Apostila Resistência dos materiais

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
 
ENGENHARIA DE TRANSPORTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EB 504 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
 ST 309 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Otavio José Menegali 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 Iniciaremos o estudo do Dimensionamento de componentes de estruturas. 
Exemplificamos nas fotos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 O capítulo que passaremos a estudar agora, irá nos preparar para o dimensionamento 
desses elementos estruturais, isto é, como o Engenheiro obtem as dimensões corretas desses 
elementos, de forma que não haja erro nem por falta (o que levaria à ruptura da estrutura) e 
nem por excesso (o que acarretaria em elevado custo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
ESTÁTICA ELEMENTAR APLICADA 
 
 Elementos estruturais – São os componentes de uma estrutura, a saber, fundações, 
pilares, vigas, lajes, escadas, cobertura, caixa d’água. 
 Iniciaremos o estudo de como dimensionamos esses elementos, considerando um 
elemento estrutural sob a ação de várias forças aplicadas ao longo dele. O melhor elemento 
para iniciarmos, é a viga. O objetivo é encontrar as dimensões necessárias para que esse 
elemento suporte as cargas nele aplicadas. Para chegarmos nesse objetivo, imaginemos passar 
um corte nesse elemento para que possamos estudar determinada seção (é sinônimo de corte, 
no passado escrevíamos secção; é a formato que vemos depois de feito o corte), isto é, como 
esse elemento estando solicitado por cargas externas, está suportando esse carregamento. 
Antes de cortarmos, as ações eram equilibradas pelas reações. Ou seja, a viga recebe cargas de 
lajes, paredes, outras vigas nela apoiadas e transmitem essas cargas para os pilares. Depois de 
feito o corte, o equilíbrio só continuará se considerarmos esforços atuando na seção cortada 
que a mantinha unida ao restante da estrutura. 
 
 De um modo geral, a matéria é encontrada na natureza em três estados: sólido, 
líquido e gasoso. As partículas que compõem a matéria se encontram unidas entre si. No 
estado gasoso, as forças que as mantém unidas têm intensidade menor, motivo pelo qual elas 
são separadas mais facilmente. No estado líquido, essas forças têm intensidade maior, mas 
mesmo assim elas podem ser separadas com relativa facilidade. E no estado sólido, essas 
forças tem intensidade maior ainda, o que dificulta a separação. Dizemos que os sólidos têm 
forma definida e os fluidos (líquidos e gases) se deformam mais facilmente. O termo utilizado 
para essa mudança de forma é escoamento. 
 Os materiais mais utilizados na engenharia são os metais, as madeiras e o concreto. 
Nos metais, os átomos ou as moléculas ficam rigidamente ligados entre si. Essa ligação varia 
de metal para metal. Pesquisas constantes buscam encontrar materiais cada vez mais 
resistentes. As fibras que compõem a madeira têm resistência capaz para suportar a arvore na 
vertical. E no concreto, é a reação química entre o cimento e a água que proporciona essa 
rigidez. Ou seja, as cavernas que o homem primitivo encontrou prontas na natureza, como 
aberturas nas rochas, ele aprendeu a fazer “fabricando” pedra. São as nossas moradias. 
 8 
 Assim, consideramos que cada ponto da parte que ficou à esquerda da seção estava 
ligado a um ponto da parte que ficou à direita. É a ação de um ponto sobre o outro, de um 
corpo sobre o outro e essa é a definição de Força. Como ponto não tem dimensão, se 
pensarmos em quantos são esses pontos, diríamos são milhares. Então temos milhares de 
Forças em milhares de pontos e queremos encontrar a soma de todas essas Forças. Pois bem, 
por soma direta não conseguiríamos, mas podemos obtê-la impondo o equilíbrio da parte que 
ficou à esquerda, por exemplo. 
 E esta Força resultante da ação distribuída em cada ponto da seção, atua num ponto 
qualquer da seção. Se fizermos um corte mais à direita, essa Força resultante será diferente e 
irá atuar em um outro ponto. Em resumo, ela irá variar e queremos saber como ela varia. 
Transladando-a ao Centro de Gravidade da seção (pois com isso haverá simplificação no 
equacionamento futuro), surgirá a ação do esforço Momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim sendo, teremos no CG, uma Força e um Momento, que mantêm o equilíbrio 
da seção cortada. No caso geral, estes esforços atuam em direções quaisquer. Para 
entendermos a ação destes esforços, iremos fazer a decomposição deles nas três direções x, y e 
z. 
 Já vimos que podemos escrever a Força como F = F x i + F y j + F z k, mas aqui 
podemos simplificar, deixando de escrever os vetores i, j e k e definindo as direções das 
componentes e convencionando os seus sentidos. E mais, dando nomes às componentes F x, F 
y e F z de acordo com sua direção e seus efeitos. 
 
 A componente F x da Força F que atua sobre o eixo x, portanto perpendicular aos 
eixos y e z ou seja, perpendicular à seção, portanto normal a ela, será chamada de Esforço 
Normal e identificada pela letra N. 
 
 A componente da Força F sobre a 
seção tende, a cortar a mesma e por isso será 
chamada de Esforço Cortante e será identificada 
pela letra Q. Decompondo essa componente Q 
sobre os eixos x e y teremos Q y e Q z . 
 
 
 
 Raciocínio semelhante será aplicado ao 
vetor Momento, decompondo-o sobre os três 
eixos. 
 M = M x i + M y j + M z k 
 
 
 
 
 9 
 Aqui também iremos simplificar, 
deixando de escrever os vetores i, j e k e 
definindo as direções das componentes e 
convencionando os seus sentidos. Porém as 
componentes continuarão a serem descritas como 
M x, M y e M z . 
 
 A componente de M sobre o eixo x, 
chamada de M x causa giro em torno do eixo x o 
que é chamado de Torção. Razão pela qual é 
chamada de Momento Torsor e identificada por M 
t . 
 
 As componentes de M sobre os eixos y e 
z, chamadas de M y e M z , causam giro em torno 
dos eixos y e z respectivamente, o que é chamado de Flexão e estes momentos são chamados 
Momentos Fletores. 
 
 O dimensionamento de elementos estruturais será feito a partir dos valores destes 
seis esforços solicitantes, que podem variar ao longo do comprimento destes elementos. Com 
a finalidade de conhecermos estes valores, construiremos os Diagramas de Esforços. 
 
Simplificação no caso plano 
 
 Estudaremos inicialmente estruturas planas e para isso selecionaremos dos 6 
esforços, apenas os que produzem efeito no plano xy, ou seja, aqueles cujos efeitos podem ser 
visualizados facilmente no esquema definido pelos eixos x e y. Deixaremos para mais tarde os 
esforços que necessitam do eixo z para serem plenamente visualizados. 
 Observando a viga de frente (aprendemos em Representação Gráfica como 
Elevação) apenas o trecho nas proximidades da seção feita temos a figura à esquerda, com os 
eixos x e y no plano do papel e o eixo z saindo do papel. E observando-a ainda de lado 
(aprendemos em Representação Gráfica como Perfil) temos a figura à direita, com os eixos y e 
z no plano do papel e o eixo x saindo do papel. O desenho em forma de “T” da figuraà direita 
fica representado por um segmento de reta na figura à esquerda. Iremos selecionar os Esforços 
cujo efeito pode ser visualizado na figura à esquerda. 
 Analisando cada um deles temos: 
 
 1) Esforço Normal N 
 A ação de N tende a tracionar ou a 
comprimir a viga. O “T”, (ou seja, o segmento de 
reta) tende a se deslocar para a direita ou para a 
esquerda e notamos que visualizamos seu efeito. O 
desenho final (após a ação de N) é distinto do 
desenho inicial (sem a ação de N). 
 Em função disso, N será selecionado. 
 
