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1
UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS
Prof. PEDRO PAULLO
Disciplina- Matemática Financeira I 04/02/22
Administração de empresas 
Aluno _________________________________________________RGM__________
Dourados, MS 04 de fevereiro 22
Introdução 
Matemática Básica 
Números fracionários
Todo número escrito na forma a/b (numerador e denominador) denomina-se fração. O numerador indica quantas 
partes foram tomadas do todo. O segundo indica em quantas partes iguais o todo foi dividido. Exemplo 2/5
2 Numerador – indica que foram tomadas duas partes 
5 denominador – indica que o todo foi em cinco partes iguais.
Frações equivalentes 
Duas ou mais frações são equivalentes quando representam a mesma parte do todo.
Operações com frações 
Adição e subtração 
4
33
4
15
4
7
4
5
4
3

 Frações com denominadores iguais, somamos ou subtraímos os numeradores e 
conservamos o denominador.
4
1
4
7
4
5
4
3

Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos reduzi-las ao mesmo denominador para depois efetuar 
a operação.
...
6
3
4
2
2
1

2
20
23
20
815
5
2
4
3



Multiplicação 
O produto de duas ou mais frações gera uma outra fração onde o numerador é o produto dos numeradores e o 
denominador o produto dos denominadores.
8
15
2
5
4
3
x
Divisão 
Na divisão de frações devemos transformar antes em uma multiplicação.
10
9
2:20
2:18
20
18
5
6
4
3
6
5
4
3
 x
Exercícios ( Parte 1)
operações com frações
a)
b) 4
5
3
4

=
c)
2
4
5
5
3
3
2

=
d)
22
3
4
2
32
3
2





 







=
e)
4
5
5
73
7
4
7
2
3
2 2















=
3
 Parte 2
1) Das figurinhas que eu possuía, 3/7 eu perdi e 2/5 foram dadas ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas 
figurinhas foram dadas ao meu irmão?
 
2) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três 
quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste 
reservatório?
 
3) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 128,00 por quatro das 
nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?
 
4) Dos frascos de xampu utilizados mensalmente por uma família, a mãe consome 7/9 de um frasco, a filha caçula 
consome 1/3 de um frasco e a mais velha consome 3/5 de um frasco, sendo que do total de mililitros ainda sobram 
260 ml não consumidos. Visto que elas utilizam a menor quantidade necessária de frascos, qual é a capacidade em 
mililitros de cada frasco de xampu?
 
5) Meus dois sobrinhos me visitaram neste final de semana e lhes dei 4/5 dos doces que eu possuía em casa. Um 
ganhou 10 doces e outro ganhou 7/12 dos doces que eu dei. Quantos doces eu deixei de dar?
 
6) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador 
consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas 
horas?
 
7) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona 
Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto 
custa tal brinquedo?
 
8) Para transportar uma determinada carga, um caminhão A precisa de quatro viagens e um caminhão Bprecisa de 
cinco viagens. Trabalhando em conjunto com um caminhão C, eles conseguem transportar a carga em apenas duas 
viagens. Quantas viagens o caminhão C precisaria para transportar esta carga sozinho?
 
9) Um feirante vendeu metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou, a R$ 2,00 a dúzia. Dois terços da 
outra metade vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante vendeu a R$ 1,00 a dúzia. Qual é a fração das dúzias 
correspondentes a cada valor de venda e quanto o vendedor faturou na venda?
 
10) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a 
R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu?
 
 Parte 3
1) O tanque de gasolina de um carro, quanto totalmente cheio, contém 58 litros. Durante uma viagem foram 
gastos 3/7 da gasolina do tanque. Quantos litros foram gastos na viagem.
4
2) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada que tem 1.450 km de extensão. Quantos km ainda faltam 
percorrer?
3) Um salário de $ 1.500,00 aumentando em 5/20 passa a ser de?
4) Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias?
5) Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de 
couro ? 
6) Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ? 
7) Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos 
ladrilhos seriam necessários ?
8) Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de 
automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ? 
9) A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?
10) Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ? 
11) A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. 
Calcular o produto destes três números.
12) Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?
13) Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a 
segunda e esta, 3/8 do receber a terceira. 
14) – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 
12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ? 
15) Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ? 
16) Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que 
tempo o reservatório ficará completamente cheio ? 
17) Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 
horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do 
reservatório ficará cheia ? 
18) Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos 
passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem 
chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ? 
19) Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do 
trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ? 
Equação do primeiro grau
Equação é uma igualdade que se verifica para valores atribuídos a todas ou algumas das letras que nela aparece.
Na igualdade x + 3 = 8 será verdade para x = 5 ou seja 5 + 3 = 8
Resolver uma equação significa determinar as suas soluções, caso existam.
Procedimentos para resolução de uma equação 
 Eliminar os denominadores, caso existam
 Efetuamos as operações indicadas, eliminando eventuais parênteses.
 Passamos para o primeiro lado da igualdade (primeiro membro) todos os termos desconhecidos.
 Isolamos o termo desconhecido.
Exemplos 
5
2x + 15 = 31
2x = 31 – 15 
2x = 16 
x = 16/2
x = 8 portanto o número procurado é 8.
Exercícios 
1) x + 3(x + 3) = 10
2) 2x – 13 = 3x + 2
3)
5
5
3
3
2

xx
4)
4
3
2
2
2

 xx
5) O triplo de um número menos a sua metade é igual 25. O numero é.
6) A soma de um número com 3 é igual o quociente desse mesmo número por 3. qual o número.
7) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? 
8) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
9) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é essenúmero?
10) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?
11) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de 
carros.
12) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o 
número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?
Razão e Proporção 
Em um curso de matemática financeira se faz necessário o conhecimento de alguns itens básicos. Estudaremos 
alguns.
 Razão e proporção
 Grandezas proporcionais
 Divisão proporcional
 Porcentagem
 Operações de compra e venda
Razões e Proporções
Uma razão nada mais é do que a divisão (com sentido) entre dois números. Considerando, por exemplo, uma 
garrafa de coca-cola de 1 litro, que será distribuída em 4 copos de 250ml ou seja um quarto de um litro, temos 
assim 1 garrafa para 4 copos o que nos dá uma razão de 1 para 4 que será assim representado ¼ ou 1 : 4.
Assim, a razão entre dois números (a e b com b  0) e por ser dita razão de a para b e representada como b
a
 ou 
a:b enquanto a é chamado de antecedente e b é chamado de conseqüente. 
Exemplos 
1) a razão entre 0,25 e 2 é :
)81(
8
1
2
1.
4
1
2
4
1
2
25,0 para
2) a razão entre 12
5
6
1 e
6
)52(
5
2
30
12
5
12*
6
1
12
5
6
1
para
Proporção é a expressão que indica a igualdade entre duas razões.
A proporção d
c
b
a

 é lida como “ a está para b assim como c está para d” e também pode ser representada como 
a:b:c:d, nesta proporção os números a e d representam os extremos e os números b e c os meios. 
Propriedade fundamental das proporções.
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios
a.d=b.c
Exemplos:
 
1) determine o valor de x na proporção. x
6
4
3

 Veja que nesta proporção os extremos são 3 e x e os meios são 4 
e 6. agora aplicamos a propriedade fundamental. 3.x= 4.6 multiplicando 3x= 24 logo teremos x = 24/3 então x = 8.
2) numa prova de 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Qual a razão do número de 
questões certas para erradas?
 
Resolução
Das 50 questões, 35 estavam corretas e 5 ficaram em branco Logo errei 10 questões.
portanto, a razão do número de questões certas (35) para o número de erradas (10) é 35/10 =7/2 ou (7 para 2)
3) calcular dois números positivos na proporção 2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o menor é 42. 
Resolução
Considere x o maior e y o menor dos números.
A proporção nos mostra que x está para 2 assim como y está para 5, assim: 52
yx

Então podemos dizer que:
x tem duas partes..................(x = 2p)
y tem cinco partes ................(y = 5p) 
mas a diferença y – x deve valer 42, assim teremos 
y – x = 42  substituindo 5p – 2p = 42  3p = 42  p = 14 
assim descobrimos que cada parte vale 14 (p=14), concluímos então que :
o valor de x é  x = 2p  x = 2.14  x = 28
o valor de y é  y = 5p  y = 5.14  y = 70
3) na proporção múltipla 653
zyx

 determinar os valores de x, y e z sabendo que x + y + z = 112
resolução
pela proporção dada, vemos que:
x tem 3 partes ................x = 3p
y tem 5 partes ................ y= 5p
z tem 6 partes ................z = 6p
como a soma das três vale 112 temos 
3p + 5p + 6p = 112  14p = 112  p = 8 
Agora que sabemos o valor de cada parte podemos obter x, y e z:
x = 3.p  x = 3.8  x = 24
y = 5.p  y = 5.8  y = 40
z = 6.p  z = 6.8  z = 48
Exercícios 
7
1) Determine o valor de x em cada proporção:
a) 
3
5
2

x
 b) 5
1
3
1
2
1

x
 c ) 2
11
3
13
4
3
2



x
 d) 
4
1
3
11

x
2) Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que a soma deles é 48.
3) Determine os valores de x, y e de z na proporção 732
zyx

 sabendo que x + y + z = 180
4) Determine dois números na proporção 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 unidades.
5) A razão entre dois números é igual a 5
4
. Determine os sabendo que eles somam 72.
6) Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.
7) Um pai tem 46 anos e seu filho tem 16 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o dobro da idade do 
filho?
8) Três amigos, Pedro, Paulo e Manoel, abriram um empresa sendo que os capitais investidos foram 
respectivamente de R$ 10.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00. Um ano depois a empresa deu um lucro 
de R$ 90.000,00 que foi divido entre eles proporcionalmente aos capitais investidos. Quanto recebeu cada 
um?
9) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$ 
4.300,00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$ 50,00 e cada calça de tamanho médio custou R$ 
60,00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente ele comprou?
10) Um pai distribuiu certa quantia para seus três filhos da seguinte maneira: o 1º recebeu 1/3 do total, o 2º 
recebeu 2/3 do que restou após o primeiro receber a sua parte e o 3º recebeu R$ 200. Qual foi a quantia 
distribuída?
- GRANDEZAS PROPORCIONAIS
 - GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas dizem-se diretamente proporcionais ou simplesmente proporcionais quando 
aumentando (ou diminuindo) uma delas de duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra também aumenta (ou 
diminui) de duas, três, quatro, etc. vezes o respectivo valor. 
Consideremos as grandezas: Comprimento do tecido custo
Se 3 metros custam R$ 18,00
então 6 metros custarão R$ 36,00
e 9 metros custarão R$ 54,00
Logo, quando o comprimento do tecido torna-se duplo, triplo, etc., o mesmo acontece com o respectivo 
custo e as duas grandezas diz-se que são diretamente proporcionais.
A propriedade que caracteriza a existência de grandezas diretamente proporcionais é a seguinte:
Em duas grandezas diretamente proporcionais a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão 
entre os dois valores correspondentes da outra.
Assim, no exemplo citado, as flechas indicam que as razões resultaram de grandezas diretamente 
proporcionais. Temos, portanto:
6
3

