
  para	
  o	
  estado	
  de	
  equilíbrio	
  (V3,T3)	
  com	
  T3=	
  T1	
  e	
  por	
  um	
  
processo	
  isovolumétrico	
  	
  que	
  leva	
  o	
  gás	
  para	
  o	
  estado	
  (V2,T2).	
  Estes	
  processos	
  
estão	
  representados	
  na	
  figura-­‐2	
  .	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Figura	
  1-­‐a	
  
	
  
Figura	
  1-­‐b	
  
Figura-­‐2	
  
A	
  variação	
  da	
  energia	
  interna	
  do	
  gás	
  no	
  processo	
  isotérmico	
  é	
  nula.	
  Logo	
  a	
  
variação	
  da	
  energia	
  interna	
  do	
  gás	
  ideal	
  quando	
  ele	
  vai	
  do	
  estado	
  (V1,T1)	
  para	
  o	
  
estado	
  	
  (V2,T2)	
  só	
  tem	
  contribuição	
  do	
  processo	
  isovolumétrico,	
  isto	
  é,	
  
ΔU1→2 = ΔU12 =QV =CV (T2 −T3) =CV (T2 −T1) .	
  
Logo	
  a	
  variação	
  da	
  energia	
  interna	
  do	
  gás	
  ideal	
  é	
  sempre	
  dada	
  por	
  
	
  
ΔU12 =QV =CV (T2 −T1) .	
  
	
  
Relação	
  entre	
  CP	
  e	
  CV	
  do	
  gás	
  ideal	
  
	
  
A	
  expressão	
  da	
  energia	
  interna	
  de	
  um	
  gás	
  ideal	
  permite	
  relacionar	
  as	
  
capacidades	
  caloríficas	
  a	
  pressão	
  constante	
  e	
  a	
  volume	
  constante.	
  Para	
  isto	
  
calcular	
  a	
  variação	
  da	
  energia	
  interna	
  do	
  gás	
  ideal	
  no	
  processo	
  isobárico	
  
representado	
  na	
  figura	
  3	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Como	
  o	
  gás	
  é	
  ideal	
  podemos	
  utilizar	
  a	
  equação	
  de	
  estado	
  pv=nRT	
  	
  para	
  qualquer	
  
estado	
  de	
  equilíbrio	
  do	
  processo.	
  No	
  processo	
  que	
  liga	
  os	
  estados	
  1	
  e	
  2	
  temos	
  
que	
  
	
  
W12 = p1(V2 −V1)
Q12 =Cp(T2 −T1) =Cp(
p2V2
nR
−
p1V1
nR
) =
Cp
nR
p1(V2 −V1)⇒
ΔU12 =
Cp
nR
p1(V2 −V1)− p1(V2 −V1) =
Cp
nR
−1
$
%
&
'
(
) p1(V2 −V1)
ΔU12 = (Cp − nR)p1
(V2 −V1)
nR
= (Cp − nR) T2 −T1( ).
	
  
Como	
  no	
  gás	
  ideal	
  a	
  variação	
  da	
  energia	
  interna	
  só	
  depende	
  da	
  temperatura	
  
também	
  temos	
  que:	
  
ΔU12 = (Cp − nR) T2 −T1( ) =CV T2 −T1( )⇒
Cp − nR =CV ⇒Cp =CV + nR⇒
CV
n
=
CV
n
+ R⇒
cp = cV + R,
	
  
onde	
   cV e 
cP são	
  as	
  capacidades	
  molares	
  dos	
  gases	
  a	
  p	
  constante	
  e	
  a	
  v	
  constante.	
  
	
  
Figura-­‐3	
  
Equação	
  do	
  processo	
  adiabático	
  reversível	
  	
  
	
  
Em	
  um	
  processo	
  adiabático	
  de	
  um	
  gás	
  pode	
  haver	
  aumento	
  ou	
  diminuição	
  da	
  
temperatura.	
  Se	
  o	
  gás	
  expande,	
  o	
  gás	
  fornece	
  trabalho	
  para	
  o	
  exterior	
  
diminuindo	
  a	
  sua	
  energia	
  interna	
  e	
  consequentemente	
  a	
  sua	
  temperatura.	
  Se	
  o	
  
gás	
  é	
  comprimido	
  ele	
  recebe	
  trabalho	
  do	
  exterior,	
  aumentando	
  a	
  sua	
  energia	
  
interna	
  e	
  consequentemente	
  a	
  sua	
  temperatura.	
  	
  
As	
  curvas	
  que	
  representam	
  processos	
  isotérmicos	
  	
  no	
  plano	
  p	
  versus	
  V	
  foram	
  
obtidas	
  imediatamente	
  da	
  equação	
  de	
  estado	
  dos	
  gases	
  ideais,	
  isto	
  é,	
  
p = nRT
V
. 	
  Elas	
  são	
  hipérboles.	
  A	
  medida	
  que	
  a	
  temperatura	
  aumenta	
  as	
  
hipérboles	
  se	
  afastam	
  da	
  origem	
  do	
  plano,	
  uma	
  vez	
  que,	
  
p(T1) =
nRT1
V
, p(T2 ) =
nRT2
V
T1 < T2 ⇒ p(T1)< p(T2 ).
	