 
 
 
 10 
 2) Esforço Cortante Q y 
 A ação de Q y tende a deslocar o “T”, (ou 
seja, o segmento de reta) na vertical para cima ou para 
baixo direita ou para a esquerda e notamos que 
visualizamos seu efeito. O desenho final (após a ação 
de Q y) é distinto do desenho inicial (sem a ação de Q 
y). 
 Em função disso, Q y será selecionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3) Esforço Cortante Q z 
 A ação de Q z tende a deslocar o “T”, (ou 
seja, o segmento de reta) na horizontal para dentro do 
papel ou para fora dele e notamos que NÃO 
visualizamos seu efeito. O desenho final (após a ação 
de Q z) se confunde com o desenho inicial (sem a 
ação de Q z). 
 Em função disso, Q z não será selecionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4) Esforço Momento M x 
 A ação de M x tende a girar o “T”, (ou seja, o 
segmento de reta) em torno do eixo x, a parte acima do 
eixo x entre no papel e a parte abaixo do eixo x saia do 
papel, ou vice-versa. Notamos que NÃO visualizamos 
seu efeito. O desenho final (após a ação de M x) se 
confunde com o desenho inicial (sem a ação de M x). 
 Em função disso, M x não será selecionado. 
 
 Podemos observar sim e claramente esse 
efeito na figura à direita, mas trata-se do plano yz e 
não xy como queremos. 
 
 
 
 
 11 
 5) Esforço Momento M y 
 A ação de M y tende a girar o “T”, (ou seja, o 
segmento de reta) em torno do eixo y, e metade do 
desenho em “T” iria para a frente enquanto que a 
outra metade iria para trás resultando numa figura 
confusa. Apesar de o desenho final (após a ação de M 
y) ser distinto do desenho inicial (sem a ação de M y) 
não fica claro em que sentido foi girado. 
 Em função disso, M y não será selecionado. 
 
 Podemos observar que em nenhum dos 
desenhos, nem no plano xy, nem do plano yz, esse 
efeito fica bem visualizado. 
 
 
 
 
 
 6) Esforço Momento M z 
 A ação de M z tende a girar o “T”, (ou seja, o 
segmento de reta) em torno do eixo z. no sentido 
horário ou anti-horário. Observemos que o eixo z está 
na perpendicular ao papel na figura à esquerda. O 
desenho final (após a ação de M z) é distinto do 
desenho inicial (sem a ação de M z). 
 Em função disso, M z será selecionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desta forma apenas três dos seis esforços terão seus efeitos visualizados no plano xy: 
o Normal (N), o Cortante (Q y) e o Momento Fletor (M z). Como as letras que os abreviam são 
diferentes entre si, passaremos a designá-los por Normal N, Cortante Q e Momento Fletor M. 
Quando passarmos a estudar os outros 3 esforços, voltaremos a colocar os índices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Vinculação dos Sistemas Planos 
 
 Consideremos os seguintes elementos estruturais: 
 
 Barra – Elemento estrutural que apresenta uma dimensão bem maior que as outras 
duas e que resiste apenas a esforços aplicados na direção de seu eixo. Ou seja, o elemento 
barra irá resistir apenas ao Esforço Normal. Será representada por um traço fino. 
 
 
 Chapa – Elemento estrutural que resiste a qualquer um dos seis Esforços 
Solicitantes. Será representada por um traço cheio. 
 
 
 
 Nó – Articulação em que são unidas duas ou mais barras entre si, exclusivamente. 
Será representado por uma circunferência. 
 
 
 Vínculos – Apoios ou articulações pelas quais são unidas as chapas entre si ou as 
chapas com a “chapa-terra”. Têm diversas representações que estão detalhadas a seguir: 
 
 1) Apoio Fixo – Retira da estrutura dois graus de mobilidade, impedindo 
deslocamento em duas direções, pela ação de duas forças chamadas de reações de apoio. É 
representado por 
 
 
 
 2) Apoio Móvel – Retira da estrutura um grau de mobilidade, impedindo 
deslocamento em uma direção, pela ação de uma força, chamada reação de apoio. É 
representado por 
 
 
 
 3) Engaste Móvel – Retira da estrutura dois graus de mobilidade impedindo 
deslocamento em uma direção e giro, pela ação de uma força e de um momento. É 
representado por 
 
 
 
 4) Engaste Fixo – Retira da estrutura três graus de mobilidade impedindo 
deslocamento em duas direções e giro, pela ação de duas forças e de um momento. É 
representado por 
 
 
 
 5) “Rótula” – Nome dado ao vinculo no qual duas ou mais chapas são unidas entre 
si. É representado por 
 
 
 13 
 Exemplos: 
 
 Com o objetivo de classificar as estruturas, devemos ainda fazer um estudo dos 
vínculos quanto à sua substituição pelas barras vinculares, isto é, a cada vínculo será 
associado um número de barras vinculares, número este igual ao número de graus de 
mobilidade que eles retiram da estrutura. Estudando cada vínculo isoladamente, temos: 
 
 1) Apoio Fixo – É equivalente a duas barras vinculares, pois ele retira da estrutura, 
dois graus de mobilidade, pela ação de duas forças. 
 
 
 
 
 
 
 2) Apoio Móvel – É equivalente a uma barra vincular, pois ele retira da estrutura, 
um grau de mobilidade, pela ação de uma força. 
 
 
 
 
 
 3) Engaste Móvel – É equivalente a duas barras vinculares, pois ele retira da 
estrutura, dois graus de mobilidade, pela ação de uma força e de um momento. 
 
 
 
 14 
 
 4) Engaste Fixo – É equivalente a três barras vinculares, pois ele retira da estrutura, 
três graus de mobilidade, pela ação de duas forças e de um momento. 
 
 
 
 
 
 5) “Rótula” – O número de graus de mobilidade que ela retira, depende do número 
de chapas que concorrem na união, sendo dado pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b v = número de barras vinculares 
 
 c = número de chapas que concorrem na união 
 
 Veremos que, para a classificação, terá importância o número de barras total da 
estrutura, que será dado pela soma do número de barras vinculares com o número de barras 
reais. 
Classificação das Estruturas 
 
 Considerando numa estrutura: 
 b , o número de barras (reais + vinculares) 
 c , o número de chapas 
 n , o número de nós 
 iremos classificá-la de acordo com as expressões: 
 
 1) Se b < 3c + 2n – Estrutura Hipostática, Indeterminada ou Móvel. São 
estruturas que não são estáveis para qualquer tipo de carregamento. Não devem ser 
construídas. 
 
 2) Se b = 3c + 2n – Estrutura Isostática ou Determinada. São estruturas que são 
estáveis para qualquer tipo de carregamento e podem ser resolvidas apenas com as equações 
de equilíbrio da Estática. 
 
 3) Se b > 3c + 2n – Estrutura Hiperestática ou Superdeterminada. São 
estruturas estáveis para qualquer tipo de carregamento, porém, para serem resolvidas, 
necessitam de um processo auxiliar, pois apenas as três equações de equilíbrio da Estática são 
insuficientes.Há ainda uma quarta classificação denominada "Caso Excepcional" que será 
estudada mais adiante. 
 15 
 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 b = 0 + 3 = 3 b    3c + 2n 
 c = 1 3    3 x 1 + 2 x 0 
 n = 0 3 = 3  Estrutura Isostática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b = 0 + 4 = 4 b    3c + 2n 
 c = 1 4    3 x 1 + 2 x 0 
 n = 0 4  3  Estrutura Hiperestática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b = 13 + 3 = 16 b    3c + 2n 
 c = 0 16    3 x 0 + 2 x 8 
 n = 8 16 = 16  Estrutura Isostática 
 
 
Estudo dos Esforços Solicitantes 
 
 Os elementos estruturais suportam os diversos tipos de carregamento, tais como: 
 
 a) Carga Concentrada – Carga de efeito local, isto é, seu efeito se dá no ponto de 
aplicação. Representa a ação de uma viga que descarrega em outra viga, a ação da correia e 
polia num eixo de máquina, etc. Esquematicamente representamos por um vetor (uma seta). 
 