36
18

=> 6
3
= 36
18
8
9
3

54
18

=> 54
18
9
3

9
6

 54
36

=>

9
6
54
36
- GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas, dizem-se inversamente proporcionais quando aumentando (ou diminuindo) uma delas 
de duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminui (ou aumenta) de duas, três, quatro, etc. vezes o 
respectivo valor. 
Sejam as grandezas: N° de operários tempo
Se 5 operários fazem certo trabalho em 12 dias
então 10 operários farão o mesmo trabalho em 6 dias
e 15 operários farão o mesmo trabalho em 4 dias.
Logo, quando o número de operários torna-se duplo, triplo, etc., o tempo empregado para realizar o 
mesmo trabalho torna-se a metade, um terço, etc. e as duas grandezas são inversamente proporcionais. 
A propriedade que caracteriza a existência de grandezas inversamente proporcionais é a seguinte:
 
Em duas grandezas inversamente proporcionais a razão entre dois valores de uma delas é igual ao 
inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.
Agora as flechas são de sentido contrário. Logo:
 10
5

 6
12

=> 

10
5
12
6
15
5

 4
12

=>

15
5
12
4
 15
10

 4
6

=>

15
10
6
4
- GRANDEZAS PROPORCIONAIS A VÁRIAS OUTRAS:
Diz-se que uma grandeza é proporcional a várias outras, se é diretamente ou inversamente proporcional a 
cada uma delas, quando as demais não variam. Exemplo:
O tempo empregado para se efetuar a escavação de um buraco é diretamente proporcional ao volume de 
terra extraída e inversamente proporcional ao número de homens empregados. De fato, basta observar que:
Se 4 homens em 12 dias extraem 100 m3 de terra
 Então 8 homens em 6 dias extrairão 100 m3 de terra
e 8 homens em 12 dias extrairão 200 m3 de terra. 
Isto é, não variando nas duas primeiras linhas, a grandeza volume (100 m3), as grandezas número de homens etempo são inversamente proporcionais e não variando, na terceira linha, a grandeza número de homens (8), as 
grandezas tempo e volume são diretamente proporcionais. 
A propriedade que caracteriza a existência de uma grandeza diretamente proporcional a várias outras é a 
seguinte:
 
Se uma grandeza é diretamente proporcional a várias outras, os valores que exprimem sua medida são 
9
diretamente proporcionais aos produtos dos valores correspondentes das outras.
No caso das grandezas serem inversamente proporcionais, a mesma propriedade será aplicada em relação 
aos inversos dos valores correspondentes às medidas das outras. 
Exercícios:
Verificar se as grandezas são (duas a duas) diretamente ou inversamente proporcionais:
1. A quantidade de veludo empregado para fabricar uma fita em relação ao seu comprimento e em relação à sua 
largura. 
2. O número de pessoas em relação ao tempo gasto para terminar uma obra e o número de horas empregadas por 
dia. 
3. A quantidade de trabalho efetuada em relação ao número de pessoas e em relação ao tempo gasto.
- REGRA DE TRÊS
 - REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA:
É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que envolvem duas grandezas 
diretamente proporcionais.
Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um segundo valor de uma 
delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra. 
Se as grandezas são diretamente proporcionais, a regra de três diz-se direta. 
A técnica para resolver problemas consiste em obter com os três dados e a incógnita procurada uma 
proporção e dela tirar o valor desejado. 
Exemplo:
Se 15 m de certo tecido custam R$ 90,00, quanto custarão 32 m desse tecido? 
Indicando por x o preço dos 32 m de tecido, temos a seguinte disposição prática:
↓ 15 -------------- 90 ↓
↓ 32 -------------- x ↓
Como neste exemplo as grandezas comprimento e custo são diretamente proporcionais, assinalamos 
essa variação na disposição prática mediante flechas no mesmo sentido.
A proporção resultante é:

32
15
x
90
onde x = 15
90.32
 => x = 192
Logo, os 32 m de tecido custarão R$ 192,00
- REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA:
É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que envolvem duas grandezas 
inversamente proporcionais.
Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um segundo valor de uma 
delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra. 
Se as grandezas são inversamente proporcionais, a regra de três diz-se inversa. 
Exemplo:
Se 6 operários levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol, quantos operários 
seriam necessários para levantar o muro em 3 dias. 
10
Como o tempo necessário para efetuar uma obra é inversamente proporcional ao número de operários 
empregados, temos a seguinte disposição prática, agora assinalada com flechas de sentidos contrários:
↓ 6 operários------------------ 10 dias ↑
↓ x operários ----------------- 3 dias ↑
Invertendo a segunda razão (10 / 3), resultará a seguinte proporção:

x
6
10
3
onde x = 

3
10.6
=> x = 20
Portanto, são necessários 20 operários para levantar o muro em 3 dias. 
Exercícios:
1. Cinco operários fazem um serviço em 8 dias. Se forem contratados mais 3 operários, em quantos dias 
ficaria pronto o serviço? 
2. Se uma torneira enche 1/6 de um tanque em uma hora, quanto tempo levará para encher o tanque todo?
3. Calcule a altura de um edifício que projeta uma sombra de 19,60 m. no mesmo instante em que um bambu 
de 3,8 m, plantado verticalmente, projeta uma sombra de 4,90 m.
4. Uma roda dá 2.376 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em 1 h 27 min?
5. Um automóvel percorre um determinado trajeto em 2 horas, com a velocidade de 40 km/h. Se triplicar a 
velocidade, para percorrer o mesmo trajeto, qual será o tempo do percurso?
6. Cinco homens, em 8 dias, ganham US$ 480,00. Quantos dias seriam necessários para 9 homens ganharem 
US$ 2.376,00?
7. Para alimentar uma família de 6 pessoas durante dois dias, são necessários 3 litros de leite. Para alimentá-
los durante 5 dias, estando ausentes duas pessoas, quantos litros de leite serão necessários?
- REGRA DE TRÊS COMPOSTA:
É uma técnica de cálculo empregada para resolver problemas que envolvem
mais de duas grandezas.
A grandeza cujo valor é procurado pode ser diretamente ou inversamente proporcional a todas as outras ou 
ainda diretamente proporcional a umas e inversamente proporcional a outras. 
Aplicação Prática:
1. Em 6 dias de trabalhos aprontam-se 720 uniformes escolares fazendo funcionar 16 máquinas de costura. Em 
quantos dias de podem aprontar 2.160 uniformes escolares, fazendo funcionar 12 máquinas iguais às primeiras?
Temos a seguinte distribuição prática:
Dias Uniformes Máquinas
↓ 6 720 ↓ 16 ↑
↓ x 2.160 ↓ 12 ↑
Invertendo os valores correspondentes à 3ª grandeza:
16.2160
12.7206

x
Lembrando a propriedade que caracteriza a existência de uma grandeza diretamente proporcional a várias 
outras (os valores que exprimem sua medida são diretamente proporcionais aos produtos dos valores 
correspondentes das outras), vem:
16.2160
12.7206

x => 12.720
16.2160.6
x
=> x = 24 dias
11
2. Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de brim de 0,82 m de largura. Quantos metros de brim de 1,23 
m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio?
Quilos Comprimento Largura
↓ 24 120 m ↓ 0,82 m ↑
↓ 30 x ↓ 1,23 ↑
82,0.30
23,1.24120

