Listas de Exercícios com Gabarito

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
MÃşdulo 1 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Uma bonita aplicação do produto escalar está no cálculo da área A do paralelogramo
gerado pelos vetores P = (a, b) e Q = (c, d). Para esse cálculo deve-se multiplicar o com-
primento da base pela altura h do paralelogramo, altura que depende do ângulo θ entre os
vetores. Veja a figura.
C E a) A altura h pode ser expressa em termos
de Q e do sen(θ).
C E b) A área A pode ser expressa em termos
de P , Q e do cos(θ)
C E c) A área A pode ser expressa em termos das
coordenadas dos pontos P e Q.
P
Q
‖P‖
‖Q
‖
h
θ
C E d) A área A pode ser expressa em termos de um determinante.
C E e) A área do triângulo de vértices P =(0, 2), Q=(2, 1) e R=(3, 3) é maior que 3.
2) O paraboloide P de foco F = (0, 0, 1) e plano diretor z = −1 é o gráfico da função
f : R2 → R dada por f(x, y) = (1/4)(x2 + y2). Uma propriedade importante do paraboloide
é que o ponto P0 = (x0, y0, z0) ∈ P é equidistante do foco F e do ponto Q0, em que
Q0 = (x0, y0,−1) é a projeção ortogonal de P0 sobre o plano diretor, conforme ilustra a
figura abaixo. Pode-se mostrar que o plano tangente a P no ponto P0 ∈ P tem equação
z = f(x0, y0) + (x0/2)(x− x0) + (y0/2)(y − y0).
a) Verifique a afirmação de que P0 é equidistante de F e Q0.
Resposta:
da igualdade x2
0
+y2
0
−2z0 = 2z0 seque-se que ‖P−F‖2
= x2
0
+ y2
0
+ (z0 − 1)2 = (z0 + 1)2 = ‖P0 −Q0‖2.
b) Conclua que os ângulos P0Q̂0F e P0F̂Q0 são iguais.
Resposta: segue de que o triângulo FP0Q0 é isósceles.
c) Determine a equação da reta N que é ortogonal a P em P0.
Resposta: P (t) = P0 + t
(x0
2
,
y0
2
,−1
)
, t ∈ R.
d) Justifique a afirmação de que N é paralela à reta pelos pontos F e Q0.
Resposta: o vetor direção da reta N é paralelo ao vetor F −Q0 = (−x0,−y0, 2).
e) Justifique o fato de os ângulos a e b indicados na figura serem iguais.
Resposta: tem-se que P0F̂Q0 = P0Q̂0F e, do item anterior, segue-se que a = P0Q̂0F e b = P0F̂Q0;
logo a = b.
Cálculo III MÃşdulo 1 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018 – 1/2
3) Indique por P0 = (0, 0) a origem do plano Oxy e por P = (x, y) um ponto genérico.
Indique ainda por f : R2 → R a função f(x, y) =
√
|xy|, cujo gráfico está ilustrado abaixo.
a) Esboce as curvas de ńıvel de f nos ńıveis 0, 1 e 2.
Resposta: ver Figura 1 abaixo
b) Esboce os gráficos das funções g(x) = f(x, x) e h(x) = f(x,−x).
Resposta: ver Figura 2 abaixo
Figura 1
c) Use a desigualdade (|x| − |y|)2 ≥ 0 para estimar o valor de
f(x, y) em termos da distância
√
x2 + y2.
Resposta: x2 + y2 − 2|xy| ≥ 0 ⇒ f(x, y) ≤ 1√
2
√
x2 + y2
d) Enuncie a definição do limite limP→P0 f(P ) = L.
Resposta: ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0; 0 < ||P − P0|| < δ ⇒ |f(P )− L| < ǫ
e) Use os itens anteriores para verificar se f é cont́ınua em P0.
Resposta: ∀ ǫ > 0, ∃ δ =
√
2ǫ; 0 < ||P − P0|| < δ ⇒ |f(P ) − f(P0)| < ǫ.
Logo, f é cont́ınua em P0. Figura 2
4) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido no sentido positivo por uma cor-
rente elétrica estacionária. Em um ponto P = (x, y) do plano Oxy, a corrente gera um campo
magnético B(P ) que tem a direção e o sentido ilustrados na figura abaixo. Pode-se mostrar
que, no domı́nio D = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, o campo é dado por B(P ) = (fx(P ), fy(P )), em
que f(x, y) = K arctan(x/y) e K > 0 é uma constante apropriada.
P
B
a) Esboce as curvas eqüipotenciais do campo B, isto é, as
curvas de ńıvel da função f .
Resposta: são semi-retas que partem da origem.
b) Para y fixo, calcule a derivada parcial fx(x, y) =
d
dx
K arctan(x/y). Calcule fy(x, y) de maneira análoga.
Resposta: fx(x, y) = K y/(x
2 + y2) e fy(x, y) = −K x/(x2 + y2)
c) Use as expressões acima para verificar que, como esperado
da simetria da situação, a intensidade de B é constante ao
longo de ćırculos com centro no eixo Oz.
Resposta: ‖B(x, y)‖ = K/
√
x2 + y2.
d) Obtenha o vetor unitário U(x, y) que determina a direção e o sentido do campo.
Resposta: U(x, y) = (y,−x)/
√
x2 + y2.
e) Verifique que, como ilustrado na figura, o campo B é tangente aos ćırculos com centro
no eixo Oz.
Resposta: basta verificar que 〈B(P ), P 〉 = 0 para todo P ∈ D.
Cálculo III MÃşdulo 1 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Sejam P = (x, y) um ponto genérico de R2, P0 = (0, 0) e f : R
2 → R a função dada por
f(P0) = 0 e f(P ) = f(x, y) = x
4 y/(x4 + y4) para P 6= P0. A figura abaixo ilustra o gráfico
de f juntamente com a restrição da função ao longo da reta y = −x.
C E a) Dado uma margem de tolerância ǫ > 0, basta escolher a margem de segurança
δ = ǫ para se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ.
C E b) Usando a definição, obtém-se que f não possui as
derivadas parciais no ponto P0.
C E c) Para algum v = (a, b) ∈ R2 a função g(t) = f(tv)
não é derivável em t = 0.
C E d) O limite lim
P→P0
f(P )/‖P‖ não existe.
C E e) A função f é diferenciável em P0.
2) Suponha que a temperatura da chapa D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1 e y > 0} seja dada
pela função T (x, y) = 20
π
arctan
(
2 y
1−x2−y2
)
, cujo gráfico está ilustrado abaixo. Neste caso, as
curvas de ńıvel da função T são as isotermas da chapa.
x
y
T = 5
a) Verifique que as isotermas são arcos de ćırculos com centros no
eixo Oy e passam pelos pontos (−1, 0) e (1, 0).
Resposta:
no ńıvel k, a curva é x2 + (y + 1/K)2 = 1 + 1/K2,
com K = tan(πk/20)
b) Esboce, na figura ao lado, a isoterma de temperatura igual a 5.
c) Use o item a) para verificar que não existe limP→(1,0) T (P ).
Resposta: considere isotermas em temperaturas distintas
d) Use as propriedades do limite para decidir quando à existência do limite limP→P0 T (P )
no caso em que P0 = (x0, y0) é tal que x
2
0 + y
2
0 = 1 e y0 > 0.
Resposta: o limite existe e é igual a 10
e) Da mesma forma, estude a existência do limite limP→P0 T (P ) no caso em que
P0 = (x0, 0) e |x0| < 1.
