Aula9_ESTRUTURAS MET E MADEIRA

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IBMR

Rafael Infante

01/04/2022

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Estruturas Metálicas e de Madeira

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Estruturas de Madeira e Aço com BIM
Elementos Comprimidos
Michael Leone Madureira de Souza
michael.souza@ibmr.br
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1 Introdução
2 Peças Comprimidas de Seção Simples
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Introdução
Conceitos
Peças comprimidas são encontradas em componentes de treliças,
sistemas de contraventamento, além de colunas ou pilares isolados ou
pertencentes a pórticos.
As peças de madeira, comprimidas na direção das fibras, podem ser
constitúıdas de seções transversais simples ou compostas e têm
dimensões ḿınimas construtivas especificadas nas normas.
Usualmente elementos comprimidos são compostos de seção:
a) maciça de madeira roliça;
b) maciça de madeira lavrada, em geral retangular entre 20 cm e 40 cm;
c) maciça de madeira serrada;
d) maciça de madeira laminada colada com seções retangulares, I ou T;
e) composta de madeiras roliças ligadas com talas;
f) composta de madeiras serradas ou laminadas com ligação cont́ınua nas
interfaces;
g) composta de madeiras serradas ou laminadas com ligação descont́ınua
entre as peças.
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Introdução
Conceitos
Figure: Seções transversais de peças comprimidas de madeira.
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Introdução
Conceitos
Ao ser comprimida axialmente uma coluna esbelta apresenta uma
tendência ao deslocamento lateral, denominado flambagem por
flexão.
Este tipo de instabilidade se caracteriza pela interação entre o esforço
axial e a deformação lateral, de forma que a resistência final da
coluna não depende apenas da resistência do material mas também
de sua rigidez à flexão, EI.
No caso idel de uma coluna birrotulada, de comprimento l,
perfeitamente retiĺınea, com carga centrada e material elástico, Euler
demonstrou que para uma carga maior que Ncr não é mais posśıvel o
equiĺıbrio na configuração retiĺınea.
Neste cenário aparecem deslocamento laterais e a coluna fica sujeita à
flexocompressão.
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Introdução
Conceitos
Essa carga, denominada carga cŕıtica, é calculada por:
Ncr =
π2E I
l2
onde Pcr é a carga cŕıtica, E é o módulo de elasticidade, I é o
momento de inércia e l é o comprimento da coluna.
Entretanto, as colunas reais não correspondem às hipóteses
associadas ao cálculo de Euler e portanto não se comportam de
acordo com sua previsão.
Diversos fatores influenciam o comportamento das colunas reais até a
ruptura. É posśıvel citar os processos construtivos e de fabricação das
peças em função dos quais não se pode garantir retilinidade das peças
e nem a centralização do carregamento.
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Introdução
Conceitos
(a) Imperfeição geométrica
(b) Excentricidade no carregamento.
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Introdução
Conceitos
Em casos de imperfeições geométricas iniciais (δ0) e de excentricidade
de carga (ei), como o ilustrado, o processo de flambagem se dá com
a flexão da coluna desde o ińıcio do carregamento.
Outro aspecto que influencia a resistência da coluna diz respeito ao
tipo de diagrama σ × ε do material. No caso da madeira o
comportamento em tração é praticamente linear (regime elástico) até
a ruptura o que não ocorre na compressão (não-linear).
(a) Ensaio de compressão da madeira. (b) Ensaio de tração da madeira.
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Introdução
Conceitos
Figure: Gráfico carga axial e deslocamento horizontal.
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Introdução
Conceitos
Dividindo-se a carga cŕıtica Ncr pela área da seção da coluna A,
obtém-se a tensão cŕıtica:
fcr =
Ncr
A
=
π2E
(l/i)2
onde fcr é a tensão cŕıtica de compressão, l/i é o ı́ndice de esbeltez
da coluna, l é o comprimento de flambagem e i o raio de giração,
calculado por i =
√
I
A .
A tensão nominal última f ′c é obtida dividindo-se a carga última (de
ruptura) Pc pela área da seção transversal.
f ′c =
Nc
A
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Introdução
Conceitos
A resistência de uma coluna pode ser representada como uma função
de seu ı́ndice de esbeltez. Para colunas muito curtas (baixo l/i), não
ocorre flambagem e a tensão resistente nominal f ′c é igual à tensão
resistente à compressão do material fc.
Para colunas esbeltas a resistência é dada por f ′c onde Nc contempla
todos os efeitos redutores da carga última em relação à carga cŕıtica.