x => 23,1.24
82,0.30.120
x
=> x = 100 m
Exercícios:
1) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m. de tecido. Quantos dias, de 6 horas levaria para fazer 
2.000 m de um tecido que apresenta dificuldade igual a ¾ do primeiro? (20 dias)
2) Foram empregados 36 kg de fio para tecer 126 m de tecido com 0,60 m de largura. Pergunta-se: quantos metros 
de tecido de 0,72 m de largura se podem tecer com 48 kg do mesmo fio?
(140 m)
3) Uma equipe de mineiros composta de 15 homens extraiu, em 30 dias, 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe 
for aumentada para 20 homens, em quanto tempo será extraída a mesma quantidade de carvão?
(22,5 d)
4) Se três homens podem arar um campo de 8 ha em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em quantos dias 8 
homens poderão arar 192 ha trabalhando 12 horas diárias? (30 d)
5) Para o piso de uma sala empregaram-se 750 tacos de madeira de 45 cm de comprimento por 8 cm de largura. 
Quantos tacos, de 40 cm de comprimento por 7,5 de largura, são necessários para um piso cuja superfície é o 
dobro da anterior? (1800 t)
6) Três operários trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 
sete operários trabalhando 9 dias? (1.400 peças)
7) Duas máquinas produzem 32 peças de um certo produto em 4 dias. Quantas peças produzirão 5 máquinas iguais 
as primeiras em 3 dias? (60 peças)
8) Um motociclista percorre 120 km em 2 dias, durante 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 km rodando 
5 horas por dia? (5 dias)
9) Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de tecido em 5 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantas horas 
por dia deverão trabalhar 15 teares para produzirem 1.200 m do mesmo tecido em 8 dias? (8 horas por dia)
10) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem em 8 horas de serviço diário, 240 pares de 
calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de 
trabalho? (32 operários)
11) Em 30 dias uma frota de 25 táxis consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis 
consumirá 240.000 litros de combustível? (50 dias)
12) Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho foram contratados 100 operários. Como se 
deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas de trabalho determine quantos operários a mais devem ser 
contratados? (50 operários)
13) Um edifício é construído em 18 meses por 20 operários trabalhando 10 horas por dia. Em quanto tempo esse 
edifício seriaconstruído, se fossem demitidos 5 operários e o restante trabalhasse com um jornada de 12 horas por 
dia? (20 meses)
14) Um folheto enviado pela Corsan informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona 
um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto 
durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados? (250 litros)
15) Meia dúzia de datilógrafos prepara 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma 
capacidade, prepararão 800 páginas? (15 dias)
12
16) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas diárias de serviço, 240 pares de 
calçados por dia. Quantos operários serão necessários para produzir 600 pares de calçado por dia, se a jornada de 
trabalho diária for de 10 horas? (32 op)
17) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90.000 peças. Qual é 
o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 
135.000 peças? (75 dias)
18) Dois carregadores levam caixas de um depósito para um caminhão. O primeiro leva 4 caixas por vez e demora 
3 minutos para ir e voltar. O segundo leva 6 caixas por vez e demore 5 minutos para ir e voltar. Mantendo o mesmo 
ritmo, enquanto o primeiro leva 240 caixa, quantas caixas leva o segundo? (216 cx)
19) Uma tonelada de ração alimenta 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilogramas de ração serão necessários 
para alimentar 30 vacas durante 75 dias? (3.750 Kg)
20) Em uma granja, 120 galinhas produzem em média 100 dúzias de ovos em 10 dias. Quantas dúzias de ovos 
serão produzidas por 80 galinhas em 18 dias? (120 duz)
Porcentagem
Porcentagem ou percentagem é uma fração cujo denominador é 100. Representa-se com o símbolo % 
(que se lê "por cento"). 
%
100
xx 
. Porcentagem pode ser considerada como unidade de medida universal do 
sistema financeiro e também é aplicado em varias áreas do conhecimento.
Porcentagem pode ser entendida como uma parte do todo, e sempre está relacionada a uma grandeza. 
Notação 
Por exemplo, quando escrevemos 10% temos uma representação percentual, o símbolo % indica 100
10
 
isso que dizer que em um total de 100 tomamos 10. Mas veja o seguinte se dividirmos 10 por 100 teremos como 
resultado (0,10) e este resultado chama-se parte unitária. Você já dever ter percebido que a porcentagem pode 
aparecer acompanhada do % , porém todas as vezes que você tiver que calcular uma porcentagem esta deverá 
estar na forma unitária. 
Como já dissemos anteriormente porcentagem pode ser entendida como parte do todo, por exemplo, 
suponha que você acabou de fazer uma prova de 80 questões para um concurso, e o edital dizia que para você 
ser aprovado você precisava de no mínimo 50% de acertos. Depois de conferido você percebeu que tinha acertado 
47 questões das 80. Será que você passou? Bom vamos ver. De 80 você acertou 47 (lembra da aula de razão) 
13
temos então 
5875,0
80
47

 veja que o resultado está na forma unitária, para transformamos isso para porcentagem 
basta multiplicarmos por 100 assim teremos:
0,5875x100= 58,75% esse número representa o seu percentual de acerto.
Você deve ter percebido que uma razão está na verdade representando uma porcentagem. 
Aplicação das porcentagens para aumentos e descontos.
Exemplo. 
Você quer comprar um objeto de $ 150,00 e para pagamento a vista terá um desconto de 10%. Quanto irá 
desembolsar?
Resolução.
Bom!!!!!! Teremos um desconto de 10% sobre o valor da mercadoria.
d= 10%.150  d= 100
10
.150  d= 0,10.150  d = 15,00
o nosso desconto é de $ 15, 00, agora calculamos quanto vamos pagar 
V= 150,00 – 15,00  V = 135,00
Uma outra maneira bastante interessante de se fazer é: você pode pensar assim, o preço do objeto que 
quero comprar é 100% como terei um desconto de 10% pagarei pelo objeto apenas 90% do seu valor. O valor final 
então será dado por:
%)10%100(150 fV Devemos sempre transformar taxa percentual em taxa unitária então, 
)
100
10
100
100(150 fV
)10,01(150 fV
 
)90,0.(150fV
 
00,135fV
Então podemos escrever uma fórmula geral %)1(0 pVV f  onde:
dedescontopercentualp
alvaloriniciV
valorfinalV f



0
Obs – 
Agora se em vez de descontos tivéssemos um aumento, bom a idéia é a mesma a única diferença está no sinal no 
lugar de menos escrevemos mais. 
Exemplo. 
Você quer comprar um objeto de $ 150,00 e para pagamento e por atraso terá um aumento de 10%. 
Quanto irá desembolsar?
Resolução.
Bom!!!!!! Teremos um aumento de 10% sobre o valor da mercadoria.
a= 10%.150  a= 100
10
.150  a= 0,10.150  a = 15,00
o nosso aumento é de $ 15, 00, agora calculamos quanto vamos pagar 
V= 150,00 + 15,00  V = 165,00
Uma outra maneira bastante interessante de se fazer é: você pode pensar assim, o preço do objeto que 
quero comprar é 100% como terei um aumento de 10% pagarei pelo objeto apenas 110% do seu valor. O valor final 
então será dado por:
%)10%100(150 fV Devemos sempre transformar taxa percentual em taxa unitária então, 
)
100
10
100
100(150 fV
)10,01(150 fV
 
)10,1.(150fV
 
00,165fV
Então podemos escrever uma fórmula geral %)1(0 pVV f  onde:
deaumentopercentualp
alvaloriniciV
valorfinalV f



0
 
Exercícios resolvidos.
1) em um teste com 150 questões você acertou 40%. Quanta questão acertou?
Resolução.
14
e= 40%.150  e = 40/100.150 e = 0,40. 150  e = 60 ou seja, você errou 60 questões. 
2) Em uma empresa compareceram 90% dos funcionários, tendo faltado 15. Quantos funcionários têm essa 
empresa?
Resolução
Não sabemos quantos funcionários a empresa tem, suponha que a empresa tenha X funcionários. mas os 
10% que faltaram totalizam em 15. veja que os 10% faltantes fazem parte de X então temos que 10%X = 15  
0,10X = 15  X = 10,0
15
  X = 150, portanto a empresa tem 150 funcionários. 
3) obtenha 20% de 600
Resolução 
20%.600= (20/100).600= 0,20.600= 120
4) obtenha 20% de 30% de 600
Resolução 
(20%).(30%).600 = (0,20).(0,30).600 = 36
Exercícios 
1) Um objeto que custava $ 300,00 foi vendido com um desconto de 12%. De quanto foi o desconto. Por 
quanto foi vendido?
2) 20% de minha herança representam $ 10 000. Com quanto ainda ficarei se gastar 5% do total de minha 
herança.
3) Determine 2% de 3% de 1000.
4) Escreva as taxas de 1,5%, 3%, 42,5% , 125%, 1000% na forma unitária.
5) A pintura de uma parede de 50m2 precisa ser executada, o primeiro pintor pintou 10% da obra e 
abandonou, o segundo pintor pintou 35% do que faltava e abandonou, o terceiro pintor terminou o resto. 
Quantos metros pintaram cada um deles?
6) 3) Quanto é 2,5% de R$ 60,00 ? 
7) 15 é 25% de que número? 
 
8) Que porcentagem 240 é de 30? 
 
9) Um objeto foi revendido por R$ 10.000, com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. O objeto foi 
comprado por qual valor? 
 
10) Se X é 160% de Y, que porcentagem Y é de X? 
 
11) O que é mais vantajoso, um desconto de 40% ou dois descontos sucessivos de 20% e 20%? 
 
12) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no 
mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 
80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra.
13) Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter 
prejuízo?
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 
14) (FUVEST) Em uma certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% 
das mulheres são gordas. Qual é a porcentagem de homens na população?
15) (FUVEST) Uma mercadoria que custava R$ 2400 sofreu um aumento passando a custar R$ 2700. A taxa 
de aumento foi de quantos por cento? 
16) Um produto teve doisaumentos consecutivos de 20%. Qual foi o total de aumento? 
 
15
17) Um produto no valor de R$ 2000 teve um desconto de 35%. Qual é o seu valor após o desconto? 
 
18) Uma determinada mercadoria teve três descontos consecutivos de 20% cada um. Qual foi o total de 
desconto? 
19) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma 
valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que 
o total da dívida dessa empresa, em reais,
a) aumenta 8%
b) aumenta 4,4%
c) aumenta 1,6% 
d) diminui 1,4%
e) diminui 7,6%
NOÇÕES SOBRE CUSTO E VENDA
Os problemas envolvendo porcentagem estão relacionados às operações de compra e venda de 
mercadorias, isto é, veremos a seguir como fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo e de venda 
de mercadorias. 
Chamamos de preço de custo, o quanto um revendedor paga por um produto.
Chamamos de preço de venda, o valor que é estabelecido para ser vendido.
Então, o preço de custo será representado por C
o preço de venda será representado por V
o lucro por L
e o prejuízo por P
=> Quando o preço de venda é maior que o preço de custo tem-se o lucro, logo: 
L = V – C
=> Se o preço de venda for menor que o preço de custos tem-se um prejuízo, logo: 
P = C - V
- LUCRO OU PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO:
Para se calcular o lucro ou o prejuízo, o custo corresponde a 100%, observando-se os casos abaixo:
1° Caso: Se for dado o preço de custo – aplica-se sobre este, a taxa de lucro ou prejuízo que se pretende 
determinar. 
Aplicação prática:
a) Um comerciante deseja lucrar 20% sobre o preço de custo de um produto que foi adquirido por R$ 1.200,00. Por 
quanto deve vendê-lo?
20100
1200 x