Resposta: o limite existe e é igual a 0
Cálculo III Módulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018 – 1/2
3) Considere um sistema de eixosOxyz de origemO no centro da Terra. Nesse sistema, se um
satélite está no ponto P , a força F (P ) com que a Terra atrai o satélite tem direção e sentido
dados pelo vetor unitário U = −P/‖P‖. Além disso, se as massas da Terra e do satélite
são M e m, a intensidade da força é diretamente proporcional dessas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância ‖P‖, com constante de proporcionalidade G. Segundo
os itens abaixo, a função f(P ) = a/‖P‖ está estreitamente relacionada com a força F .
a) Obtenha a expressão da força F (P ).
Resposta: F (P ) = −GMm‖P‖2
P
‖P‖ .
b) Calcule a derivada fx, e obtenha fy e fz por simetria.
Resposta: fx(x, y, z) =
−ax
(x2+y2+z2)3/2
, e analogamente para fy e fz.
c) Verifique que, escolhendo a apropriadamente, tem-se
F (P ) = (fx(P ), fy(P ), fz(P )). Nesse caso, f é dita uma
função potencial para a força F .
Resposta: a = GMm.
F
m
d) Calcule a derivada segunda fxx, e obtenha as outras derivadas fyy e fzz por simetria.
Resposta: fxx(x, y, x) = a(2x
2 − y2 − z2)/(x2 + y2 + z2)5/2, e analogamente para fyy e fzz.
e) Verifique que f satisfaz à equação de Laplace fxx + fyy + fzz = 0.
Resposta: basta somar as três derivadas.
4) Suponha que a chapa infinita D = {(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0} tenha temperatura
f(x, y) = y2−x2. As linhas de fluxo da chapa são aquelas por onde o calor flui, e são curvas
ortogonais às curvas de ńıvel de f . O surpreendente é que as linhas de fluxo são as curvas de
ńıvel de uma outrafunção g(x, y), dita a função conjugada de f(x, y). A menos de constante
aditiva, essa nova função é definida pelas igualdades gx = fy e gy = −fx.
x
y
z a) Esboce e identifique as curvas de ńıvel de f nos ńıveis
k = −1, k = 0 e k = 1.
Resposta: veja a figura abaixo
b) Integre a igualdade gx = fy na variável x, notando que
a constante de integração d = d(y) pode depender de y.
Resposta: g(x, y) =
∫
fy(x, y) dx =
∫
2y dx = 2xy + d(y)
c) Derive o resultado do item anterior na variável y, compare com a igualdade gy = −fx
e determine a função d(y) a menos de constante.
Resposta: 2x+ d′(y) = gy(x, y) = −fx(x, y) = 2y ⇒ d
′(y) = 0 ⇒ d(y) = d0
d) Esboce e identifique a curva de ńıvel de g no ńıvel c = 1
supondo a constante nula.
Resposta: veja a figura ao lado
e) Justifique o fato de que as linhas de fluxo da chapa são
as curvas de ńıvel de g(x, y).
Resposta: notar que 〈∇g,∇f〉 = gxfx + gyfy = fyfx − fxfy = 0
x
y
1
1
c = 1
k
=
−
1k
=
0
k
=
1
Cálculo III Módulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Para funções de uma variável g(t), se g′(0) = 0 e g′′(0) > 0 então t = 0 é mı́nimo
local. Se usado para funções de várias variáveis esse critério conduz a alguns resultados
surpreendentes, como mostra o exemplo da função f(x, y) = (y − 3x2)(y − x2). Para isso,
dada uma direção v = (a, b), indique por g(t) = f(tv) a restrição de f ao longo desta direção.
C E a) Estudando as derivadas parciais, conclúı-se que f é
diferenciável na origem.
C E b) Usando a regra da cadeia obtém-se que, para alguma
direção v, t = 0 não é ponto cŕıtico da função g(t).
C E c) Calculando g′′(t) conclui-se que, para alguma direção v,
t = 0 não é ponto de mı́nimo local de g(t).
C E d) Ao longo da curva (t, 2t2) a função f possui um máximo local em t = 0.
C E e) A origem (0, 0) é ponto de mı́nimo local da função f .
2) Suponha que uma gota d’água escorra sobre o plano P de equação x+2y+ z = 5 a partir
do ponto P0 = (1, 1, 2) ∈ P e sujeita apenas à força de gravidade. Nesse caso, a gota d’água
segue a trajetória que minimiza a energia potencial, isto é, que minimiza a altura.
a) Calcule o gradiente da função z(x, y) cujo gráfico é o
plano P.
Resposta: ∇z(x, y) = (−1,−2)
b) Justifique a afirmação de que a projeção da trajetória
da gota d’água sobre o plano Oxy é uma reta.
Resposta:
em cada ponto (x, y) a projeção tem a direção do
vetor −∇z(x, y), que é constante
c) Obtenha uma parametrização da reta mencionada no item anterior.
Resposta: Q(t) = (1, 1) + t(1, 2) = (1 + t, 1 + 2t)
d) Obtenha uma parametrização da trajetória da part́ıcula sobre o plano P.
Resposta: P (t) = (1 + t, 1 + 2t, z(1 + t, 1 + 2t)) = (1 + t, 1 + 2t, 2− 5t)
e) Verifique que a gota d’água se desloca ao longo de uma reta sobre o plano P, e determine
o vetor direção desta reta.
Resposta:
basta notar que P (t) = P0+t(1, 2,−5) é uma parametrização da reta por P0 e na direção
do vetor (1, 2,−5)
Cálculo III Módulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.◦/2018 – 1/2
3) Uma refinaria vende barris de petróleo com medidas previstas de r0 para o raio e h0 para
a altura. Entretanto, devido a vários fatores, as medidas reais P = (r, h) podem diferir
das previstas P0 = (r0, h0). Essa diferença acarreta erros no volume de petróleo em cada
barril, e é claro que esses erros não podem exceder a valores pré-fixados. Assim, o problema
é controlar esses erros. Se necessário, use que |r− r0|/‖P −P0‖ ≤ 1 e |h−h0|/‖P −P0‖ ≤ 1.
r0
r
h0 h
a) Determine a expressão do volume V = V (r, h) e calcule as
suas derivadas parciais.
Resposta: V (r, h) = πr2h, Vr(r, h) = 2πrh e Vh(r, h) = πr
2
b) Determine a expressão do candidato z = z(r, h) a plano
tangente ao gráfico de V (r, h) no ponto P0 = (r0, h0).
Resposta: z(r, h) = πr2
0
h0 + 2πr0h0(r − r0) + πr
2
0
(h− h0)
c) Verifique que o erro η(P−P0) = V (r, h)−z(r, h) pode ser expresso na forma η(P−P0) =
π(r − r0)g(r, h) para alguma função g(r, h).
Resposta: g(r, h) = h(r + r0)− 2r0h0
d) Use a definição e os itens anteriores para mostrar que V (r, h) é diferenciável em P0.
Resposta: |η(P − P0)|/‖P − P0‖ ≤ π|g(r, h)| → 0 quanto (r, h) → (r0, h0)
e) Aproxime o erro |V (r, h)−V (r0, h0)| pela diferencial. Em seguida, supondo h0 = 0, 25,
r0 = 0, 8 e erros iguais |r − r0| = |h − h0| nas medidas de r e h, decida se o erro no
volume é mais senśıvel a um erro no raio ou na altura.
