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Matemática – 7º ano – 1º bimestre – Plano de desenvolvimento – 1ª sequência didática
	
	Sequência didática
Múltiplos e divisores
Nesta sequência didática, será abordada a resolução de problemas envolvendo o conceito de múltiplos e divisores, procurando mostrar conceito e aplicação.
A BNCC na sala de aula
	Objetos de conhecimento
	Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal.
	Competências específicas
	5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
	Habilidades
	(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
	Objetivo de aprendizagem
	Resolver problemas com números naturais envolvendo as noções de divisor e múltiplo.
	Conteúdos
	Múltiplos e divisores de um número natural.
Materiais e recursos
Régua.
Transferidor.
Desenvolvimento
Quantidade de aulas: 2.
Aula 1
Iniciar a aula organizando os alunos em grupos de quatro integrantes. Disponibilizar objetos como tampinhas de garrafa, lacre de latas de alumínio, botões ou clips para que eles possam manipular, experimentar e usar como auxílio para respostas, caso sintam necessidade.
Propor a seguinte questão:
Helena preparou 60 brigadeiros para vender nas lojas do centro da cidade. Ela pretende embalá-los em, no máximo, 12 caixas e deseja que todas as caixas tenham a mesma quantidade de brigadeiros. Como ela poderá organizar os brigadeiros?
Determinar um tempo para que os alunos discutam e estabeleçam uma estratégia para resolução da situação-problema proposta. Caso eles determinem apenas uma solução, perguntar se não há outra possibilidade, deixando um tempo para que possam pensar e discutir a respeito.
Após todas as equipes concluírem a atividade, conversar com os alunos procurando identificar as respostas dos grupos e as estratégias empregadas na solução do problema. 
Para isso, uma possibilidade é escrever na lousa um quadro com os números de 1 a 12 (quantidade máxima 12) e assinalar se é possível ou não organizar os 60 brigadeiros, como a seguir. Para ampliar um pouco mais, é possível escrever quantas caixas serão utilizadas e, caso não seja possível, quantos brigadeiros restarão.
	Quantidade de caixas
	Unidades por caixa
	1
	60
	2
	30
	3
	20
	4
	15
	5
	12
	6
	10
	7
	Restarão 4.
	8
	Restarão 4.
	9
	Restarão 6.
	10
	6
	11
	Restarão 5.
	12
	5
Aproveitar e retomar com os alunos o conceito de divisor. Reforçar que 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 e 12 são divisores de 60. Perguntar, em seguida, se existem outros divisores de 60. Espera-se que os alunos concluam que sim, porém não foram listados, pois são maiores que 12. A lista completa com os divisores de 60 é: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
Depois, propor atividades como as disponibilizadas a seguir e planejar um momento da aula para que os alunos expliquem as estratégias utilizadas na resolução de cada situação-problema.
1. Os atletas de uma escola vão fazer uma pequena viagem para participar dos jogos estaduais. Os professores resolveram encomendar um lanche para os alunos. Eles distribuíram a mesma quantidade de sanduíches e a mesma quantidade de frutas para todos os atletas. 
a) Qual a quantidade máxima de atletas que viajaram, sabendo que foram distribuídos 24 sanduíches doces e 36 frutas?
A quantidade máxima de atletas é 12. Como foi distribuída a mesma quantidade de sanduíches para cada atleta, é possível que se tenha 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24 atletas. Na distribuição das frutas é possível que se tenha 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18 ou 36 atletas. Reparar a quantidade máxima de atletas que viajaram corresponde ao maior divisor comum de 24 e de 36, que é 12.
b) Quantos sanduíches e quantas frutas cada atleta recebeu?
Cada atleta recebeu 2 sanduíches e 3 frutas.
