Questão resolvida - Uma determinada peça, utilizada na montagem de um máquina de lavar roupas, tem formato que pode ser obtido pela rotação das curvas ... - Cálculo II - FAESA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma determinada peça, utilizada na montagem de um máquina de lavar roupas, tem 
formato que pode ser obtido pela rotação das curvas e , em f x = x +( ) 2
1
2
g x = x( )
torno do eixo x, entre e . Qual o volume dessa peça, em unidades de x = 0 x = 2
volume (u.v.)?
 
Escolha uma opção:
 
∘ a. 6, 9𝜋 u. v.
∘ b. 4, 02𝜋 u. v.
∘ c. 6, 4𝜋 u. v.
∘ d. 2, 32𝜋 u. v.
∘ e. 2, 23𝜋 u. v.
 
Resolução:
Primeiro, vamos achar a intercessão entre as curvas; 
 
Para determinar a intercessão, devemos igualar as curvas, ou seja;
 
f x = g x x + = x( ) ( ) → 2
1
2
 
Reescrevendo a equação, fica;
 
x + = x x - x + = 0 = 0 2x - 2x + 1 = 02
1
2
→
2
1
2
→
2x - 2x + 1
2
2
→
2
 
Chegamos a uma equação do 2° grau, resolvendo fica;
 
𝛥 = -2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4 - 8 = - 4( )2
 
Como 𝛥 < 0, a equação não tem solução em R e, assim, as curvas não se interceptam!
 
Perceba que a parábola tem concavidade voltada para cima e não intercepta f x = x +( ) 2
1
2
o eixo x, já que;
 
 
 
Se f x = 0, 0 = x + x + = 0 x = - x = , que também não possui ( ) 2
1
2
→
2
1
2
→
2
1
2
→ -
1
2
solução em R
A reta passa pela origem e é simétrica aos eixos coordenados. Com essas g x = x( )
informações, sabendo que a região vai no eixo x de e , podemos montar o x = 0 x = 2
gráfico como visto a seguir;
 
Usando o método das cascas, o volume é dado pela fórmula:
 
V = 𝜋 f x - g x dx
b
a
∫ ( ( ))2 ( ( ))2
 Os limites de integração a e b estão em x e são, respectivamente, 0 e 2. Substituindo, a 
integral do volume fica:
 
V = 𝜋 x + - x dx = 2𝜋 x + 2 ⋅ x + - x dx
2
0
∫ 2 1
2
2
( )2
2
0
∫ 4 1
2
2 1
4
2
= 𝜋 x + x - x + dx = 𝜋 x + dx =
2
0
∫ 4 2 2 1
4
2
0
∫ 4 1
4
 
 
 
Gira
V = 𝜋 + x = 𝜋 + x = 𝜋 + ⋅ 2 -𝜋 + ⋅ 0
x
4 + 1
4+1( ) 1
4
2
0
x
5
5 1
4
2
0
2
5
( )5 1
4
0
5
( )5 1
4
 
V = 𝜋 + = 𝜋 + = 𝜋 = 𝜋 ⋅
32
5
2
4
32
5
1
2
64 + 5
10
69
10
 
V = 6, 9𝜋 u. v. 
 
 
(Resposta )