Resposta: |V (r, h)− V (r0, h0)| = |2πr0h0(r − r0) + πr
2
0
(h− h0)|, é mais senśıvel na altura
4) Considere uma distribuição de carga ao longo do eixo Oz com densidade constante δ = 1.
No domı́nio D = {(x, y); y > 0} e para K > 0, essa distribuição gera um campo elétrico
E(x, y) que é o gradiente E(x, y) = −∇f(x, y) da função f(x, y) = −K ln(x2+y2). Suponha
que uma part́ıcula de massa m e carga 1 desloca-se com trajetória P (t) = (x(t), y(t)) sujeita
apenas ao campo E. Então E é a resultante das forças, vale a lei de Newton E(P (t)) =
mP ′′(t) e E(t) = (m/2)‖P ′(t)‖2 + f(P (t)) é a energia total da part́ıcula no tempo t.
a) Calcule as derivadas fx(P ) e fy(P ).
Resposta: fx(P ) =
−2Kx
‖P‖2 e fy(P ) =
−2Ky
‖P‖2 .
b) Calcule a norma ‖E(P )‖ e o vetor unitário U(P ) na direção
e sentido do campo em um ponto genérico P = (x, y) ∈ D.
Resposta: ‖E(P )‖ = 2K‖P‖ e U(P ) =
P
‖P‖
c) Esboce o vetor U(P ) e a curva de ńıvel de f por um ponto
genérico P ∈ D.
Resposta: ver figura ao lado.
P
U(P )
d) Verifique que a energia total da part́ıcula é conservada, isto é, que dE(t)/dt ≡ 0.
Resposta: d
dt
E(t) = 〈mP ′′(t)− E(P (t)), P ′(t)〉 = 0.
e) Use o item anterior para verifique que, se a part́ıcula estiver se movendo sobre uma
curva de ńıvel de f , então ‖P ′(t)‖ é constante.
Resposta: E(t) e f(P (t)) constantes =⇒ ‖P ′(t)‖ também constante.
Cálculo III Módulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangüineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O
(OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A, B
e O em uma determinada população, então a proporção P de indiv́ıduos da população que
possuem dois alelos distintos é dada por
P = 2(xy + xz + yz).
Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções
z = z(x, y) e P = P (x, y) das variáveis x e y. A figura ilustra o domı́nio D da função P e os
segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3.
C E a) O domı́nio D intercepta a região x+ y > 1.
C E b) O valor máximo de P sobre o segmento L3 é 1/2.
C E c) O valor máximo de P sobre o bordo ∂D é 3/2.
C E d) A função P possui dois pontos cŕıticos interiores ao
domı́nio D.
L1
L2
L3
D
C E e) As proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indiv́ıduos
com dois alelos distintos são x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3.
2) A produção do hormônio vegetal auxina em uma folhagem é uma função P (t, x) do
tempo t e da intensidade luminosa x à qual a folhagem está exposta. Suponha que, em
unidades apropriadas, a produção pode ser modelada pela função P : D −→ R dada por
P (t, x) = t(10− x)e−2t/x, onde D = {(t, x) ∈ R2; 0 ≤ t ≤ 15 e 1 ≤ x ≤ 7}.
15
1
7
L1
L3
L2 L4D
a) Justifique a afirmação de que P (t, x) possui pontos de
máximo e de mı́nimo absolutos em D.
Resposta: D é fechado e limitado e P é cont́ınua
b) Determine as derivadas parciais Pt(t, x) e Px(t, x).
Resposta:
Pt(t, x) = (10− x) e−2t/x(1− 2t/x) e
Px(t,x) = t e
−2t/x[2t(10− x)/x2 − 1]
c) Determine os pontos cŕıticos da função P no interior de D.
Resposta: o único ponto cŕıtico interior é (5/2, 5)
d) Determine o ponto de máximo de P na fronteira ∂D, que é assumido sobre o lado L3.
Resposta: é o ponto t = 7/2
e) Usando os itens anteriores, determine o ponto de máximo absoluto de P em D.
Resposta: o ponto de máximo absoluto é (5/2, 5) com P (5/2, 5) = 25 e−1 /2
Cálculo III Módulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.◦/2018 – 1/2
3) Um algoritmo de inteligência artificial dispõe das medidas padronizadas sn, das sépalas,
e pn, das pétalas, de quatro flores. As duas primeiras flores são da espécie Setosa, e as duas
últimas da espécie Versicolor. Com esses dados, e com constantes apropriadas en, o algoritmo
primeiro calcula o ponto (x0, y0) que minimiza a função
f(x, y) =
1
2
4
∑
n=1
(en − xsn − ypn)2
Dada as medidas padronizadas s e p de uma quinta flor, o al-
goritmo decide qual a sua espécie a partir do sinal do número
D = sx0 + py0: é Setosa se D ≥ 0, e Versicolor se D < 0.
Use a notação
∑
4
n=1 s
2
n = a,
∑
4
n=1 p
2
n = b,
∑
4
n=1 snpn = c,
∑
4
n=1 ensn = d e
∑
4
n=1 enpn = e.
a) Justifique a afirmação de que f não possui ponto de máximo.
Resposta: notar, por exemplo, que f(x, 0) ≥ (e1 − s1x)2 → ∞ quanto x → ∞
b) Calcule fx e fy em termos das contantes a, b, c, d e e.
Resposta: fx(x, y) = ax+ cy − d e fy(x, y) = cx+ by − e
c) Calcule os pontos cŕıticos de f sabendo que ab− c2 6= 0.
Resposta: o único ponto cŕıtico é x0 = (bd− ce)/(ab− c2) e y0 = (ae − cd)/(ab− c2)
d) Pode-se mostrar que f possui um ponto de mı́nimo. Use essa informação para justificar
o fato de que os pontos cŕıticos de f são necessariamente pontos de mı́nimo.
Resposta: o ponto cŕıtico é único, e o ponto de mı́nimo é ponto cŕıtico
e) A quinta flor tem medidas padronizadas s = −0, 84 e p = −0, 85. Determine sua
espécie usando os valores de ab− c2 = 7, 59, bd− ce = −3, 45 e ae− cd = −4, 14.
Resposta: como D ≥ 0, a espécie é Setosa
4) Considere A =
[
3 −1
−1 3
]
uma matriz simétrica, v = (x, y) um vetor,
Av = (3x − y,−x + 3y) o produto de A por v e f(v) = 〈Av, v〉 = 3x2 − 2xy + 3y2 a
forma quadrática correspondente. A função f é homogênea de grau 2, no sentido de que
f(tv) = t2f(v) para quaisquer v e t. Em problemas de otimização é importante decidir se f
muda ou não de sinal e, sendo homogênea, basta estudar o sinal de f nos pontos do ćırculo
C : x2 + y2 = 1. Indique por g(x, y) = x2 + y2, de modo que C é a curva no ńıvel 1 de g.
a) Justifique a afirmação de que f
∣
∣
C
possui pontos
de máximo e de mı́nimo absolutos.
Resposta: f é cont́ınua e C é fechado e limitado.
b) Expresse os gradientes de f(v) e g(v) em termos
da matriz A e do vetor v. Em seguida, verifique
que v ∈ C é ponto cŕıtico de f
∣
∣
C
se, e somente se,
Av = λv para algum λ ∈ R.