 
 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Carga Distribuída – Carga que atua ao longo do elemento estrutural e cujo efeito 
é gradativo. Como exemplo, temos o peso próprio de vigas e de eixos, carga de parede, de 
laje, de cobertura sobre viga, etc. Esquematicamente representamos como está ilustrado 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Além destes dois tipos de carregamentos, mais frequentes, há outros, como 
Momento Aplicado e Momento Torsor, que serão vistos oportunamente. 
 
 O efeito destes carregamentos sobre a estrutura gera os Esforços Solicitantes que são 
a Força e o Momento. Já vimos que essas grandezas são vetoriais e grandezas vetoriais 
possuem módulo, direção e sentido. Os módulos desses vetores serão calculados nos 
diagramas, as direções já foram definidas quando fizemos as decomposições sobre os eixos x, 
y e z. Para definirmos agora os sentidos, teremos as Convenções de Sinais. Para traçarmos os 
diagramas podemos iniciar o estudo ou pela esquerda ou pela direita, indiferentemente, 
conforme for mais conveniente. Imaginemos um trecho de uma estrutura como um 
paralelepípedo e ao visualizarmos esse paralelepípedo em sua vista lateral, iremos ver um 
retângulo. Daí, as Convenções de Sinais são desenhadas dentro de um Retângulo. 
 
 1) Esforço Cortante – Componente da Força F resultante, perpendicular ao eixo da 
estrutura, agindo portanto, no plano da seção estudada. Decompondo-o nas direções vertical e 
horizontal deste plano, teremos o Cortante na direção de y (Q y) e na direção de z temos (Q z). 
Como estamos no caso plano só existirá o Cortante Q y, que será 
designado apenas por Q. 
 Se iniciarmos o estudo pela esquerda e encontrarmos o 
Cortante para cima ou iniciarmos o estudo pela direita e encontrarmos o 
Cortante para baixo, iremos considera-lo positivo. 
 
 
 17 
 
 Se iniciarmos o estudo pela esquerda e encontrarmos o 
Cortante para baixo ou iniciarmos o estudo pela direita e encontrarmos o 
Cortante para cima, iremos considera-lo negativo. 
 
 Convenção de Sinais 
 
 
 
 
 Iremos ver que o Cortante Q pode variar ao longo do comprimento do elemento 
estrutural segundo uma função. O Diagrama de Esforço Cortante será o gráfico dessa função e 
sabemos que valores positivos de funções são desenhados acima do eixo x e valores negativos 
são desenhados abaixo do eixo x. Portanto: 
 No diagrama de esforços, Cortante Positivo será desenhado acima da linha que 
representa o eixo da estrutura e Cortante Negativo será desenhado abaixo da linha que 
representa o eixo da estrutura. 
 
 2) Esforço Normal – Componente da força F resultante, na direção do eixo da 
estrutura (eixo x). Há dois sentidos possíveis: tração e compressão. 
 
 Se iniciarmos o estudo pela esquerda e encontrarmos o 
Normal para a esquerda ou iniciarmos o estudo pela direita e 
encontrarmos o Normal para a direita, iremos considera-lo positivo. 
 
 
 
 Se iniciarmos o estudo pela esquerda e encontrarmos o 
Normal para a direita ou iniciarmos o estudo pela direita e 
encontrarmos o Normal para a esquerda, iremos considera-lo 
negativo. 
 
 Convenção de Sinais 
 
 
 
 
 Iremos ver que o Normal N pode variar ao longo do comprimento do elemento 
estrutural segundo uma função. O Diagrama de Esforço Normal será o gráfico dessa função e 
sabemos que valores positivos de funções são desenhados acima do eixo x e valores negativos 
são desenhados abaixo do eixo x. Portanto: 
 No diagrama de esforços, Normal Positivo será desenhado acima da linha que 
representa o eixo da estrutura e Normal Negativo será desenhado abaixo da linha que 
representa o eixo da estrutura. 
 
 3) Momento Fletor – Componente do vetor Momento M, decomposto na direção do 
eixo z (as componentes de M sobre x e sobre y não estão sendo estudadas porque seus efeitos 
não atuam no plano xy). Este esforço causa simultaneamente, tração e compressão nas duas 
regiões separadas pelo eixo z. 
 18 
 
 Se iniciarmos o estudo pela esquerda e encontrarmos o 
Momento no sentido indicado na figura ou iniciarmos o estudo pela 
direita e encontrarmos o Momento no sentido indicado na figura, 
iremos considera-lo positivo. 
 
 
 
 Se iniciarmos o estudo pela esquerda e encontrarmos o 
Momento no sentido indicado na figura ou iniciarmos o estudo pela 
direita e encontrarmos o Momento no sentido indicado na figura, 
iremos considera-lo negativo. 
 
 Convenção de Sinais 
 
 
 
 
 
 Iremos ver que o Momento M pode variar ao longo do comprimento do elemento 
estrutural segundo uma função. O Diagrama de Esforço Momento será o gráfico dessa função 
e sabemos que valores positivos de funções são desenhados acima do eixo x e valores 
negativos são desenhados abaixo do eixo x. No entanto, para facilitar o dimensionamento de 
estruturas de concreto, (Engenharia Civil) será conveniente invertermos os desenhos: 
 No diagrama de esforços, Momento Positivo será desenhado ABAIXO da linha que 
representa o eixo da estrutura e Momento Negativo será desenhado ACIMA da linha que 
representa o eixo da estrutura. 
 Esta inversão não irá trazer inconveniente algum para a Engenharia Mecânica, sendo 
portanto, adotada também. Em livros de autores americanos (o concreto não é tão utilizado 
lá), esta inversão não é adotada. 
 
Traçado dos Diagramas de Esforços 
 
 Uma estrutura carregada sofrerá a ação dos Esforços Solicitantes, que são variáveis 
ao longo dela. O objetivo do traçado dos Diagramas é determinar os valores deles em cada 
ponto da estrutura para futuro dimensionamento, isto é, dar as dimensões necessárias à seção 
para que não haja erro nem por falta, nem por excesso. 
 
 Com o objetivo de agilizar este traçado, analisaremos isoladamente cada 
carregamento. 
 
 1) Carga Uniformemente Distribuída 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
 Para simplificar o estudo desse carregamento, iremos substituir a carga distribuída 
por uma única força, que seja equivalente a este carregamento. Esta carga equivalente será 
igual à ÁREA da figura que representa o carregamento e estará localizada no CENTRO DE 
GRAVIDADE da figura que representa o carregamento.Consideremos o exemplo ilustrado. 
 
 A primeira etapa consiste no cálculo 
das reações de apoio. Como se trata de estrutura 
isostática, podemos calculá-las apenas com as 
três equações de equilíbrio da Estática. 
 
 F H = 0  H = 0 
 F V = 0  V 1 – q  + V 2 = 0 
  V 1 + V 2 = q  
 
  
 M A = 0  q  . ----- – V 2 .  = 0 
 2 
 q  
V 2 = ------- 
 2 
 
 Substituindo em V 1 + V 2 = q  temos: 
 
 q  q  q  
V 1 + ------- = q   V 1 = q  – -------  V 1 = ------- 
 2 2 2 
 
 No traçado do Diagrama de Cortante, 
adotemos os pontos A (no apoio à esquerda), B 
(no apoio à direita) e S (ponto móvel), 
identificado pela distância variável x. 
 