=> x = 100
20.1200
=> x = 240,00 => lucro
Como V = C + L V = 1.200 + 240 V = 1.440 ou R$ 1.440,00
b) Se tivesse havido prejuízo de 20% sobre o preço de custo, na situação colocada no problema anterior, qual seria 
o preço de venda? 
Neste caso V = C – P V = 1.200 – 240 V = R$ 960,00
2° Caso: Se não for dado o preço de custo - Neste caso o preço de venda dado é igual ao custo mais a 
porcentagem sobre o custo no caso de lucro, ou menos a porcentagem sobre o custo no caso de prejuízo. Isto é:
V = C + L (lucro) e V = C – P (prejuízo)
16
Como C = 100%, temos:
V = 100% + i (lucro) e V = 100% - i (prejuízo)
Aplicação prática:
a) Um comerciante vende um produto por R$ 350,00, com um lucro de 10% sobre o preço de custo. Qual o valor do 
lucro?
V = 100% + i V = 100% + 10% V = 110%
110
350
100

C
=> C = 110
100.350
=> C = 318,18
L = V – C L = 350 – 318,18 L = 31,82
b) No problema anterior, calcule o prejuízo se o produto tivesse sido vendido com um prejuízo de 10% sobre o 
custo?
V = 100% - i V = 100% - 10% V = 90%
90
350
100

C
=> C = 90
100.350
=> C = 388,88
P = C – V P = 388,88 – 350 P = 38,88
- LUCRO OU PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA:
Para se calcular o lucro ou o prejuízo sobre o preço de venda, o preço de venda corresponde a 100%, 
observando os casos abaixo:
1° Caso: Se for dado o preço de custo – Neste caso precisamos determinar o preço de venda. O custo é igual a 
venda mais a porcentagem sobre a venda (no caso de lucro) ou menos a porcentagem sobre a venda (no caso de 
prejuízo). Isto é:
C = V – L (lucro) e C = V + P (prejuízo)
Como V = 100%, temos:
C = 100% - i (lucro) e C = 100% + i (prejuízo)
Aplicação prática:
a) Um comerciante adquire um produto por R$ 250,00 e o vende com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Por 
quanto vende o produto? 
C = 100% - i C = 100% - 20% C = 80%
80
250
100

V
=> V= 80
100.250
=> V = 312,50
L = V – C L = 312,50 – 250 L = 62,50
b) No problema anterior, se o produto tivesse sido vendido com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda, qual o 
valor do prejuízo?
C = 100% + i C = 100% + 20% C = 120%
120
250
100

V
=> V = 120
100.250
=> V = 208,33
17
P = C – V P = 250 – 208,33 P = 41,67
2° Caso: Se for dado o preço de venda – aplica-se sobre esta a taxa de lucro ou de prejuízo que se pretende 
calcular. 
Aplicação prática:
a) Um produto que está a venda por R$ 150,00 dá ao comerciante um lucro de 25% sobre o preço de venda. Por 
quanto foi adquirido o produto? 
25100
150 x

=> x = 100
25.150
=> x = 37,50
C = V – L C = 150 – 37,50 C = 112,50
b) Se tivesse havido prejuízo sobre o preço de venda, os cálculos seriam os mesmos, só que seria determinado o 
prejuízo. 
C = V + P C = 150 + 37,50 C = 187,50
Exercícios:
1) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo-se que esse objeto custou R$ 
300,00, qual foi o preço de venda? (R$ 180,00)
2) Uma casa custando R$ 240.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule por 
quanto foi vendida? (R$ 200.000,00)
3) Uma pessoa, tendo adquirido um relógio por R$ 250,00, só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o 
preço de custo. Por quanto vendeu o relógio? (R$ 230,00)
4) Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor 
apurado na venda? (R$ 498,21)
5) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? 
(R$ 240,00)
6) Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de 
venda, qual deve ser este último? (R$ 600,00)
7) Um terreno foi comprado por R$ 50.000,00 e vendido por R$ 65.000,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o 
preço de compra? (30%)
8) Quanto custou um objeto vendido por R$ 2.480,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo?
(R$ 3.100,00)
9) Um imóvel foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia 
custado? (R$ 54.648,00)
10) Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 165,00. Por quanto deverá revendê-la para obter um 
lucro de 30%? (R$ 214,50)
11) Um relógio foi vendido por R$ 300,00. Qual o lucro obtido, sabendo-se que o mesmo foi calculado na base de 
25%? (R$ 60,00)
12) Um objeto comprado por R$ 800,00 foi revendido por R$ 1.040,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro 
sobre o preço de custo? (30%)
13) Um objeto foi vendido com prejuízo de 20%, pelo preço de R$ 48,000. Quanto havia custado?
(R$ 60,00)
14) Uma geladeira duplex foi vendida por R$ 850,00. Sabendo-se que na venda houve um prejuízo de 15% sobre o 
preço de venda, quanto custou essa geladeira? (R$ 977,50)
15) Vendi por R$ 15.000,00 uma mercadoria que custou R$ 12.000,00. Qual foi a taxa do meu lucro sobre o preço 
de venda? (20%)
18
16) Um corretor de imóveis recebe 4,5% de corretagem pela venda de imóveis. Quanto recebe de comissão pela 
venda de um imóvel que custa R$ 16.250,00? (R$ 731,25)
JUROS SIMPLES 
“ A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo”
Nesse regime, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial aplicado. Os juros não 
são capitalizados e, portanto, não rende juros. Assim só o capital que rende juros.
• O Juro é a remuneração pelo uso do capital.
• O Juro é o castigo pelo uso do crédito.
Juro e tempo andam juntos.
• O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo.
• O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa.
Ex.: 6 % ao ano.
8 - JURO SIMPLES:
8.1 - CAPITAL: (C) - Será usado no sentido restrito de dinheiro, quer seja emprestado ou tomado por empréstimo. 
8.2 - TAXA: Na prática financeira, a grandeza do juro é definida por um coeficiente denominado taxa. São duas as 
taxas habitualmente usadas:
►Taxa unitária (i) – que representa o juro da unidade de um capital num determinado período tomado para 
unidade de tempo. Ex.: Se o juro do capital 1 real em 1 ano é 5 centavos (R$ 0,05), diz-se que a taxa 
unitária anual de juro é 0,05. De acordo com a Notação Universal,representaremos por “i” essa taxa. 
►Taxa percentual (r) – que representa o juro do capital 100 no período tomado para unidade de tempo. 
Ex.: Se o capital 100 reais rende 5 reais em um ano, diz-se que a taxa anual de juro é cinco por cento (5%). 
Concluímos, então, que a taxa percentual é igual a 100 vezes a taxa unitária correspondente. 
8.3 - TEMPO: (t) - É o período pelo qual o capital foi emprestado ou aplicado. (dia, mês, bimestre, trimestre, 
semestre, ano, etc.).
8.4 - JURO: (j) - Representa a soma em dinheiro que deve ser paga pelo direito de se dispor temporariamente de 
um capital, sendo, portanto um prêmio em dinheiro que o emprestador recebe, além da restituição integral do capital 
cedido.
Ou ainda, juro é o “aluguel” ou o “prêmio” que se paga ou se recebe sobre o dinheiro que se toma 
emprestado ou que se empresta. 
Assim, se uma pessoa empresta a outra a importância de R$ 1.000,00 e após um ano recebe a quantia 
emprestada mais R$ 120,00 como prêmio por esse empréstimo, diremos que esses R$ 120,00 representam o juro 
do capital emprestado e correspondem a 12% de seu valor em um ano. 
Podemos então observar que o juro é uma grandeza variável, diretamente proporcional:
 à quantia emprestada que é denominada capital (C);
 ao tempo pelo qual esse capital foi emprestado (t);
 à taxa (i) que é a razão por cento entre a compensação (j) e a quantia emprestada (C), numa 
unidade de tempo (d, m, a).
Exemplo:
Se um capital 100 rende i em 1 ano, quanto de j renderia o capital C em t anos? 
Capital Juro Tempo
C
100

j
r

t
1

 => t
x
Cj
r 1100

=> tCj
r
.
100

19
 
j .100 = C.r.t => j = 100
.. trC
mas não queremos taxa percentual (r) e como a taxa unitária (i) é igual a 
r/100, temos que j = Cit.
 
Exemplo: 12% ao ano, 






100
12
 equivale a uma taxa unitária de 0,12 a.a.
8.5 - FÓRMULA PARA CÁLCULO DO JURO:
j = Cit
 