Resposta: tem-se que ∇f(v) = 2Av e ∇g(v) = 2v. Logo ∇f(v) = λ∇g(v) se, e somente se, Av = λv
c) Conclua que, se v ∈ C é um ponto cŕıtico com Av = λv, então f(v) = λ.
Resposta: f(v) = 〈Av, v〉 = 〈λv, v〉 = λ〈v, v〉 = λ
d) Para que Av = λv, com v ∈ C, é necessário que det(A− λI) = 0, onde I =
[
1 0
0 1
]
é
a matriz identidade. Use essa informação para obter os pontos cŕıticos de f
∣
∣
C
.
Resposta: os valores de λ são 2 e 4, com pontos cŕıticos {(
√
2/2,
√
2/2), (−
√
2/2,−
√
2/2)}
e {(
√
2/2,−
√
2/2), (
√
2/2,−
√
2/2)}, respectivamente
e) Se v=‖v‖ v
‖v‖
é um ponto de R2 \ {(0, 0)}, então f(v)=‖v‖2f( v
‖v‖
), onde v
‖v‖
∈ C. Use
essa informação e os itens anteriores para decidir se f muda ou não de sinal em R2.
Resposta: o mı́nimo de f
∣
∣
C
é 2, e portanto f(v) = ‖v‖2f( v‖v‖ ) ≥ 2‖v‖2. Logo f não muda de sinal
Cálculo III Módulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 2 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano de equação
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1,
em que a, b e c são constantes positivas. Como ilustra a figura abaixo, o tetraedro corresponde
à região abaixo do gráfico de uma função f : D → R, onde D é um domı́nio que pode ser
descrito na forma D = {(x, y); x ∈ I e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} com I ⊂ R um intervalo e funções
apropriadas g1, g2 : I → R.
C E a) O intervalo I é dado por I = [0, b].
C E b) A função g2 é dada por g2(x) =
a
b
(a− x)}.
C E c) A função f é dada por f(x, y) = c
ab
(ab− bx− ay).
C E d) Calculando, obtém-se que
∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy = cb
2a2
(a− x)2. a x
b yc
z
C E e) Dos itens anteriores segue-se que o volume do tetraedro é um terço do volume do
paraleleṕıpedo de lados a, b e c.
2) Seja D a chapa ilustra abaixo, limitada à esquerda pelo eixo Oy, por cima pela reta
y = 4 e por baixo pela parábola y = x2. Suponha que D tenha densidade δ(x, y) =
√
y ex
√
y
e considere o problema de determinar a coordenada y do centro de massa da chapa. Se
necessário use que 2 < e < 3.
2
4 a) Descreva a chapa na forma de um domı́nio Rx.
Resposta: D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4}
b) Descreva a chapa na forma de um domı́nio Ry.
Resposta: D = {(x, y); 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ √y}
c) Calcule a massa M =
∫∫
D
δ(x, y) dxdy.
Resposta: M = e4 −5
d) Calcule o momento de massa Mx =
∫∫
D
yδ(x, y) dxdy.
Resposta: Mm = 3 e
4 −7
e) Calcule agora y = Mx/M e verifique que 3 < y < 4.
Resposta: basta notar que 0 < y − 3 = 8e4 −5 < 1, pois e4 −5 > 24 − 5 = 11
Cálculo III Módulo 2 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018 – 1/2
3) De acordo com a figura, a função f(x, y) =
x− y
(x+ y)3
apresenta uma forte descontinuidade
na origem. Assim, ela será integrável no domı́nio D = [0, 1]× [0, 1] caso exista o
lim
δ→0
ǫ→0
∫ 1
δ
∫ 1
ǫ
f(x, y) dxdy
Para verificar esse fato, indique por h(y, ǫ) =
∫ 1
ǫ
f(x, y) dx e por H(ǫ, δ) =
∫ 1
δ
h(y, ǫ) dy.
a) Calcule a expressão de h(y, ǫ).
Resposta: h(y, ǫ) = −1(1+y)2 +
ǫ
(ǫ+y)2
b) Calcule a expressão de H(ǫ, δ).
Resposta: H(ǫ, δ) = 12 − 11+δ + ǫǫ+δ − ǫǫ+1
c) Calcule o limite limǫ→0H(ǫ, ǫ)
Resposta: limǫ→0 H(ǫ, ǫ) = 0
d) Calcule o limite limǫ→0H(ǫ, 2ǫ)
Resposta: limǫ→0 H(ǫ, ǫ) = −1/6
e) Descida se a função f é integrável em D.
Resposta: f não é integrável em D
4) Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito
os cálculos. Por exemplo, considere a região D limitada pelas curvas y+1 = 0, y2+x−4 = 0
e x +
√
4− y2 = 0, como ilustrado abaixo, e indique por A a sua área. Se necessário, use
que
∫ √
4− t2 dt = 2 arcsen(1
2
t) + 1
2
t
√
4− t2 + k.
B
A D
C
x+
√
4− y2 = 0
y2 + x− 4 = 0
y + 1 = 0
a) Identifique as três curvas, e determine as coordenadas
dos pontos A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e
D = (d1, d2) indicados na figura.
Resposta: A = (−2, 0), B = (−
√
3,−1), C = (3,−1) e D =
(4, 0); a identificação está indicada na figura.
b) A regiãoD pode ser dividida em quatro regiões do tipo
Rx, com x variando nos intervalos [a1, b1], [b1, 0], [0, c1]
e [c1, d1]. Descreva cada uma dessas regiões.
Resposta: {(x, y);−2 ≤ x ≤ −
√
3 e −
√
4− x2 ≤ y ≤
√
4− x2}, {(x, y);−
√
3 ≤ x ≤ 0 e − 1 ≤ y ≤√
4− x2}, {(x, y); 0 ≤ x ≤ 3 e − 1 ≤ y ≤
√
4− x} e {(x, y); 3 ≤ x ≤ 4 e −
√
4− x ≤ y ≤
√
4− x}
c) Use o item anterior para calcular a área A.
Resposta: A = 43π +
1
2
√
3 + 9.
d) Observe que D é também uma região do tipo Ry, e descreva D nesta forma.
Resposta: D = {(x, y);−1 ≤ y ≤ 2 e −
√
4− y2 ≤ x ≤ 4− y2}
e) Do item anterior, a área A pode ser calculada por meio de uma única integral. Proceda
a esse cálculo e compare com o resultado do item c).
Resposta: os resultados são iguais
Cálculo III Módulo 2 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 2 – Gabaritos – Lista 22.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere a região D limitada pelas curvas x2 + y2 = 1 e x + y = 1, conforme a figura.
A área A de D pode ser estimada gerando-se n pontos aleatórios pertencentes ao quadrado
Q = [0, 1] × [0, 1] e contando o número nD desses pontos que cáıram em D. Em seguida,
basta notar que A deve ser proporcional a nD, isto é, A ≈ nD/n, aproximação tanto melhor
quanto maior for n. Se necessário, use π ≈ 3, 14.
C E a) Na forma Rx a região D escreve-se como
D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1 e 1− x ≤ y ≤
√
1− x2}.
C E b) O ponto (0,450, 0,304) está em D.
C E c) Se, com n = 400, obteve-se nD = 108, então a cor-
respondente aproximação de A é menor que 0, 260.
C E d) O valor exato da área é maior que 0, 280.