Na curva de flambagem pode-se distinguir três tipos de colunas:
1) colunas esbeltas: valores elevados de l/i para as quais a flambagem
ocorre em regime elástico e a resistência f ′c aproxima-se de fcr.
2) colunas de esbeltez intermediária: as imperfeições geométricas e a
não-linearidade f́ısica (do material) reduzem a resistência.
3) colunas curtas: valores baixos de l/i para as quais a tensão resistente é
tomada igual a tensão resistente a compressão do material.
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Introdução
Conceitos
Figure: Variação da resistência de uma peça comprimida em função do ı́ndice de
esbeltez l/i.
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Introdução
Conceitos
É necessário relembrar que para demais condições de apoio das
colunas o comprimento de flambagem é dado em função do
coeficiente K.
Figure: Coeficientes K de flambagem. lef = K · l, onde lef é o comprimento de
flambagem, K o coeficiente e l o comprimento da coluna.
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1 Introdução
2 Peças Comprimidas de Seção Simples
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Conceitos
Em uma determinada seção de uma coluna curta atuam esforço
normal N e momento fletor M .
Admitindo-se que o material apresenta diagrama σ × ε linear, as
tensões normais devidas ao esforço normal, σN e ao momento fletor
σM podem ser superpostas.
O limite de resistência se dá quando a tensão máxima atinge a tensão
resistente f do material para o par de esforços (N, M) e pode ser
expresso por:
σN + σm = f ,
σN
f
+
σM
f
= 1 ,
N
Nc
+
M
Mu
= 1
onde Nc = A · f e Mu =W · f representam os esforços de ruptura nos
casos de compressão simples e flexão simples respectivamente.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Conceitos
O limite de resistência das equações anteriores se aplica a uma seção
de madeira sujeita à flexotração pois em tração a madeira apresenta
comportamento linear-elástico.
Por outro lado, como a madeira tem comportamento inelástico em
compressão, a superposição das tensões normais devidas ao esforço
normal e ao momento fletor só é válida até uma tensão limite de
proporcionalidade, não podendo ser aplicada na ruptura.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Conceitos
Figure: Resistência de uma seção sujeita à flexocompressão: (a) material elástico
e (b) material inelástico.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Conceitos
Diversos pares de esforços que causam a ruptura de uma seção estão
representados no gráfico abaixo.
Nos casos de flexão simples (N = 0) e compressão simples (M = 0),
os esforços de ruptura, Mu e Nc dadas por Nc = A · f e Mu =W · f .
As curvas da análise plástica e curva travejada referem-se a uma
seção de coluna curta (sem efeito de flambagem). Para as colunas em
que há efeito de flambagem, a curva representativa aproxima-se da
interação linear.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Conceitos
Figure: Curva de interação entre esforço axial e momento fletor.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Conceitos
Existe uma fixação de limite superior ao ı́ndice de esbeltez para que
sejam evitadas estruturas muito flex́ıveis. De acordo com a NBR 7190
o valor máximo de esbeltez é dado por:
lef/i ≤ 140
Do ponto de vista da resistência, o ı́ndice de esbeltez determina três
tipos de coluna para os quais a NBR 7190 atribui os seguintes limites:
1) colunas curtas: 0 < lef/i < 40;
2) colunas medianamente esbeltas: 40 < lef/i < 80;
3) colunas esbeltas: 80 < lef/i < 140 (fora do escopo do curso).
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Peças Curtas
Para colunas curtas (lef/i < 40) não é preciso considerar a redução
de resistência à compressão devido ao processo de flambagem. A
resistência da coluna curta é igual a resistênciada seção mais
solicitada.
Portanto, considerando apenas compressão simples:
σNd =
Nd
A
≤ fcd
onde σNd é a tensão solicitante, Pd é a força axial de compressão, A
é a área da seção transversal e fcd é a resistência a compressão
paralela às fibras da madeira.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Peças Curtas
A resistência das seções mais solicitadas de peças curtas sujeitas à
flexão composta reta (Md , Nd) é verificada no estado limite último
com a seguinte expressão:(
σNd
fcd
)2
+
σMd
fcd
≤ 1
onde σMd é a tensão máxima de compressão devida ao momento
fletor, Md de projeto.
Esta equação mantém o formato para considerar a não-linearidade do
diagrama σ× ε da madeira em compressão e o consequente acréscimo
de resistência em relação ao material de comportamento elástico.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Peças Medianamente Esbeltas
Nas peças comprimidas com esbeltez intermediária (40 ≤ lef/i < 80)
a resistência é afetada pela ocorrência de flambagem, incluindo os
efeitos de imperfeições geométricas e da não-linearidade do material.