Onde:
j = Juro que remunera o capital expresso monetariamente.
C = Capital emprestado expresso monetariamente
i = taxa unitária da transação expresso em %
t = tempo expresso em dia, mês, ano, etc.
Nota:
Com esta fórmula podemos resolver qualquer problema sobre juros simples, desde que a taxa (i) e o 
tempo (t) estejam na mesma unidade de tempo.
Por exemplo: Se a taxa for 1% ao ano, o tempo deverá estar em anos; se for 1% ao mês, o tempo deverá 
também estar em mês. 
Técnica de redução da unidade de tempo:
1°) Reduzir 5 anos em meses.
1 ano = 12 meses 5 anos = 5 x 12 m = 60 meses
2°) Reduzir 3 meses em anos. 
1 mês = 1/12 do ano 3 meses = 3 x 1/12 a 3/12 a 1/4 ano.
3°) Reduzir 100 dias em meses. 
1 dia = 1/30 do mês 100 dias = 100 x 1/30 m 100/30 m 10/3 meses. 
4°) Reduzir 1 ano 5 meses 10 dias em meses.
Sugestão: reduza tudo para a menor unidade (dias) e depois para a unidade pedida. 
1 x 360 d + 5 x 30 d + 10 d = 520 dias
520 d = 520 x 1/30 m 520/30 m 52/3 meses.
Aplicação prática:
1. Calcular o juro produzido por um capital de R$ 30.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 1 ano. 
.
j = ? (Sendo a taxa (i) ao mês devemos reduzir o tempo (t) para meses).
C = 30.000 1a = 12 m
i = 3% /100 = 0,03 usar sempre taxa unitária (r/100 = i)
t = 1 a = 12 meses. 
Aplicando a fórmula: j = Cit j = 30.000 x 0,03 x 12 j = R$ 10.800,00
2. Um certo capital à taxa de 36% ao ano rendeu R$ 6.240,00 de juro, durante 5 meses. Determinar o valor desse 
capital. 
j = 6.240
C = ?
I = 36% ou 0,36 aa
20
t = 5 m ou 5/12 a
Aplicando a fórmula:
j = Cit 6.240 = C x 0,36 x 5/12 0,15C = 6.240 C = R$ 41.600,00 
Exercícios:
1. Calcule os juros produzidos por:
a) R$ 8.000,00 à taxa de 32% ao ano, em 2 anos. (R$ 5.120,00)
b) R$ 3.500,00 à taxa de 46% ao ano, em 18 meses. (R$ 2.415,00)
c) R$ 48.600,00 à taxa de 4% ao mês, durante 90 dias. (R$ 5.832,00)
d) R$ 25.000,00 à taxa de 2.3/4% ao mês, durante 2 a 6 m 12 d. (R$ 20.900,00)
2. Determine o capital que produziu os juros de:
a) R$ 50.000,00, à taxa de 25% ao ano, durante 2 anos. (R$ 100.000,00)
b) R$ 26.400,00, à taxa de 2% ao mês, durante 1 a 10m. (R$ 60.000,00)
c) R$ 75.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 1 ano. (R$ 250.000,00)
d) R$ 13.650,00, à taxa de 2,6% ao mês, durante 5 meses. (R$ 105.000,00)
3. Qual a taxa:
a) por ano, que faz um capital de R$ 50.000,00 render R$ 38.500,00 em 2 anos? (38,5% aa)
b) por mês, que faz um capital de R$ 24.000,00 render R$ 15.120,00 em 18 meses? (3,5% am)
c) por mês, que faz um capital de R$ 48.000,00 render R$ 30.720,00 em 1 a 8 m? (3,2% am)
d) por ano, que faz um capital de R$ 500.000,00 render R$ 304.000,00 em 2 anos? (30,4% aa)
4. Calcule o tempo empregado pelo capital de:
a) R$ 48.000,00 que, à taxa de 2,8% ao mês, rendeu R$ 67.200,00 de juros. (50 meses)
b) R$ 180.000,00 que, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 145.800,00 de juros. (2 a 3 m)
c) R$ 60.000,00 que, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 129.600,00 de juros. (6 anos)
d) R$ 100.000,00 que, à taxa de 40% ao ano, rendeu R$ 200.000,00 de juros. (5 anos)
8.5.1 - Caso em que o tempo não é um número inteiro de períodos. 
Quando o prazo não é um número inteiro de períodos, adota-se universalmente a seguinte convenção: t = 
q
p
J q
p
 = Ci . q
p
j 3
1
 = Ci . 3
1
 
Ou quando o prazo é composto de uma parte inteira e outra fracionária: t = m + q
p
J q
pm
 = Cim + Ci . q
p
 
8.6 - JURO SIMPLES EXATO – ANO CIVIL
Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, deve-se contar o tempo em seu número exato de dias. 
Assim, o juro de um capital colocado de 17 de março a 21 de junho do mesmo ano é calculado sobre 96 dias, 
número exato de dias decorridos entre as duas datas. 
Sendo, então, n o número exato de dias durante os quais um capital C é colocado a juros simples à taxa i, 
obtém-se esse juro fazendo-se t = n/365 na fórmula J = Cit, o que dá:
J = 365
Cin
21
ou se o ano considerado é bissexto t = n/366 e J = Cin/366.
Denominaremos o juro, assim calculado, juro simples exato. 
 - JURO SIMPLES ORDINÁRIO – ANO COMERCIAL. 
Seguindo-se a convenção do ano comercial, deve-se, logicamente, computar o prazo de acordo com a 
mesma convenção, isto é, considerando-se cada mês como tendo 30 dias. Assim, por exemplo, de 17 de março a 
21 de junho do mesmo ano, devem-se contar 94 dias, como indica o cálculo seguinte:
De 17 de março a 17 de junho....................................................90 dias (3 meses) 
De 17 de junho a 21 de junho.................................................... 4 dias
Total .......................................................................................... 94 dias
Representemos, então, por n o número de dias decorridos entre duas datas, e calculado pelo processo 
acima. O juro de um capital C, colocado à taxa i durante esse prazo, é obtido fazendo-se t = n/360 na fórmula j = 
Cin, do que resulta:
J = 360
Cin
Denominaremos o juro, assim calculado, juro simples ordinário. 
 - REGRA DOS BANQUEIROS:
Na prática bancária, onde as operações são raramente feitas a prazo superior a 120 dias, usa-se com 
freqüência o ano comercial, tomando-se, todavia, para n o número exato de dias. 
Exercício:
O capital R$ 1.200,00 esteve colocado a juros simples à taxa de 5% a.a. de 17 de março a 21 de junho do 
mesmo ano. Calcular o juro simples exato, o juro simples ordinário e o juro avaliado pela regra dos banqueiros. 
a) Sendo 96 o número exato de dias decorrido entre as duas datas, o juro simples exato é:
j = 365
96.05,0.1200
j = R$ 15,78
b) Sendo 94 o número de dias decorridos entre as duas datas segundo a convenção do ano comercial, o juro 
simples ordinário é:
j = 360
94.05,0.1200
j = R$ 15,67
c) Pela regra dos banqueiros o juro é:
j = 360
96.05,0.1200
j = R$ 16,00
 - MONTANTE DE UM CAPITAL. 
Se um capital é colocado a juro durante certo prazo, chama-se montante ou valor final desse capital a soma 
do capital e do juro por ele produzido durante esse prazo.
22
M= C + J M = C + Cit M = C(1+it)
M = C(1+it)
Por exemplo, se o capital R$ 1.000,00 foi colocado a juros, à taxa de 4% a.a., durante um ano e meio, o 
montante desse capital no fim desse prazo é:
M = 1.000 (1+ 0,04 x 1,5) M = R$ 1.060,00
Exercícios:
1. A que taxa foi depositado o capital de R$ 12.000,00 que, em 6 meses, produziu R$ 1.500,00 de juros?
(2,08% a.m.)
2. Qual o capital que aplicado a 24% ao ano produz R$ 7.500,00 de juros em 10 meses?
 (R$ 37.500,00)
3. Qual o capital que, aplicado a 36% ao ano, produz R$ 6.000,00 de juros em 14 meses?
 (R$ 14.285,71)
4. Uma pessoa toma emprestado de um Banco R$ 154.000,00 e após 6 meses devolve R$ 200.000,00. A que taxa 
foi tomado o empréstimo? (4,97% a.m.)
5. Por quanto tempo se deve emprestar, a 12,5% ao ano, uma certa quantia para que a mesma duplique?
(8 anos)
6. Uma indústria compra uma máquina por R$ 59.500,00 e dá de entrada R$ 9.500. O restante irá pagar a 12% ao 
ano durante 3 anos. Quais os juros pagos por essa dívida? (R$ 18.000,00)
7. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% ao ano, ela triplique?
(16a 7m 27d)
8. A que taxa anual um capital qualquer produziria, em 2 anos, 1/5 do seu valor?
 (10 % a.a.)
9. Qual o rendimento de R$ 16.000,00, a 5% ao ano, em 2 anos e 6 meses? (R$ 2.000,00)
10. A que taxa anual o capital de R$ 14.400,00, em 2 meses e 15 dias, renderia R$ 330,00 de juros? 
(10,8 % a.a.)
11. Qual o capital que se deve emprestar a 9% ao ano, para se receber, no fim de 1 ano e 8 meses, R$ 4.500,00 de 
juros? (R$ 30.000,00)
12. Qual o juro de R$ 120.000,00, aplicado durante 3 meses, à taxa de 0,3% a.d. (R$ 32.400,00)
13. Determine o tempo necessário para que R$ 40.000,00, aplicados a 48% ao ano rendam R$ 38.400,00 de juros?
(2 anos)
14. A que taxa semestral foi aplicado o capital de R$ 3.500,00 que, em 6 meses, rendeu R$ 700,00 de juros?
 (20 % a.s.)
15. Qual o tempo necessário para que R$ 10.000,00 a taxa de 0,2% ao dia, possa render R$ 2.000,00? 
 (100 dias)
16. Qual o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos? 
 (R$ 8.000,00)
17. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 2.800,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?
(R$ 5.060,00)
18. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 2.960,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% 
ao ano, no regime de juros simples? (R$ 1.720.93)
23
19. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 720,00, entregando ao credor uma nota promissória de R$ 
972,00, com vencimento para daí a 10 meses. Determine a taxa de juros anual cobrada. 
(42% a.a)
20. Qual o tempo a ser aplicado o capital de R$ 800,00, à taxa de juros de 16% ao ano, para obtenção de um 
montante de R$ 832,00? (3 meses)
21. Qual o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos? 
 (R$ 8.000.00)
22. Uma pessoa aplicou R$ 4.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 9.000,00. 
Qual foi a taxa anual? (20% a.a)
23. Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 20.000,00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 2.400,00?
 (8 meses)
24. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-se uma 
taxa de 30% ao ano? (1a 9m)
 - TAXAS PROPORCIONAIS:
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas 
referidos, estão expressos na mesma unidade:
Por exemplo, a taxa semestral de 4.1/2% e a taxa quadrimestral 3% são proporcionais porque:
0,045 ----- 6
0,03 ----- 4 ou 4
6
3
5,4