2. Os moradores de uma cidade observaram que as três linhas de ônibus que partem do terminal e passam pelo posto de saúde, em determinados horários, saem ao mesmo tempo de sua origem. A primeira linha começa a operar às 6h40 da manhã, quando parte seu primeiro ônibus, e os demais partem do terminal a cada 40 minutos. Na segunda linha, o primeiro ônibus começa operar às 6h30 e os ônibus seguintes saem a cada 30 minutos. A terceira linha começa a operar às 6h e os ônibus seguintes saem a cada 30 minutos. Após a meia-noite não há saídas de ônibus do terminal.
a) Quantas partidas de ônibus, da terceira linha, ocorrem até às 12h15?
São 13 partidas até as 12h15 (6h, 6h30, 7h, 7h30, 8h, 8h30, 9h, 9 h30, 10h, 1 h30, 11h, 11h 30, 12 h 00 min).
b) Em qual horário acontece a primeira partida simultânea?
A primeira partida simultânea ocorre às 8h.
c) Quantas partidas simultâneas ocorrem ao longo do dia?
Ao longo do dia, serão 9 partidas simultâneas (8h, 10h, 12h, 14h, 16h, 18h, 20h, 22, 00h).
Aula 2
Iniciar a aula disponibilizando um círculo, conforme indicado no modelo a seguir, explicando aos alunos que cada uma das três atividades desta aula deverá ser realizada em um círculo diferente. 
Elaborado pelo autor.
Em seguida, pedir aos alunos que observem que, no círculo, foram destacados alguns pontos e que a distância entre eles é a mesma.
Solicitar então que, utilizando uma régua, unam os pontos do círculo um a um, seguindo a sequência numérica 1, 2, 3, 4, 5, ... Ao final, deverão fechar a figura. Perguntar: 
Qual o polígono formado? 
Quantos lados tem esse polígono? 
O que se pode afirmar sobre os lados desse polígono? 
Algum ponto não foi utilizado? 
Espera-se que os alunos observem que todos os pontos foram utilizados, que o polígono é um octógono que possui 8 lados e, nesse caso, de lados congruentes.
Elaborado pelo autor.
Exemplo de figura formada ao unir os pontos.
Em seguida, indicar para que repitam o processo em outro círculo idêntico ao primeiro, porém unindo os pontos de acordo com a sequência numérica 1, 4, 7, 2, ... É conveniente certificar-se de que eles compreenderam a sequência a ser seguida. Assim, antes de iniciar os traçados, perguntar: 
Qual o próximo ponto? 
O próximo ponto será 5.
Com você explicaria essa sequência a um colega? 
Resposta pessoal. Uma possibilidade é dizer para "pegar um ponto e pular dois".
A figura a seguir mostra o resultado esperado para o segundo círculo, após traçar os segmentos unindo os pontos, conforme a sequência indicada.
Elaborado pelo autor.
Exemplo de figura formada ao unir ordenadamente os pontos 1, 4, 7, 2 etc.
Explicar aos alunos que a figura obtida é um polígono estrelado, uma figura poligonal fechada não simples em que é possível percorrer todo o seu traçado terminando no ponto inicial.
Demostrar aos alunos então como obter um polígono estrelado de nove pontas sem ser por meio de tentativas. Desafiá-los a seguir as orientações.
1° passo: Marcar 9 pontos na circunferência.
A circunferência deverá ter nove pontos indicados sobre ela e a distância entre dois pontos consecutivos deverá ser a mesma.
2° passo: Determinar de quantas maneiras diferentes será possível unir os pontos.
A circunferência tem 9 pontos. É possível unir os pontos 1 a 1, ou seja, os pontos consecutivos (o resultado é um polígono convexo), mas também é possível unir os pontos 2 a 2, 3 a 3 até 9 a 9.
3° passo: Determinar quais das opções resultam em polígonos estrelados.