No caso de peças sujeitas à compressão simples, a verificação de
segurança pode ser feita de acordo com duas abordagens:
* através das curvas de flambagem nas quais a tensão resistente f ′c
(menor que fc e fcr) já leva em conta o efeito das imperfeições
geométricas e da não-linearidade do material;
* através de equação de interação de esforço normal e momento fletor na
qual o efeito de imperfeições geométricas é explicitado no cálculo das
solicitações.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Peças Medianamente Esbeltas
Segundo a NBR 7190 o dimensionamento é feito para
flexocompressão mesmo no caso de peça sujeita à compressão simples,
como é usual em estruturas de concreto armado e protendido.
O efeito das imperfeições geométricas é considerado através de uma
excentricidade acidental ea da carga, cujo valor ḿınimo é dado por:
ea =
lef
300
O esforço normal de projeto Nd atuando com excentricidade ea
resultará um momento fletor máximo de projeto dada por:
Md = Nd ea
Ncr
Ncr −Nd
, Ncr =
π2Ec ef I
l2ef
, Ec ef = kmod · Ec0
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Peças Medianamente Esbeltas
Com Md e Nd calculam-se, respectivamente, as tensões σMd e σNd e
verifica-se a condição de segurança à compressão com flambagem (
condição de estabilidade) pela equação de interação linear:
σNd
fcd
+
σMd
fcd
≤ 1
Essa verificação deve ser aplicada a cada plano de flambagem de
forma independente, a menos que em um dos planos lef/i < 40,
quando é dispensada a inclusão do efeito de flambagem na resistência
da peça.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Peças Medianamente Esbeltas
Figure: Planos de flambagem.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 1
Exemplo 1: Suponha uma coluna de pinho-do paraná com seção
quadrada (7,5 cm x 7,5 cm) de 2a categoria, sujeito à compressão
simples de longa duração que será executada em região com umidade
relativa de 70 %. Nesse cenário, calcule a carga máxima de projeto
Nd para diversos comprimentos de flambagem.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 1
Propriedades mecânicas:
fck = 0, 7 · 40, 9 = 28, 63 MPa → fck = 2, 86 kN/cm2
kmod1 = 0, 7; kmod2 = 1, 0; kmod3 = 0, 8 → kmod = 0, 56
fcd = 0, 56 ·
2, 86
1, 4
→ fcd = 1, 14 kN/cm2
Ec ef = 0, 56 · 15225 = 8526 MPa → Ec ef = 852, 6 kN/cm2
Supondo coluna curta (lef/i ≤ 40)
i =
√
7, 5 · 7, 53/12
7, 52
=
7, 5√
12
→ lef ≤ 40 · i → lef ≤ 86, 6 cm
Coluna curta: não há influência da flambagem, σNd = fcd.
Nd = A · fcd = 7, 52 · 1, 14 → Nd = 64, 1 kN
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 1
Supondo coluna medianamente esbelta (40 ≤ lef/i ≤ 80)
Neste novo cenário: 86, 6 cm ≤ lef ≤ 173, 2 cm
Coluna curta: não há influência da flambagem, σNd = fcd.