 
Generalizando: 11 t
t
i
i

onde t e t1 devem estar na mesma unidade. 
Por exemplo, a taxa mensal proporcional à taxa anual 6% é:
6 ---- 12
i ---- 1 => i = 12
1.6
=> i = 12
6
=> i = 2
1
% ou 0,5% ao mês.
Nota-se que o juro de um capital à taxa de ½% ao mês durante 12 meses é igual ao juro do mesmo capital à 
taxa de 6% ao ano durante 1 ano. Diz-se, então, que as taxas ia e im são equivalentes. 
Aplicação prática:
1. Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 
30 ----- 12 
 i ----- 1 i = 12
1.30
i = 2,5% a.m.
2. Calcule a taxa anual proporcional a 2,5% ao mês. 
2,5 ----- 1
 i ----- 12 i = 1
12.5,2
i = 30% a.a.
3. Calcule a taxa diária proporcional a 2,4% ao mês.
2,4 ----- 30
 i ----- 1 i = 30
1.4,2
 i = 0,08% a.d
24
4. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. 
0,08 ----- 1
 i ----- 30 i = 1
30.08,0
 i = 2,4% a.m.
5. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. 
8 ----- 1
i ----- 4 i = 1
4.8
i = 32% a.a.
- TAXAS EQUIVALENTES:
Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período produzem o 
mesmo juro. 
Exemplo: Calcule os juros produzidos pelo capital de R$ 1.200,00:
a) à taxa de 4% a.m., durante 6 meses. 
b) à taxa de 12 % a.t., durante 2 trimestres.
a) C = 1.200 J = Cit j = 1.200 . 0,04 . 6 j = R$ 288,00
i = 4% a.m.
 t = 6 m
b) C = 1.200 J = Cit j = 1.200. 0,12 . 2 j = R$ 288,00
i = 12% a.t.
t = 2 trim. 
Como os juros produzidos são iguais dizemos que 4% ao mês e 12% ao trimestre são taxas equivalentes. 
Concluímos, assim, que no regime de capitalização simples as taxas proporcionais são também equivalentes.
Exercícios:
1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano? (2,5% ao mês)
2) Qual é a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia? (2,4% ao mês)
3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre? (32% ao ano)
4) Calcule os juros produzidos pelo capital de R$ 1.200,00:
a) à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses. (R$ 288,00)
b) à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres. (R$ 288,00)
5. Um capital de R$ 24.000,00 é aplicado durante 10 meses à taxa de 25% a.a. Calcule o juro obtido. 
(R$ 5.000,00)
6. Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 1.850,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa 
de 36% ao ano. (R$ 1.572,50)
7. Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 3.250,00, a taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. 
(R$ 146,25)
8. Calcule os juros de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juros simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 
24% ao ano. (R$ 2.400,00)
 - CÁLCULO DO JURO SIMPLES PELO MÉTODO DOS DIVISORES FIXOS:
Da fórmula J = 360
Cin
fazendo ∆ = 360 / i e n = d (dias) resulta 
25
j = 
 
Seja, por exemplo, calcular o juro do capital R$ 2.000,00, à taxa de 4% ao ano, durante 54 dias. 
∆ = 04,0
360
 = 9.000 j = 9000
54.2000
 j = R$ 12,00
- CALCULO DO JURO SIMPLES PELO MÉTODO DOS MULTIPLICADORES FIXOS:
Uma variante deste método, denominada método dos multiplicadores fixos, consiste em calcular o juro 
pela fórmula J = CdM onde M (multiplicador fixo) é o inverso do divisor fixo da taxa. 
Para o exemplo anterior teríamos M = 
1
M = 9000
1
M = 0,00011111
E portanto j = 2.000 x 54 x 0,000111111 j = R$ 12,00 aproximadamente. 
 - DESCONTO SIMPLES. 
- INTRODUÇÃO:
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título 
de crédito, que é o comprovante dessa dívida. 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, pode ser antecipadamente resgatado, obtendo-
se com isso um abatimento denominado desconto.
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juros. 
 - TÍTULOS DE CRÉDITO:
Em operações financeiras é comum a utilização de títulos de crédito, tais como: a nota promissória, a 
duplicata e a letra de câmbio. 
► Nota promissória – é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É 
um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira. 
► Duplicata – é um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica) 
para o qual ele vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
► Letra de câmbio – é, também, como a nota promissória, um comprovante de aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado; porém é um títuloao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira. 
 - DESCONTO:
Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:
► que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado, beneficiando-se com um abatimento 
correspondente ao juro que houvesse gerado esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o 
vencimento;
► que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o 
título a um terceiro. É justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no 
intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada 
no título de crédito. 
Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantias, obtido de comum 
acordo, chamado desconto.
26
Às operações citadas acima denominamos operações de desconto e o ato de efetuá-las, chamamos 
descontar um título. 
Chamamos:
► ao dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação: dia do vencimento;
► ao valor indicado no título, que é a importância a ser paga no dia do vencimento: valor nominal (valor de face, 
valor futuro ou valor de resgate);
► ao valor líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: valor atual (valor descontado);
► ao número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o seu vencimento, incluindo o primeiro, 
porém, não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro: tempo ou prazo. 
Assim:
Desconto (D) é a quantia a ser abatida do valor nominal, (N) isto é, a diferença entre o valor nominal e o 
valor atual (A). D = C – A.
O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal (N) ou o valor atual (A). No primeiro 
caso é denominado desconto comercial e no segundo, desconto racional. 
- DESCONTO COMERCIAL: (D)
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora, ao equivalente ao juro simples do valor nominal do 
título, à taxa estipulada pelo Banco, durante o tempo que decorre da data da transação ao vencimento do mesmo. 
Para o calculo do desconto usamos a seguinte fórmula:
D = Nin
Onde:
D = Desconto comercial
N = Valor nominal
i = taxa estipulada (unitária)
n = tempo antes do vencimento
Valor atual comercial: (A)
O valor atual (A) é igual a diferença ente o valor nominal (N) e o desconto (D). 
A = N – D => A = N – Nin => A = N(1- in)
A = N(1- in)
Exemplo:
1) Se um título de valor nominal R$ 24.360,00 sofre um desconto bancário, à taxa de 6% ao ano, 90 dias dantes de 
seu vencimento, qual o valor do desconto?
Pela fórmula D = Nin D = 24.360 . 0,06 . 1/4 D = 365,40
Valor Atual A = N – D A = 24.360,00 – 365,40 A = 23.994,60
Pela fórmula A = N(1-in) A = 24.360(0,985) A = 23.994,60
2) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do 
título, qual será:
a) o valor do desconto comercial?
b) o valor atual comercial? 
a) D = Nin D = 6.000 x 0,021x 1,5 D = 189,00
b) A = N(1-in) A = 6.000 x 1 – 0,0315 A = 6.000 x 0,9685 A = 5.811,00
Exercícios Resolvidos:
27
1) Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de 
antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. 
D = Nin 828 = 6900.0,04.n 276n = 828 n = 828/276 n = 3 meses. 
2) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000,00 foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% 
ao ano. Qual o desconto comercial?
D = Nin D = 2000x0,30/12x2 D = 100,00
3) Um título no valor nominal de R$ 840,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 10/07. Se a taxa de juros 
contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor do desconto comercial?
D = Nin D = 840x0,54/360x98 D = 123,48
4) Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de 
desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. 
D = Nin 324 = 4800x0,324/360xn 4,32n = 324 n = 324 / 4,32 n = 75 dias.
- DESCONTO RACIONAL: (D’)
Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título que 
é saldado n períodos antes do seu vencimento. Lembrando que:
 Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal;
 Valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
Chamaremos de: D’ ao desconto racional
A’ ao valor atual racional ou valor descontado racional. 
Pela definição de desconto racional, temos: D’ = A’in
Sendo: A’ = N – D’
Então, substituindo A’ em: D’ = A’in temos D’ = (N – D’). in D’ = Nin – D’in
D’ + D’in = Nin D’(1+in) = Nin D’ = in
Nin
1
in
NinD


1
'
 
Nos dá o valor do desconto racional em função do valor nominal. 
Valor Atual racional: (A’)
Por definição o valor atual é igual a diferença entre o valor nominal e o desconto. 
Ou seja: A’ = N – D’
Substituindo-se D’ por in
Nin
1 , tem-se: A’= N – in
Nin
1 (mmc)
A’(1+in) = N(1+in) – Nin=> A’ = in
NinNinN


1 => A’ = in
N
1
 
A’ = in
N
1
 
Obs.; O desconto racional é menor que o desconto comercial. 
28
Exemplo:
1) Se um título de valor nominal R$ 24.360,00 sofre um desconto racional, à taxa de 6% ao ano, 90 dias antes de 
seu vencimento, qual o valor do desconto?
Pela fórmula D’ = 
in
Nin
1
 D’ = 015,1
4
1.06,0.24360
 D’ = 360,00
Valor Atual A’ = N – D’ A’ = 24.360,00 – 360,00 A’ = 24.000,00
Pela fórmula A’ = in
N
1 A’ = 015,1
24360
A’ = 24.000,00
2) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do 
título, qual será: a) o valor do desconto racional? b) o valor atual racional? 
a) D’= 
in
Nin
1
D’= 0315,1
45.
30
021,0.6000
D’ = 183,23
b) A’= in
N
1 A’ = 0315,1
6000
A’ = 5.816,77
Exercícios Resolvidos:
1. Um título de R$ 6.000,00 foi resgatado 9 meses e 15 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de 
desconto comercial foi de 28% ao ano, qual foi o desconto e qual o valor atual comercial?
D = Nin D = 6000.
285.
360
28,0
D =1.330,00; 
A = N(1-in) A = 6000(1-0,22166666) A = 6000 x 0,77833333 A = 4.670,00
2. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros de 30% ao ano. Quanto 
tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00?
D = Nin 750 = 20000.
n.
360
30,0
750 = 16,66666n n = 45 dias
3. Um título a vencer no dia 15/10 foi descontado no dia 20/08. Se o desconto comercial fosse de R$ 1.470,00 e a 
taxa de juros fosse de 27% ao ano, qual seria o valor nominal do título? 
D = Nin 1470 = N.
55.
360
27,0
0,04125N = 1470 N = 35.636,36
4. Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 270 dias, qual será o valor 
do título no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% ao ano? 
A = N(1-in) 14195 = N.






 270.
360
22,01
0,835N = 14195 N = 17.000,00
5. O valor descontado comercial de uma promissória é igual a um quarto de seu valor nominal. Qual será a taxa de 
desconto comercial anual, se o prazo de antecipação do resgate for de 8 meses? 
 
