Questão resolvida - Um carro B encontra-se 30 km a leste de um carro A. Ao mesmo tempo, o carro A começa a se mover para o norte com velocidade de 60 kmh e o carro B para o oeste com velocidade de 40k

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Um carro B encontra-se 30 km a leste de um carro A. Ao mesmo tempo, o carro A 
começa a se mover para o norte com velocidade de 60 km/h e o carro B para o oeste 
com velocidade de 40km/h. Encontre a distância mínima entre os carros.
 
Resolução:
 
Imediatamente após os carros se moverem, a distância entre eles é d(t), como visto no 
esquema abaixo:
Perceba que d forma com a horizontal e a vertical um triângulo reto, os catetos e H t( ) V t( )
desse triângulo vão variar com o tempo, assim, podemos montar, baseado no teorema de 
Pitagoras a seguinte expressão;
 
d t = H t + V t2( ) 2( ) 2( )
 
 e são as velocidades na horizontal e vertical, sendo que na horizonal o espaço H t( ) V t( )
inicial é igual a 30 Km, dessa forma, podemos chegar as seguintes expressões;
 
H t = 30 - 40t e V t = 60t( ) ( )
 
Substituindo 2 em 1 e idolando d(t), fica;
 
 
B
A
N
S
W
.
v = 40 Km / hB
v = 60 Km / hA
d = 30 Km0
d t( )
(1)
(2)
 
d t = 30 - 40t + 60t d t = d t = 30 - 40t + 60t2( ) ( )2 ( )2 → ( ) 30 - 40t + 60t( )2 ( )2 → ( ) ( )2 ( )2
1
2
 
Para achar os pontos críticos de efetuamos a derivada;d t( )
 
d t = 30 - 40t + 60t d' t = 30 - 40t + 60t 2 30 - 40t ⋅ -40 + 2 ⋅ 60t ⋅ 60( ) ( )2 ( )2
1
2
→ ( )
1
2
( )2 ( )2
-1
1
2
( ) 2-1( ) ( )
 
d' t = 30 - 40t + 60t -80 30 - 40t + 7200t =( )
1
2
( )2 ( )2
-
1
2
( ( ) )
-80 30 - 40t + 7200t
30 - 40t + 60t
( )
1
2
( )2 ( )2
1
2
 
Devemos, agora, igualar a zero e encontrar os pontos críticos de ;d' t( ) d t( )
 
= 0
-80 30 - 40t + 7200t
30 - 40t + 60t
( )
1
2
( )2 ( )2
-
1
2
 
Resolvendo para t temos;
 
= 0 -80 30 - 40t + 7200t = 0 -2400 + 3200t + 7200t = 0
-80 30 - 40t + 7200t
30 - 40t + 60t
( )
1
2
( )2 ( )2
-
1
2
→ ( ) →
 
10400t = 2400 t = t ≅ 0, 23 h→
2400
10400
→
 
Devemos identificar que tipo de ponto crítico ocorre quanto , para isso, vamos t ≅ 0, 23 h
substituir e em e observar seu comportamento; em caso de valor t = 0, 2 t = 0, 3 d' t( )
negativo: a função está descrecendo, em caso de valor positivo: a função está crescendo:
 
t = 0, 2 d' 0, 2 = d' 0, 2 = - 1, 69→ ( )
-80 30 - 40 ⋅ 0, 2 + 7200 ⋅ 0, 2
30 - 40 ⋅ 0, 2 + 60 ⋅ 0, 2
( )
1
2
( )2 ( )2
1
2
→ ( )
 
 
 
t = 0, 3 d' 0, 3 = d' 0, 3 = 32, 66→ ( )
-80 30 - 40 ⋅ 0, 3 + 7200 ⋅ 0, 3
30 - 40 ⋅ 0, 3 + 60 ⋅ 0, 3
( )
1
2
( )2 ( )2
1
2
→ ( )
 
Logo, para valores menores que , a função descresce e, para valores acima, a função 0, 23 h
cresce;
 
Com isso, o ponto para fornece a menor distância d, então;t = 0, 23 h
 
d 0, 23 = 30 - 40 ⋅ 0, 23 + 60 ⋅ 0, 23 d t = 30 - 9, 2 + 13, 8( ) ( )2 ( )2
1
2
→ ( ) ( )2 ( )2
1
2
 
d 0, 23 = 20, 8 + 190, 44 d 0, 23 = 432, 64 + 190, 44 d 0, 23 = 623, 08( ) ( )2
1
2
→ ( ) ( )
1
2 → ( ) ( )
1
2
 
d 0, 23 ≅ 24, 96 d 0, 23 ≅ 25 Km( ) → ( )
 
 
Decresce Cresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
0, 23 h
(Resposta )