MD Tema 3 - Exercícios Arranjo com respostas

Prévia do material em texto

PROBLEMAS 
1) Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez 
bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de 
possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é 
formado por uma sequência de 6 algarismos. 
 
2) Em uma empresa, quinze funcionários se 
candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor 
financeiro. Eles serão escolhidos através do voto 
individual dos membros do conselho da empresa. 
 
PROBLEMAS 
3) Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de 
salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos 
podem ser realizados entre os times participantes em turno e 
returno? 
 
4) Em um torneio internacional de natação participaram cinco 
atletas europeus, dois americanos e um brasileiro. 
a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as 
medalhas de ouro, prata e bronze? 
b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três 
primeiras posições? 
c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha? 
d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, 
determine o número de resultados em que há mais atletas 
europeus do que americanos no pódio? 
5) Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras. 
Determine de quantos modos distintos as 7 
pessoas podem sentar-se nas 9 cadeiras. 
 
 
RESPOSTAS 
1 2 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
3) Como o campeonato possui dois turnos, os 
jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe 
A tratam-se de partidas distintas, então estamos 
trabalhando com arranjos simples (onde 
importa a ordem dos elementos). Devemos 
calcular A10, 2: 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
4) a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e 
bronze? 
São 8 atletas (5 europeus + 2 americanos + 1 brasileiro) que vão disputar as 3 posições do 
pódio e é claro que importa a ordem (ouro, prata e bronze) 
A 8,3 = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8×7x6x5!/5! = 8×7x6 = 336 
Temos 336 maneiras diferentes de preencher este pódio. 
b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições? 
Vamos determinar em quantas destas maneiras somente os atletas europeus preenchem o 
pódio. São 5 atletas para 3 posições: 
A 5,3 = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5×4x3x2!/2! = 5×4x3 = 60 
Em 60 destas maneiras só aparecem atletas europeus nas primeiras posições. 
c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha? 
Agora uma destas medalhas tem que ser do brasileiro, então restam 7 atletas para disputar 
2 posições: 
A 7,2 = 7!/(7-2)! = 7!/5! = 7×6x5!/5! = 7×6 = 42 
Mas, como importa a ordem, o atleta brasileiro pode receber a medalha de ouro, prata ou 
bronze. Temos 3 posições diferentes para ele, daí: 
42×3 = 126 resultados em que o atleta brasileiro recebe medalha. 
RESPOSTAS 
4) d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine 
o número de resultados em que há mais atletas europeus do que 
americanos no pódio? 
 
Para termos essa situação temos dois casos: 
Um dos atletas americanos recebe uma medalha no pódio (que pode 
ser ouro, prata ou bronze, por isso vamos x3). Então teremos 2 
posições ocupadas por atletas europeus e 1 por um americano: 
3 . A 5,2 . A 2,1 = 3 . 5!/3! . 2!/1! = 3.5×4.2 = 120 maneiras 
O pódio é preenchido somente por atletas europeus, logo: (fizemos já 
este cálculo na letra b) 
A 5,3 = 5!/2! = 5×4x3 = 60 maneiras 
TOTAL: 120 + 60 = 180 maneiras em que, sem que o atleta brasileiro 
receba medalha, há mais atletas europeus do que americanos no 
pódio. 
 
 
RESPOSTAS 
5) Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja 
solução é encontrada calculando-se 
A9,7 = 9!/(9-7)! = 9!/2! = (9.8.7.6.5.4.3.2!)/2! = 181.440 
 
Poderíamos também resolver aplicando a regra do 
produto , com o seguinte raciocínio: 
A primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a 
segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 
4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de 
possibilidades será igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440.