  
	
   As	
  hipérboles	
  que	
  que	
  representam	
  as	
  isotérmicas	
  com	
  temperaturas	
  T1	
  e	
  
T2	
  estão	
  representadas	
  na	
  figura	
  4.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
A	
  curva	
  que	
  representa	
  um	
  processo	
  adiabático	
  reversível	
  só	
  pode	
  ser	
  obtida	
  
utilizando	
  cálculo	
  diferencial	
  e	
  integral	
  que	
  não	
  é	
  requisito	
  desta	
  disciplina.	
  	
  Por	
  
isto,	
  ela	
  será	
  fornecida	
  sem	
  dedução.	
  A	
  equação	
  que	
  descreve	
  um	
  processo	
  
adiabático	
  é	
  dada	
  por:	
  
p = C
V γ
 , 	
  
onde	
  γ 	
  é	
  a	
  dada	
  por:	
  
γ =
cP
cV
>1 
	
  
	
  
	
  
Figura-­‐4	
  
e	
  a	
  constante	
  C	
  é	
  determina	
  pelas	
  coordenadas	
  termodinâmicas	
  de	
  um	
  estado	
  de	
  
equilíbrio	
  que	
  faz	
  parte	
  do	
  processo	
  adiabático.	
  Se	
  o	
  estado	
  termodinâmico	
  com	
  
coordenadas	
  (V1,p1)	
  faz	
  parte	
  do	
  processo	
  ,	
  a	
  constante	
  C	
  é	
  dada	
  por:	
  
	
  
C = p1V1
γ . 	
  
	
  
Se	
  compararmos	
  um	
  processo	
  de	
  expansão	
  isotérmico	
  com	
  outro	
  de	
  	
  expansão	
  
adiabático	
  a	
  partir	
  de	
  um	
  estado	
  termodinâmico	
  de	
  equilíbrio	
  com	
  coordenadas	
  
termodinâmicas	
  (V1,T1),	
  para	
  um	
  mesmo	
  volume	
  V	
  a	
  pressão	
  do	
  gás	
  no	
  processo	
  
adiabático	
  é	
  menor	
  que	
  a	
  pressão	
  do	
  isotérmico,	
  uma	
  vez	
  que	
  a	
  temperatura	
  do	
  
gás	
  no	
  processo	
  de	
  expansão	
  adiabático	
  diminui.	
  A	
  figura	
  -­‐5-­‐a	
  mostra	
  que	
  a	
  curva	
  
que	
  representa	
  a	
  expansão	
  adiabática	
  vai	
  por	
  baixo	
  daquela	
  que	
  representa	
  a	
  
expansão	
  isotérmica.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Se	
  compararmos	
  um	
  processo	
  de	
  compressão	
  isotérmico	
  com	
  outro	
  de	
  	
  
compressão	
  	
  adiabático	
  a	
  partir	
  de	
  um	
  estado	
  termodinâmico	
  de	
  equilíbrio	
  com	
  
coordenadas	
  termodinâmicas	
  (V1,T1),	
  para	
  um	
  mesmo	
  volume	
  V	
  a	
  pressão	
  do	
  gás	
  
no	
  processo	
  adiabático	
  é	
  maior	
  que	
  a	
  pressão	
  do	
  isotérmico,	
  uma	
  vez	
  que	
  a	
  
temperaturado	
  gás	
  no	
  processo	
  de	
  expansão	
  adiabático	
  aumenta.	
  	
  A	
  figura	
  -­‐5-­‐b	
  
mostra	
  que	
  a	
  curva	
  que	
  representa	
  a	
  expansão	
  adiabática	
  vai	
  por	
  cima	
  daquela	
  
que	
  representa	
  a	
  expansão	
  isotérmica.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
   	
  
	
  
	
  
	
  
Figura-­‐5-­‐a	
  
Figura-­‐5-­‐b	
  
	
  
Trabalho	
  que	
  um	
  gás	
  ideal	
  realiza	
  em	
  um	
  processo	
  isotérmico	
  reversível	
  
	
  
Quando	
  um	
  gás	
  ideal	
  se	
  expande	
  ou	
  se	
  contrai	
  em	
  um	
  processo	
  isotérmico	
  
reversível,	
  a	
  sua	
  pressão	
  varia.	
  Logo	
  a	
  trabalho	
  que	
  ele	
  realiza	
  sobre	
  o	
  exterior	
  
tem	
  que	
  ser	
  calculado	
  utilizando	
  Wsis = imN→∞ piΔVi
i=1
N
∑ .	
  O	
  resultado	
  deste	
  
somatório	
  não	
  pode	
  ser	
  realizado	
  nesta	
  disciplina	
  porque	
  cálculo	
  diferencial	
  e	
  
integral	
  não	
  é	
  pré-­‐requisito	
  de	
  ICF2.	
  Por	
  isto,	
  nós	
  colocaremos	
  a	
  expressão	
  deste	
  
trabalho	
  sem	
  fazer	
  os	
  cálculos.	
  O trabalho que um gás ideal realiza sobre o exterior 
em um processo isotérmico reversível quando ele vai do estado 1 até o estado 2 é 
dado por 
Wsist = n.R.T1.n
V2
V1
!
"
#
$
%
&. 	
  
	
  	
  
O	
  trabalho	
  que	
  o	
  sistema	
  realiza	
  em	
  um	
  processo	
  isotérmico	
  reversível	
  é	
  a	
  área	
  
sob	
  a	
  curva	
  no	
  plano	
  p	
  versus	
  V	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Wsit > 0 Wsit < 0