Questão resolvida - Seja f R-R uma função satisfazendo x2f(x)x3x3. Nessas condições, qual das alternativas a seguir apresenta o limite da função f(x) ... - Cálculo I - UNIP

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Seja uma função satisfazendo . Nessas f : R- > R x + 2 ⩽ f x ⩽ x² + 3x + 3( )
condições, qual das alternativas a seguir apresenta o limite da função para x f x( )
tendendo a ?-1
 
○ a. f x = - 1lim
x -1→
( )
○ b. f x = 2lim
x -1→
( )
○ c. f x = 3lim
x -1→
( )
○ e. f x = 1lim
x -1→
( )
○ f. f x = - 2lim
x -1→
( )
 
Resolução:
 
 é uma função que compreende uma região entre 2 curvas, a reta e a parábola f x( ) x + 2
. Primeiro, vamos vericar se as curvas de interceptam, para isso, basta igualá-las x² + 3x + 3
e resolver a equação para x;
 
x + 2 = x + 3x + 3 x + 3x + 3 - x - 2 = 0 x + 2x + 1 = 02 → 2 → 2
 
Chegamos a uma equação do 2° grau, resolvendo fica;
 
x = x' = = = = = - 1
- 2 ±
2 ⋅ 1
( ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
→
-2 +
2
4 - 4 -2 +
2
0 -2 + 0
2
-2
2
 
 x" = = = = = - 1
-2 -
2
4 - 4 -2 -
2
0 -2 - 0
2
-2
2
 
Assim, as curvas se interceptam em um único ponto com coordenada x = -1
 
O próximo passo é traçar o gráfico e verificar em qual intervalo a função está f x( )
compreendida;
 
Reta - y = x + 2
 
Se y = 0 0 = x + 2 x + 2 = 0 x = -2→ → →
 
 
 
Se x = 0 y = 0 + 2 y = 2→ →
 
Assim, a reta toca o eixo x em e o eixo y em , é uma reta crescente, com isso, x = -2 y = 2
o gráfico fica;
 
Parábola - y = x + 3x + 32
 
Se y = 0 0 = x + 3x + 3 x + 3x + 3 = 0→ 2 → 2
 
Chegamos a uma equação do 2° grau, resolvendo fica;
 
𝛥 = 3 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 9 - 12 = - 3( )2
 
Como o 𝛥 < 0, a função não toca o eixo x.
 
Se x = 0 y = 0 + 3 ⋅ 0 + 3 y = 3→ ( )2 →
 
A parábola toca o eixo y em , não toca o eixo x, porém, intercepta a reta em . A y = 3 x = -1
parábola tem concavidade voltada para cima, dessa forma, seu gráfico fica;
 
 
 
Vamos fazer os limites laterais de tendendo a -1, usando o gráfico;f x( )
 
 
Com os limites laterais de tendendo a -1 são iguais, temos que;f x( )
 
f x = f x = f x = 1lim
x -1→ +
( ) lim
x -1→ -
( ) lim
x -1→
( )
 
 
(Resposta )