ENGN89 - Avaliação 07- Gabarito

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ENGN89 – ISOSTÁTICA 020000 – 2021.1 
Avaliação 07 - Gabarito – Entrega até 27/05/2021 
Prof. Dr. Nivaldo B. F. Campos 
Nome: Matrícula: 
 
 Nota Aluno Nota Prof. 
 
 
ORIENTAÇÕES PARA A AVALIAÇÃO: 
 ESTA AVALIAÇÃO É INDIVIDUAL. 
 Ela deve ser entregue até o dia 23/04/2021, até 23:59:59 h, e deve ser enviada através do aplicativo Android ou via web. Para isso, 
sigam as instruções contidas no arquivo ENGN89-Orientações para Avaliações, que está disponível na aba Materiais do App. 
 A avaliação só será considerada finalizada após sua autocorreção ser feita e enviada, o que deve ocorrer após o prazo final de entrega 
da prova e a divulgação do gabarito pelo professor. O envio da autocorreção deve ser feita no dia 27/05/2021, até 23:59:59 h. Sigam 
as orientações para a autocorreção no arquivo ENGN89 – Orientações para autocorreção, que também está disponível no app. 
 
Dados a partir de sua matrícula: 
Matrícula: d9 d8 d7 d6 d5 d4 d3 d2 d1 . (d1 é o primeiro dígito à direita). 
Se algum dígito for zero, então adote seu valor como 10. As unidades são dadas nas questões. 
QUESTÕES: 
Preencha o cabeçalho com seu nome e número de matrícula e coloque as páginas com questões tanto no início da resolução quanto 
na autocorreção. Para juntar arquivos pdf, você pode usar o link https://pdfjoiner.com/ . Na autoavaliação também coloque no 
quadro ‘Nota Aluno”, a nota que você se atribuiu. 
 
1) Para o elemento linear da figura abaixo, determine: (5,0 pontos) 
a) As expressões analíticas para o momento fletor e o esforço cortante 
b) Traçe os diagrama de esforço cortante e momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Para poder traçar os diagramas de esforços, precisamos antes determinar as reações de apoio. Devido ao apoio móvel em C 
há uma reação de apoio extra, além das duas que existem no engaste A. Esta viga seria portanto hiperestática caso não 
houvesse a rótula em B que vai introduzir um grau de liberdade a mais, tornando a viga isostática. No entanto, esta situação 
nos obriga a utilizar o fato do momento ser zero na rótula para determinarmos as reações de apoio. 
 
Vejam que não é obrigatoriamente necessário obter a força transversal na rótula para conseguir resolver o problema. Se 
temos apenas uma ou duas rótulas na viga, pode ser mais simples resolver dividindo a viga na rótula, mas sempre uma de 
cada vez e apenas impondo o momento nulo onde foi feita a divisão. 
 
Na questão vamos então impor que MB=0 por ser uma rótula e consideraremos apenas a parte da viga à direita dela. 
 (A parte à esquerda da rótula possui duas incógnitas em A, então é mais simples determinar a incógnita à direita primeiro.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d2 (m) 
d2 (kN/m) d1 (kN) 
A 
d3 (m) d1 (m) 
C B D 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 3
1 2 3 2 2
2 31
2 3
2
( )
( ) 0 ( ) 0
2
( )
( )
2
y
y
d d
M B d d d C d d
d dd
C d d
d

      
 
   
 

 
 
Tendo obtido o valor de Cy, podemos agora calcular as outras reações de apoio em A como se fosse uma viga em balanço 
usual 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando então as equações de equilíbrio para a viga toda, teremos: 
 
 
2
1 2 3
1 1 2 3 1 2 2
2
1 2 3
1 1 2 3 1 2 2
( )
( ) 0 ( ) ( ) 0
2
( )
( ) ( )
2
y A
A y
d d d
M B d d d d C d d d M
d d d
M d d d d C d d d
  
         
  
      

 
 
1 2 1 2 3
1 2 1 2 3
0 ( ) 0
( )
y y
y y
Fy d C d d d d A
A d C d d d d
        
    

 
 
 
Com as reações de apoio, podemos agora montar as equações de cortantes e momentos para traçarmos os diagramas de 
esforços. Notem que isto pode ser feito de duas formas, com o eixo x iniciando em A e indo para a direita, ou com o eixo x 
iniciando em D e indo para a esquerda. Teremos em ambos os casos o mesmo diagrama, embora as funções obtidas sejam 
diferentes. 
 