C E e) A aproximação do item c) difere do valor exato em
menos de 0, 1
O x1
1
y
2) Seja D ⊂ R2 a chapa no primeiro quadrante limitada pelas parábolas y = x2, y = 8x2 e
pelas hipérboles xy = 1, xy = 27, e com densidade δ(x, y) = (y/x2)1/3 kg/m2. Definindo as
variáveis u > 0 e v > 0 tais que x = u/v e y = u2v, obtém-se uma mudança de variáveis
g : D̂ → D, onde D̂ é tal que g(D̂) = D.
O 1/2 1 3/2 3
1
2
9
18
a) Esboce a chapa D no espaço ao lado, indicando as
coordenadas dos pontos de interseção de todas as curvas
que limitam a região.
b) Do item anterior, obtenha a e b tais que a ≤ y ≤ b para
todo (x, y) ∈ D.
Resposta: a = 1 e b = 18
c) Descreva do domı́nio D̂.
Resposta: D̂ = {(u, v); 1 ≤ u ≤ 3 e 1 ≤ v ≤ 2}.
d) Calcule a massa M de D.
Resposta: M =
∫∫
D δ(x, y)dxdy =
∫∫
D̂
v 3u
2
v dudv = 26
e) Calcule agora a coordenada y do centro de massa de D e verifique se o resultado está
de acordo com aqueles do item b).
Resposta: 1 ≤ y = 1089130 ≤ 18
Cálculo III Módulo 2 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018 – 1/2
3) Considere Oxy um plano condutor e o problema de calcular a carga induzida neste plano
devido a uma carga q0 em P1 = (0, 0, h). Sendo condutor, o que se espera é que a carga
induzida seja −q0. Surpreendentemente, esse cálculo pode ser feito por meio do campo
E(P ) =
q0k
‖P − P1‖2
P − P1
‖P − P1‖
+
−q0k
‖P − P2‖2
P − P2
‖P − P2‖
,
correspondente à carga q0 e a outra carga virtual −q0 em P2 = (0, 0,−h). Nesse caso,
a densidade de carga no plano é δ(x, y) = εEv(x, y, 0), onde Ev(x, y, 0) é a componente
vertical de E(x, y, 0).
a) Expresse Ev(x, y, 0) em termos de x e y.
Resposta: Ev(x, y, 0) = −2q0kh/(x2 + y2 + h2)3/2
b) Obtenha a expressão da carga q(R) contida no
disco B(O, R) ⊂ Oxy, de centro em O e raio R.
Resposta: q(R) =
∫∫
B(O,R)
−2εq0kh dxdy
(x2+y2+h2)3/2
c) Calcule o valor de q(R).
Resposta: q(R) = −q0k4πε(1− h√R2+h2 )
d) Calcule agora o limite limR→∞ q(R) = q∞, igual à carga total induzida no plano.
Resposta: q∞ = −q0k4πε
e) Verifique se q∞ tem o valor esperado sabendo que k =
1
4πε
.
Resposta: q∞ = −q0, que é o valor esperado
4) Um modelo simplificado para estimar o volume de um lago é assumir que a sua superf́ıcie
seja limitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 e que a profundidade em cada ponto (x, y) da superf́ıcie
seja dada pela função p(x, y) = H cos
(
π
2
√
x2
a2
+ y
2
b2
)
, em que H é a profundidade máxima.
Uma vez estimado o volume, a profundidade média é a razão entre o volume e a área da
superf́ıcie do lago.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma integral dupla.
Resposta: volume =
∫∫
D p(x, y) dx dy, onde D é a região limitada pela elipse.
b) Use uma mudança de variáveis para transformar a integral do item anterior em uma
integral sobre um disco de raio um.
Resposta: volume =
∫∫
D̂
H cos
(
π
2
√
u2 + v2
)
ab du dv, onde D̂ é o disco de raio 1.
a b
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
Resposta: volume = 4abH(1− 2/π).
d) Calcule a área da superf́ıcie do lago.
Resposta: área = πab.
e) Verifique que a altura média do lago é independente das constantes a e b.
Resposta: altura média = (4H/π)(1 − 2/π).
Cálculo III Módulo 2 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 2 Lista 3 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Seja Q o sólido limitado pelos gráficos das equações 2x + 2y + z = 1 e z = 3 − x2 − y2,
e indique por M a massa de Q com densidade δ0 = 1. De acordo com a figura, o sólido é a
região entre os gráficos de duas funções f, g : D → R, definidas em algum domı́nio D ⊂ R2.
C E a) O domı́nio D é um disco.
C E b) Q é o conjunto dos pontos (x, y, z) em que
(x, y) ∈ D e 3− x2 − y2 ≤ z ≤ 1− 2x− 2y .
C E c) A mudança g(u, v) = (u + 1, v + 1) simplifica
o cálculo da massa M .
C E d) Calculando obtém-se que M < 10π.
C E e) A coordenada x do centro de massa é tal que
x < 1/2.
2) Suponha que, em uma área circular D de raio R km, uma operadora de telefonia celular
mantenha uma densidade de 10 antenas por km2. Suponha ainda que a probabilidade de
um telefone no ponto P0 = (x0, y0) se conectar com uma antena situada em P = (x, y) seja
p(P ) = 1
2R
(2R− ‖P − P0‖). A qualidade do sinal Q(P0) para o telefone em P0 é a soma de
todas as probabilidades p(P ), em que P é a posição de uma antena.
xO1O2
a) Obtenha a expressão de Q(P0).
Resposta:
b) Calcule Q(O1) no caso em que O1 é o centro da área circular.
Resposta:
c) Descreva a área circular no sistema O2xy ilustrado ao lado.
Resposta:
d) Descreva a região do item anterior em coordenadas polares.
Resposta:
e) Calcule Q(O2) para O2 na periferia da área circular, e compare com o resultado em b).
Resposta:
Cálculo III Módulo 2 Lista 3 2.◦/2018 – 1/2
3) Apesar da função e−x
2
não ter uma primitiva elementar, a integral
∫∞
0
e−x
2
dx pode ser
calculada usando coordenadas polares e que e−x
2
e−y
2
= e−(x
2+y2). De fato, tem-se que∫ ∞
0
e−x
2
dx
∫ ∞
0
e−y
2
dy =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−(x
2+y2) dxdy = lim
a→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy
onde o integrando sugere o uso de coordenadas polares. Nesse sentido, sejam R1 e R2 as
regiões no primeiro quadrante limitadas pelos ćırculos de raios a e
√
2 a, conforme a figura.
a) Use coordenadas polares para calcular a integral
de e−(x
2+y2) sobre a região R1.
b) Repita o mesmo cálculo para a região R2.
c) Determine funções g1(a) e g2(a) tais que
g1(a) <
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy < g2(a).
a
√
2a
R1 R2
d) Use o item anterior para calcular o limite lima→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy.
e) Calcule finalmente o valor da integral
∫∞
0
e−x
2
dx.
4) Considere uma chapa CR limitada pela circunferência x
2 + y2 = R2, com densidade cons-
tante δ0, uma part́ıcula de massa m0 situada no ponto (0, 0, b) e o problema de determinar a
força de atração gravitacional entre esses corpos. Denote por G a constante gravitacional e
por dF (x, y) a força de atração entre a part́ıcula e o elemento de massa dm(x, y) = δ0 dxdy
do ponto (x, y). Observe que, por simetria, as componentes horizontais de dF (x, y) e
dF (−x,−y) se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forças.
b
R
a) Use a lei de Newton para calcular ‖dF (x, y)‖.
b) Determine o vetor unitário U(x, y) na mesma direção do vetor
de ponto inicial(0, 0, b) e ponto final (x, y, 0).
c) Usando que dF (x, y) = ‖dF (x, y)‖ U(x, y), determine a
componente vertical dFv(x, y) de dF (x, y).
d) Calcule a força de atração entre CR e a part́ıcula usando um
argumento infinitesimal.
e) Passando o limite com R → ∞, verifique que a força de atração entre a part́ıcula e
todo o plano Oxy, com densidade δ0, não depende da distância b da part́ıcula ao plano.