 Sabemos que Cortante é o esforço 
perpendicular ao eixo da estrutura e para 
extremos de estrutura, a resultante das forças ali 
aplicadas já é igual ao Cortante no ponto. 
Portanto em A, o Cortante vale Q A = +V 1 , de 
acordo com a convenção de sinais. 
 q  
 Q A = ------- 
 2 
 
 
 
 
 
 
 20 
 Já em B, também temos extremo de estrutura e a resultante das forças 
perpendiculares ao eixo da estrutura é V 2 . Pela convenção de sinais, este Cortante é negativo. 
Portanto em B vale Q B = –V 2 
 
 –q  
Q B = ------- 
 2 
 
 Na seção variável S, teremos: 
 
 q  
Q S = ------- – q x 
 2 
 
 De onde tiramos que: 
 
 q  
para x = 0  Q S = Q A = ------- 
 2 
 
 –q  
para x =   Q S = Q B = -------- 
 2 
 
coincidindo com os valores já calculados. 
 
 Portanto, a expressão de Q S é a expressão 
geral do Cortante para este tipo de carregamento. Esta expressão, na realidade é uma função, 
que tem como gráfico, uma reta inclinada. Dai podemos afirmar: 
 
 "Carga Uniformemente Distribuída apresenta como gráfico de Cortante, uma 
reta inclinada". 
 
 
Traçado do Diagrama de Momento 
 
 De forma semelhante, calcularemos o valor do Momento nos pontos A, B e S. 
 No cálculo do Momento, devemos sempre nos fixar no ponto onde se quer calcular o 
valor do Momento e tomar apenas a porção da estrutura à esquerda OU a porção da estrutura à 
direita. Em seguida tomamos cada uma das forças e a multiplicamos pela respectiva distância 
de sua linha de ação até o ponto considerado, respeitando a convenção de sinais. Calculando o 
Momento em A, teremos: 
 
  
M A = –q  . ----- + V 2 .  
 2 
 
 Substituindo V 2 , temos: 
 
 21 
  q  
M A = –q  . ----- + ------- .   M A = 0 
 2 2 
 
 Calculando o valor do Momento no ponto 
B, temos: 
  
M B = –q  . ------ + V 1 .  
 2 
 
 Substituindo V 1 , temos: 
 
  q  
M B = –q  . ------ + ------- .   M B = 0 
 2 2 
 
 Calculando o valor do Momento no ponto 
S, temos: 
 x 
M S = –q x . ----- + V1 . x 
 2 
 
 Substituindo V 1 , temos: 
 
 x q  
M S = –q x . ----- + ------ . x 
 2 2 
 
 –q q  
M S = ----- x
 2 + ------- . x 
 2 2 
 
 Esta expressão, que na realidade é uma função, tem como gráfico, uma parábola do 
2º grau. Como o coeficiente que acompanha x 2 é negativo, teremos o vértice voltado para 
cima. Contudo devido à nossa convenção de sinais, na qual Momento Fletor Positivo é 
desenhado abaixo, o desenho da parábola será com o vértice voltado para baixo. Nós 
rebatemos o gráfico (giramos em torno do eixo x). 
 
 Cálculo das raízes de M S . 
 
 –q q  
M S = ----- x
 2 + ------- . x = 0 
 2 2 
 
 –q q  
x (------ x + -------) = 0 
 2 2 
 
 
 22 
 As raízes serão os valores que anulam os dois termos do produto. 
 
 Assim, x = 0 ou 
 
 –q q  q q  
------ x + ------- = 0  ------ x = -------  x =  
 2 2 2 2 
 
 "Carga Uniformemente Distribuída apresenta como gráfico de Momento Fletor, 
uma parábola do 2º grau". 
 
 Terá importância fundamental no dimensionamento, o valor do Momento Fletor 
Máximo, pois este será o valor utilizado. No caso em análise, percebemos que este valor 
ocorrerá no ponto médio entre os apoios, pois o vértice de uma parábola do 2º grau está no 
ponto médio entre as raízes. Contudo no caso geral, haverá outra maneira de encontrarmos o 
ponto onde ocorre o Momento Fletor Máximo e o seu valor. Para isto, derivemos a função 
Momento Fletor: 
 
 d M d –q q  d M q  
-------- = ------ ( ------ x 2 + ------- . x)  --------- = -------- – q x = Q 
 d x d x 2 2 d x 2 
 
 d M 
 Portanto --------- = Q 
 d x 
 
 Sabemos que, quando a derivada de uma função se anula, teremos para este ponto, o 
valor de máximo ou de mínimo (neste caso teremos máximo) da função principal. Portanto: 
 
 “O Momento máximo ocorrerá na abscissa de Cortante nulo”. 
 
 d M q  
------- = ------- – q x = Q = 0 
 d x 2 
 
 q   
------- = q x  x = ------ 
 2 2 
 
 Substituindo x = /2 na função momento, teremos: 
 
 –q q  
M S = ------ x
 2 + ------- . x 
 2 2 
 
 –q  2 q   –q  2 q  2 q  2 
M máx = ------ ----- + ------ . ---- = -------- + --------  M máx = -------- 
 2 4 2 2 8 4 8 
 
 23 
 Colocando tudo o que vimos num único desenho, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 2) CargaConcentrada 
 
 De forma semelhante ao que fizemos com 
o carregamento distribuído, resolveremos 
literalmente uma estrutura com carga concentrada, 
na busca de conclusões que facilitem o traçado para 
estruturas mais complexas. 
 
 Consideremos a estrutura ao lado: 
 
 
 
 
 Inicialmente, devemos calcular as reações de apoio, o que se faz através das 
equações de equilíbrio. 
 
 F H = 0  H = 0 
 F V = 0  V 1 – P + V 2 = 0 
  V 1 + V 2 = P 
 M A = 0  P . a – V 2 .  = 0 
  P . a = V 2 .  
 
 P a 
V 2 = ------- 
  
 
 Substituindo em: 
 
 
 P a P a 
V 1 + V 2 = P  V 1 + ------- = P  V 1 = P – -------  
   
 
 P  – P a P ( – a) P b 
V 1 = ---------------- = ----------------  V 1 = ------- 
    
 
 Para traçarmos o Diagrama de 
Cortante, chamemos o apoio à esquerda de 
ponto A, o apoio à direita de ponto B e o 
ponto de aplicação da carga P de ponto C. 
Já sabemos que o Cortante em A vale +V1 
e que o Cortante em B vale –V2 , pela 
nossa convenção de sinais. 
 
 
 
 
 
 25 
 
 P b 
Q A = +V 1 = -------- 
  
 
 P a 
Q B = –V 2 = – -------- 
  
 
 Porém, se utilizarmos o mesmo raciocínio 
do exemplo anterior, imaginando uma seção S, 
variável com x, observamos que não há variação de 
Cortante desde o ponto A até uma seção bem 
próxima de C, à esquerda. Da mesma maneira não 
haverá variação se começarmos pelo ponto B onde 
o Cortante vale –V 2 e caminharmos até bem 
próximo do ponto C, à direita. Desta forma o 
Diagrama de Cortante apresenta dois trechos 
constantes com uma descontinuidade igual ao valor 
da carga concentrada P. 
 
 No traçado do Diagrama de Momento 
Fletor, podemos verificar, de forma semelhante ao 
exemplo anterior que os valores em A e em B são 
iguais a zero. 
 