A circunferência tem 9 pontos em destaque. É preciso determinar o MDC entre 9 e as quantidades determinadas no passo anterior. Isso pode ser feito de diversas formas, dentre elas:
	D(2) = {1,2}
	D(3) = {1,3}
	D(4) = {1, 2, 4}
	D(5) = {1, 5}
	D(6) = {1, 2, 3, 6}
	D(7) = {1,7}
	D(8) = {1, 8}
	D(9) = {1, 3, 9}
	
Apenas aqueles pontos, cujo mdc entre o número que o indica e 9 é igual a 1, oferecem a possibilidade de se obter um polígono estrelado, ou seja, 2, 4, 5, 8.
	
Elaboradopelo autor.
Unindo os pontos de 2 em 2.
	
Elaborado pelo autor.
Unindo os pontos de 4 em 4 ou 5 em 5.
Desafiar os alunos para que desenhem um polígono estrelado, auxiliando-os, caso necessário. Disponibilizar, para isso, um círculo conforme o modelo a seguir:
Elaborado pelo autor.
Depois que a atividade for concluída, as criações podem ser compartilhadas entre todos os alunos da sala.
Para trabalhar dúvidas
Caso algum aluno apresente dificuldade para resolver problemas envolvendo múltiplos e divisores, oferecer materiais manipuláveis, como tampinhas de garrafa, para que eles possam simular e perceber na prática o sentido de múltiplo e de divisor.
Se tiverem dúvidas ao representar os polígonos, determinar inicialmente o MDC entre dois números quaisquer. Para tanto, identificar os divisores de cada um dos números e, na sequência, seus divisores comuns e, dentre eles, o maior. Na sequência, verificar se os alunos percebem quais as possibilidades capazes de gerar um polígono estrelado. Caso negativo, permitir que façam por tentativas. Ao obter os polígonos estrelados, retomar o conceito do MDC.
Avaliação
Observar se os alunos foram capazes de determinar os múltiplos e divisores de um número e aplicar esses conceitos na resolução de problemas.
Verificar se os alunos perceberam que, nem sempre, ao ligar os pontos destacados em um círculo, obtém-se polígonos estrelados e que isso depende do MDC entre a quantidade de pontos e n, onde "n a n" significa a forma com que os pontos foram unidos.
As atividades a seguir podem contribuir com essa avaliação:
1. Para decorar o salão de festas, Daiane separou 36 bexigas brancas e 30 amarelas. Ela decidiu fazer arranjos com a mesma quantidade de bexigas brancas e amarelas em cada um. Nessas condições, qual é o maior número de arranjos que ela pode preparar?
O maior número é de 6 arranjos. Pois, D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} e D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e mdc (36,30) = 6.
2. Leo ganhou um passaporte para um parque de diversões. Chegando, observou que cada rodada do carrinho bate-bate iniciava a cada 10 minutos, a roda-gigante começava seu movimento com uma nova turma a cada 12 minutos e as partidas da montanha-russa aconteciam a cada 8 minutos. Se às 17 horas, todos esses brinquedos começaram a funcionar, dentro de quanto tempo o início será simultâneo?
Dentro de 2 horas, pois o mmc (8, 10, 12) = 120.
Ampliação
A escola pitagórica, fundada por Pitágoras, em Crótona, tinha como símbolo um pentagrama, um polígono estrelado de 5 pontas. Pode-se propor aos alunos que pesquisem sobre o símbolo da escola pitagórica e reproduzam-no. Para tanto, eles poderão seguir os seguintes passos:
1) Dividir uma circunferência em 5 partes marcando 5 pontos (os alunos poderão utilizar o transferidor e fazer marcações estabelecendo ângulos de 72°)
2) Identificar como poderão unir os pontos (de 2 em 2).
3) Traçar o polígono estrelado.
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Material disponibilizado em licença aberta do tipo Creative Commons – Atribuição não comercial
(CC BY NC – 4.0 International). Permitida a criação de obra derivada com fins não comerciais,
desde que seja atribuído crédito autoral e as criações sejam licenciadas sob os mesmos parâmetros.
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