Cálculo III Módulo 2 Lista 3 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E),assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Denote por (x, y, z) o centro de massa do sólido Q, de densidade 1, limitado pelo para-
boloide z = x2 + y2, pelo cilindro x2 + y2 = 4x e pelo plano z = 0, conforme a figura. Se
necessário, use que cos4(t) = 1
8
(cos(4t) + 4 cos(2t) + 3).
C E a) Em coordenadas cartesianas, tem-se que
Q = {(x, y, z);x2 + y2 ≤ 4x e 0 ≤ z ≤ x2 + y2}
C E b) Em coordenadas ciĺındricas, o sólido corresponde à região
Q̂ = {(r, θ, z); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4 cos(θ) e 0 ≤ z ≤ r2}
C E c) A massa de Q é maior do que 25π.
C E d) Tem-se necessariamente que z < 16.
C E e) Tem-se necessariamente que y = 0.
2) Suponha que um tronco de madeira de densidade δ0 seja modelado pelo cilindro ilustrado
abaixo, apoiado sobre o eixo Oz, de comprimento L e laterais correspondentes a discos de
raio R. A força necessária para rolar o tronco na horizontal está relacionada ao momento de
inércia do tronco em relação ao eixo Oz, e o problema consiste em calcular esse momento.
Se necessário use que sen4(θ) = 1
8
(3 + cos(4θ)− 4 cos(2θ)).
R
D
r
θ
y
x
z
a) Descreva, em coordenadas cartesianas, o disco
D ⊂ Oxy indicado na figura e o tronco T .
Resposta:
D = {(x, y); x2 + (y −R)2 ≤ R2} e
T = {(x, y, z); (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤ L}
b) Determine o quadrado da distância de um ponto
(x, y, z) ∈ T ao eixo Oz.
Resposta: d2(x, y, z) = x2 + y2
c) Descreva o disco D em coordenadas polares na forma de um domı́nio Rθ. Em seguida,
descreva o tronco T em coordenadas ciĺındricas..
Resposta: D̂ = {(r, θ); 0 < θ < π e 0 < r < 2R sen(θ)} e T̂ = {(r, θ, z); (r, θ) ∈ D̂ e 0 ≤ z ≤ L}
d) Use os itens anteriores para calcular o momento de inércia I de T em relação a Oz.
Resposta: I = 32 (δ0πR
2L)R2 = 32MR
2
e) Verifique se o seu resultado está de acordo com o teorema dos eixos paralelos, segundo
o qual I = I + R2M , onde M é a massa do cilindro e I = R2M/2 é o momento de
inércia do tronco em relação ao seu eixo de simetria.
Resposta: 32MR
2 = I = 12R
2M +R2M =
Cálculo III Módulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.◦/2018 – 1/2
3) As laterais curvas da Torre Eiffel têm a intenção de abaixar o centro de massa, fa-
vorecendo a estabilidade. Aproximando essas laterais por hipérboles e considerando que
a concentração de metal aumenta com a altura, a torre pode ser modelada pelo sólido
Q = {(x, y, z) ∈ R3; x, y ∈ [− 300
z+5
, 300
z+5
] e 0 ≤ z ≤ 295} com densidade δ(x, y, z) = 7(z + 5).
Para facilitar os cálculos, considere g : Q̂ → Q dada por g(u, v, z) = (x, y, z) = ( 5
z+5
u, 5
z+5
v, z)
a mudança de coordenadas que transforma cada quadrado de uma seção horizontal da torre
em um quadrado de dimensões iguais às da base. Se necessário, use que ln(60) ≈ 4.
a) Calcule o módulo do jacobiano de g.
Resposta: Jg(u, v, z) =
25
(z+5)2
b) Descreva o sólido Q̂ nas coordenadas (u, v, z).
Resposta: Q̂ = {(u, v, z) ∈ R3 : u, v ∈ [−60, 60] e 0 ≤ z ≤ 295}
c) Use os itens anteriores para obter a massa da torre.
Resposta: M = 1202 × 25× 4
d) Calcule agora a coordenada z̄ do centro de massa.
Resposta: z̄ = 120
2×25×275
1202×25×4 =
275
4
e) Verifique que o centro de massa está a menos de um quarto da altura da torre.
Resposta: como a altura é 295, temos z̄ = 2754 <
295
4
4) Um capacitor esférico é composto por duas esferas condutoras, uma interna com raio a e
carga q > 0 e outra externa de raio b e carga −q, centradas em O e separadas por um material
isolante. Indicando por Qab a região entre as esferas, o campo elétrico E(P ) em um ponto
P ∈ Qab tem intensidade diretamente proporcional à carga q e inversamente proporcional a
‖P‖2, com constante de proporcionalidade K. A direção e o sentido de E(P ) é a do vetor
unitário P/‖P‖. Nesse caso, uma questão interessante é saber como os raios a e b interferem
na energia Uab armazenada no capacitor, dada por
Uab =
ε
2
∫∫∫
Qab
‖E(x, y, z)‖2 dxdydz,
a) Obtenha a expressão do campo E(P ).
Resposta: E(P ) = Kq‖P‖2
P
‖P‖
b) Descreva a região Qab em coordenadas esféricas.
Resposta: Q̂ = {(ρ, θ, φ) ∈ R3; ρ ∈ (a, b), θ ∈ (0, 2π) e φ ∈ (0, π)}
c) Use os itens anteriores para calcular a energia Uab.
Resposta: Uab = 2πεK
2q2( 1
a
− 1
b
)
d) Com a = a0 fixo, a energia Ua0b é uma função do raio b. Verifique que existe uma
constante C tal que Ua0b < C para todo b > a0.
Resposta: Ua0b < 2πεK
2q2 1
a0
e) Com b = b0 fixo, a energia Uab0 é uma função do raio a. Verifique que não existe
constante C tal que Uab0 < C para todo 0 < a < b0.
Resposta: notar que lima→0 Uab0 = lima→0 2πεK
2q2( 1
a
− 1
b0
) = ∞
Cálculo III Módulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
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Cálculo III
Módulo 3 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A figura ilustra uma espira retangular no plano Oyz, de lados a e b e com um de seus
vértices no ponto (0, y0, 0), na qual circula uma corrente I2 no sentido horário. Nesse caso,
o campo magnético B(x, y, z) = µ0I1
2π
(
−y
x2+y2
, x
x2+y2
, 0
)
exerce uma força Fi = I2
∫
Ci
Ti ×B ds
em cada um dos lados Ci da espira, i = 1, 2, 3, 4, em que Ti é o vetor unitário tangente a Ci
com a orientação dada pelo sentido da corrente.
C E a) No plano Oyz o campo magnético depende
apenas de y.
C E b) A força F3 é diretamente proporcional à y0 + a.
C E c) F2 =
µ0I1I2
2π
(0, 0, ln(1 + a
y0
)).
C E d) A soma F2 + F4 depende do sentido da corrente I2.