 Considerando a seção S, distando x do 
ponto A, teremos: 
 
M A = 0 
 
M B = 0 
 
 P b 
M S = V 1 . x = --------- . x 
  
 
 Equação de uma reta inclinada, pois varia 
linearmente com x. Para x = 0, isto é, S coincidindo 
com A, teremos M S = M A = 0. Para x = a, temos: 
 
 P b P b 
M S = M C = ------- . x = ------- . a 
   
 
 P a b 
M C = ---------- 
  
 
 Analisando o segundo trecho, teremos: 
 26 
 
M S = V 1 . x – P (x – a) 
 
 P b P b 
M S = ------- . x – P (x – a) = ------- . x – P x + P a 
   
 
 b b –  
M S = P x ( ----- – 1) + P a = P x ( ----------- ) + P a 
   
 
 Observamos que 
a + b =   a + b –  = 0  b –  = –a 
 
 – a – P a 
M S = P x ( ------- ) + P a = ---------- x + P a 
   
 
 P a 
M S = P a – -------- x 
  
 
 Equação de uma reta inclinada, pois 
varia linearmente com x. Para x = a, isto é, S 
coincidindo com C, teremos: 
 
 P a 
M S = M C = P a – -------- x 
  
 
 P a 
M S = M C = P a – -------- a 
  
 
 a 
M S = M C = P a (1 – ----- ) 
  
 
  – a 
M S = M C = P a ( ----------- ) 
  
 
 Como a + b =  , teremos: 
 
b =  – a , então: 
 
 P b a P a b 
M C = ----------- = ----------- 
   
 27 
 o que mostra que existe continuidade no traçado do Momento. Porém há um ponto 
de inflexão, caracterizado pela mudança de direção no diagrama. 
 
 Colocando tudo o que vimos num único desenho, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
Exemplo Resolvido – Traçar os diagramas de Cortante, Momento Fletor e Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução 
 
 O desenho que vem dado, é uma forma esquemática de representar a viga. 
Utilizamos o traço cheio que é a chapa (não é um nome muito bem dado. Ouvimos como 
chapa o que na denominação técnica é placa. Placa para engenheiros, são elementos que 
possuem duas dimensões bem maiores que a terceira. Uma laje por exemplo. Até no 
português mais popular, fala-se que a chapa do carro é ABC 1234 e o correto seria a placa do 
carro é ABC 1234) que simboliza um elemento estrutural capaz de resistir a pesos que 
colocamos sobre eles. Um conjunto de vigas que sustentam um viaduto por exemplo. 
Veículos que passam pelo viaduto descarregam seus pesos sobre eles. E nós estamos na estaca 
zero do estudo. Quando os veículos, sejam carros de passeio, caminhões e até trens e metrôs, 
passam sobre eles, a carga é móvel e nós estamos considerando ainda estas cargas como fixas. 
Disciplinas futuras irão ensinar a vocês o comportamento das vigas sob a ação de cargas 
móveis. Nós temos a certeza que esses elementos estruturais irão suportar essas cargas porque 
nós iremos determinar as dimensões e no caso do concreto, a quantidade de barras de aço que 
colocamos junto com o concreto para que suportem o carregamento. Os dois símbolos nos 
extremos, apoio fixo e apoio móvel (por enquanto tem que ser assim para que consigamos 
resolver a estrutura. Disciplinas futuras irão ensinar a vocês o comportamento das vigas com 
dois apoios fixos e com diversos apoios ao longo do comprimento delas) são os pilares. O 
esquema abaixo ilustra a simplificação que fazemos. Devemos ressaltar que todos os 
engenheiros aprenderam essa simbologia e a utilizam. Vocês irão para o mercado de trabalho 
sabendo essa simbologia. Ver foto abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
 A primeira etapa da resolução consiste em substituir as cargas distribuídas pelas 
cargas equivalentes e a retirada dos vínculos com a colocação das reações que eles aplicam. O 
valor da carga equivalente é igual ao produto do valor da carga distribuída, cuja unidade é a de 
força por comprimento, pelo comprimento noqual ela se distribui, ou seja, é igual à ÁREA da 
figura que representa o carregamento e sua linha de ação contém o CENTRO DE 
GRAVIDADE da figura que representa o carregamento. As reações nos vínculos dependem 
de como são estes vínculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Cálculo das reações de apoio 
 
 F H = 0  H – 3 = 0  H = 3 Tf 
 F V = 0  V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 + V 2 = 0 
  V 1 + V 2 = 23 
 M A = 0  6 x 1,5 + 9 x 4,5 + 4 x 7 + 2 x 8 + 2 x 9 – V 2 x 10 = 0 
 
 111,5 
111,5 = 10 V 2  ---------- = V 2  V 2 = 11,15 Tf 
 10 
 
V 1 + V 2 = 23  V 1 + 11,15 = 23  V 1 = 23 – 11,15 
 
V 1 = 11,85 Tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Diagrama de Cortante 
 
Cortante no ponto A (Q A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido 
 
 F V = 0  V 1 – Q A = 0  11,85 – Q A = 0  Q A = +11,85 Tf 
 
Destaquemos  F V = 0  +V1 – Q A = 0  Q A = +V 1 = +11,85 
 
Cortante no ponto B (Q B) 
 
 Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido 
 
 F V = 0  V 1 – 6 – Q B = 0  11,85 – 6 – Q B = 0  Q B = +5,85 Tf 
 
Destaquemos  F V = 0  +11,85 – 6 – Q B = 0 
 
 Q B = +11,85 – 6 = +5,85 
 
 
 
 
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos A e B, devemos observar o 
carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente Distribuída 
apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto, ligamos os valores obtidos 
por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho AB. 
 
Cortante no ponto C (Q C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido 
 
 F V = 0  V 1 – 6 – 9 – Q C = 0  11,85 – 6 – 9 – Q C = 0 
 
 Q C = –3,15 Tf 
 
Destaquemos  F V = 0  +11,85 – 6 – 9 – Q C = 0 
 
 Q C = +11,85 – 6 – 9 = –3,15 
 
 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos B e C, devemos observar o 
carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente Distribuída 
 32 
apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto, ligamos os valores obtidos 
por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho BC. 
 
Cortante no ponto D (Q D antes) 
 
 Devemos calcular dois valores: bem próximo de D, porém antes dele e em seguida 
bem próximo dele também, porém depois dele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido 
 
 F V = 0  V 1 – 6 – 9 – 4 – Q D antes = 0 
 
 11,85 – 6 – 9 – 4 – Q D antes = 0  Q D antes = –7,15 Tf 
 
Destaquemos  F V = 0  +11,85 – 6 – 9 – 4 – Q D antes = 0 
 
 Q D antes = +11,85 – 6 – 9 – 4 = –7,15 
 
 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos C e D antes , devemos observar 
o carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente Distribuída 
apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto, ligamos os valores obtidos 
por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho CD antes . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cortante no ponto D (Q D depois) 
 
 F V = 0  V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – Q D depois = 0 
 
 11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – Q D depois = 0  Q D depois = –9,15 Tf 
 
Destaquemos  F V = 0  +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – Q D depois = 0 
 
 Q D depois = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 = –9,15 
 
 Já o Cortante entre os pontos D antes e D depois , de acordo com as conclusões obtidas, 
apresenta uma descontinuidade, ou seja, os dois valores pertencem, praticamente à mesma reta 
vertical: temos o Diagrama entre os pontos D antes e D depois . 
 
Cortante no ponto E (Q E) 
 
 Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido 
 
 F V = 0  V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 – Q E = 0 
 
 11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 – Q E = 0  Q E = –11,15 Tf 
 
que é igual a V 2 , tornando possível verificar o fechamento do diagrama. 
 