Considerando lef = 173, 2 cm:
Excentricidade acidental:
ea =
lef
300
=
173, 2
300
→ ea = 0, 58 cm
Momento de inércia: I =
7, 5 · 7, 53
12
= 263, 7 cm4
Carga cŕıtica: Ncr =
π2Ec ef I
l2ef
=
π2 · 852, 6 · 263, 7
173, 22
= 74 kN
Verificação:
σNd
fcd
+
σMd
fcd
≤ 1 → Nd
A · fcd
+
Md
W · fcd
≤ 1
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 1
Momento de projeto:
Md = Nd ea
Ncr
Ncr −Nd
→ Nd
A · fcd
+
Nd · ea
W · fcd
· Ncr
(Ncr −Nd)
≤ 1
Nd
7, 52 · 1, 14
+
Nd · 0, 58
263,7
7,5/2 · 1, 14
· 74
(74−Nd)
= 1
0, 0156Nd +
0, 5328Nd
(74−Nd)
= 1 → −0, 0156N2d + 2, 6872Nd − 74 = 0
Nd1 = 34, 4 kN → Nd2 = 137, 8 kN
Como não é posśıvel Nd > Ncr, então Nd = Nd1 = 34, 4 kN
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 2
Exemplo 2: Uma coluna roliça de eucalipto de uma edificação, com
diâmetro nominal de 16 cm, está sujeita aos seguintes esforços axiais
de compressão: Ng = 42 kN (permanente) e Nq = 45 kN (variável de
utilização). Verificar a segurança da coluna no estado limite último
para dois valores de comprimento de flambagem - 1,5 m e 3 m - e
para as seguintes situações de projeto: combinação normal de ações e
classe 2 de umidade.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 2
Propriedades mecânicas:
fck = 0, 7 · 62 = 43, 4 MPa → fck = 4, 34 kN/cm2
kmod1 = 0, 7; kmod2 = 1, 0; kmod3 = 0, 8 → kmod = 0, 56
fcd = 0, 56 ·
4, 34
1, 4
→ fcd = 1, 74 kN/cm2
Ec ef = 0, 56 · 18421 = 10315, 8 MPa → Ec ef = 1031, 6 kN/cm2
Propriedades geométricas:
A =
π · d2
4
=
π · 162
4
= 201, 1 cm2 ; I =
π · d4
64
=
π · 164
64
= 3217 cm4
W =
π · d3
32
=
π · 163
32
= 402, 1 cm3 ; i =
√
I
A
=
√
3217
201, 1
= 4 cm
Combinação: Nsd = 1, 4 · 42 + 1, 4 · 45 = 121, 8 kN.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 2
a) comprimento de flambagem 1,5 m:
Verificação do tipo de coluna: lef/i
lef/i =
150
4
= 37, 5 ≤ 40 → coluna curta
Coluna curta: não há influência da flambagem, σNd = fcd.
Nd = A · fcd = 201, 1 · 1, 74 → Nd = 350 kN
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 2
b) comprimento de flambagem 3 m:
Verificação do tipo de coluna: lef/i
lef/i =
300
4
= 75 → 40 ≤ lef/i ≤ 80
Coluna medianamente esbelta
Excentricidade acidental:
ea =
lef
300
=
300
300
→ ea = 1, 0 cm
Carga cŕıtica: Ncr =
π2Ec ef I
l2ef
=
π2 · 1031, 6 · 3217
3002
= 364 kN
Momento de projeto:
Md = Nd ea
Ncr
Ncr −Nd
= 121, 8·1, 0· 364
364− 121, 8
→ Md = 183 kNcm
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exemplo 2
Tomando Nsd = Nd.
Verificação:
σNd
fcd
+
σMd
fcd
≤ 1 → Nd
A · fcd
+
Md
W · fcd
≤ 1
121, 8
201, 1 · 1, 74
+
183
402, 1 · 1, 74
≤ 1 → 0, 61 ≤ 1 Ok!
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Peças Comprimidas
Exerćıcios
Exerćıcio 1: Suponha um perfil quadrado bi-engastado de pinho
parana de primeira categoria com 12,5 cm x 12,5 cm com 2,8 m de
comprimento. Sabe-se que existe uma carga de 20 kN de compressão
de curta duração que solicita essa coluna que encontra-se em um
ambiente com umidade relativa em média de 80 %. Verifique a
segurança desse elemento estrutural. Suponha que a coluna esteja
contida lateralmente na direção de menor inércia e, caso a flambagem
ocorra, irá ocorrer na direção de maior rigidez.
R: Pcr = 230, 1 kN, ok!.
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Peças Comprimidas
Exerćıcios
Exerćıcio 2: Refaça o exerćıcio 1 com condições diferentes de apoio:
a) bi-rotulado, b) rótula e engaste e c) engaste e livre.
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Peças Comprimidas de Seção Simples
Exerćıcios
Exerćıcio 3: Suponha uma coluna retangular bi-rotulada de ipê
serrado de primeira categoria com 10 cm de espessura, 15 cm de
altura e comprimento de 2,5 m. Sabe-se que existe uma carga de
projeto de 10 kN de compressão de longa duração em um ambiente
com umidade relativa em média de 80 %. Verifique a segurança desse
elemento estrutural. Suponha que a coluna esteja contida
lateralmente na direção de menor inércia e, caso a flambagem ocorra,
irá ocorrer na direção de maior rigidez.
R: Nrd = 199, 4 kN, ok!
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Exerćıcios
Exerćıcio 4: Refaça o exerćıcio 2 com condições diferentes de apoio:
a) bi-engastado, b) rótula e engaste e c) engaste e livre.
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	Introdução
	Peças Comprimidas de Seção Simples