C E e) A soma F1 + F3 depende do sentido da corrente I2.
F1 F3
F2
F4
I2I1
C1 C3
C2
C4
b
y0 y0 + a
2) Suponha que uma cerca tenha sido constrúıda ao longo da curva C de parametrização
P (t) = (30 cos3(t), 30 sen3(t)) com t ∈ [0, π/2]. Suponha ainda que, em cada ponto (x, y) da
curva, a altura A(x, y) da cerca seja dada por A(x, y) = 1 + y/3, conforme ilustra a figura.
θ
P (θ)
A(P (θ))
a) Calcule o elemento comprimento de arco ds da curva.
Resposta: ds = ‖P ′(t)‖dt = 90 cos(t) sen(t) dt
b) Calcule o comprimento da curva C.
Resposta:
∫
C
ds = 45
c) Justifique o fato de que a integral
∫
C
Ads fornece a área de um dos lados da cerca.
Resposta:
o produto A(x, y) ds corresponde à área de um retângulo de altura A(x, y) e base
infinitesimal ds, e a integral é a soma de todas essas áreas
d) Calcule a integral do item anterior.
Resposta:
∫
C
Ads = 225
e) Use os dois itens anteriores para calcular a altura média da cerca.
Resposta: altura média = 5
Cálculo III Módulo 3 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018 – 1/2
3) Para a > 0, a curva definida pela equação r(θ) = a ( 1 + cos(θ) ) em coordenadas
polares, com θ ∈ [0, 2 π], é conhecida como um cardióide, e pode ser parametrizada na
forma P (θ) = (x(θ), y(θ)).
2a
a
a) Obtenha a parametrização P (θ) em termos das funções r(θ),
cos(θ) e sen(θ).
Resposta: P (θ) = (r(θ) cos(θ), r(θ) sen(θ))
b) Expresse o vetor velocidade P ′(θ) em temos das funções r(θ),
r′(θ), cos(θ) e sen(θ).
Resposta: P ′(θ) = r′(θ)(cos(θ), sen(θ)) + r(θ)(− sen(θ), cos(θ))
c) Verifique que o elemento comprimento de arco da curva pode ser expresso em termos
apenas das funções r(θ) e r′(θ).
Resposta: ds =
√
r(θ)2 + r′(θ)2 dθ
d) Use a identidade 2 cos2( θ
2
) = 1+cos(θ) para obter uma primitiva da função
√
1 + cos(θ)
em um intervalo em que cos( θ
2
) não muda de sinal.
Resposta:
∫
√
1 + cos(θ) dθ = ±2
√
2 sen( θ
2
) + c, conforme o sinal de cos( θ
2
)
e) Use os itens anterior para calcular o comprimento da curva P (θ) com θ ∈ [0, 2 π].
Resposta: comprimento = 8 a
4) Suponha que um arame tenha a forma obtida da interseção da esfera x2 + y2 + z2 = 1
com o plano x+ y + z = 0, como ilustrado abaixo.
a) Justifique a afirmação de que a forma do arame corresponde a
um ćırculo unitário de centro na origem.
Resposta: isto porque o plano passa pela origem.
b) Verifique que os vetores u = 1√
2
(−1, 0, 1) e v = 1√6
(1,−2, 1) são
unitários, ortogonais e pertencem ao plano.
Resposta: ‖u‖ = ‖v‖ = 1, 〈u, v〉 = 0 e a soma das coordenadas tanto de
u como de v se anula.
c) Verifique que o vetor w = au+ bv está no plano para quaisquer a, b ∈ R. Em seguida,
calcule a norma ‖w‖ em termos das coordenadas a e b.
Resposta: segue-se de que u e v estão no plano, e ‖w‖ =
√
a2 + b2.
d) Use os itens anteriores para obter uma parametrização P (θ), θ ∈ [0, 2 π], da curva
correspondente à forma do arame.
Resposta: P (θ) = cos(θ)u+ sen(θ) v.
e) Calcule a massa do arame supondo densidade linear dada por δ(x, y, z) = x2.
Resposta: massa = 2π/3.
Cálculo III Módulo 3 – Gabaritos – Lista 1 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Um cabo coaxial é composto por dois cilindros condutores como ilustrado abaixo, em que
a carga do cilindro interno é q > 0 e a do externo é −q. Na região entre os cilindros o campo
elétrico é E(x, y, z) = Kq
(x2+y2)
(x, y, 0) e a diferença de potencial entre os condutores é
Vab =
∫
C0
〈E, T 〉ds
onde C0 tem parametrização P (t) = (0, t, 0) com t ∈ [a, b]. Pode-se aumentar a eficiência do
cabo diminuindo-se a sua capacitância cab = q/Vab, mas isso nem sempre é fácil!
C E a) Vab = Kq ln(b/a).
C E b) O campo E não é conservativo.
C E c) E = ∇f , onde f envolve a função arctan.
C E d) Se C é o caminho indicado na figura, então
∫
C
〈E, T 〉ds > Vab.
C E e) Se b = 6a e um novo raio b1 é tal que cab1 = cab/10, então b1 > 5
10a.
2) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido por uma corrente elétrica estacio-
nária de intensidade i0, conforme a figura, em que o ćırculo C ao redor do fio representa uma
linha de campo do campo magnético B gerado pela corrente. Por simetria, a intensidade
||B|| é constante ao longo de C. Além disso, pode-se mostrar que B(P ) = ||B||T (P ), em
que T (P ) é o vetor unitário tangente a C no ponto P .
P
B
C
a) Obtenha uma parametrização anti-horária P (t) de C supondo que
este ćırculo esteja no plano Oxy e tenha raio r0.
Resposta: P (t) = (r0 cos(t), r0 sen(t)), t ∈ [0, 2π]
b) Calcule agora o vetor T (P (t)), e verifique que o produto escalar
〈B(P (t)), P ′(t)〉 é independente do parâmetro t.
Resposta: T (P (t)) = (− sen(t), cos(t)) e 〈B(P (t)), P ′(t)〉 = r0||B||
c) Segundo a lei de Ampère, a integral de linha de B ao longo de C é igual a µ0 i0, em
que µ0 > 0. Use esse fato para determinar a intensidade do campo B ao longo de C.
Resposta: ||B|| = µ0 i0/(2π r0)
d) Determine a expressão de B(x, y) em termos das coordenadas do ponto P = (x, y).
Resposta: B(x, y) = µ0 i0/(2π)(−y/(x
2 + y2), x/(x2 + y2))
e) Calcule a integral de linha
∫
Ĉ
〈B, T 〉ds, onde Ĉ é o ćırculo de raio 2.
Resposta:
∫
Ĉ
〈B, T 〉ds = µ0 i0
Cálculo III Módulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018 – 1/2
3) Na região Q = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, que não inclui a origem O, o campo magnético
B(x, y) = (L(x, y),M(x, y)), onde
L(x, y) =
µ0 i0
2π
(
−y
x2 + y2
)
e M(x, y) =
µ0 i0
2π
(
x
x2 + y2
)
,
está bem definido e é de classe C1. Além disso, B satisfaz as condições para ser um campo
conservativo, isto é, para existir f : Q → R de classe C2 tal que B = ∇f em Q.
a) Calcule as derivada parciais das coordenadas L e M .
Resposta: Lx(x, y) =
µ0i0
2π
2yx
(x2+y2)2 = −My(x, y) e
Ly(x, y) =
µ0i0
2π
y2−x2
(x2+y2)2 = Mx(x, y)
b) Verifique a afirmação feita acima, de que B satisfaz as
condições para ser conservativo.