Destaquemos  F V = 0  V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 – Q E = 0 
 
 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q E = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 = –11,15 
 
 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos D depois e E, devemos observar 
o carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente Distribuída 
apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto, ligamos os valores obtidos 
por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho D depois e E. 
 
 
 c) Diagrama de Momento Fletor 
 
Momento Fletor no ponto A (M A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
 Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido 
 
 M A = 0  V 1 x 0 – M A = 0  11,85 x 0 – M A = 0  M A = 0,0 Tf x m 
 
Momento Fletor no ponto B (M B) 
 
 Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido 
 
 M B = 0  V 1 x 3 – 6 x 1,5 – M B = 0 
 
 11,85 x 3 – 6 x 1,5 – M B = 0  M B = +26,55 Tf x m 
 
Destaquemos  M B = 0  11,85 x 3 – 6 x 1,5 – M B = 0 
 
 M B = 11,85 x 3 – 6 x 1,5  M B = +26,55 Tf x m 
 
 Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos A e B, devemos 
observar o carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente 
Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau, com a 
concavidade voltada para o carregamento. Portanto, ligamos os valores obtidos por uma 
Parábola do 
2º grau e 
temos o 
Diagrama no 
trecho AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor no ponto C (M C) 
 
 Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido 
 
 M C = 0  V 1 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 – M C = 0 
 
 11,85 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 – M C = 0  M C = +30,6 Tf x m 
 36 
 
Destaquemos  M C = 0  11,85 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 – M C = 0 
 
 M C = 11,85 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5  M C = +30,6 Tf x m 
 
 Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos B e C, devemos 
observar o carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente 
Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau, com a 
concavidade voltada para o carregamento. Portanto, ligamos os valores obtidos por uma 
Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor no ponto D (M D) 
 
 Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido 
 
 M D = 0  V 1 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 – M D = 0 
 
 11,85 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 – M C = 0  M D = +20,3 Tf x m 
 
Destaquemos  M D = 0  11,85 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 – M D = 0 
 
 M D = 11,85 x 8 – 6x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1  M D = +20,3 Tf x m 
 
 Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos C e D, devemos 
observar o carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente 
Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau, com a 
concavidade voltada para o carregamento. Portanto, ligamos os valores obtidos por uma 
Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho CD. 
 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor no ponto E (M E) 
 
 Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido 
 
 M E = 0  V 1 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 – M E = 0 
 
 11,85 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 – M E = 0 
 
 M E = 0,0 Tf x m 
 
Destaquemos 
 
 M E = 0  11,85 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 – M E = 0 
 
 M E = 11,85 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1  M E = 0,0 Tf x m 
 
 Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos D e E, devemos 
observar o carregamento e lembrarmos as conclusões obtidas. Carga Uniformemente 
Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau, com a 
concavidade voltada para o carregamento. Portanto, ligamos os valores obtidos por uma 
Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho DE. 
 
 
 
 
 
 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do Momento Máximo 
 
 O Momento Máximo sempre ocorre na abscissa onde o Cortante se anula. 
 Analisando o Diagrama de Cortante podemos calcular a distância x através da 
tangente do ângulo . 
 
 5,85 3,15 
tg  = --------- = ----------  x = 1,95 m 
 x (3 – x) 
 
 x 
M máx = 11,85 . (3 + x) – 6 . (1,5 + x) – 3 . x . ------ 
 2 
 
 1,95 
M máx = 11,85 . (3 + 1,95) – 6 . (1,5 + 1,95) – 3 . 1,95 . --------- 
 2 
 
M máx = 32,25 Tf x m 
 
 
 
 
 
 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) Diagrama de Normal 
 
Normal no ponto A (N A) 
 
 Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido 
 
 F H = 0  H + N A = 0  3 + N A = 0  N A = –3 Tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Normal no ponto B (N B) 
 
 Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido 
 
 F H = 0  H + N B = 0  3 + N B = 0  N B = –3 Tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. 
 
Normal no ponto C (N C) 
 
 Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido 
 
 F H = 0  H + N C = 0  3 + N C = 0  N C = –3 Tf 
 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. 
 
Normal no ponto D (N D) 
 
 Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido 
 
 F H = 0  H + N D = 0  3 + N D = 0  N D = –3 Tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. 
 
Normal no ponto E (N E) 
 
 42 
 Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido 
 
 F H = 0  H – N E = 0  3 – N E = 0  N E = –3 Tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. 
 
 Com o objetivo de agilizar o traçado dos diagramas observemos as expressões: 
 
 Q A = +V 1 = +11,85 
 
 Q B = +11,85 – 6 = +5,85 
 
 Q C = +11,85 – 6 – 9 = +5,85 – 9 = –3,15 
 
 Q D antes = +11,85 – 6 – 9 – 4 = –3,15 – 4 = –7,15 
 
 Q D depois = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 = –7,15 – 2 = –9,15 
 
 Q E = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 = –9,15 – 2 = –11,15 
 
 Isto é, podemos escrever: 
 
 Q NUM PONTO = Q ANTERIOR  VARIAÇÃO 
 
 Para o Normal também vale 
 43 
 
 N NUM PONTO = N ANTERIOR  VARIAÇÃO 
 
 Já para o Momento Fletor isto não é válido. 
 
 Reunindo todos os destaquemos que fizemos, podemos traçar os Diagramas de 
Esforços de uma forma mais rápida e eficiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
 A forma de resolver que iremos aplicar é mais rápida, como podemos ver abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das reações de apoio 
 
 F H = 0  H – 3 = 0  H = 3 Tf 
 F V = 0  V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 + V 2 = 0 
  V 1 + V 2 = 23 
 M A = 0  6 x 1,5 + 9 x 4,5 + 4 x 7 + 2 x 8 + 2 x 9 – V 2 x 10 = 0 
 
 111,5 
 111,5 = 10 V 2  ---------- = V 2 
 10 
V 2 = 11,15 Tf 
 
V 1 + V 2 = 23  V 1 + 11,15 = 23  V 1 = 23 – 11,15 
 
 V 1 = 11,85 Tf 
 
 
Diagrama de Cortante 
 
Q A = +11,85 
Q B = +11,85 – 6 = +5,85 
Q C = +5,85 – 9 = –3,15 
Q D antes = –3,15 – 4 = –7,15 
 45 
Q D depois = –7,15 – 2 = –9,15 
Q E = –9,15 – 2 = –11,15 
 
 
Diagrama de Momento Fletor 
 
M A = 0,0 (Extremo com Momento Aplicado). 
M B = 11,85 x 3 – 6 x 1,5 = +26,55 
M C = 11,85 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 = +30,6 
M D = 11,85 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 = +20,3 
M E = 0,0 (Extremo com Momento Aplicado). 
 
O fechamento do Diagrama de Momento Fletor pode ser verificado da forma mostrada 
abaixo: 
 
M A = 0,0 (Extremo com Momento Aplicado). 
M B = 11,15 x 7 – 9 x 1,5 – 4 x 4 – 2 x 5 – 2 x 6 = +26,55 
M C = 11,15 x 4 – 4 x 1 – 2 x 2 – 2 x 3 = +30,6 
M D = 11,15 x 2 – 2 x 1 = +20,3 
M E = 0,0 (Extremo com Momento Aplicado). 
 
Cálculo do Momento Máximo 
 
 5,85 3,15 
tg  = --------- = ----------  x = 1,95 m 
 x (3 – x) 
 
 x 
M máx = 11,85 . (3 + x) – 6 . (1,5 + x) – 3 . x . ------ 
 2 
 
 1,95 
M máx = 11,85 . (3 + 1,95) – 6 . (1,5 + 1,95) – 3 . 1,95 . ---------2 
 
M máx = 32,25 Tf x m 
 
Diagrama de Normal 
 
N A = –3 
N B = –3 ± 0 = –3 
N C = –3 ± 0 = –3 
N D = –3 ± 0 = –3 
N E = –3 ± 0 = –3 
 
 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
 
 Os Diagramas de Esforços mostram como o carregamento externo (peso próprio, 
revestimento das lajes, paredes, cobertura, móveis, no caso de habitações e cargas diversas no 
caso de depósitos) solicita o elemento estrutural. Para que este resista a esta solicitação é 
necessário dimensioná-lo. No caso do Concreto Armado, por exemplo, além das dimensões da 
seção transversal da estrutura, utilizamos barras longitudinais de Aço para resistir aos esforços 
Momentos e Normal e Estribos para esforços Cortantes e Torção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
 
 Exercício 
 
 Traçar os diagramas de Cortante, Momento Fletor e Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
 
Resolução 
 
a) Cálculo das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F H = 0  H = 0 
F V = 0  V 1 – 4 – 8 + V 2 – 4 = 0 
  V 1 + V 2 = 16 
M A = 0  4 x 2 + 8 x 4 – V 2 x 6 + 4 x 7 = 0 
  V 2 = 11,3333333333333333 Tf  V 2 = 11,33 Tf 
 V 1 + V 2 = 16  V 1 + 11,333333333 = 16 
 V 1 = 4,6666666666666 Tf  V 1 = 4,67 Tf 
 
 
b) Diagrama de Cortante 
 
Q A = +V 1 = +4,67 
Q B antes = +4,67  0 = +4,67 
Q B depois = +4,67 – 4 = +0,67 
Q C antes = +0,67 – 8 = –7,33 
Q C depois = –7,33 + 11,33 = +4,0 
Q D = +4,0 – 4 = 0,0 
 
 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diagrama de Momento Fletor 
 
M A = 0,0 (Extremo sem Momento Aplicado) 
M B = +4,67 x 2 = +9,34 ou 
M B = –4 x 5 + 11,33 x 4 – 8 x 2 = +9,32 
M C = –4 x 1 = –4,0 ou 
M C = +4,67 x 6 – 4 x 4 – 8 x 2 = –3,98 
M D = 0,0 (Extremo sem Momento Aplicado) 
 
d) Diagrama de Normal 
 
N A = 0,0 
N B antes = 0,0  0,0 = 0,0 
N B depois = 0,0  0,0 = 0,0 
N C antes = 0,0  0,0 = 0,0 
N D = 0,0  0,0 = 0,0 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do Momento Máximo 
 
 0,67 7,33 
tg  = ---------- = ----------  x = 0,33 m 
 x 4 – x 
 0,33 
M máx = +4,67 x 2,33 – 4 x 0,33 – 2 x 0,33 x ---------- = +9,45 Tf x m 
 2 
 52 
 Se desejarmos um traçado mais perfeito do diagrama de Momento Fletor para a 
carga uniformemente distribuída, podemos aplicar os conceitos abaixo: 
 
 1) Linha Auxiliar – Reta que une dois pontos de Momentos conhecidos. 
 
 2) Cálculo do Momento num ponto qualquer. 
 
 
 
 
 a 
 M S = +V 1 x a – q a x ------ 
 2 
 
 q  a 
 M S = + ------- x a – q a x ------ 
 2 2 
 
 q a 
 M S = + ------- x ( – a) 
 2 
 
 Como  – a = b 
 
 q a b 
 M S = + ---------- 
 2 
 
 
 
 
 
 Observar que conhecemos os Momentos em A e em B (no caso, nulos). Para um 
caso qualquer, por exemplo o 1º problema resolvido teremos: 
 
Cálculo dos valores dos Momentos Fletores 
 
 q . a . b 
 Aplicação da expressão M = ------------ para diversos a e b . 
 2 
 
 q . a . b 2 x 1 x 3 
a = 1 m ; b = 3 m  M = -------------- = -------------- = 3 Tf . m 
 2 2 
 
 q . a . b 2 x 2 x 2 
a = 2 m ; b = 2 m  M = -------------- = -------------- = 4 Tf . m 
 2 2 
 
 53 
 
 q . a . b 2 x 3 x 1 
a = 3 m ; b = 1 m  M = ------------- = -------------- = 3 Tf . m 
 2 2 
 
 q . a . b 2 x 0,5 x 3,5 
a = 0,5 m ; b = 3,5 m  M = ------------- = ------------------ = 1,75 Tf . m 
 2 2 
 
 q . a . b 2 x 1,5 x 2,5 
a = 1,5 m ; b = 2,5 m  M = -------------- = ------------------ = 3,75 Tf . m 
 2 2 
 
 q . a . b2 x 0,33 x 3,67 
a = 0,33 m ; b = 3,67 m  M = ------------- = --------------------- = 1,22 Tf . m 
 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nas estruturas mais complexas, esta análise se toma por demais trabalhosa, por isso, 
a partir dos exemplos anteriores tiraremos algumas conclusões para facilitar o nosso trabalho: 
 
 a) Carga Uniformemente Distribuída apresenta o Diagrama de Cortante em forma de 
reta inclinada e Diagrama de Momento Fletor em forma de parábola do 2 o grau, com a 
concavidade voltada para o carregamento. 
 
 b) Carga Concentrada apresenta como Diagrama de Cortante trechos de retas 
paralelas ao eixo da estrutura, com descontinuidade nos pontos de aplicação das cargas e 
Diagrama de Momento Fletor em forma de reta inclinada com ponto de inflexão nos locais de 
aplicação das cargas. 
 
 54 
 Quando os dois carregamentos ocorrem simultaneamente, prevalece a forma da 
função de maior grau. 
 
 Em qualquer caso, a derivada do Momento Fletor resulta no Cortante e a derivada do 
Cortante resulta no carregamento com o sinal trocado. Desta forma, temos Carregamento, 
Cortante e Momento Fletor em ordem crescente de grau de função. 
 
 No primeiro caso, o carregamento era constante, isto é, função de grau zero, o 
Cortante foi função de grau um e o Momento Fletor, função de grau dois. 
 
 No segundo caso, o carregamento não apresentava grau, ou seja, não havia função 
que o representasse, o Cortante foi de grau zero e o Momento de grau um. 
 
Estruturas com engaste. Carregamento linearmente distribuído 
 
 Traçar os diagramas de esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo das reações de apoio 
 F H = 0  H – 3 = 0  H = 3 Tf 
 F V = 0  V 1 – 2 – 2 – 3 = 0  V 1 = 7 Tf 
 M A = 0  M – 2 x 1 – 2 x 2 – 3 x 3,5 = 0 m  M = 16,5 Tf x m 
 55 
b) Diagrama de Cortante 
 
Q A = +V 1 = 7 
Q B antes = +7 – 2 = +5 
Q B depois = +5 – 2 = +3 
Q C = +3 – 3 = 0 
 
c) Diagrama de Momento Fletor 
 
M A = –M = –16,5 (Extremo com Momento Aplicado) 
M B = –16,5 + 7 x 2 – 2 x 1 = –4,5 
M C = 0,0 (Extremo sem Momento Aplicado) 
 
d) Diagrama de Normal 
 
N A = –3,0 
N B antes = –3,0 
N B depois = –3,0 
N C = –3,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
 3) Carga Linearmente Distribuída 
 
 Este tipo de carregamento apresenta a carga distribuída com valor variável ao longo 
do comprimento da chapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F H = 0  H = 0 
 q  q  
 F V = 0  V 1 – ------ + V 2 = 0  V 1 + V 2 = -------- 
 2 2 
 
 q  2  
 M A = 0  ------- . ------- – V 2 .  = 0 
 2 3 
 
 q  .  q  
---------- = V 2 .   V 2 = ------- 
 3 3 
 
 q  
 Substituindo em V 1 + V 2 = ------- 
 2 
 
 q  q  q  q  3 q  – 2 q  
V 1 + ------- = -------  V 1 = ------- – ------- = --------------------- 
 3 2 2 3 6 
 
 q  q  
V 1 = ------- e V 2 = ------- 
 6 3 
 57 
 De modo semelhante ao que fizemos com o carregamento uniformemente 
distribuído, encontraremos a carga equivalente e a localizaremos. Colocaremos também as 
reações de apoio. 
 
 Para obter a função que 
descreve o Cortante, calcularemos o valor 
dele numa seção variável S, distando x do 
apoio A. 
 
 Neste caso, é necessário obter o 
valor de q’, uma vez que o carregamento 
é variável com x. 
 