A = N(1-in) 0,25 =1







3
2.1. i
 1-
i3
2
 = 0,25 -
i3
2
 = -0,75 (x-1) i = 3
2
75,0
i = 0,75 x 3/2 i = 1,125 (x 100) i = 112,5% a.a.
29
6. Determine o valor atual racional e o desconto racional dos seguintes casos:
a) Capital R$ 3.000,00; taxa 26% a.a; prazo 3 meses e 20 dias; (A’=2.779,21; D’=220,79)
b) Capital R$ 6.420,00; taxa 30% a.a; prazo 8 meses; (A’=5.350,00; D’=1.070,00)
c) Capital R$ 8.200,00; taxa 20,5% a.a; prazo 1ano 2 meses. (A’= 6.617,35;D’=1.582,65)
7. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é R$ 140,00 maior que o 
desconto racional. Qual será o valor nominal do título, se a taxa de juros empregada nos descontos for de 24% ao 
ano?
Nin = 
140
1

 in
Nin
=>
12
5.24,0.N
 = 
140
12
5.24,01
12
5.24,0.

N
=> 0,1N=
140
1,1
1,0

N
(mmc)
0,11N = 0,10N + 154=> 0,11N – 0,10N = 154 => 0,01N = 154
N = 01,0
154
N = 15.400,00
8. Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do 
título, qual será:
a) o valor do desconto racional. (R$ 183,23)
b) o valor atual racional. (R$ 5.816,77)
9. Qual o valor do desconto e o valor atual racional de um título de R$ 500,00 disponível dentro de 40 dias, à taxa 
de 3% ao mês? (R$ 19,23 e R$ 480,77)
10. Um título de R$ 6.000,00 foi resgatado 9 meses e 15 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de 
desconto comercial foi de 28% ao ano, qual foi o desconto e qual o valor atual comercial?
 (1.330,00 e 4.670,00)
11. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros de 30% ao ano. Quanto 
tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00? 
(45 dias)
12. Um título a vencer no dia 15/10 foi descontado no dia 20/08. Se o desconto comercial fosse de R$ 1.470,00 e a 
taxa de juros fosse de 27% ao ano, qual seria o valor nominal do título? 
(R$ 35.000,00)
13. Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 270 dias, qual será o valor 
do título no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% ao ano?
 (R$ 17.000,00)
14. O valor descontado comercial de uma promissória é igual a um quarto de seu valor nominal. Qual será a taxa de 
desconto comercial anual, se o prazo de antecipação do resgate for de 8 meses? 
- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Diz-se que um capital está colocado a juros compostos ou no regime de capitalização composta, se, no fim 
de cada período financeiro, previamente estipulado, o juro produzido é adicionado ao capital e passa a render juro. 
Seja, então, (C) um capital, colocado a juros compostos à taxa unitária (i), relativa a um certo período. 
Sendo Ci o juro produzido por C no fim do primeiro período, o montante do fim desse período será:
C1 = C + Ci = C(1+i)
Este resultado mostra que se obtém o montante do fim de um período multiplicando-se o capital frutífero do 
início desse período pelo fator de capitalização 1 + i.
Como, de acordo com a definição do regime de capitalização composta, o montante no fim de um período 
torna-se o capital frutífero no período imediato, o capital frutífero do segundo período é o montante C1 no fim do 
primeiro período. Então, em virtude do que foi dito, o montante no fim do segundo período será:
C2 = C1(1+i)
ou substituindo C1 pelo seu valor C(1+i) temos: C2 = C(1+i) (1+i)C2 = C(1+i)2
30
10.1 – CÁLCULO DO MONTANTE:
Se C1 = C + Ci = C1= C(1+i)
e C2 = C(1+i) (1+i) C2 = C(1+i)2
e C3 = C(1+i)(1+i)(1+i) C3 = C(1+i)3
então:
 Cn = C(1+i)n
Onde: Cn = Montante ou valor futuro
C = Capital inicial ou valor presente
i = taxa
n = tempo
10.2 – CÁLCULO DO CAPITAL APLICADO:
Toma-se a fórmula inicial Cn = C(1+i)n
Invertem-se os termos C(1+i)n = Cn
O que multiplica no 1° passa a dividir no 2°  
n
n
i
C
C


1
10.3 – CÁLCULO DO TEMPO:
Toma-se a fórmula inicial Cn = C(1+i)n
Invertem-se os termos C(1+i)n = Cn
O C passa dividindo (1+i)n = C
Cn
Ao transformar-se em log, n passa multiplicando n.log(1+i) = log C
Cn
Como queremos o tempo, isolamos n  i
C
C
n
n








1log
log
10.4 – CÁLCULO DA TAXA:
Toma-se a fórmula inicial Cn = C(1+i)n
Invertem-se os termos C(1+i)n = Cn
Passa o C para o segundo membro (1+i)n = C
Cn
Expoente passa sinal como raiz 1+i = 
n
C
Cn
Elimina-se a raiz 1+i = 
n
C
Cn
1






 
Como queremos a taxa, 1 passa com sinal (-)
1
1







n
C
Cni
 
10.5 – CÁLCULO DO JURO:
Sabe-se que o juro é igual montante – capital j = Cn – C
31
Substitui-se o valor de Cn j = C(1+i)n – C
Põe o C em evidência j = C[(1 +i)n] – 1
Exercícios Resolvidos:
1. Uma pessoa toma emprestada a juros de 1,7% ao mês R$ 14.000,00 pelo prazo de 8 meses. Qual o montante a 
ser devolvido? 
Cn = C(l+i)n C8 = 14.000(1+0,017)8 C8 = 14.000(1,017)8 
C8 = 14.000 x 1,1443728 C8 = 16.021,22
2. Qual o juro pago no caso do exemplo anterior? (deduzir a fórmula do juro composto)
j = Cn – C j = C(1+i)n – C j = C[(1+i)n]-1 j = 14.000[(1+0,017)8]-1
j = 14.000[1,1443728]-1 j = 14.000 x 0,1443728 j = 2.021,22
3. Qual o capital que aplicado a 3% ao mês, durante 6 meses, rende juros compostos de R$ 5.573,51?
j = C[(1+i)n]-1 5.573,51 = C[(1,003)6]-1 5.573,51 = C[1,194052]-1
5.573,51 = C. 0,194052 C = 5.573,51/ 0,194052 C = 28.721,73
4. Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que, lhe proporcionarão um resgate de R$ 397.004,00 após 90 
dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado o seu capital? 
i = 
1
1





 nn
C
C
i = 
1
320000
397004 3
1






i = (1,2406375)1/3 – 1
i = 1,07452115 – 1 i = 0,07452115 (x100) i = 7,45% a.m.
5. Qual o tempo necessário para que um capital qualquer triplique a uma taxa mensal composta de 1,6% ao mês?
n =  i
C
Cn







1log
log
n =  016,1log
3log 





x
x
n = 
016,1log
3log
n = 006893,0
477121,0
n = 69,21819237 n = 69 meses e
0,21819237 x 30 e 6,545771073 6 dias
6. Um capital de R$ 560.000,00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 15% ao mês, de juros 
compostos. Qual o montante final?
Cn = C(1+i)n C15 = 560.000(1+0,15)15 C15 = 560.000 x 1,1515
C15 = 560.000 x 8,137061629 C15 = 4.556.754,51
7. Qual o capital que em dois anos produz R$ 1.906,00 de juros compostos a 12,5% ao mês?
j = C[(1+i)n]-1 1.906 = C[(1,125)24]-1 C[16,89120134]-1 = 1.906
C = 1.906 / 15,8912 C = 119,94
8. A que taxa mensal deve ser colocado um capital de R$ 480.000,00 para que renda de juros compostos R$ 
573.586,86 em seis meses? 
i = 
1
1





 n
C
Cn
i = (1.053.586,86/480.000,00)1/6-1 i = (2,194972625)0,1666666-1
i = 1,139999994 – 1 i = 0,1399999994 (x100) i = 14% a.m.
9. Em quanto tempo o capital dobra se for colocado à taxa de 10% ao mês. 
a) no regime de juros compostos? 
b) no regime de juros simples?
32
a) n =  10,1log
2log 





C
C
n = 0,30103/0,041392685 n = 7m 8 d. 
b) J = C Cin = C n = Ci
C
n = i n = 10 meses
10. Calcule juro e montantes correspondentes a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros 
compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas:
a) 240% a.a. (240.000,00 e 340.000,00)
b) 120% a.s. (384.000,00 e 484.000,00)
c) 60% a.t. (555.360,00 e 655.360,00)
d) 20% a.m. (791.610,00 e 891.610,00)
 PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES:
Já vimos que, se i é a taxa relativa a um período t, a taxa proporcional a i e relativa ao período t/m é:
im = i/m
Exemplo: Qual a taxa trimestral proporcional à taxa anual 6%?
i4 = 6/4 i4 = 1,5% a.t.
Seja i(m) uma taxa relativa ao período t/m e tal que todo capital, colocado a juros compostos à taxa i(m), 
capitalizados no fim de cada período t/m, produza, no fim do período t, o mesmo montante que produziria se 
estivesse colocado a juros compostos à taxa i, capitalizado no fim do período t.
Diz-se então que as taxa i e i(m) são equivalentes.
i(m) = (1+i)1/m -1
Esta é a fórmula que dá a taxa equivalente ao período menor, conhecida a taxa do período maior.
Por exemplo: A taxa trimestral equivalente à taxa anual 6% é:
i(4) = (1+0,06). 
1
4
1