Resposta: basta notar que Mx = Ly.
C
c) Lembrando que arctan′(s) = 1/(s2 + 1), calcule a integral indefinida
∫
L(x, y) dx,
observando que a constante de integração k = k(y) pode depender de y.
Resposta:
∫
L(x, y) dx = −µ0i02π arctan(
x
y
) + k(y).
d) Determine agora uma função potencial para o campo magnético.
Resposta: f(x, y) = −µ0i02π arctan(
x
y
) + k, k constante.
e) Use a regra da cadeia para justificar a afirmação de que a integral
∮
C
〈B, T 〉 ds se anula
para todo caminho regular e fechado C contido na região Q.
Resposta:
∮
C
〈B, T 〉 ds =
∫ b
a
d
dt
f(P (t)) dt = f(P (b))− f(P (a)) = 0.
4) Suponha que uma part́ıcula de massa m percorra o caminho C de parametrização
P (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], e denote por v(t) = P ′(t) e a(t) = P ′′(t) os vetores
velocidade e aceleração, respectivamente. Segundo a lei de Newton, F (P (t)) = ma(t), em
que F é a resultante das forças sobre a part́ıcula. Suponha ainda que o campo F possua
uma função energia potencial p, isto é, que F seja o campo gradiente F (P ) = −∇p(P ).
a) Calcule d
dt
m
2
‖v(t)‖2 em termos de um produto escalar en-
volvendo os vetores v(t) e a(t).
Resposta: d
dt
m
2 ‖v(t)‖
2 = 〈ma(t), v(t)〉.
b) Use a lei de Newton e o item anterior para expressar o pro-
duto escalar 〈F (P (t)), P ′(t)〉 em termos de uma derivada.
Resposta: 〈F (P (t)), P ′(t)〉 = d
dt
m
2 ‖v(t)‖
2
c) Calcule o trabalho WC realizado por F ao longo de C
usando o item anterior.
Resposta: WC =
∫ b
a
d
dt
m
2 ‖v(t)‖
2 dt = m2
(
‖v(b)‖2 − ‖v(a)‖2
)
.
d) Calcule agora o mesmo trabalho WC em termos da energia potencial p.
Resposta: WC =
∫ b
a
〈−∇p (P (t)), P ′(t)〉 dt = p(P (a))− p(P (b)).
e) Use os itens anteriores para concluir que a soma p(P (t)) + m
2
‖v(t)‖2 das energias po-
tencial e cinética é constante ao longo do caminho C.
Resposta: p(P (b)) + m2 ‖v(b)‖
2 = p(P (a)) + m2 ||v(a)||
2.
Cálculo III Módulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2018 – 2/2
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 3 Lista 3 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere o semi-plano D = {P = (x, y) ∈ R2; x > 0} e a região R ⊂ D limitada pelas
circunferências ‖P‖ = 1 e ‖P‖ = 2 e pelas retas y = ±x. Conforme a figura, tem-se que
∂R = ∪4i=1Ci onde os caminhos Ci têm a orientação indicada. Considere ainda o campo
elétrico E(P ) =
δ0
2πǫ0
P
‖P‖2
. Se necessário, use que ln(2) ≈ 7/10 e arctan(2) ≈ 11/10.
C E a) Por considerações geométricas, conclui-se que o traba-
lho realizado por E ao longo do caminho C3 é positivo.
C E b) E é um campo conservativo em D.
C E c) Tem-se que E = ∇f para alguma função f : D → R
cuja expressão envolve o logaritmo.
C E d)
∫
C2
〈E, T 〉 ds >
δ0
2πǫ0
.
C E e) As integrais
∫
Ci
〈E, T 〉 ds, i = 2, 4, têm sinais iguais.
C1
C2
C4
C3
2) Suponha que a superf́ıcie S, correspondente à semi-esfera x2 + y2 + z2 = 22 com z ≥ 0,
esteja submersa a uma profundidade H = 5, conforme a figura. A intensidade da pressão
exercida pela água no ponto (x, y, z) é p(x, y, z) = δg(H − z), onde δ é a densidade da água
e g a aceleração da gravidade. Indicando por n = (n1,n2,n3) a normal unitária exterior, a
força exercida pela água sobre o elemento de área dS é dF = −(pn1 dS, pn2 dS, pn3 dS). A
força total F = (F1, F2, F3) é então a soma de todas as forças infinitesimais dF .
n
H
a) Obtenha a parametrização ϕ : D → R3 de S em coordenadas
esféricas, indicando o domı́nio D.
Resposta:
b) Expresse dS e n em coordenadas esféricas.
Resposta:
c) Expresse as componentes da força em termos de integrais sobre S.
Resposta:
d) Calcule a componente vertical da força F = (0, 0, F3), uma vez que só ela é não nula.
Resposta:
e) Expresse F3 em termos do volume da coluna de água imediatamente acima de S.
Resposta:
Cálculo III Módulo 3 Lista 3 2.◦/2018 – 1/2
3) Considere o problema de calcular a circulação ao longo da curva C do campo magné-
tico B(x, y) = (L(x, y),M(x, y)) =
(
−2y
x2+y2
, 2x
x2+y2
)
, onde C é uma curva fechada simples e
orientada no sentido positivo, conforme a figura. Para isso, indique por C0 o ćırculo de centro
na origem e raio a > 0, orientadotambém no sentido positivo, e por D a região entre C e
C0. Com essa notação, o campo B está bem definido e é de classe C
1 no domı́nio D.
a) Calcule, pela definição, a circulação de B ao longo de C0.
b) Enuncie o Teorema de Green no domı́nio D, indicando a
orientação do bordo ∂D.
c) Calcule as derivadas parciais Ly e Mx.
d) Calcule
∫
∂D
〈B, T 〉 ds usando os itens anteriores.
e) Use os itens anteriores para calcular
∫
C
〈B, T 〉 ds.
C0
C
4) Indique por S a parte do cone z = a
√
x2 + y2 em que a > 0 e R/2 ≤
√
x2 + y2 ≤ R.
Suponha que S tenha densidade superficial de carga δ > 0 e considere o problema de calcular
a força F exercida por S sobre uma carga pontual q > 0 na origem. Observe que, por simetria,
F = (0, 0, Fv) só tem componente vertical, e use que a força dF (P ) que a carga infinitesimal
dq = δdS do ponto P = (x, y, z) ∈ S exerce sobre a carga q é dF (P ) = −Kq dq
‖P‖2
P
‖P‖
.
a) Use um argumento infinitesimal para obter a componente
vertical Fv em termos de uma integral sobre S.
b) Use coordenadas ciĺındricas para obter uma parametrização
ϕ : D → R3 de S, explicitando o domı́nio D.
c) Calcule o elemento de área de S.
d) Use os itens anteriores para calcular a componente vertical
Fv. Como verificação, use as propriedades do logaŕıtimo para
concluir que Fv é independente do raio R.
e) Determine o número a > 0 que maximiza a intensidade da força Fv.
Cálculo III Módulo 3 Lista 3 2.◦/2018 – 2/2
	Módulo 1
	Lista 1
	Lista 2
	Lista 3
	Lista 4
	Módulo 2
	Lista 1
	Lista 2
	Lista 3
	Lista 4
	Módulo 3
	Lista 1
	Lista 2
	Lista 3
	fd@rm@0: