Concreto Protendido e Pontes - Método dos Estados Limites (ELS)

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Concreto Protendido e Pontes
Método dos Estados Limites (ELS)
Michael Leone Madureira de Souza
michael.souza@ibmr.br
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Sumário
1 Introdução
2 Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
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1 Introdução
2 Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
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Introdução
Conceitos
A tabela abaixo recomenda o tipo de concreto estrutural de acordo
com as exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à
proteção da armadura, em função das classes de agressividade
ambiental (CAA).
Concreto armado: as aberturas máximas caracteŕısticas wk das
fissuras podem atingir valores entre 0,2 a 0,4 mm, calculadas sob
combinações frequentes de ações.
Os valores de aberturas estimadas das fissuras podem ser calculados
conforme NBR 6118.
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Introdução
Conceitos
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Introdução
Concreto Protendido Ńıvel 3: Protensão Completa
Aplicado na Pré-tração com CAA III e IV, o concreto protendido
Ńıvel 3 deve ser verificado para os seguintes Estados Limites de
Serviço (ELS):
* ELS-F, sob combinação rara de serviço (CR);
* ELS-D, sob combinação frequente de serviço (CF).
As equações que representam as condições destes ELS:
* ELS-F: σc,max,CR ≤ fctk, f ;
* ELS-D: σc,max,CF ≤ 0.
Essas equações podem ser escritas no Estádio I (regime linear
elástico), pois a seção de concreto não está fissurada.
Os efeitos da protensão serão calculados com a força de protensão
final, descontadas todas as perdas.
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Introdução
Concreto Protendido Ńıvel 2: Protensão Limitada
Aplicado na Pré-tração com CAA II ou na Pós-tração com CAA III
e IV, o concreto protendido Ńıvel 2 deve ser verificado para os
seguintes Estados Limites de Serviço (ELS):
* ELS-F, sob combinação frequente de serviço (CF);
* ELS-D, sob combinação quase-permanente frequente de serviço
(CQP).
As equações que representam as condições destes ELS:
* ELS-F: σc,max,CF ≤ fctk, f ;
* ELS-D: σc,max,CQP ≤ 0.
Essas equações também podem ser escritas no Estádio I (regime
linear elástico), pois a seção de concreto não está fissurada.
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Introdução
Concreto Protendido Ńıvel 1: Protensão Parcial
Aplicado na Pré-tração com CAA I ou na Pós-tração com CAA I e
II, o concreto protendido Ńıvel 1 deve ser verificado para os seguintes
Estados Limites de Serviço (ELS):
* ELS-W, wk ≤ 0, 2 mm, sob combinação frequente de serviço (CF);
As equações que representam as condições destes ELS:
* ELS-W: wc,max,CF ≤ 0, 2 mm;
Diferentemente dos casos anteriores, a equação acima considera a
seção fissurada, devendo atender às regras de cálculo e projeto
estabelecidas na NBR 6118, descritas na sequência na forma de um
roteiro.
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1 Introdução
2 Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
No dimensionamento e verificação de seções transversais com
armaduras ativas Ap e armaduras passivas As, dentro das
hipóteses dos ELU, a equação de equiĺıbrio é dada por:
Ap · σpd +As · σsd = Ntd
Essa equação possibilida diversas proporções para Ap e As que
garantem o ELU e podem ser testadas nos cenários do ELS aplicáveis.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Passo 1: Escolha o par Ap e As definindo as bitolas dos aços e
respectivo arranjo dentro da seção transversal. Para calcular a força
de protensão utilize a tensão provocada pelo pré-alongamento do
cabo (hipóetese da neutralização), Np∞ = Ap ·∆εpi · Ep.
Passo 2: Verificar se para o par Ap e As, sob combinação frequente
de ações (CF), a seção de fato ultrapassou o ELS-F, atingindo o
Estádio 2 com o aparecimento de fissuras.
Se σc,max,CF ≤ fctk, f , com fctk, f = 0, 3f
2/3
ck : não haverá fissuras, a
seção estará no Estádio I. Nestas condições deverá ser escolhido um
novo valor para Ap e As com redução da protensão e aumento da
armadura passiva.
Se σc,max,CF > fctk, f , com fctk, f = 0, 3f
2/3
ck : haverá fissuras, a
seção estará no Estádio 2.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Passo 3: Cálculo do acréscimo de tensão das armaduras ativas
aderentes (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro das
bainhas) e armadura passiva, que controlam a fissuração do
elemento estrutural no Estádio 2.