Então, para o primeiro caso, com x medido da esquerda para a direita, temos: 
 
Trecho AC (0 <= x <= d1+d2) 
 
Não precisamos mais nos preocupar com a rótula. Seu efeito já foi considerado ao determinarmos as reações de apoiol 
 
 
 
By 
d2 (m) 
d2 (d2+d3) 
d1 
d3 (m) 
C B D 
Cy 
(d2+d3)/2 
MA 
d2 (m) 
d2 (d1+d2+d3) 
d1 
A 
d3 (m) d1 (m) 
C B D 
Cy Ay 
 (d1+d2+d3)/2 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
( ) 0 ( ) 0
2
( )
2
A y
y A
x
M x M A x d M x
x
M x d A x M
      
   

 
 
2
2
( ) 0 ( ) 0
( )
y
y
V x A d x V x
V x d x A
    
  

 
 
 
Trecho CD (d1+d2 <= x <= d1+d2+d3) 
 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2
( ) 0 ( ( )) ( ) 0
2
( ) ( ) ( )
2
A y y
y y y A
x
M x M A x d C x d d M x
x
M x d A C x C d d M
         
      

 
 
2
2
( ) 0 ( ) 0
( )
y y
y y
V x A d x C V x
V x d x A C
     
   

 
 
 
 
 
Se fizéssemos a análise da direita para a esquerda, as expressões seriam mais simples, pois não teriam MA e Ay. De fato, 
estas reações não precisariam ser encontradas a priori para traçar os diagramas. 
 
Para este caso as expressões seriam: 
 
 
 
Cy 
V(x) 
MA 
d2 x 
A B 
M(x) 
Ay 
 x/2 
 x 
V(x) 
MA 
d2 x 
A B M(x) 
Ay 
 x/2 
 x 
C 
 x-(d1+d2) 
Trecho DC 0 <= x <= d3 
 
2
2 1( ) 0 ( ) 2
x
M x M x d d x     
2 1( ) 0 ( )V x V x d x d    
 
 
 
Trecho CA d3 <= x <= d3+d2+d1 
 
2
2 1 3( ) 0 ( ) ( )2 y
x
M x M x d d x C x d       - 
2 1( ) 0 ( ) yV x V x d x d C     
 
Notem em todas as expressões acima que 
( )
( )
dM x
V x
dx
 . Então poderíamos também ter encontrado as expressões dos 
esforços cortantes simplesmente diferenciado as expressões dos momentos fletores. OBS: No caso de x crescer da direita 
para a esquerda, ao derivar é necessário trocar os sinais. 
 
 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS: 
 
OS DIAGRAMAS ESTÃO EM FORMA QUALITATIVA. EM ALGUNS PONTOS SUA POSIÇÃO EM RELAÇÃO AO 
EIXO X VAI DEPENDER DOS VALORES DOS DADOS DO PROBLEMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 
 d2 d32/2+ d1 d3 
 d2 d3 + d1 - Cy 
 d2 d3 + d1 
Mmax 
 
MA 
. 
Ay 
MA 
d2 d1 
A C B D 
Cy Ay 
DIAGRAMA DE CORTANTE 
1. Em A, V(x) tem que ser igual a Ay, 
acompanhando seu sentido. 
2. Os trechos AC e CD tem que ser 
paralelos porque tem a mesma 
carga distribuída e sua declividade 
será -d2 
3. Em C o salto é o valor de Cy na 
direção dele. 
4. Em D, V(x) tem que ser igual a d1, 
em sentido contrário a ele. 
DIAGRAMA DE MOMENTOS 
1. Em A, M(x) tem que ser igual a MA 
e será positivo se MA girar no 
sentido horário, pois a borda 
inferior da viga estará tracionada e 
vice-versa. 
2. O momento no trecho será máximo 
onde o gráfico do cortante corta o 
eixo x, ou seja, onde V(x) =0. Se 
V(x) não se anula no trecho, então 
o momento máximo ocorrerá na 
extremidade do trecho. 
3. Para esta viga, o momento tem que 
ser nulo em B, onde temos a rótula. 
4. Em C, o momento tem que ser 
negativo, pois o sentido dos 
carregamentos no balanço geram 
um montento que traciona a borda 
superior da viga. 
5. Em D o momento tem que ser nulo 
pois é uma extremidade livre sem 
momento aplicado nela. 
d1 
M=0 
 
M=0 
 
M(x) (kN.m) 
V(x) (kN) 
+
-
+
2) Para a viga abaixo, utilize o método das áreas para traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor. (5,0 pontos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
O problema pede para traçar os diagaramas usando o método das áreas. Para tanto é necessário a determinação das reações 
de apoio. 
 
Feito isso, faz-se o diagrama do cortante sabendo-se seu valor inicial e variando este valor em cada trecho num valor 
equivalente à área do diagramas da carga distribuída. Onde há cargas concentradas, o diagrama de cortantesofre um salto 
no sentido da carga. Sua forma é definida pelo tipo de carregamento. 
 
