CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ATIVIDADE 2 (A2)

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Pergunta 1
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da
resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em
um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do
vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em ,
em todos os pontos de uma placa retangular no plano  dada por ,
assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade  no
ponto . 
  
  
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da
densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto
considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua
norma é , concluímos que a taxa máxima de
aumento da densidade é .
Pergunta 2
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
das variáveis  e , isto é,  e . A derivada da função
  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia
expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por
meio da expressão . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação às variáveis  e , sabendo que  e . 
  
  
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de  com relação a  é: . Já a
derivada parcial de  com relação a  é:
.
Pergunta 3
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Comentário
da
resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis.
Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor
gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem
três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto
  do espaço tridimensional é expresso pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior
taxa de variação do potencial elétrico  no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto
é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
 e sua norma é
1 em 1 pontos
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode
ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos
utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de
curva de nível. 
  
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
  
  
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O grá�co de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano  recorremos ao uso das curvas de
nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .
Pergunta 5
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A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior
crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a
direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da
função. 
  
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função
  no ponto P(1,2).
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Comentário
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o
vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
-                          
-                         
-                
  
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é .
Pergunta 6
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Comentário
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da
variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável 
 é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da
cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função  com
relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação
à variável . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação à variável , sabendo que  e . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas:
, ,  e . Aplicando a regra da cadeia,
obtemos a expressão da derivada desejada:
. Trocando as expressões
de  e  temos
.
1 em 1 pontos
Pergunta 7
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Comentário
da
resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função
diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor
unitário na direção e sentido desejados”. 
  
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra,
1994. 
  
De acordo com essa definição e considerando a função  e o
ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
  
  
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu
vetor gradiente são: ,  e
. Assim, . Temos ainda que vetor
unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada
direcional é .
Pergunta 8
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao
domínio de  tais que , onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para
visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
  
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
  
 
A equação  é uma curva de nível para a função
 para .
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Comentário
da
resposta:
A equação  é uma curva de nível para a função 
 para .
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela de�nição de curva de nível, temos
que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que
. Portanto, a curva de nível da
função  para  é dada pela equação .
Pergunta 9
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Comentário
da
resposta:
As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a inclinação
da reta tangente a uma função de duas variáveis  quando fixadas as direções
que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também,
determinar a derivada da função  com relação a qualquer direção diferente das
direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por
um vetor unitário. 
  
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa
por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada
direcional da função  no ponto  na direção do vetor . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 10
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é,
dada a função  o vetor gradiente é o vetor . Dado
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Segunda-feira, 15 de Fevereiro de 2021 14h31min34s BRT
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Comentário
da resposta:
um ponto , o vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da
seguinte expressão . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função 
 no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função: 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante):
 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante): 
. 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos  e
. Logo, o vetor gradiente é .