Atividade 2 (A2)_ Revisão da tentativa

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02/04/22, 18:58 Atividade 2 (A2): Revisão da tentativa
https://ambienteacademico.com.br/mod/quiz/review.php?attempt=180491&cmid=151593 1/6
Minhas Disciplinas 202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551 UNIDADE 2
Atividade 2 (A2)
Iniciado em sábado, 2 abr 2022, 18:44
Estado Finalizada
Concluída em sábado, 2 abr 2022, 18:58
Tempo
empregado
13 minutos 41 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de
aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os
pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto . 
 
 
a. A taxa máxima de aumento da densidade é .
b. A taxa máxima de aumento da densidade é .
c. A taxa máxima de aumento da densidade é .
d. A taxa máxima de aumento
da densidade é .
 Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua norma é 
, concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade
é .
e. A taxa máxima de aumento da densidade é .
A resposta correta é: A taxa máxima de aumento da densidade é .
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que ,
onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de
duas variáveis. 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
a. A equação  é uma curva de nível para a função  para 
b. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
c. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
d. A equação  é uma
curva de nível para a função 
 para .
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela de�nição de curva de nível, temos
que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que 
. Portanto, a curva de nível da função 
 para  é dada pela equação .
e. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
A resposta correta é: A equação  é uma curva de nível para a função  para .
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto
que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente
uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ). 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de
variação mínima.
a. Direção  e taxa mínima de .
b. Direção  e taxa mínima de .
c. Direção  e taxa mínima de .
d. Direção  e taxa mínima de .
e. Direção  e taxa
mínima de .
 Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a
variação de temperatura é mínima em . (O sinal
negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
A resposta correta é: Direção  e taxa mínima de .
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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A
derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a
derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e ,
sabendo que e . 
 
 
a.  e 
b.  e  Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos
que a derivada parcial de  com relação a  é: .
Já a derivada parcial de  com relação a  é: 
.
c.  e 
d.  e 
e.  e 
A resposta correta é:  e 
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a
partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio
da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor . 
 
 
a. A temperatura está
aumentando à taxa de
aproximadamente 9,93
unidades.
 Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: ,  e . Assim, dado o ponto (3,4),
temos . O vetor  é unitário, então a derivada direcional irá nos
fornecer a taxa de variação desejada: .
b. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
c. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
d. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
e. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
A resposta correta é: A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis 
 quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da
função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja
fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que
corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
 
a.
b. 2
c. 1
d. 3
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são: 
 e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor
gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional,
necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a
derivada direcional procurada é .
A resposta correta é: 
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos
escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
 
 
a.  para .
b.  para .
c.  para .
d.  para .
e.  na direção de 
.
 Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu
vetor gradiente são: ,  e .
Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de  é o
vetor . Portanto, a derivada direcional é .
A resposta correta é:  na direção de .
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da
função com relação à variável é obtidapor meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar
que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com
relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável ,
sabendo que e . 
 
 
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , 
,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da
derivada desejada: . Trocando as
expressões de  e  temos 
.
A resposta correta é: 
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse
problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.
b. Chama-se curva de nível o conjunto de todas as ternas  tais que .
c. As curvas de nível representam cortes verticais feitos no grá�co da função.
d. Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes.
e. Uma curva de nível é um
subconjunto do espaço .
 Resposta correta. A alternativa está correta. O grá�co de uma função de duas variáveis
é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação
geométrica da função no plano  recorremos ao uso das curvas de nível, que são
curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
A resposta correta é: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
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Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado
um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . 
 
 
a.
b.
c.
d.  Resposta correta. A alternativa está correta.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da
função:
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como
constante): 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como
constante):  . 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos  e 
. Logo, o vetor gradiente é .
e.
A resposta correta é: 
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