O cálculo é feito considerando um diagrama linear para o concreto
comprimido e desprezando a resistência à tração do concreto.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Equação de compatibilidade: εc =
x
ds − x
· εs
Equações constitutivas: Aço: σs = Es · εs → εs =
σs
Es
Concreto: σc = Ec · εc → σc = Ec ·
x
ds − x
· εs
Final: σc = Ec · εc → αe =
Es
Ec
→ σc =
1
αe
· x
ds − x
· σs
Equações de equiĺıbrio: Forças resultantes:
Nc = Acc ·
σc
2
= Acc ·
1
2αe
· x
ds − x
· σs
Np = Np∞ = Ap ·∆εpi · Ep (força correspondente ao pré-alongamento)
Ns = As · σs
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Equiĺıbrio de forças:
Nc = Np +Ns
Acc ·
1
2αe
· x
ds − x
· σs = Ap ·∆εpi · Ep +As · σs
Final: σs =
Ap ·∆εpi · Ep
Acc ·
1
2αe
· x
ds − x
−As
Equiĺıbrio de momentos:
Ns · zs +Np · zp = ∆M (momentos)
∆M : acréscimo de momento entre o Estado Limite de Descompressão e o
carregamento considerado (combinação frequente).
∆M ≈MCF −Np∞ · ep
∆M = As · σs
(
ds −
x
3
)
+Ap ·∆εpi · Ep ·
(
dp −
x
3
)
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Final: σs =
1
As ·
(
ds −
x
3
) · [∆M −Ap ·∆εpi · Ep · (dp − x
3
)]
As duas equações permitem calcular de forma interativa o valor da tensão
σs para cada posição da linha neutra x.
A resposta é aquela que dá a posição de equiĺıbrio, ou seja, o par (σs , x)
que atende simultaneamente às duas equações, a saber: equiĺıbrio de
forças e momentos.
A partir de σs, calcula-se o valor provável de wk.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Passo 4: Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras
passivas e ativa aderente (exclúıdos os cabos protendidos que
estejam dentro das bainhas) que controlam a fissuração do elemento
estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de
envolvimento, constitúıda por um retângulo cujos lados são distem
mais de 7,5φ do eixo da barra da armadura.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Figure: Concreto de envolvimento da armadura que controla a fissuração.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Passo 5:O valor caracteŕıstico da abertura das fissuras wk,
determinado na região de envolvimento das armaduras, é o menor
entre os obtidos pelas expressões:
wk =
φi
12,5·η1 ·
σsi
Esi
· 3σsifctm ou wk =
φi
12,5·η1 ·
σsi
Esi
(
4
ρri
+ 45
)
φi é o diâmetro da barra da armadura passiva;
η1 é o coeficiente de conformação superficial (1,0 para barras lisas,
2,25 para nervuradas e 1,2 para cordoalhas de 3 e 7 fio (pré-tração
sem bainha);
σsi tensão de tração na armadura, calculada no Estádio 2;
Esi módulo de elasticidade do aço;
ρri é a taxa de armadura passiva, ou ativa aderente, em relação a
área englobada pela influência da armadura Acri;
fctm resistência média à tração.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Conceitos
Exemplo: A seção retangular ilustrada abaixo foi dimensionada no
ELU, com Ap e As resultando na seguinte equação de equiĺıbrio:
1, 502Ap + 435As = 16290 com áreas em cm. Verifique os ELS
relativos à fissuração, ou não, do concreto, considerando 3 situações:
a) Seção armada somente com As;
b) Seção armada somente com Ap;
c) Seção com As e Ap fissurada com
protensão parcial.
Materiais: C30, Aço CP190 e CA50,
∆εpi = 0, 55%.
Dados: Mg1k = 350 kN.m, Mg2k = 227 kN.m, Mq1k = 350kN.m
(Ψ1 = 0, 6; Ψ2 = 0, 4) e Mq2k = 350 kN.m (Ψ1 = 0, 7; Ψ2 = 0, 6).
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Momento fletor da combinação frequente de serviço MCF :
(combinação mais cŕıtica)
MCF = (350 + 227) + 0, 6 · 220 + 0, 6 · 120 = 781 kN.m
Verificação dos ELS relativos à fissuração do concreto:
a) Seção armada somente com As:
435As = 16290→ As = 37, 4 cm2 (adotado 8 φ 25 mm) [As = 40 cm2]
σc,max,CF =
781·0,5
0,3·13/12 = 15620 kPa , com
fctk, f = 0, 3 · (30)2/3 = 2, 895 MPa = 2895 kPa
σc,max,CF > fctk, f . Portanto, haverá fissuras, Estádio 2.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Arranjo da armadura na seção: Acr
Centro de gravidade: y0 = (6 · 4, 25 + 2 · 9, 25)/8 → y0 = 5, 5 cm.
Acr = 30 · 28 = 840 cm2
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Cálculo do acréscimo de tensão σs no Estádio 2.
Equações de equiĺıbrio:
Nc = 0, 3 · x ·
σc
2
σc = Ec ·Nc = 0, 3 · x ·
Ec · εc
2
Ns = As · σs
Equação de compatibilidade:
εs =
ds − x
x
· εc
Equação constitutiva:
σs = Es ·
ds − x
x
· εc
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Forças: Nc = Ns → 0, 15 · x · Ec · εc = As · Es ·
ds − x
x
· εc
ds = h− y0 = 100− 5, 5 → ds = 0, 945 m.
Tomando Es/Ec = 15
Equação final: x2 + 0, 4x− 0, 378 = 0 → x = 0, 45 m.