i(4) = 1,01467 -1 i(4) = 0,01467 i(4) = 1,467
i = (1+ i(m))m -1
Esta é a fórmula que dá a taxa equivalente ao período maior, conhecida a taxa do período menor. 
Exemplo: Qual a taxa anual equivalente à taxa trimestral de 1.1/2%.(:100) 0,015
i =(1+0,015)4 -1 i = 1,06134 – 1 i = 0,06134 (x100) i = 6,134%
Nota:
Dadas duas taxas equivalentes, a taxa relativa ao período menor é inferior à taxa proporcional 
correspondente e a taxa relativa ao período maior é superior à taxa proporcional correspondente. 
Tomemos como exemplo os exercícios anteriores onde a taxa trimestral 1,467%, equivalente à taxa anual 
6%, é inferior à taxa trimestral proporcional correspondente 1.1/2%, e a taxa anual 6,134%, equivalente à taxa 
trimestral 1,1/2%,é superior à taxa anual proporcional correspondente 6%. 
Exercícios resolvidos:
1. Se a taxa mensal de inflação se mantivesse sempre em 1,2%, qual seria a taxa anual de inflação?
i =(1+0,012)12 -1 i = 1,153894724 – 1 i = 15,39% a.a.
33
2. Se alguém lhe pedisse para corrigir um valor de R$ 20.000,00 por um ano e que a inflação do período fosse 
6,44% ao mês. Qual o valor corrigido?
i =(1+0,0644)12 -1 i = 2,114746869 – 1 i = 1,1147466869 i = 111,47% a.a.
Cn = C(1+ i)n Cn= 20.000(1+1,1147)1 Cn = 20.000 x 2,1147 Cn = 42.294,00.
3. Qual é a taxa equivalente anual nas seguintes hipóteses abaixo?
a) 10% a.m. i = (1+0,1)12 -1 i = 3,138428 – 1 i = 213,84% a.a. b) 20% a.b.
i = (1+0,2)6 -1 i = 2,985984 – 1 i = 198,60% a.a. c) 5% a.t. i = 
(1+0,05)4 – 1 i = 1,215506 – 1 i = 21,55% a.a. d) 0,09% a.d. i = (1+0,0009)360 -1 
i = 1,382445 – 1 i = 38,24% a.a.
4. Determinada Instituição Financeira paga juros de 56,42% ao ano. Pede-se qual a taxa paga numa aplicação de 
67 dias. 
 
im = (1+i)1/m -1 im = (1+0,5642)67/360 – 1 im = (1,5642)0,1861111 – 1
im = 1,086825832 -1 im = 0,086825831 im = 8,68% p/67 dias
5. Em 1985 a rentabilidade das Cadernetas de Poupança foi de 31,66% ao ano. Qual a taxa de rentabilidade 
trimestral desse ano?
im = (1+0,3166)1/4-1 im = (1,3166)0,25-1 im = 1,071182485 – 1 im = 0,071182
im = 7,12% a.t.
6. Qual a taxa mensal de juros compostos que faz com que o capital de R$ 100,00 produza, em um ano, o mesmo 
montante que produz com a taxa anual de 45%? 
im =(1+0,45)1/12 -1 im =(1,45)0,083333 – 1 im = 0,031447989 im = 3,14% a.m.
7. O Produto Nacional Bruto de um país cresceu 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual? 
im =(1+2,0)1/10 -1 im =(3)0,1 – 1 im = 0,116123174 im=11,6123% a.a.
8. Em quanto tempo dobra uma população que cresce a 2,82% ao ano? 
n =  i
C
Cn







1log
log
n =  0282,01log
1
2log







n = 
012077599,0
301029995,0
n = 24,92465555 n = 24 anos 0,92465555 x 12 = 11,09586665 e 11 meses
9. Determine as taxas equivalente a 55% ao ano, se os prazos respectivos forem:
a) 6 meses im = (1+0,55)1/2 -1 im = (1,55)0,5 -1 im = 1,24498996 – 1 im = 24,5% a.s. b)1 mês im = 
(1+0,55)1/12-1 im = (1,55)0,083333-1 im = 1,03719618 – 1 im = 3,72% a.m.
10. Qual é a taxa bimestral equivalente a uma inflação de 7,5% ao mês? 
 
i = (1+im)m -1 i = (1+0,075)2 -1 i = (1,075)2 -1 i = 1,155625 – 1 i = 15,56% a.b.
11. Qual a taxa anual acumulada equivalente a uma inflação de 7,5% a.m.?
i = (1+im)m -1 i = (1+0,075)12 – 1 i =(1,075)12 – 1i = 2,3817795 -1 i = 138,18% a.a.
12. No início do mês de setembro de 1986, empreguei uma quantia à taxa de 4% ao mês, em regime de juros 
compostos. Depois de 5 meses, com a elevação da taxa para 12% ao mês, o meu capital ficou ainda empregado 
por 3 meses a essa nova taxa, quando, então, retirei o montante de R$ 170.930,97. Qual a quantia inicialmente 
aplicada?
Cn = C(1+i1)n1(1+i2)n2 170.930,97 = C(1+0,04)5.(1+0,12)3
170.930,97 = C x 1,216652902 x 1,404928 170.930,97 = C x 1,709309728
C = 170.930,97 / 1,709309728 C = 100.000,00
13. Certo capital esteve empregado durante um ano, à taxa de juros compostos, da seguinte forma: nos 6 primeiros 
meses, a 10% ao mês, nos 3 meses seguintes a 15% ao mês e nos últimos 3 meses a 20% ao mês. Responda:
a) a que taxa anual esteve empregado?
i =(1+i1)n1 x (1+i2)n2 x (1+i3)n3 -1 i = (1+01)6 x (1+0,15)3 x (1+0,2)3 – 1
34
i = 1,771561 x 1,520875 x 1,728 – 1 i = 4,65578986 – 1
i = 3,65578986 i = 365,58% a.a. 
b) qual a taxa mensal equivalente?
im = (1+i)1/m -1 im = (1+3,6558)1/12 im = (4,6558)0,0833333 – 1
im =0,136753219 im = 13,68% a.m.
 – TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA:
É freqüente, nas diferentes formas de emprego de capital, ser indicada uma taxa anual de juros, sendo 
esse, todavia, pago periodicamente e em parcelas iguais, certo número de vezes durante o ano.
Tal forma de caracterizar o juro aparece usualmente nos títulos da dívida pública e nas contas correntes 
bancárias. Por exemplo, os bônus de guerra oferecem ao subscritor, juros anuais de 6%, pagos, todavia, 
semestralmente, em duas parcelas, correspondendo cada uma a 3% do seu valor nominal. De que já foi visto, 
podemos concluir que o emissor de tais títulos paga um juro anual a uma taxa superior a 6% ao ano, a saber, a taxa 
anual equivalente à taxa semestral de 3%. Diz-se então, que 6% ao ano é a taxa nominal conversível duas vezes 
ao ano e que a taxa anual equivalente, acima referida, é a taxa efetiva paga ao subscritor. 
Seja, então, i(m) uma taxa nominal conversível m vezes ao ano e seja i a taxa efetiva anual correspondente. 
Do que foi dito resulta que i é a taxa anual, equivalente à taxa i(m)/m relativa ao período 1/m do ano. Assim:
  11 









m
m
m
i
i
Esta fórmula nos dá a taxa efetiva i, conhecida a taxa nominal i(m).
i(m) = m[(1+ i)1/m -1]
Esta outra fórmula nos dá a taxa nominal i(m), conhecida a taxa efetiva i.
Exemplos:
1. A Caixa Econômica do Rio de Janeiro paga aos depositantes de contas-correntes populares juros nominais de 
4.1/2% ao ano, capitalizados semestralmente. Calcular a taxa efetiva anual paga aos depositantes?
 
  1
1
1 









m
m
m
i
 
1
2
045,01
2






i
 i = 1,045506 – 1 i = 0,045506 i = 4,55%
2. A Caderneta de Poupança, além da correção monetária, paga juros de 6% ao ano. Como sabemos que a 
capitalização dos juros da Caderneta de Poupança é mensal, pede-se:
a) Qual a taxa nominal anual de juros paga pela Caderneta de Poupança?
i(m) = (1+ i)1/m -1 i(m) = (1 + 0,06)1/12 -1 i(m) = (1,06)0,0833333 -1 i(m) = 1,0048675 -1
i(m) = 0,0048675 i(m) = 0,48% a.m. => i = (1+ i(m))m-1 i =(1 + 0,0048)12 -1
i = (1,0048)12 -1 i = 1,0599999 – 1 i = 6%
b) Qual a taxa efetiva mensal?
  11 









m
m
m
i
i 11
0048,01 





i
i = 1,0048 -1 i = 0,48% am.
c) Qual a taxa efetiva anual? i = 6,17% aa.
3. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 para pagar após 3 meses. Com juros de 8% ao ano, 
capitalizados mensalmente. Na data de liberação do empréstimo pagou uma taxa de serviço de 1,5% sobre o valor 
do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo tomador do empréstimo?
4. Uma pessoa aplicou R$ 15.400,00 e após 8 meses recebeu de juros R$ 18.000,00. Pede-se:
a) Qual foi a taxa mensal de juros compostos paga pelo banco? (taxa efetiva)
b) Qual a taxa anual que está sendo cobrada?
c) Qual a taxa anual com capitalização mensal referente à taxa encontrada?
 – DEFINIÇÃO DO MONTANTE QUANDO O TEMPO NÃO É UM NÚMERO INTEIRO:
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A determinação do montante depende de como está regulamentado o período fracionário.
Nesse caso, duas situações podem ocorrer:
a) Não remuneração do período fracionário;
b) Remuneração do período fracionário. 
Quando houver remuneração do período fracionário, esta poderá ser a juros simples ou a juros compostos. 
Se a remuneração for a juros simples temos o que se convencionou a chamar Convenção Linear, se a juros 
compostos Convenção Exponencial. 
Exemplo: Suponhamos que um capital de R$ 18.000,00 esteja aplicado a juros compostos de 2,3% ao mês, por três 
meses e meio. 
Como o período a que se refere a taxa é ao mês e temos um número não inteiro de meses precisamos 
adotar alguma convenção para o cálculo do montante numa situação como essa. 
a) Não remuneração do capital no período fracionário. Ex: (Caderneta de Poupança).
b) Remuneração do capital também no período fracionário. 
b1) Convenção linear: É aquela que remunera a juros compostos somente a parte inteira do Capital considerado e 
sobre o montante assim obtido, juros simples durante a parte não inteira do período considerado. 
Fazendo-se (n = m + p/q) temos:
Cn = C(1+i)m (1+i.p/q)
Voltando ao exemplo anterior, teremos:
Cn = 18.000(1+0,023)3(1+0,023 . ½) Cn = 18.000 x 1,070599167 x 1,0115
Cn = 18.000 x 1,082911057 Cn = 19.492,40
Outros Exemplos:
1. Calcular o montante