 
 Calculando o cortante na seção 
S temos: 
 
 q  q ’ x 
Q S = -------- – --------- 
 6 2 
 
 q q’ 
tg  = ------ = ------ 
  x 
 
 x 
q’ = q . ------ 
  
 
 q  q . x . x 
Q S = ------- – ------------- 
 6 2  
 
 q  q . x 2 
Q S = ------- – ----------- 
 6 2  
 
 que é a equação de uma parábola do 2º grau. 
 
 Para obter a função que descreve o Momento Fletor, procederemos de modo análogo 
aos carregamentos anteriores, o cálculo dos momentos em A e em B, resultarão iguais a zero. 
 
 Já o momento na seção S fica: 
 
 q ’ x x q  q ’ x 2 
M S = V 1 . x – -------- . ------ = ------- . x – ---------- 
 2 3 6 6 
 
 
 58 
 q  q x x 2 x q . x 3 
M S = ------- . x – -------- . ------ = q  . ------ – ---------- 
 6  6 6 6  
 
 q  x q x 3 
M S = --------- – ---------- 
 6 6  
 
 Equação de uma Parábola do 
3º grau. 
 
 As raízes desta equação serão 
x = 0 e x = . 
 
 Vale observar que continua a 
relação de que a derivada do Momento 
Fletor resulta na função do Cortante e 
que a derivada do Cortante é igual ao 
carregamento com o sinal trocado. 
 Traçando os diagramas, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
 Derivando a função Momento, temos: 
 
 q  x q x 3 
M S = --------- – ---------- 
 6 6  
 
 d M d q  x q x 3 
-------- =------ (--------- – ----------) 
 d x d x 6 6  
 
 d M q  q x 2 
-------- = -------- – ---------- que é igual à função Q S . 
 d x 6 2  
 
 d M 
 Ou seja, continuamos a ter -------- = Q 
 d x 
 
 O Momento máximo ocorrerá na abscissa de cortante nulo. Lembrando que o ponto 
de máximo de uma função ocorre onde a derivada primeira se anula. 
 
 q  q . x 2 q  q . x 2 
 Q S = ------- – ---------- = 0  ------- = ---------- 
 6 2  6 2  
 
 2  2  2  
 x 2 = --------  x 2 = ------  x = ------  x = /3  x = 0,5774  
 6 3 3 
 
 O valor do Momento máximo, será o valor de M S para x = 0,5774  
 q  x q x 3 
M S = --------- – ---------- 
 6 6  
 
 q  (/3) q (/3) 3 q  2 q  3 
M máx = ---------------- – -------------- = ---------- – ------------ 
 6 6  6 3 6  3 3 
 
 q  2 q  2 q  2 q  2 
M máx = ---------- – -------------- = ---------- – ----------- 
 6 3 6 3 2 3 6 3 6 x 3 3 
 
 q  2 q  2 3 q  2 – q  2 3 2 q  2 q  2 
M máx = ---------- – ----------- = --------------------- = ----------- = ---------- 
 6 3 18 3 18 3 18 3 9 3 
 
 q  2 
M máx = ----------- 
 15,59 
 60 
 Exemplo – Traçar os diagramas de esforços. 
 
 
Resolução 
Inicialmente devemos substituir o carregamento distribuído por cargas equivalentes e retirar 
os vínculos e aplicar as reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor da carga equivalente a um carregamento distribuído é igual à área da figura que 
representa o carregamento e está aplicado no Centro de Gravidade. No primeiro trecho, temos 
2 Tf/m distribuídos em 2 m. A área do retângulo que representa esse carregamento é 2 Tf/m x 
2 m = 4 Tf e estará aplicada no centro de gravidade do retângulo, ou seja, 1 m a partir do 
 61 
extremos e 1 m à esquerda do apoio fixo. Colocamos letras em cada ponto onde existem 
linhas de cotas. O trecho BC, iremos fazer separadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos ainda considerar as cargas concentradas da forma que vieram. Fazendo para os 
outros trechos, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62 
O carregamento distribuído no trecho BC, com valores diferentes de zero nos extremos (em 
forma de trapézio pode ser entendido como a soma de um uniformemente distribuído com um 
linearmente distribuído). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculamos as áreas das duas figuras, retângulo e triângulo e as situamos nos respectivos 
centros de gravidades. Levamos então, as duas cargas equivalentes para a figura dada, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
Passamos agora ao cálculo das reações de apoio 
 
 F H = 0  H – 4 – 1 = 0  H = 5 Tf 
(Adotamos o sentido para a direita como positivo). 
 
 F V = 0  – 4 + V 1 – 6 – 3 – 5 – 3 – 6 + V 2 – 4 – 1 = 0 
  V 1 + V 2 = 32 
(Adotamos o sentido para cima como positivo). 
 
 M B = 0  – 4 x 1 + 6 x 1,5 + 3 x 2 + 5 x 4,5 + 3 x 6 + 6 x 7 – V 2 x 8 + 
+ 4 x 9 + 1 x 10 + 4 x 1 + 1 x 2 = 0 
 
(Adotamos o sentido horário como positivo). 
Observamos que as duas forças horizontais tendem a girar em torno do ponto B , no sentido 
horário, razão pela qual são consideradas positivas. E a distancia da linha de ação da força 
igual a 4 Tf até o ponto B é 1 m. Já a distancia da linha de ação da força igual a 1 Tf até o 
ponto B é 2 m. 
 
 V 2 = 18,1875 Tf  V 2 = 18,19 Tf 
V 1 + V 2 = 32  V 1 + 18,1875 = 32 
 V 1 = 13,8125 Tf  V 1 = 13,81 Tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 64 
a) Diagrama de Cortante 
 
Q A = 0,0 
Q B antes = 0,0 – 4 = –4,0 
Q B depois = –4,0 + 13,81 = +9,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q C = +9,81 – 6 – 3 = +0,81 
 
Para ligarmos o valor igual a 9,81 ao valor 0,81, devemos observar o carregamento e lembrar 
das conclusões obtidas. Carga linearmente distribuída apresenta Diagrama de Cortante como 
parábola do 2º grau. 
 
 
 
 
Nos demais pontos teremos: 
 65 
 
Q D antes = +0,81  0 = +0,81 
Q D depois = +0,81 – 5 = –4,19 
Q E antes = –4,19 – 0 = –4,19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q E depois = –4,19 – 3 = –7,19 
Q F antes = –7,19 – 6 = –13,19 
Q F depois = –13,19 + 18,19 = +5 
Q G horizontal = +5 – 4 = +1 
 
 
 
 
 
 66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E no trecho GH, que é vertical (é uma dobra na estrutura), os esforços cortantes serão forças 
horizontais. Cortantes são esforços perpendiculares ao eixo da estrutura. Trecho horizontal, 
cortantes são verticais. Trecho vertical, cortantes são horizontais. 
 
Q G vertical = +H = +5 
Q H = +5 – 4 = +1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Diagrama de Momento Fletor 
 
M A = 0,0 (Extremo sem Momento Aplicado) 
M B = –4 x 1 = –4,0 
M C = –4 x 4 + 13,81 x 3 – 6 x 1,5 – 3 x 1 = +13,43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste trecho BC o gráfico é de uma parábola do 3º grau, mas desenhado a mão livre, é uma 
curva comum. 
 
 
 69 
M D = –4 x 5,5 + 13,81 x 4,5 – 6 x 3 – 3 x 2,5 = +14,645 
M E = +18,19 x 2 – 6 x 1 – 4 x 3 – 1 x 4 – 4 x 1 – 1 x 2 = +8,38 
M F = –4 x 1 – 1 x 2 – 4 x 1 – 1 x 2 = –12,0 
M G = –4 x 1 – 1 x 2 = –6,0 
 
Nos trechos CD e DE teremos o Diagrama de Momento Fletor em forma de retas inclinadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 
No trecho GH vertical, o Momento Fletor em G é o mesmo, considerando-o no trecho 
horizontal ou considerando-o no trecho vertical. 
 
M G = –4 x 1 –