Momentos: Ns · zs = MCF → σs = MCF /(As · zs)
σs =
781
40 · 10−4 · (0, 945− 0, 45/3)
= 245.600 kN/m2
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Formulação 1: wk =
φ
12, 5 · η1
· σsi
Esi
· 3σsi
fctm
φ = 25 mm, η1 = 2, 25, Esi = 210.000 MPa, fctm = 0, 3 · 301/2 = 2, 896
MPa
wk =
25
12, 5 · 2, 25
· 245, 6
210000
· 3 · 245, 6
2, 896
= 0, 27 mm
Formulação 2: wk =
φ
12, 5 · η1
· σsi
Esi
·
(
4
ρri
+ 45
)
ρri =
As
Acr
=
40
840
→ ρri = 0, 0476
wk =
25
12, 5 · 2, 25
· 245, 6
210.000
·
(
4
0, 0476
+ 45
)
= 0, 13 mm
Resultado wk = 0, 13 mm
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Supondo protensão parcial (ELS-Wk = 0, 2 mm) a verificação da abertura
de fissuras em serviço está adequada.
b) Seção armada somente com Ap (protensão parcial):
1502 ·Ap = 16290 → Ap = 10, 85 cm2 (adotado 8 φ 15,2 mm)
[Ap = 11, 5 cm
2]
Força de protensão:
Np∞ = 11, 5 · 0, 0055 · 20.000 → Np∞ = 1265 kN
fctk, f = 0, 3 · (30)2/3 = 2, 895 MPa = 2895 kPa
Tensão na fibra inferior:
σc,max,CF = − 12650,3·1 −
1265·(0,5−0,08)·0,5
0,3·13/12 +
781·0,5
0,3·13/12
σc,max,CF = 777, 3 kPa
σc,max,CF < fctk, f . Portanto, não haverá fissuração, Estádio 1.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
c) Seção cpm As e Ap (protensão parcial):
1502 ·Ap + 435As = 16290→ As = 18, 11 cm2 (8 φ 20 mm) e
Ap = 5, 6 cm
2 (6 φ 15,2 mm)
Força de protensão:
Np∞ = 4 · 1, 434 · 0, 0055 · 20.000 → Np∞ = 631 kN
fctk, f = 0, 3 · (30)2/3 = 2, 895 MPa = 2895 kPa
Tensão na fibra inferior:
σc,max,CF = − 6310,3·1 −
631·(0,5−0,08)·0,5
0,3·13/12 +
781·0,5
0,3·13/12
σc,max,CF = 8216 kPa
σc,max,CF > fctk, f . Portanto, haverá fissuração, Estádio 2.
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Equações de equiĺıbrio:
Nc = 0, 3 · x ·
σc
2
σc = Ec ·Nc = 0, 3 · x ·
Ec · εc
2
Ns = As · σs
Equação de compatibilidade:
εs =
ds − x
x
· εc
Equação constitutiva:
σs = Es ·
ds − x
x
· εc
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Então: Nc = b · x ·
Ec
2
· x
ds − x
· σs
Es
Np = Ap ·∆εpi · Ep = 5, 6 · 0, 0055 · 20.000 → Np = 616 kN
Ns = As · σs = 18, 9 · σs
Tomando Es/Ec = 15
Forças: Nc = Ns +Np → 0, 01 ·
x2
ds − x
· σs = 18, 9 · 10−4 · σs + 616
σs =
616
0, 01 · x
2
ds − x
− 18, 9 · 10−4
. Unidades em [kN] e [m].
Momentos:
∆M = MCF −Np · ep = 781− 616 · (0, 5− 0, 08) → ∆M = 522, 3 kN.m
Ns · zs +Np · zp = ∆M → σs ·As ·
(
ds −
x
3
)
+Np ·
(
dp −
x
3
)
= ∆M
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
σs ·As ·
(
ds −
x
3
)
+Np ·
(
dp −
x
3
)
= ∆M
Igualar σs obtido no somatório de forças com o σs no de momentos e
colocando x como incógnita a ser calculada (altura da linha neutra).
−33x3 − 7, 21x2 − 16, 7x+ 16 = 0
Atingir meta Excel: → x = 0, 534 m
σs =
616
0, 01 · 0, 534
2
0, 96− 0, 534
− 18, 9 · 10−4
→ σs = 128, 2 MPa.
εc = 128, 2 ·
0, 534
210.000.000 · (0, 96− 0, 534)
→ εc = 7, 7 · 10−4
εs =
0, 96− 0, 534
0, 534
· 7, 7 · 10−4 → εs = 6, 1 · 10−4
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Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial
Exemplo
Acr = 19 · 30 = 570 cm2
As = 18, 9 cm
2
ρri = As/Acri = 0, 0331
Formulação 1: wk =
20
12, 5 · 2, 25
· 128, 2
210000
· 3 · 128, 2
2, 896
= 0, 058 mm
Formulação 2: wk =
20
12, 5 · 2, 25
· 128, 2
210.000
·
(
4
0, 0331
+ 45
)
= 0, 072 mm
Resultado wk = 0, 058 mm < 0, 2 mm (ELS-W), ok!
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	Introdução
	Cálculo de Fissuras em Seções com Protensão Parcial