Para o traçado do diagrama de momentos, deve-se saber seu valor na extremidade da viga e calcular sua variação em cada 
trecho, a qual é igual à área sob o gráfico do esforço cortante no treco considerado.Sua forma é definida pelo tipo de 
carregamento. 
 
Como as expressões analíticas de Ay e Cy serão muito extensas, elas não serão apresentdas aqui. Quem tiver dúvidas se 
suas reações estão corretas, então entre em contato comigo. 
 
Determinação dos Diagramas: Os diagramas e os cálculos necessários para poder traça-los são apresentados a seguir, de 
uma forma qualitativa, pois o esforço ser positivo ou negativo dependerá dos valores numéricos dos dados do problema. 
 
Devemos determinar inicialmente os valores nos pontos extremos de cada trecho: 
 
Esforço Cortante: 
 
Ponto A: V(A) = Ay (A reação de apoio faz o valor do cortante sair de zero e assumir o valor Ay com sinal positivo se a 
reação tem sentido para cima e vice-versa. Na análise da direita para a esquerda, esta convenção é invertida. 
 
Ponto B: Devido à carga distribuída, o diagrama vai variar linearmente no trecho AB com declividade -d3 (valor da carga 
distribuída). O valor da variação será o produto da carga distribuída pelo comprimento do trecho, ou seja, a área da 
distribuição do carregamento. No ponto B temos também uma carga concentrada que fará o valor do cortante ter uma 
descontinuidade, fazendo que para o ponto B tenhamos dois valores para o esforço cortante. Antes do ponto B (B-) e após 
o ponto B (B+). 
 
Assim, em B- o cortante valerá o valor em A + a variaçaõ do trecho e portanto : 
 
V(B-) = Ay – d3d1. Com os valores em A e B- determinados, eles são ligados por uma reta inclinada. 
 
Á direita do ponto B teremos o acréscimo da ação de d4, para baixo e, portanto, reduz o valor do cortante. 
 
V(B+) = V(B-) – d4 
 
Ponto C: No BC o valor do cortante irá variar linearmente com declividade -d2, devido à carga distribuída aplicada nele. 
Esta variação novamente é a área do diagrama de força distribuída. No ponto C temos a ação da reação de apoio Cy, portanto 
introduzirá uma descontinuidade neste ponto, como ocorreu em B. Assim, temos.: 
 
À esquerda do ponto C: 
 
V(C-) = V(B+) – d2 d2 
 
À direita do ponto C: 
 
d2 (m) 
d2 (kN/m) d1 (kN) 
A C 
d3 (m) d1 (m) 
d3 (kN/m) 
d4 (kN) 
B D 
d3 
(kN.m) 
V(C+) = V(C-)+Cy (A variação acompanha o sentido da força concentrada) 
Ponto D: Para o ponto D, como ele é de extremidade é mais fácil fazer a análise observando se há carga concentrada nele, 
a qual deve corresponder ao valor do esforço cortante neste ponto. Vemos que em D temos a carga concentrada -d1. Como 
após a carga, não existe viga e portanto o cortante é nulo, concluímos que em D- o cortante deve ser +d1. 
 
Portanto: V(D-) = d1 
 
MOMENTO FLETOR: 
 
Ponto A: O ponto A é um apoio fixo. Então nele o momento ou será zero ou será o valor do momento concentrado aplicado 
nele, se houver. No nosso caso, temos aplicado em A um momento de valor d3, no sendido anti-horário. Este momento ira 
provocar tração na face superior da viga e portanto é um momento negativo. 
 
Assim: M(A) = -d3 
 
Ponto B: O momento no ponto B será o momento do ponto A mais uma variação igual à área sob o diagrama de V(x) no 
trecho AB. 
 
M(B)=d3+(2Ay- d3d1)/2*d1 
 
Ponto C: O momento no ponto C será o momento do ponto B mais uma variação igual à área sob o diagrama de V(x) no 
trecho BC. 
 
Como estamos aqui resolvendo literalmente, a expressão de M(C) ficará muio mais simples se aplicarmos a 
variação igual à área do diagrama de cortante V(x) no trecho CD ao momneto do ponto D, onde M(D)=0 
 
M(C)=d2 d32/2+ d1 d3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ay-d3d1-d4-d4d2+ Cy ou d1+ d2 d3 (pela direita) 
 
 d2 d32/2+ d1 d3 
Ay-d3d1-d4-d4d2 
Ay-d3d1-d4 
Cy 
d2 (m) 
d2 (kN/m) d1 (kN) 
A C 
d3 (m) d1 (m) 
d3 (kN/m) 
d4 (kN) 
B D 
d3 
(kN.m) 
Cy Ay 
Ay 
d4 d1 
d3 
M=0 
 
Ay-d3d1 
d3+(2Ay- d3d1)/2*d1 
 
++
-- 
-- 
+